Problem

Lektion K1. Delbarhet
Definition. Ett heltal m är (jämnt) delbart med ett heltal d0 om m/d är ett heltal. Vi säger
också att d är en delare till m och att m är en multipel till d. Vi skriver d|m.
Upp 0. a) Är ngt tal delbart med 0?
b) Visa att vilket 0 är delbart med vilket tal som helst.
Upp1. Hur många delare har talet a) 10 b) 11 c) 30?
Sats 2 a) om d|a och a|b så gäller också d|b.
b) om d|a och d|b så gäller d|(ab).
c) om d|m så gäller d|km för alla heltal k.
d) om d|a och d|b så gäller d|(ax+by) för alla heltal x,y.
Upp3. Visa att a) ett heltal som slutar på 0 är delbart med 2 och med 5
b) ett heltal som slutar på två nollor är delbart med 4 och med 25.
Problem 4. Finns det heltal x,y sådana att 16x+10z=99?
Sats 5. a) Endast heltal som slutar på ett jamn siffra är jämna.
b) Endast heltal som slutar på 0 eller på 5 är delbara med 5.
c) Ett heltal är delbart med 4  talets två slutsiffror utgör ett tal är delbart med 4.
d) Ett heltal är delbart med 25  talets två slutsiffror utgör ett tal är delbart med 25.
Problem 6. Visa att ett heltal som skrivs på formen ABCABC där A,B,C är siffror är delbart
med 7 och med 13.
Definition. Delarna 1, m kallas triviala delare till m. Om andra delare finns så kallas de äkta.
Vidare betraktar vi endast positiva delare. Ett tal som har äkta delare kallas ett sammansatt tal.
Ett heltal >1 som har inga äkta delare kallas ett primtal.
Upp7. Hur många primtal är mindre än 30?
Upp8. a) Skriv 1000000 som en produkt av primtal.
b) Skriv 1995 som en produkt av primtal.
Upp9. Visa att vilket som helst positivt heltal kan skrivas som en product av primtal.
Sats 10. Ett sammansatt tal a har en primtalsdelare p< a .
Poänguppgifter (Lämnas in senast den 29 januari).
1-1. Skriv 2008 som en produkt av primtal. Motivera varför är faktorerna primtal.
1-2. Kan man presentera ngt heltal som summan
a) av två sina olika äkta delare?
b) av tre sina olika äkta delare?
Den 22 januari, Metapontum, åk2 http://sasja.shap.homedns.org/Metapontum/2006/vt2/