Linjära funktioner (= räta linjer)

Linjära funktioner (= räta linjer)
Varje rät linje kan skrivas på ”formen”
y = k x +m
där k = linjens lutning (riktningskoefficienten),
dvs hur mycket linjens y-värde förändras då x-värdet ökar med 1
m = y-värdet där linjen skär y-axeln
Följande typer av problem ska ni kunna!
1) Rita linjen
-
-
-
i ett koordinatsystem
börja med att bestämma vad k och m har för värden.
markera punkten m på y-axeln.
utgå från punkten m och gå ett steg åt höger, därefter så många steg i y-led (=höjdled)
som k-värdet anger.
Om k är positivt tal så går man uppåt, om k är ett negativt tal så går man nedåt. Sätt en
ny punkt här.
OM k är ett bråktal, så innebär det istället att du från punkten m ska gå så många steg åt
höger (i x-led) som nämnaren anger och så många steg i höjdled (i y-led) som täljaren
anger för att sätta ut nästa punkt på linjen.
utgå från den nya punkten och gör om samma procedur för att rita en ny punkt.
rita minst tre punkter innan du drar en linje noggrant mellan dem.
*************************
2) Beräkna en linjes k-värde då man vet två punkter på linjen
y
k = x
vilket betyder att vi dividerar skillnaden mellan punkternas y-värden
med skillnaden mellan punkternas x-värden!
Ex: (2, 9) och (4, 3) är två punkter på en linje. Beräkna linjens k-värde.
Det spelar ingen roll vilket y- och x-värde vi sätter först
i täljare resp. nämnare, bara värdena kommer från samma
punkt!
****************************
3) Bestäm ekvationen för en rät linje med ett känt k-värde och som går genom
en given punkt!
Ex: Bestäm ekvationen för den räta linje som har k-värdet 3 och går genom punkten (2, 5).
(x, y)
Lösning:
Vi använder y = kx + m!
Vi vet att k = 3, x = 2 och y = 5! Ersätt bokstäverna i formeln med siffervärden!
Då får vi:
5=6+m
5–6=m
m = 1
Ekvationen blir:
y = 3x  1
********************************
4) Bestäm ekvationen för en linje då man vet två punkter på linjen!
Ex: Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna (2, -4)
och
(7, 6).
Lösning: Börja med att räkna ut k-värdet!
Nu liknar problemet uppgift 3 här ovanför! Vi har nu k-värdet och använder
någon av punkterna för att få ett x- resp. y-värde, t ex (7, 6).
Vi använder y = kx + m!
Vi vet att k = 2, x = 7 och y = 6! Ersätt bokstäverna i formeln med siffervärden!
Då får vi: 6 = 2 · 7 + m
6 = 14 + m
6 - 14 = m
m=-8
Ekvationen blir: y = 2x - 8
OBS! Kom ihåg att parallella linjer alltid har samma k-värde!
T ex y = 4x + 3 och y = 4x - 7 är parallella, men skär y-axeln på olika ställen!
För linjer som är vinkelräta gäller k1 k2 1
Forts. räta linjer
Ekvationssystem
Ett ekvationssystem består av minst två räta linjer (kan vara fler, men i kurs 2 är det två linjer).
Då vi löser ett ekvationssystem söker vi skärningspunkten mellan linjerna, dvs den enda
punkten där de båda linjerna har samma x- resp. y-värde.
Ekvationssystem kan lösas - grafiskt
- algebraiskt
Grafisk lösning
Innebär att man studerar de två räta linjerna inritade i ett koordinatsystem!
 y  2x  1
Ex 1: 
 y  5x  7
Här är linjerna ritade i koordinatsystemet och lösningen finns i skärningspunkten mellan dem.
Svaret skrivs som en punkt: (2, 3) eller med en klammer om lösningen:
x2
y3
Ex 2: Lös ekvationssystemet grafiskt!
Här måste du själv rita in de båda linjerna i ett koordinatsystem och finna skärningspunkten
mellan dem! Om du är osäker på hur man ritar in linjer, så är det beskrivet i uppg. 1 här i häftet.
**************************
Algebraisk lösning
Innebär att man räknar ut det gemensamma x- och y-värdet utan hjälp av ett koordinatsystem.
Det går att göra på två olika sätt - substitutionsmetoden eller additionsmetoden.
Båda metoderna går ut på att skapa en ny ekvation som bara innehåller x eller y – en sådan
ekvation löser vi lätt!
1) Substitutionsmetoden (substituera betyder ersätta)
Vi ska ersätta x eller y i den ena ekvationen med det värde x eller y har i den andra
ekvationen!
Ex: Lös ekvationssystemet med substitutionsmetoden!
Vi har två uttryck för y, ett för varje linje. y är lika med både 3x – 1 och 2x – sätt likhetstecken
mellan dem! (Eftersom vi söker den gemensamma punkten för de båda linjerna, så har y samma
värde.) Det betyder att vi ersätter y i ena ekvationen med värdet av y i den andra ekvationen!
Vi får
Samla x-termer på en sida, siffror på andra sidan!
Halva lösningen klar! Sätt in x=1 i någon av
ekvationerna i ekvationssystemet!
x = 1 insatt i t ex den undre ekvationen blir
Lösningen klar!
y  2 1  2
Svar: (1, 2)
***************************
2) Additionsmetoden
Använder vi då vi har samma koefficient (=siffra) framför x-termen eller y-termen i de båda
ekvationerna, men med motsatt tecken!
Genom att addera ekvationerna ledvis försvinner x- eller y-termerna och vi får en ekvation som
går att lösa med avseende på x eller y!
Ex: Lös ekvationssystemet med additionsmetoden!
y-termerna har motsatt tecken och vi multiplicerar den övre
ekvationen med 2 för att få samma koefficient i båda ekv.
Addera nu ekvationerna med varandra – varje sorts termer för sig! Då får vi:
7 x  21
x3
Halva lösn. klar! Sätt in x = 3 i någon av ekvationerna i ekvationssystemet!
x = 3 insatt i t ex den övre ekvationen blir:
Lösningen klar!
Svar: (3, 2)
23 y 8
6 y 8
y  8 6
y=2