u TENTAMEN I MATEMATIK, TEN 1 Skrivtid: 13:15-17:15 Kurskod 6A2113, Hjälpmedel: Inga hjälp medel Datum: 14 jan 04 Poängfördelning och betygsgränser: För betyg 3, 4, 5 krävs 18, 30 respektive 36 poäng. Examinator : Armin Halilovic Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället. Uppgift 1) ( 2 poäng) Bestäm absolutbeloppet | z | då z 3 4i 1 i . 1 i 5 12i Lösning: 5 2 5 | 3 4i | | 1 i | 0.38 | z |= = = | 1 i | | 5 12i | 2 13 13 Uppgift 2) ( 2 poäng) 1 i Beräkna . Svara på formen a bi . i 1 Lösning: 20 1 i 1 i i 1 2i 20 = = = i = 1 i 1 i 1 i 1 2 Uppgift 3) ( 2 poäng) Låt z1 x 2 1 3xi och z2 x 2 3 2i Bestäm alla x som satisfierar olikheten Re( z1 ) Im( 4z2 ) Lösning: Re( z1 ) Im( 4z2 ) x 2 1 8 x 2 9 3 x 3 Svar: 3 x 3 Uppgift 4) ( 2 poäng) Lös nedanstående matrisekvation ( d v s bestäm X) 20 20 20 AXA B 1 2 2 och B 1 0 1 Lösning: då A Ekvationen saknar lösning eftersom AXA är definierad endast om X är av typ 2 2. I detta fall är produkten AXA också av typ 2 2 och därför är AXA alltid skild från B ( B är av typ 2 1). Uppgift 5) ( 2 poäng) Ett plan går genom punkterna A=(1,2,3) och B=(3,4,10) och C =(2,2,1). Var god vänd! Bestäm planets ekvation. Svar: en normalvektor är (4,11,-2) Planets ekvation är -4 (x-1)+11 (y-2)-2 (z-3)0 Uppgift 6) ( 2 poäng) Bestäm skärningspunkten mellan planet x y z 1 och linjen som går genom punkterna A(1,1,1) och B(2,2,2) Svar: (1/3, 1/3,1/3) Uppgift 7) ( 2 poäng) Lös följande system x y 2z 2 x 2y z 3 2x 3y z 5 Svar: x=1, y=1,z=0 Uppgift 8) ( 2 poäng) Bestäm avståndet från punkten (0,1,1) till planet x y z 3 3 3 Uppgift 9) ( 5 poäng) x2 1 Lös olikheten 2 0 x 5x Svar: x 1 0 x 1 x 5 Uppgift 10 ) ( 5 poäng) Bestäm alla komplexa tal z som satisfierar ekvationen 10 z 4 160 0 Svara på formen a bi Svar: Fyra lösningar: 2 i 2 , 2 i 2 , 2 i 2 , 2 i 2 Svar: Uppgift 11 ) ( 5 poäng) Vi betraktar punkten A(2,2,1) och planet : x+y+z=2 a) Bestäm koordinater för punkten B som är den rätvinkliga projektionen av punkten A på planet b) Bestäm koordinater för punkten C som är den symmetriska punkten (spegelbilden) till A med avseende på planet . Svar: B(1,10) , C(0,0,-1) Uppgift 12 ) ( 5 poäng) Undersök för vilket (vilka) värde på den reella parametern a som följande ekvationssystem har oändligt många lösningar x 2 y 2z 1 x yz 3 . 2 x y az 4 Svar: a=3 Uppgift 13 ) ( 5 poäng) Lös följande ekvation med avseende på x 1 x x2 1 a a2 0 . 1 b b2 Svar: x1 a , x2 b Lycka till! Var god vänd!