Den artificiella viskositetens roll i Smoothed Particle Hydrodynamics
Joakim Darelid
Examensarbete i Matematisk Fysik, Lunds Tekniska Högskola, Lunds Universitet
Utfört vid Universitat Politècnica de Catalunya, Spanien
Simuleringen av astrofysikaliska fenomen
såsom
supernovaexplosioner
och
sammanslagning av två kompakta objekt,
som till exempel dubbelstjärnor, är
utmanande problem ur beräkningssynpunkt.
Detta eftersom det vanligtvis krävs att man
använder tredimensionella hydrodynamiska
metoder för att numeriskt lösa dessa typer av
multiskalära problem. De flesta numeriska
metoder är komplexa och måste därför göra
grova fysikaliska uppskattningar för att inte
beräkningarna ska bli alltför krävande.
Dessutom blir randvärdena ofta ett problem i
sig när det gäller astrofysikaliska fenomen,
vilket vanligtvis innebär att man måste göra
ytterligare förenklingar.
På senare tid har dock snabbare och
billigare datorer gjort det möjligt, även för
mindre forskargrupper, att utföra ovan
nämnda beräkningar med realistiska resultat.
Naturligtvis är valet av numerisk metod
avgörande. En vanlig sådan är Smoothed
Particle Hydrodynamics (SPH), med vilken
man kan utföra approximativa simuleringar
av
tredimensionella
astrofysikaliska
fenomen, som de ovan nämnda.
SPH är en approximativ metod för att
lösa fluiddynamikekvationer, där vätskan
(eller gasen) ersätts av partiklar med
begränsad storlek. Istället för att använda ett
koordinatsystem
för
att
adressera
partiklarna, som många andra numeriska
metoder, så beräknas krafterna på vätskan
direkt utifrån partiklarnas position. Man kan
säga
att
partiklarna
själva
utgör
koordinatsystemet, som därför hela tiden
följer med partiklarna. På så sätt blir
beräkningarna
avsevärt
färre
och
simuleringen blir mindre tidskrävande.
Metoden har flera fördelar. Till exempel
så kan advektion simuleras på ett realistiskt
sätt eftersom olika ämnen beskrivs av olika
uppsättningar av partiklar. Dessutom så kan
upplösningen göras beroende av tid och rum,
vilket är särskilt angeläget när det gäller
astrofysikaliska
tillämpningar.
Den
viktigaste nackdelen med metoden i
jämförelse med andra, som till exempel
Riemann-lösarmetoder, är att precisionen
inte är lika hög. Detta är dock sällan något
problem i astrofysikaliska tillämpningar utan
snarare när mindre perturbationer ska
undersökas.
SPH utvecklades 1977 och har sedan
förbättrats och tillämpats på en mängd
astrofysikaliska problem, såsom stjärn- och
solsystemsformationer,
supernovaexplosioner och stellära kollisioner. Även i
andra fysikaliska sammanhang har SPH
kommit till användning, till exempel i
problem med elasticitet och brott, flytande
metaller samt konduktion.
I syftet att möjliggöra simuleringar som
inkluderar kraftiga kollisioner, introducerar
man i SPH en så kallad artificiell viskositet.
Denna viskositet har ingenting att göra med
vanlig viskositet – den fysikaliska
viskositeten är i själva verket försumbar i
astrofysikaliska sammanhang – men
konstrueras ändå vanligtvis analogt med
ordinär viskositet. Detta innebär bland annat
att när två partiklar närmar sig varandra
genererar den artificiella viskositeten en
repellerande kraft, och när partiklarna
avlägsnar sig varandra är kraften
attraherande. Därmed får man en
fjäderliknande kraft mellan elementen i
vätskan. Vanligtvis låter man dock denna
viskositet verka endast när det är fråga om
kraftiga kollisioner eftersom viskositeten
överför rörelseenergi till värmeenergi vilket
inte är önskvärt i områden där densiteten
avtar.
I rapporten har den allmänna kvaliteten
hos en SPH-kod undersökts. Den aktuella
koden används av astronomi- och
astrofysikgruppen vid UPC (Universitat
Politècnica de Catalunya) i Barcelona.
Dessutom har olika varianter för den
artificiella viskositeten undersökts speciellt
för att se hur resultatet varierar med dessa.
För att göra detta har de numeriska
resultaten jämförts med ett problem som har
exakt analytisk lösning (Sedovs problem)
som består i att man följer utvecklingen för
en explosionsvåg i en homogen gas. Genom
att jämföra med den analytiska lösningen så
får man ett mått på hur exakta de numeriska
resultaten är.
Simuleringen gjordes genom att ersätta
gasen med partiklar (160 000 st.) med jämn
densitet. Initialt gavs partiklarna kring origo
(cirka 300 st.) ett avsevärt högre tryck än
omgivningen, enligt en gaussfördelning, för
att generera en explosion. Därefter
beräknades vågens utbredning över tiden
bland annat i fråga om hastighet, densitet
och tryck, varpå jämförelser kunde göras
med den analytiska lösningen.
Enligt resultaten sammanfaller de
allmänna egenskaperna, såsom hastighet,
densitet och tryck, hos den simulerade vågen
nästan exakt med egenskaperna för den
analytiska lösningen. De olika artificiella
viskositeterna ger alla bra resultat men
något bättre är de varianter som utvecklats
på senare år. Till de senare hör bland annat
den artificiella viskositet som används av
astrofysikgruppen vid UPC. Den undersökta
SPH-koden bör alltså kunna utföra
realistiska simuleringar när den används i
olika
astrofysikaliska
tillämpningar,
samtidigt som den använda artificiella
viskositeten står sig väl i jämförelse med
andra varianter.
Den simulerade explosionsvågen (röd) i profil tillsammans med den analytiska lösningen
(grön) vid en godtycklig tidpunkt. De röda punkterna utgör gaspartiklarna och i diagrammet
ses partiklarnas hastighet som funktion av avståndet till explosionens centrum. Hastigheterna
är normaliserade med avseende på den högsta hastigheten vid vågens front och är därför
enhetslösa. Motsvarande gäller för avståndet. Notera att vågens form inte beror av tiden.
