Kursprogram

Kursinnehållet i talteori och grafteori
Talteori.
Definition. Ett heltal m är (jämnt) delbart med ett heltal d0 om m/d är ett heltal. Vi säger
också att d är en delare till m och att m är en multipel till d. Vi skriver d|m.
Sats 1. a) om d|a och a|b så gäller också d|b.
b) om d|a och d|b så gäller d|(ab).
c) om d|m så gäller d|km för alla heltal k.
d) om d|a och d|b så gäller d|(ax+by) för alla heltal x,y.
Sats 2. a) Endast heltal som slutar på ett jamn siffra är jämna.
b) Endast heltal som slutar på 0 eller på 5 är delbara med 5.
c) Ett heltal är delbart med 4  talets två slutsiffror utgör ett tal är delbart med 4.
d) Ett heltal är delbart med 25  talets två slutsiffror utgör ett tal är delbart med 25.
Definition. Delarna 1, m kallas triviala delare till m. Om andra delare finns så kallas de äkta.
Vidare betraktar vi endast positiva delare. Ett tal som har äkta delare kallas ett sammansatt tal.
Ett heltal >1 som har inga äkta delare kallas ett primtal.
Sats 3. Ett sammansatt tal a har en primtalsdelare p< a .
Sats 4. Det finns oändligt många primtal.
Sats 5 (Aritmetikens fundamentalsats, utan bevis). Varje heltal >1 kan faktoriseras i primtal på
endast ett sätt om man bortser från faktorernas ordningsföljd
Definition. Låt a och b vara två heltal som ej båda är = 0. d är en gemensam delare till a och b
om både d|a och d|b.
Låt a och b ej båda är = 0. Den största gemensamma delaren SGD(a,b) är det största talet
bland samtliga gemensamma delare till a och b. På samma sätt kan man definiera SGD till flera
heltal.
Om SGD(a,b)=1 så kallas heltal a och b relativ prima
Sats 6. Låt a och b är primtalfaktoriserade, a=2k3l5m ..., b=2k´3l´5m´.
a) Om a|b så är k≤k´, l≤l´, m≤m´,...
b) SGD(a,b)= 2min(k,k´)3 min(l,l´)5 min(m,m´)...
Följdsats 7. Om d är en gemensam delare till a och b så d|SGD(a,b).
Sats 8. Om d|ab och SGD(d,a)=1 så d|b.
a
Definition. Ett tal som kan skrivas på formen
där a är ett heltal och b är ett positivt heltal
b
kallas ett rationellt tal. Alla andra tal kallas irrationella.
Sats 9. Ett rationellt tal kan skrivas som ett bråk som kan ej förkortas.
a
Sats 10. Om
kan ej förkortas, så kan det skrivas exakt med ett ändligt antal decimaler då och
b
endast då bland b’s primtalsfaktorer finns endast 2or och 5or.
Sats 11. 2 är ett irrationellt tal.
Sats 12. Låt r vara resten av a mod d. Så är SGD(a,d)=SGD(r,d).
Sats 13. (Euklides algoritm för SGD) Låt a>b, r1 vara resten a mod b, r2 vara resten b mod r1,
r3 vara resten r1 mod r2, ..., ri vara resten ri–2 mod ri–1, 0 vara resten ri mod ri-1. Så är SGD(a,
b)=ri.
1
Sats 14. Låt (x1,y1) vara en heltalslösning till ekvationen ax+by=c.
Paret (x1+ x0,y1+ y0) är en heltalslösning till ekvationen ax+by=c omm paret (x0,y0) är en
heltalslösning till ekvationen ax+by=0
Sats 15. a) Låt (x1,y1) vara en heltalslösning till ekvationen ax+by=c.
Paret (x1+ x0,y1+ y0) är en heltalslösning till ekvationen ax+by=c omm paret (x0,y0) är en
heltalslösning till ekvationen ax+by=0.
b) Låt (x1,y1) vara en enstaka heltalslösning till ekvationen ax+by=c, där SGD(a,b)=1.
Så är (x1+ bt, y1–at) den allmänna heltalslösningen till ekvationen ax+by=c (där t är ett
heltalsparameter).
Definition. Zn= 0,1, 2, ..., n - rester modulo n med räcknesätten +, –, .


Sats 16. Låt a  0 i Zp där p är ett primtal. Så har ekvationen a x  b exakt en lösning för vilket
som helst värde på b .
b
Definition. Låt a  0 i Zp där p är ett primtal. Kvoten q  är den enda resten som upfyller
a
kravet a q  b .
2
Grafteori
Definition. En (enkel) graf består av hörn och kanter. Varje kant binder samman två hörn. Inga
två hörn bindas samman med två eller flera kanter.
För att ange en graf anger man mängden av dess hörn och beskriver vilka par av hörnen är sammanbundna med
kanter. Man brukar rita hörn som punkter och kanter som sträckor eller kurvbågar. Vanligtvis spelar det ingen roll
om de ritade kanterna skär eller inte skär varandra.
Exempel. 1. Grafen av en polyheder bildas av polyhederns hörn och kanter.
2. Grafen av en schakpjäs: hörnen är rutorna på schackbrädet, om pjäsen kan göra ett drag från en ruta till en
annan så bindas de rutorna sanmman med en kant.
Definition. En stig är en följd av hörn där konsekutiva hörn är förbundna av en kant. I en enkel
stig inget hörn får upprepas. Stigens längd är antalet kanter.
Definition. I en sammanhängande graf finns det en stig mellan varje par av hörn. Avståndet
mellan två hörn är längden på den kortaste stigen hörnen emellan. Det maximala avsåndet kallas
diametern.
Definition. Varje graf kan man dela i sådana delar så att hörn som har en stig emellan hamnar i
samma del, medan hörn som har det inte hamnar i olika delar. Delarna kallas då
sammanhängande komponenter.
Sats 1. a) En sammanhängande graf med n hörn har minst n–1 kanter.
Definition. En (enkel) cykel är en (enkel) stig som börjar och slutar i samma hörn.
En cykel går genom tre hörn och längs tre kanter minst.
Ett träd är en sammanhängande graf utan cykler.
Sats 2. En sammanhängade graf med m hörn är ett träd omm grafen har m–1 kanter.
Definition. Det antal kanter som ansluter ett hörn kallas hörnets grad (hörngradtal).
Sats 3. Dubbla antalet kanter är lika med summan av hörngradtalen.
Sats 4 (Lemma om handskakningar). Antalet hörn med udda gratal i en graf är alltid ett jämnt
tal.
Definition. En väg i en graf där varje kant ingår exakt en gång kallas Eulers-väg. En cykel i en
graf där varje kant ingår exakt en gång kallas Eulers-cykel.
Lemma 5. I en graf där alla gradtal är jämna kan man måla samtliga kanter i ett antal färger på
ett sådant sätt att kanter av varje färg bildar en enkel cykel.
Sats 6. a) En sammanhängande graf har en Eulers-cykel omm den har inga udda gradtal.
b) En sammanhängande graf har en Eulers-väg omm den har exakt två udda gradtal.
Definition. En planär graf är en graf som kan ritas i ett plan utan att kanterna skär varandra.
Sats 7. Graf av vilken som helst polyeder
utan hål är en planär graf.
Sats 8 (utan bevis). En planär graf kan
ritas på ett sådant sätt att varje kant är en
sträcka, och fortfarande kanterna inte skär
varandra.
Definition. Grafen K5 har 5 hörn, grafen
K3,3 har 6 hörn (se bilden).
Definition. En graf ritad på ett plan delar
planet i ett antal regioner (områden). Det finns alltid minst en oändlig region. Antalet hörn,
kanter och regioner betecknar vi med H, K respektive R.
Sats 9. (Eulers formel) I en planär sammanhängande graf gäller H–K+R=2.
Följdsats 10. Låt H, K, Y vara antalet hörn, kanter respektive plana ytor hos en polyeder utan
hål. Så gäller H–K+Y=2.
Definition. En konvex polyeder kallas regelbunden (en platonsk kropp) om dess ytor är
kongruena regulbundna polygoner och alla hörn har samma gradtal.
Sats 11. Det finns endast 5 olika regelbundana polyedrar, nämligen tetraedern, oktaedern, kuben,
ikosaedern och dodekaedern.
3
Sats 12. Det finns endast 5 olika regelbundana polyedrar, nämligen tetraedern, oktaedern, kuben,
ikosaedern och dodekaedern.
Definition. En planär graf är en graf som kan ritas i ett plan utan att kanterna skär varandra.
Vidare betecknar vi med K och H antalet kanter respective hörn I grafen.
Sats 13. För en planär sammanhängande graf gäller olikheten: K≤3H–6.
Definition. Grafen K5 har 5 hörn, grafen K3,3 har 6 hörn (se bilden nedan).
Följdsats 14. Grafen K5 är icke-planär.
Definition. Grafens omkrets c är det
minsta antalet kanter i en cyckel.
Sats 15. I en planär sammanhängande
graf med omkretsen c gäller olikheten
c H  2 
K
.
c2
Följdsats 16. Grafen K3,3 är icke-planär.
Definition. Två grafer G1 och G2 kallas
isomorfa om de har lika många hörn som kan numreras på ett sådan sätt att hörnen i och j i en
graf G1 är bundna med en kant omm hörnen i och j i en graf G2 är bundna med en kant. Vi
skriver då G1  G2.
Sats 17. Om två grafer är isomorfa så har de lika många a) hörn b) kanter c) diametrar
d) omkretsar e) cykler av en given längd f) hörn av ett givet gradtal.
Definition. Låt graf G ha h hörn som är numrerade 1 till h. Grafens matris M(G) är tabellen av
format h×h ifylld med nollor och ettor. I rutan på rad i och kolumn j står 1 omm hörnen i och j i
G är bundna med en kant.
Sats 18. En grafs matris har nollor på huvuddiagonalen (som går från översta vänstra hörnrutan)
och är spegelsymmetrisk kring denna diagonal.
Den 12 maj, Metapontum, åk2 http://sasja.shap.homedns.org/Metapontum/2006/ht2/
4