FÖ11 Kap 13.1-13.7 (Gravitation, planetrörelser)

Den geocentriska världsbilden
Planetens Mars position relativt
fixstjärnorna från 1/4 till 1/11 1985.
Ganska komplicerat!
Deferent
Innan Kopernikus gällde var den
geocentriska världsbilden gällande. För
att
förklara
de
komplicerade
planetbanorna antogs att planeterna
rörde sig runt mindre cirklar (Epicykler)
som i sin tur rörde sig längs banan runt
jorden (Deferent). Allt mer komplicerade
förklaringar presenterades. Det gällde att
" rädda fenomenen"
1
Keplers lagar
Johannes Kepler (1571-1630) utgick från den heliocentriska
världsbilden och analyserade under mer än 10 år data från
Tycho Brahe vilket resulterade i de tre "Keplerska Lagarna"
som i sin tur låg till grund för Newtons teoretiska arbete.
Apogeum
Keplers lagar:
1. Planeterna rör sig i elliptiska banor, med solen i
ena brännpunkten.
2. Lägesvektorn för en planet relativt solen sveper
över lika stor yta på samma tid.
Perigeum
r2  r1
Excentricitet e 
r2  r1
3. Kvadraten på omloppstiden är proportionell mot
kuben av medeldistansen till solen.
3
P2  krmed
2
Tolkning av Kepler 2
Kepler 2. Lägesvektorn för en planet relativt solen
sveper över lika stor yta på samma tid.
Svept yta A ytan av den gråa triangeln = (1/2) r rdq
dA/dt 
1 2 dq
1
r
 r 2θ Enligt Kepler-2 ska
denna vara konstant
2 dt
2
Nu är planetens rörelsemängdsmoment relativt solen:
L  r  mv  rrˆ  m(rrˆ  rqqˆ)  mr2q zˆ
d.v.s.
L  2m
dA
 konstant
dt
Kepler-2 ger alltså att rörelsmängdsmomentet
konserveras, vilket bevisar att kraften mellan planeten
och solen är central (dvs. verkar genom kropparnas
sammanbindningslinje).
3
Gravitationens avståndsberoende
Kepler-3 kan uttryckas som P2 = kr3 där P är planetens periodtid, r medelavstånd till solen
och k en konstant.
För specialfallet cirkelrörelse är det lätt att visa att gravitationens avståndsberoende kan
härledas ur detta.
Då centripetalaccelerationen för cirkelrörelse är aN = v2/r erhålles
F = m an=m v2/r
(Newton II)
Då farten v = 2pr/P erhålles:
F = 4p2 (mr/P2)
Använd Kepler-3: P2 = kr3 ->F = 4p2 (mr/ kr3) = k´(1/r2)
F  k´
1
r2
Gravitationskraftens avståndsberoende
4
Newtons lag om allmän gravitation
r̂
I vektorform:
GMm
F   2 rˆ
r
G = 6.6731011 Nm2kg 2
"Gravitationskraften är alltid attraktiv och är omvänt
proportionell mot kvadraten på avståndet mellan
kropparna"
5
Newtons lag om allmän gravitation
Newton kontrollerade sin lag med hjälp av data för månens bana.
Antag att vi vet avståndet till månen r, månens periodtid P samt jordradien R.
Centripetalaccelerationen amåne beror på jordens dragningskraft på månen ( F(r) ) vilket är den
kraft som håller månen I en cirkulär bana runt jorden. Vi kan säga att månen accelererar mot
jorden med en tyngdacceleration amåne som är mindre än gjord = 9.8 m/s2 pga det större
avståndet.
v 2  2pr  1 4p 2r
amåne  g (r )   
  2  2.72103 m / s 2
r  P  r
P
Gravitation vid jordensyta
g ( R)
9.8


 3600  (60)2
3
Jordensgravitation vid månen g (r ) 2.7210
2
R
F (r )
Jord
måne
Om Newtons lag om allmän gravitation gäller:
GMm
 mg( R)
g ( R) r 2
R2

 2  (60)2
GMm
g (r ) R
F (r )   2  mg(r )
r
F ( R)  
(Om det är OK att anta jordens massa är koncentrerad till en punkt i
centrum)
6
Newtons lag om allmän gravitation
Cavendish utrustning för att studera
gravitationen mellan kroppar på jorden.
Kräver god noggrannhet då krafterna är små
Exempel: 1
7
Gravitationens potentiella energi
Eftersom gravitationen är en centralkraft har vi ett konservativt kraftfält vilket innbär att
vi kan definera en potentiell energi Ep.
dEp
F 
dr
GMm
F  2
r
dEp GMm

 2
dr
r
E
r̂
p
r
GMm
dr
dEp  2 dr   dEp  GMm 2
r
0
r
r
GMm
 1
E p  GMm   
r
 r 
Vi väljer E p ()  0
Den totala energin för två kroppar med massa m, hastighet v respektive massa M,
hastighet V:
1
1
GMm
E  Ek  Ep  MV 2  mv2 
2
2
r
Om M >> m kan vi anse att massan M står still i ett inertialsystem så att första termen i
högerledet försvinner.
(Denna approximation är OK för Jord - Måne resp. Solen och planeterna)
Exempel: 2
8
Relation mellan energi och banrörelse
1
GMm
E  Ek  Ep  mv2 
2
r
Om vi antar att banan är cirkulär är kraften in mot centrum
FN = maN = mv2/r
Fn
Ersätt med FN med gravitationskraften (FN =GmM /r2)
G(mM/r2) = mv2/r
Multiplicera med r/2 erhålls:
GmM /2r =(1/2) mv2 = Ek
Följande uttryck för E erhålls:
GMm GMm
GMm
E


2r
r
2r
Slutsats: För en cirkelbana är totala energin E alltid < 0, förutsatt att vi valt Ep = 0
när partikeln är stillastående på oändligt avstånd.
Resultatet gäller även för elliptiska banor, dvs.
Bundna banor har alltid negativ totalenergi
9
Relation mellan energi och banrörelse, forts.
E<0
E>0
E=0
Ep  
GMm
Ep  
r
Himlakroppen bunden, rör sig i
elliptisk bana runt solen, kan ej
gå till oändligt avstånd. Banans
form (excentricitet ) beror på
rörelsemängdsmomentet.
L1> L2> L3
Samma E
GMm
r
Himlakroppen ej bunden,
dvs. har ändlig hastighet på
oändligt avstånd. Kommer
den nära solen blir dess bana
en hyperbel.
Avböjningsvinkeln beror av
rörelsemängdsmomentet.
Ep  
GMm
r
Himlakroppen ej bunden,
men banan blir en parabel.
L3
L2
L1
10
Flykthastighet
Genom att sätta totalenergin E = 0 erhåller vi den minsta hastighet ve som krävs för
att en kropp skall lämna jorden för gott. Observera att detta inte är den hastighet som
krävs för att sända upp en satellit, som ju befinner sig i en bunden bana.
1
GMm
E  0  mve2 
2
R
ve 
2GM
 1.12104 ms1  40.250 kmh1
R
Flykthastigheten beror alltså av jordens massa M, men ej av projektilens massa m.
Den energi som går åt för att accelerera en tung kropp till ve, är dock givetvis högre
än för en lätt kropp.
11
Satelliter
Antag att satelliten förts upp till höjden h över jordytan
och sen erhåller en injektionshastighet v0 enligt figuren.
Totalenergin E ges av:
1 2 GMm
E  mv0 
2
Rh
Om E < 0 kommer banan att vara en ellips med jordens
centrum i fokus. Om banan ej skär jordytan erhålls en
omloppsbana.
12
Varför ellipser och inte cirklar??
Teckna Ek för en planet/satellit i planpolära koordinater:
mv2 m 2 2 2 mr 2 mr2q2
Ek 
 (r  r q ) 

2
2
2
2
L  mr2q (Rörelsemängdsmomentet för centralkraft)
mr 2
L2
Ek 

2 2mr2
Vi har gravitationskraft, så Ep = GMm/r vilket ger totalenergi:
mr2
L2
GMm
E  Ek  Ep 


2 2mr2
r
Eftersom rörelsemängdsmomentet L är konstant
(centralkraft!) så är denna term endast beroende
på r, vilket innebär att det formellt kan betraktas
som potentiell energi.
Kallas centrifugalpotential.
13
Varför ellipser, forts.
mr2
L2
GMm
E  Ek  Ep 


2 2mr2
r
Ep,eff
L2
GMm


2
2mr
r
Hyperbel
rh
E2
rh
ellips
cirkel
r kommer att oscillera mellan r1 och r2, dvs. vi har en ellips
r1
r0
r2
E1
E3
Exempel: 4->
14