Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur Miljö Samhälle
Examensarbete
10 poäng
Elevers kommunikation i grupp kring
matematiska begrepp
Pupils’ communication in group about mathematical concepts
Nina Alsenfelt Pamp
Janicke Hallkvist
Lärarexamen 140 poäng
Matematik och lärande
Höstterminen 2005
Handledare: Eva Davidsson
Examinator: Mats Areskoug
2
SAMMANFATTNING
Syftet med arbetet var att undersöka hur elever i skolår fyra interagerar och
kommunicerar under problemlösning kring en öppen fråga i grupp, genom att
uppmärksamma och göra en granskning av innehållet i kommunikationen. I arbetet
användes ostrukturerad observation som metod. Dessutom användes enkät för att ta del
av elevernas attityder till grupparbetet. Resultatet visade att 99 %, 637 av totalt 643
kommentarer, av kommunikationen handlade om själva uppgiften. Vidare visade
resultatet även på vilka sätt eleverna bidrog till att lösa problemet. Några generella
slutsatser gick inte att dra angående elevers kommunikation, eftersom underlaget inte var
tillräckligt omfattande. I stort sett hade samtliga elever en positiv attityd till uppgiften och
samarbetet i gruppen. Deras attityder till grupparbetet färgades troligtvis av vår
inställning och medverkan, som skapade positiva effekter.
Nyckelord: begreppsbildning, grupparbete, interaktion, kommunikation, matematik,
problemlösning, språk, öppna frågor
3
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
1 INLEDNING................................................................................................................... 7
2 SYFTE ........................................................................................................................... 10
3 FRÅGESTÄLLNINGAR .............................................................................................. 10
4 TEORETISK BAKGRUND .......................................................................................... 11
4.1 Språk och kommunikation .................................................................................... 11
4.2 Begreppsbildning .................................................................................................. 14
4.3 Problemlösning ..................................................................................................... 16
4.4 Arbete i grupp ....................................................................................................... 18
4.5 Lärarens roll vid grupparbete................................................................................ 20
4.6 Begreppsdefinitioner............................................................................................. 21
5 METOD ......................................................................................................................... 23
5.1 Urval ..................................................................................................................... 24
5.2 Datainsamlingsmetoder......................................................................................... 24
5.3 Procedur ................................................................................................................ 25
5.4 Validitet och reliabilitet ........................................................................................ 27
5.5 Databearbetning .................................................................................................... 28
6 RESULTAT ................................................................................................................... 30
6.1
Hur kommunicerar elever under ett grupparbete kring problemlösning i
matematik?......................................................................................................... 30
6.1.1 Vad talar eleverna om? ...................................................................................... 30
6.1.2 På vilka sätt bidrar eleverna till lösningen av problemet? ................................. 31
6.1.3 Hur använder eleverna de matematiska begreppen?.......................................... 37
6.2 Vilka attityder och uppfattningar har elever om grupparbete kring ett
matematiskt problem? ........................................................................................ 39
6.2.1 Anser eleverna att de lär sig någonting genom problemlösning i grupp och i så
fall vad?.............................................................................................................. 39
6.2.2 Vilka uppfattningar har eleverna om samarbetet i gruppen? ............................. 40
7 DISKUSSION OCH SLUTSATSER ............................................................................ 41
7.1 Sammanfattning och analys av resultaten............................................................. 41
7.2 Diskussion............................................................................................................. 45
8 AVSLUTNING .............................................................................................................. 48
9 KÄLLFÖRTECKNING ................................................................................................ 50
BILAGOR
4
5
6
1 INLEDNING
Idag finns en levande debatt i media och en utbredd internationell och nationell forskning
kring matematikdidaktiken i skolan. Löwing (2004) redogör i sin forskning att svensk
matematikundervisning sedan en tid tillbaka haft flera svagheter. Elever möter många
svårigheter kring matematiken i skolan och dessa måste förebyggas på ett tidigt stadium.
Författaren menar att lärarutbildare och fortbildare i framtiden måste satsa på den
elementära didaktiken som utgör grunden för exempelvis användandet av en korrekt och
lämplig terminologi och en meningsfull kommunikation i ämnet. Hagland (2005) riktar i
sin aktuella forskning, RIMA-projektet - Rika problem i matematikundervisningen, fokus
mot att utreda hur elever tänker om lektioner kring problemlösning, vilka tillfällen till
lärande som uppstår under sådana lektioner samt hur dessa tillfällen utnyttjas. I PISAs
internationella kunskapsmätningar (Skolverket 2001) kartläggs bland annat elevers
kunnande i matematik i 32 olika länder. I undersökningen framgår att Sverige tillhör de
länder där elever har sämst självuppfattning i samband med matematik, vilket är
alarmerande med tanke på det nära sambandet mellan elevers självuppfattning och
prestationer i ämnet. Totalt är det svenska resultatet på en medelnivå i jämförelse med
övriga OECD-länder när det gäller att lösa uppgifter i matematik. Elever skall i
uppgifterna i kunskapsmätningarna kunna matematisera och formulera problem för att
kunna lösa dem. Vidare analyseras deras språkliga förmåga i samband med matematiska
uppgifter och det visar tydligt hur språket och matematiken har en nära och oskiljaktig
förbindelse.
I de styrdokument som stadgar hur grundskolan skall utformas finns stöd för att rikta
fokus mot språk och kommunikation i samtliga skolämnen och även att arbeta med
grupparbeten, problemlösning och öppna uppgifter i undervisningen i matematik. Dessa
stadgar består av Läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och
fritidshemmet, Lpo 94, kursplaner i varje enskilt skolämne och skollagen. I Lpo 94
(Lärarförbundet 2001) fastställs att skolan skall sträva efter att vara en levande social
gemenskap där elever upplever lust att lära, känner trygghet och kan visa hänsyn och
7
respekt i samspel med andra. Elever skall få möjlighet att utforska, lära och arbeta såväl
på egen hand som tillsammans med andra samt befästa en vana att självständigt
formulera sina ståndpunkter. Ytterligare ett mål att sträva mot i Lpo 94 (Lärarförbundet
2001) är att elever ”lär sig lyssna, diskutera, argumentera och använda sina kunskaper
som redskap för att formulera och pröva antaganden och lösa problem, reflektera över
erfarenheter och kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden” (s 15). Vidare
säger kursplanen i matematik (Skolverket 2000) att ämnet syftar till att utveckla elevers
möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer.
Utifrån
styrdokumenten
och
aktuell
forskning
arbetar
PRIM-Gruppen
(http://www.lhs.se/prim/matematik/amnesprov_5.html) med att bland annat utveckla och
forma de nationella proven. Förutom individuella delar förekommer par- och
gruppuppgifter, med anledning av att elevers muntliga prestationer framhålls som viktiga
i läroplanen. Dessa gruppuppgifter ger lärare underlag när elevers kunskapsnivå skall
kartläggas. I de senaste proven har gruppuppgifterna varit gemensamma i matematik och
svenska, vilket är förenligt med vad kursplanen i matematik (Skolverket 2000) säger om
att elever skall ges möjligheter att kommunicera med matematikens språk och
uttrycksformer samt att ämnet har ett nära samband med andra skolämnen. Eftersom
matematik och språk är beroende av varandra i ett ömsesidigt samspel är samverkan
mellan de båda ämnena nödvändig enligt Skolverket (2003/2004). Det behövs både ett
matematiskt tänkande och en språklig förmåga för att lösa problem och kunna samarbeta
och interagera kring detta. Dessutom är det positivt att elever genom ämnesintegreringen
blir medvetna om att det är svårt att klassificera kunskap till ett specifikt skolämne.
Det centrala i gruppuppgiften i detta arbete är att elever i samspel med andra skall
använda sig av gruppens gemensamma kunskap för att lösa det öppna problemet, genom
samtal och användning av språket. Skolverket (2003/2004) påpekar att lärare vid
gruppuppgiften kan observera elevers förmåga att argumentera för sin lösning, tilltro till
det egna tänkandet och förmåga att behärska det matematiska språk som krävs. Utifrån
detta är frågeställningarna i arbetet formulerade.
8
Examensarbetet är i det följande utarbetat inom ramen av den avslutande kursen
Examensarbete. Det bygger på kunskaper och erfarenheter vi förvärvat under hela
utbildningen och som vikarierande lärare samt praktik på partnerskola i skolåren F-6
under lärarutbildningen. Vårt huvudämne är Matematik och lärande och i tidigare kurser
under lärarutbildningen har vi av såväl föreläsare och lärare som i litteratur mött en
positiv inställning till grupparbete, problemlösning och öppna frågor i matematikämnet.
Samtliga har förespråkat samarbete, interaktion och kommunikation i skolämnet
matematik. Vi förstår därigenom vilken väsentlig roll detta har för elevers lärande och
utveckling i samtliga ämnen i skolan. Utifrån utbildningen i vårt huvudämne, har vi fått
kunskap om hur betydelsefull den språkliga dimensionen är för matematiken. Detta har
inspirerat oss till att göra en fördjupning i ämnet och vårt problemområde innefattar
kommunikation och begreppsutveckling i matematik samt hur detta kan utvecklas genom
problemlösning kring öppna uppgifter i grupp.
I detta arbete uppmärksammas, identifieras och granskas förekomsten av det matematiska
innehållet i kommunikationen hos elever i skolår fyra. Eleverna interagerar i grupp kring
ett öppet matematiskt problem och kommunikationen sammanställs och klassificeras i en
metodisk analys. Förhoppningen är att i detta arbete få svar på frågeställningarna och få
en uppfattning om elevernas attityder till problemlösning kring öppna uppgifter i grupp.
Vi vill även se om vi kan upptäcka någonting som verkar utvecklande för deras
matematiska begreppsbildning. Därutöver får arbetet gärna väcka nya frågor och
funderingar. Målet med arbetet är att bygga vidare på tidigare forskning inom området
och att vi skall kunna använda oss av de nyförvärvade kunskaperna i vår framtida
yrkesroll.
9
2 SYFTE
Syftet med studien är att undersöka hur elever i skolår fyra kommunicerar kring en öppen
uppgift i grupp, genom att uppmärksamma och göra en granskning av innehållet i
kommunikationen. Under observation av ett grupparbete i matematik riktas därför fokus
mot hur elever agerar och vad de talar om. I detta arbete undersöks därutöver hur elever
uttrycker sina tankar under en gruppuppgift genom observation av hur de formulerar
dessa. Vidare är avsikten att få en uppfattning om elevers attityder och uppfattningar till
arbetssättet. Ett personligt syfte med examensarbetet är att utveckla och fördjupa våra
kunskaper om elevers kommunikation och interaktion vid lösning av öppna uppgifter i
grupp.
3 FRÅGESTÄLLNINGAR
I denna studie behandlas två huvudfrågor som är indelade i delfrågor:
1. Hur kommunicerar eleverna i undersökningen under ett grupparbete kring ett
öppet matematiskt problem?
•
Vad talar eleverna om?
•
På vilka sätt bidrar eleverna till lösningen av det öppna problemet?
•
Hur använder eleverna de matematiska begreppen?
2. Vilka attityder har eleverna i undersökningen till ett öppet problem i
matematik?
•
Anser eleverna att de lär sig någonting genom att lösa öppna uppgifter i grupp och
i så fall vad?
•
Vilka uppfattningar har eleverna om samarbetet i gruppen?
10
4 TEORETISK BAKGRUND
4.1 Språk och kommunikation
Wistedt (2001) skriver att begreppet kommunikation kommer från latinets communicare,
som innebär att skapa gemensam förståelse. Således innebär kommunikation att i samspel
med andra skapa och utbyta innebörder – att samtala. Kommunikation och interaktion
mellan människor kräver användning av tecken och koder, för att individer skall förstå
varandra. Dessa tecken är i form av gester, symboler, ord och uttryck genom språk och
koderna är i form av regelsystem och konventioner för hur tecknen och uttrycken skall
sättas samman. Författaren beskriver hur det för varje mänskligt samtalsområde gäller
särskilda tecken och kodsystem. Barn lär sig vilka kommunikativa regler som gäller för
olika sociala sammanhang långt innan de börjar skolan. Där möter de mänskliga
kulturyttringar som de oftast inte stött på tidigare, till exempel det matematiska språket.
Elever måste därför lära sig hur kommunikationen ter sig i nya kulturella sammanhang
när de kommer till skolan. Wistedt poängterar att elever ofta har svårigheter med att
överbrygga avståndet mellan sina vardagskunskaper och vardagsspråk och den kunskap
och det språk de möter inom skolans ämnesundervisning samt mellan praktisk erfarenhet
och teori. Elever måste själv, i samtal och interaktion med andra, skapa bryggor mellan
ny och redan förvärvad kunskap och då ta stöd i sina tidigare erfarenheter. Även Ahlberg
(1995) diskuterar begreppet kommunikation och påpekar att elevers tankar skall utgöra
grunden för undervisningen och att det då är viktigt att de får möjlighet att i samtalet
verbalisera tankarna. Det matematiska språket kan vara okänt för elever och då är det
lärarens ansvar att göra dem medvetna om matematiska begrepp och termer. Genom
kommunikation kan de få tillfälle att diskutera och reflektera kring begrepp, vilket leder
till en ökad förståelse och en grundläggande förankring av dessa.
Vygotskij (1934) menar att det sociokulturella sammanhang elever befinner sig i är av
avgörande betydelse för lärandet och den kognitiva utvecklingen. Säljö (2000) framhäver
att i det sociokulturella sammanhanget sker kommunikation genom språk mellan
11
människor och den är avgörande för individens utveckling på alla plan. Han utgår från
det sociokulturella perspektivet när han analyserar utveckling och lärande av kunskaper
och färdigheter. En av utgångspunkterna för det sociokulturella perspektivet på lärande
och mänskligt tänkande är hur individer och grupper tillägnar sig och utnyttjar kognitiva
resurser såsom språket. Begrepp och färdigheter är kommunikativa företeelser och byggs
således upp av interaktion mellan individer. Säljö poängterar att i alla processer där
lärande är involverat är kommunikation och interaktion avgörande för att en utveckling
skall ske.
Kronqvist och Malmer (1993) menar att det är avgörande att elever får möjlighet att
formulera sina tankar i ord genom det matematiska språket för att kunna utveckla
matematisk kunskap och för att kunna definiera olika begrepp. Dysthe (1995) stödjer
resonemanget och framhåller att pedagogen på ett medvetet sätt skall planera
undervisningen så att interaktion sker i ett socialt rum. Vidare är Dysthes huvudargument
för
det
dialogiska
klassrummet
att
språket
har
en
central
betydelse
för
inlärningsprocessen. Maher (1998) instämmer i resonemanget och menar att
klassrumskommunikation är ett effektivt instrument för att väcka elevers intresse för
arbete med matematik. För att kommunikationen skall vara framgångsrik krävs att alla
inbjuds i diskussionen och att elever lyssnar på andras idéer. Vygotskij (1934) ger
ytterligare tyngd åt språkets betydelse, när han framhåller att det är ett
kommunikationsmedel och bärare av den kunskap och de erfarenheter som
mänskligheten utvecklat. Målet är att elever skall se språket som ett redskap för tanke och
för att kunna uttrycka sig i ett livslångt lärande. Vygotskij betonar att den språkliga
utvecklingen sker i ett gemensamt samspel och en ömsesidig kommunikation med den
sociala omgivningen. Han menar att det finns en proximal utvecklingszon, som innebär
att elever på egen hand inte kan stärkas i sin kognitiva utveckling, utan behöver stöd och
hjälp från sin omgivning. Därigenom kan de uppnå ny och fördjupad kunskap. Inom
denna utvecklingszon betonar författaren att det är avgörande att låta elever samarbeta
aktivt med såväl andra elever som vuxna, eftersom det både stimulerar och stödjer deras
sociala och kognitiva utveckling samt de processer som ännu inte är förankrade hos dem.
12
Ett av skolans mål att sträva mot i undervisningen i matematik (Skolverket 2000) är att
elever ”utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra
slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt
tänkande” (s 26). Kronqvists och Malmers (1993) resonemang kring arbete med
problemlösning i grupp överensstämmer med innehållet i kursplanen. Författarna menar
att genom ett sådant arbete kan en meningsfull och relevant kontext skapas, på ett
naturligt och holistiskt sätt, där elever blir bemötta på sin individuella nivå. De får
möjlighet att reflektera, formulera sina tankar i ord och dra logiska resonemang och
slutsatser utifrån sina egna strategier tillsammans med andra strategier som synliggörs i
diskussion och interaktion. Författarna poängterar att språkets enormt stora roll för
utvecklandet av begrepp och föreställningar inom matematiken inte nog kan framhållas.
Vidare understryker Kronqvist och Malmer att det är nödvändigt för såväl
begreppsbildning som kommunikation med både det muntliga och skriftliga matematiska
innehållet.
Tanken är nära förbunden med språket. Således har språket en avgörande funktion för
begreppsbildningen. Vygotskij (1934) resonerar kring ordets betydelse som ett fenomen
som hör ihop med tänkandet. Språkets och ordets betydelse ändras och utvecklas och är
alltså inte statiska. Individers utveckling av såväl tanke som språk sker i interaktion med
andra och för att detta skall vara möjligt krävs ett flerstämmigt klassrum. Dysthe (1995)
förespråkar det flerstämmiga klassrummet där alla kommer till tals och framhåller att
språket och dialogen i klassrummet har en central betydelse för inlärningsprocessen.
Förståelse uppstår i samtalet mellan pedagog och elever samt mellan elever och elever.
Elever får i det flerstämmiga klassrummet pröva sina tankar och idéer och känna att de
blir lyssnade på i alla sammanhang. Pedagoger får dessutom möjlighet att ta del av
elevers förförståelse, vilket är avgörande för deras begreppsbildning och språkutveckling.
Pedagoger har då möjlighet att ta elevers verklighet som utgångspunkt i undervisningen. I
det flerstämmiga klassrummet får elever möjlighet att kunna sätta sig in i andra personers
perspektiv, vilket är en förutsättning för utveckling av den empatiska förmågan. Det
bidrar även till att utveckla ett tillåtande klassrumsklimat, där alla känner att de kan
13
komma till tals och möter tolerans och förståelse, vilket i sin tur främjar en god självbild
hos elever.
Lindö (2002) menar att skolan skall skapa en trygg miljö där elevers grundläggande
behov, såsom en god självbild, kan tillfredsställas och detta är intimt förknippat med en
positiv språkutveckling i alla skolämnen. I Lpo 94 (Lärarförbundet 2001) betonas att
skolan skall sträva efter att samtliga elever utvecklar tillit till sin egen förmåga. Med
andra ord är en av pedagogers viktigaste uppgifter att stärka och öka deras
självförtroende och självkänsla. För att elever skall kunna utveckla tillit till den egna
förmågan och en god självbild skall de få möjlighet att utveckla sin förmåga att
kommunicera och interagera med omgivningen. Pedagoger skall fungera som en
vägledande förebild och stödja och främja alla elevers språkliga utveckling. Deras språk
skall kunna användas som ett fritt tankeredskap och verktyg för kommunikation med
omgivningen. Vidare framhåller Myndigheten för skolutveckling (2003) att elever
kommunicerar för att skapa mening, förstå omvärlden och uttrycka sina tankar och
känslor. Meningsskapandet är en social process som sker i ett socialt rum i mötet med
andra människor. Lpo 94 (Lärarförbundet 2001) ger ytterligare underlag för sambandet
mellan språk, lärande, identitetsutveckling och tilltro till den egna förmågan och
framhåller att elever skall erbjudas rika möjligheter att samtala och kommunicera i
skolan.
4.2 Begreppsbildning
Kronqvist och Malmer (1993) definierar begreppsbildning som utveckling av
matematiska kunskaper. För att de matematiska begreppen skall förankras hos elever
skall de själva få undersöka, upptäcka och uppleva matematiken och därigenom bli
medvetna om de matematiska processerna. Lärare skall skapa inlärningstillfällen och
arrangera situationer där det blir naturligt och angeläget för elever att genom samtal och
kommunikation reflektera, formulera sina egna tankar i ord, ta del av andra strategier än
de egna samt dra logiska slutsatser. Malmer (2002) menar att begreppsutveckling i
14
matematik innebär att elever tillägnar sig de begrepp och ord som ingår i den
matematiska terminologin, såsom addition, subtraktion, multiplikation och division. I det
sammanhanget påpekar författaren hur avgörande det är att lärare själv frekvent använder
de ord och begrepp som är adekvata. För att det skall ske en god begreppsutveckling skall
elever vara språkmedvetna och erbjudas många tillfällen då de i grupp kan formulera sig,
interagera med andra och aktivt använda sitt matematiska språk. Vidare framhåller
Malmer vikten av att tala matematik genom samtal, diskussion och argumentation. Då
prövas hållfastheten i tänkandet och ett fördjupat lärande sker genom att andras
reaktioner och åsikter tvingar elever att förtydliga det egna ställningstagandet och därmed
utvecklas tänkandet och språket.
Riesbeck (2000) skriver att begreppsbildning hos elever utvecklas när det i klassrummet
sker ett möte mellan två olika språk, det vill säga två olika diskurser. Den ena kategorin
av språk är den vardagliga diskursen och den andra kategorin är den vetenskapliga eller
vetenskapsliknande diskursen. Det vardagliga språket är det språk elever naturligt
använder sig av i samspel med sin omgivning. I matematikundervisningen möter elever
det vetenskapliga språket i form av matematiska begrepp. För att kunna utveckla sitt
matematiska tänkande behöver de bygga upp en förståelse för de vetenskapliga
begreppen. Vygotskij (1934) behandlar i sina teorier elevers språkliga utveckling och
förhållandet mellan vardagliga och vetenskapliga begrepp. Han skriver att den vardagliga
språkanvändningen har sitt ursprung i talspråket och i ett pragmatiskt förhållningssätt där
elevers begreppsanvändning bygger på empirisk erfarenhet. Den vetenskapsliknande
språkanvändningen har sitt ursprung i en skriftspråkskultur och de vetenskapliga
begreppen är teoretiska. De vetenskapliga begreppens betydelse utvecklas hos elever när
de blir äldre och de är beroende av att de har utvecklat sitt vardagliga språk. Under
inlärningen och utvecklingen av vetenskapliga begrepp stödjer sig elever på redan
välkända begrepp, vilka de använder i sin vardag. Vygotskij betonar att för att de
vetenskapliga begreppen skall kunna utvecklas krävs även att elever utvecklar
abstraktion, logiskt minne samt jämförelse- och särskiljningsförmåga. Riesbeck (2000)
utvecklar resonemanget kring hur elever utvecklar och tillägnar sig förståelse för
matematiska begrepp. Författaren menar att för att elever skall utvecklas krävs att de
15
tillsammans med lärare och andra elever utreder och samtalar om innehållet i de
vetenskapliga och matematiska begreppen samt hur dessa skiljer sig från de begrepp som
används i en vardaglig diskurs. De nya matematiska begreppen kontextualiseras genom
det vardagliga samtalet och elever skolas efterhand in i ett veteskapligt tänkande och
talande.
4.3 Problemlösning och öppna uppgifter
Björkkvist (2001) definierar ett matematiskt problem som en matematisk uppgift för
vilken lösningsmetoden inledningsvis är oklar för elever. Det innebär att definitionen är
individrelaterad, det vill säga att den uppgift som är ett problem för en elev inte behöver
vara det för en annan elev. För att så många elever som möjligt skall uppleva en uppgift
som ett problem kan lärare använda sig av öppna uppgifter. Dessa uppgifter fastställer
inte hur elever skall lösa dem, utan erbjuder många möjligheter och tankegångar.
Användningen av öppna uppgifter är utvecklande för den matematiska kommunikationen
inom undervisningsgruppen, eftersom elever i samspel med andra synliggör sina egna
tankar och får ta del av andra strategier.
Kursplanen i matematik (Skolverket 2000) uttrycker en strävan om att elever skall förstå
och kunna lösa problem med hjälp av matematik. I förhållande till det ursprungliga
problemet skall elever även kunna tolka och värdera lösningen. Vidare betonar
kursplanen att problemlösning är ett medel för att nå matematiskt tänkande. Jaworski
(2000) ger ytterligare tyngd åt resonemanget när hon uttrycker att ett av de viktigaste
målen för all matematikundervisning är att utveckla elevers lust och förmåga att lösa
problem. Författaren menar att samtidigt som problemlösning är ett mål är det även ett
medel att stimulera elevers intresse och tänkande.
Lpo 94 (Lärarförbundet 2001) uttrycker att elever skall kunna förhålla sig till olika
alternativ vid bildandet av kunskap och inse konsekvenserna av dessa. Ahlberg (1991)
framhåller att hur ett problem ser ut och är uppbyggt är av betydelse för hur elever kan
16
lösa uppgiften. För att få ett gott samarbete vid problemlösning i grupp, menar författaren
att det krävs att uppgiften är formulerad på ett sätt som inbjuder till samarbete. Ju mer
öppet ett problem är, desto bättre kommunikation och samarbete kan ske i gruppen. Det
bör dock tilläggas att elever behöver inskolning och vana vid att lösa öppna problem, för
att arbetet skall fungera optimalt.
Genom
problemlösning
och
öppna
uppgifter
utvecklar
elever
tankar,
idéer,
självförtroende, analysförmåga och kreativitet. Dessutom lär de sig att planera, upptäcka
samband och skaffa sig beredskap för att klara situationer i livet (Emanuelsson 2000).
Björkqvist (2001) utvecklar resonemanget när han menar att problemlösning är ett sätt att
lära för framtiden, då individer förväntas kunna lösa problem inom många olika områden
med hjälp av skolkunskaperna. Emanuelsson (2000) framhåller att för att elever skall
kunna förstå och påverka omvärlden som fullvärdig medlem av det demokratiska
samhället behöver de kunna hantera den ökande användningen av problemlösning i
matematik. Björkqvist (2001) påpekar att problemlösning ofta är förknippat med
möjligheter till förnyade utmaningar i form av nya problem genom till exempel variation
och generalisering, vilka i sin tur leder vidare till fler frågeställningar. Problemlösning i
form av öppna uppgifter bör därför vara en ofta återkommande del av det matematiska
innehållet i undervisningen, när kommande generationer bygger upp sin egen
matematiska kunskap.
Fördelar med att kunna lösa problem beskriver Olsson (2000), som menar att
problemlösning kan vara ett medel för elever att vid arbete i grupp utveckla social
kompetens och sitt språk. Dessutom är problemlösning i grupp ett sätt att få elever att
kommunicera och reflektera genom att berätta om och argumentera för sina lösningar
samt lyssna till och tolka andras lösningar.
Lester (1996) skriver att förmågan att lösa problem och öppna uppgifter i matematik är en
process som utvecklas långsamt och under lång tid, vilket beror på att det krävs mycket
mer än endast direkta tillämpningar av matematiska operationer. Författaren menar att en
vanlig orsak till att elever har svårigheter med problemlösning är att de tolkar och
17
använder de matematiska begreppen på ett felaktigt sätt. Malmer (1984) betonar i
sammanhanget att när elever skall inskolas i problemlösningsprocesser, är det avgörande
att problemets omfattning när det gäller matematiska uträkningar begränsas. Problemet
skall till en början, enligt författaren, endast uppmana elever att kommunicera med
varandra och inte att utföra några räkneoperationer eller formella redovisningar.
För att elever skall utveckla sin förmåga att lösa problem krävs att de möter olika sorters
uppgifter vid återkommande tillfällen och att undervisningen utgår från elevers eget sätt
att lösa dessa (Emanuelsson 2000). När elever löser matematiska problem utvecklas deras
tankeprocesser, vilka krävs för en framgångsrik problemlösning. Polya (1990) utvecklar
resonemanget kring tankeprocessen när han beskriver den i fyra steg. Det första steget
innebär att elever måste förstå innehållet i problemet och i det andra steget gör de upp en
plan för hur det skall lösas. Vidare använder elever sin valda strategi i det tredje steget
och slutligen tittar de tillbaka på problemet samt reflekterar över lösningen i förhållande
till ursprungssituationen. Unenge (1988) beskriver olika strategier för hur elever kan lösa
ett problem. En vanlig lösningsstrategi är att utifrån sin erfarenhet gissa, vilket följs av
prövning och kontroll av denna. En annan strategi är att elever frågar någon som de tror
klarar av att lösa problemet. Ytterligare en strategi går ut på att de härleder problemet,
genom att de upptäcker likheter med ett annat känt problem eller fenomen.
4.4 Arbete i grupp
Riesbeck (2000) nämner att elever utvecklar kunskap när de samtalar och förklarar för
andra hur de tänker. Eftersom yngre elever ofta saknar språk för att klargöra vad de gör
och tänker, är det viktigt med arbete i grupp där de matematiska begreppen kan användas
i ett naturligt sammanhang och på så sätt förankras hos dem. Författaren betonar att den
önskvärda samtalsformen, det vill säga användandet av matematiska begrepp i rätt
sammanhang, förmodligen förverkligas först efter en tids inskolning. Arbete i grupp och
interaktion utvecklar dessutom, enligt Wahlström (1993), en ökad förståelse och
acceptans för olika åsikter och tankesätt. Elever tränar genom interaktion och samspel sin
18
förmåga att stå för sin egen åsikt, även om den inte delas av någon annan. Detta leder i
sin tur till en ökad tilltro till sig själv och sin förmåga.
Jaworski
(1998)
utvecklar
vikten
av
interaktion
och
grupparbete
i
matematikundervisningen. Hon menar att grupparbete är ett relevant medel för inlärning
av matematik, och interaktion i grupp främjar den individuella utvecklingen hos elever.
När de konverserar och interagerar med andra, leder samspelet till att de klarar av att ta
sig an ett problem, uttrycka det matematiskt, leta efter en lösning samt pröva om den är
hållbar i förhållande till ursprungsproblemet. Gruppens samspel inspirerar dessutom ofta
elever att överskrida det ursprungliga problemet för att undersöka vidare frågor och nya
problemställningar. Således växer elevers kunskaper genom interaktion. Vidare kan de
genom arbete i grupp utvecklas så att de på olika sätt klarar av att bidra till lösningar av
problem.
Ahlberg (1991) menar att hur många medlemmar som skall ingå i en grupp beror på
uppgiftens omfång. När en uppgift är tämligen omfattande menar hon att fyra elever är ett
lämpligt antal. Fler än fyra gruppmedlemmar kan ge sämre kvalitet på kommunikationen,
eftersom det då blir färre tillfällen för var och en att uttrycka sig. Det kan även uppstå
svårigheter för elever att lyssna och behålla koncentrationen. Dessutom ställs högre krav
på den sociala organisationen, vilken innebär vem som skall tala och när det skall ske.
Alfwedson (2002) utvecklar resonemanget och anser att det finns två faktorer som bör tas
hänsyn till vid val av gruppstorlek, nämligen kommunikation och resurser i form av
kunskap i gruppen. När gruppen är för stor uppstår kontakt- och kommunikationsproblem
genom att eleverna inte hör och ser varandra samt en risk att aktiviteten blir ojämnt
fördelad mellan medlemmarna i gruppen. Samtidigt kan alltför små grupper råka ut för
problemet att medlemmarna tillsammans inte har tillräckliga kunskaper och resurser för
att lösa uppgiften. Wahlström (1993) anser att en grupps kompetens är större än den
sammanlagda kapaciteten hos var och en av gruppmedlemmarna. Problem löses sällan av
en enda person utan genom tankeutbyte och diskussioner med andra.
19
Wahlström (1993) framhåller att gruppen skall vara heterogen, det vill säga hög- och
lågpresterande elever arbetar tillsammans. Författaren menar att den skall vara lika
oenhetlig som klassen i övrigt är. Såväl ledare som de som behöver ledas bör fördelas
jämnt i gruppen samtidigt som det i gruppen bör vara en jämn fördelning mellan könen.
Ahlberg (1991) anser att gruppens sammansättning skall ske utifrån såväl
inlärningsmässiga som sociala faktorer och den skall till en början vara heterogen. Så
småningom är det dock lämpligt att låta grupperna vara homogena eftersom
lågpresterande elever kan ha svårt att inta ledarrollen när de arbetar med högpresterande
elever. Samtidigt kan inte högpresterande elever i samma utsträckning bli tillräckligt
utmanade när de arbetar tillsammans med lågpresterande elever.
4.5 Lärarens roll vid grupparbete
Alfwedson (2002) skriver att lärares roll vid grupparbete skiljer sig åt i några avseenden
från rollen hon har vid traditionell undervisning, beroende på elevers erfarenhet och
kunskap av grupparbete. När elever är ovana vid att arbeta i grupp behöver lärare i större
utsträckning strukturera och styra verksamheten. Däremot är lärares roll vid de
grupparbeten där elever har en viss vana av arbete i grupp, av mer handledande karaktär.
Att som lärare finnas till hands för att vägleda och motivera vid grupparbete är viktigt,
menar Alfwedson. Ahlberg (1991) påpekar att för att samarbetet i gruppen skall kunna
fungera bör elever känna att läraren är intresserad av deras tankar och respekterar deras
synpunkter. Lärare skall vara ett stöd för sina elever, uppmuntra dem att lyssna på andra
och framför allt inspirera dem att våga framföra sina idéer och tankar. Pehkonen (2001)
menar att lärares inställningar och attityder till matematik påverkar elevers inställning
och attityder, vilket har en betydande roll vid arbete i grupp. Vidare framhåller han att
uppfattningar och lärande interagerar och påverkar varandra i ett ständigt samspel.
Enligt Malmer (2002) måste lärare som undervisar i matematik vara medvetna om
språkets och tänkandets betydelse för begreppsbildningen. Det handlar både om språket
som elever möter i uppgifter och språket läraren använder i undervisningen. Malmer
20
anser att elevers ordförråd betyder oerhört mycket, eftersom orden ger uttryck för den
kompetens de besitter. Genom att utnyttja naturliga och autentiska situationer där elever
kan bearbeta ett matematiskt innehåll, genom exempelvis gruppuppgifter eller
sällskapsspel, kan lärare få information om deras språkliga utgångsläge.
Riesbeck (2000) skriver att elever i ett självstyrt arbete i grupp inte klarar av att ta till sig
ett vetenskapligt matematiskt språkbruk och tänkande. Det är sällan gruppen på egen
hand reder ut och uppmärksammar innebördsskillnader mellan olika uttryck och begrepp.
Begreppsförståelsen som elever utvecklar vid ett självstyrt arbete är i första hand grundad
i ett vardagligt språk. Även när elever använder matematiska termer är innebörden
grundad i en vardaglig diskurs, menar Riesbeck, och påpekar att de inte inser begreppens
innebörd i en matematisk och vetenskaplig diskurs. Ett exempel på detta kan vara när
elever nämner begreppet triangel, men inom sig tänker på trekant. Lärares uppgift är i
sammanhanget att förstå vad de säger och handleda dem så att de kan tydliggöra och
fördjupa sina tankar. Lärare bör dessutom ingripa i diskussionen för att hjälpa dem att,
inte bara i sitt språk utan även i sitt tänkande, kunna gå från en vardaglig diskurs till en
matematisk och vetenskaplig diskurs. För att den vetenskapliga diskursen skall befästas
hos elever, förutsätts att deras lärare hjälper dem att kontextualisera denna.
4.6 Begreppsdefinitioner
Begreppsdefinitionerna är en utveckling av vad vi åsyftar när vi använder oss av olika
begrepp i detta examensarbete. Begreppsdefinitionerna är vår egen tolkning av begreppen
och stöd för tolkningen finns i den teoretiska bakgrunden.
Kommunikation avser i detta arbete främst den muntliga interaktion som sker mellan
elever. Detta finner vi stöd för hos Wistedt (2001) som uttrycker att kommunikation
innebär att i samspel med andra skapa och utbyta innebörder – att samtala.
21
Begreppsbildning betyder i detta arbete att elever får ökad och fördjupad förståelse för
väsentliga begrepp inom matematiken. Begreppsbildning innebär utveckling av
matematiska kunskaper (Kronqvist & Malmer 1993). När elever förankrar de
matematiska begreppen och kunskaperna blir de medvetna om de matematiska
processerna som begreppsutvecklingen i sin tur innebär.
Interaktion syftar på det samspel som sker inom gruppen. Samspelet innebär att elever
samtalar och förklarar för varandra (Riesbeck 2000). I begreppet interaktion innefattas
även att kommunicera med kroppsspråk genom gester, symboler och ansiktsuttryck,
vilket vi finner stöd för hos Wistedt (2001).
Problemlösning avser det arbete elever utför när de löser ett matematiskt problem. Hur
problemet skall lösas är till en början oklart (Björkqvist 2001) och de måste själv uppfatta
och förstå innehållet i problemet. För att så många elever som möjligt skall uppleva en
uppgift som ett problem kan lärare använda sig av öppna uppgifter. Vidare måste de finna
en strategi, lösa problemet, reflektera över lösningen samt pröva den i förhållande till
ursprungsproblemet (Riesbeck 2000).
Öppen uppgift innebär i detta arbete ett problem, vilket inte har ett givet och korrekt svar.
Björkqvist (2001) ger underlag åt definitionen när han menar att dessa problem inte
fastställer hur elever skall lösa dem, utan erbjuder möjlighet till många lösningar och
tankegångar. Problemet som skall lösas under grupparbetet i denna studie är av öppen
karaktär och omfattar kommunikation kring matematiska begrepp.
22
5 METOD
Syftet med studien var att undersöka hur elever i skolår fyra kommunicerade under
problemlösning kring en öppen uppgift i grupp, genom att uppmärksamma och göra en
granskning av innehållet i kommunikationen. För att kunna granska innehållet i
kommunikationen och få insyn i vad eleverna talade om under arbetet observerades dem
medan de genomförde uppgiften. Enligt Patel & Davidsson (2003) är observationer
framförallt användbara när information skall erhållas inom områden som berör beteenden
och skeenden i naturliga förhållanden samt inom laborativa situationer. En av fördelarna
med observation är att den är relativt oberoende av individers villighet att lämna
information. Den kräver mindre av de utvalda individerna än de flesta andra metoder i
form av aktivitet och samarbete. En nackdel med observation är att det är svårt att veta
om beteenden som observeras är representativa (Patel & Davidsson 2003) och dessutom
är det omöjligt att vara objektiv vid analys av det insamlade materialet (Ely 1993). I detta
arbete användes ostrukturerad observation för att samla in underlag till undersökningen.
En ostrukturerad observation har en låg grad av struktur, vilket innebär att den används
när det inte är givet vilka specifika situationer och beteenden som skall observeras (Patel
& Davidsson 2003). Den används således för att inhämta så mycket information som
möjligt kring ett visst problemområde. I detta arbete dokumenterades elevernas samspel
och diskussion kring ett matematiskt öppet problem, genom bandinspelning, för att på ett
enkelt sätt identifiera sådana aspekter i deras beteende som var relevanta för
undersökningen.
I denna studie användes förutom observation även enkät (bilaga 3) för att få svar på
frågeställningarna. Användandet av enkät ökar reliabiliteten för en undersökning enligt
Lundström (050809) genom att samma frågor ställs till samtliga deltagare och samma
förutsättningar ges till alla. Enkäten var anonym och bestod av varierande frågor, vilka
var formulerade för att ge en övergripande beskrivning av elevernas attityder. De flesta
frågor i enkäten var så kallade alternativfrågor, där eleverna fick välja ett eller flera
svarsalternativ på frågorna. I detta arbete fick eleverna i alternativfrågorna fyra
23
svarsmöjligheter, vilket bidrog till spetsning av frågorna samt att de i större utsträckning
tvingades att ta ställning än om det funnits ett udda antal alternativ (Bell 2000). Enligt
Lundström (050809) är enkätens fördelar att det på ett förhållandevis snabbt och enkelt
sätt går att samla in en större mängd data, det är lättare att dra slutsatser och generalisera,
genom anonymitet kan känsliga frågor bli besvarade samt korta och fasta svarsalternativ
accepteras. Nackdelar med enkäten kan å andra sidan vara att svaren är korta och ytliga,
det är svårt med uppföljning på grund av anonymiteten, svårigheter kan uppstå med att
tolka ärligheten hos de svarande och öppna frågors svar kan vara svårbearbetade.
5.1 Urval
För att få svar på frågeställningarna genomfördes empiriska undersökningar på våra båda
partnerskolor. Valet att genomföra undersökningen på partnerskolorna grundades på att
vi redan var bekanta med skolor och personal, dock kände vi inte eleverna sedan tidigare.
Skolorna var belägna på mindre orter med ett enligt lärarna förhållandevis bra
upptagningsområde, där elevernas socioekonomiska bakgrund var stabil. Lärarna ingick i
arbetslag, uppdelade efter varje skolår på ett horisontellt plan och undervisningen bedrevs
på ett traditionellt sätt. Uppgiften genomfördes med totalt fyra grupper med elever i
skolår fyra. Varje grupp bestod av fyra elever och i samtliga grupper ingick både pojkar
och flickor. Med lärarnas hjälp valde vi ut grupper som var heterogena när det hos
eleverna gällde personliga egenskaper, kön och kunskap. Valen grundades på Ahlbergs
(1991) teorier om att gruppen bör vara heterogen och att fyra elever är ett lämpligt antal
vid större gruppuppgifter.
5.2 Datainsamlingsmetoder
För att få svar på frågeställningarna kring elevernas kommunikation observerades denna.
Uppgiften var ett öppet matematiskt problem, som genomfördes i grupp. Medan gruppen
arbetade med uppgiften, spelades kommunikationen in på bandspelare och anteckningar
fördes. Vi hade tidigare frågat lärarna vilken erfarenhet eleverna hade av att arbeta på
24
detta sätt och det visade sig att de inte var särskilt vana vid arbetssättet. Därför valde vi
att delta i observationen, genom att handleda och stötta gruppen i form av en deltagande
observation (Bell 2000). Valet att delta i grupparbetet baserades på Alfwedsons (2002)
och Riesbecks (2000) hypoteser om elevers behov av lärares närvaro och vägledning vid
grupparbete. Deltagandet skedde sparsamt i form av frågor eller kommentarer vid behov,
men i så liten utsträckning som möjligt och endast då gruppen tystnade eller då det
verkade som om eleverna inte klarade av att utveckla och uttrycka sina tankar på egen
hand eller för att uppmärksamma dem på att lyssna och ta del av hur de andra i gruppen
tänkte. Vår roll var för övrigt opartisk och vi bidrog inte med någon information för att
lösa problemet. Jakobsson (2001) skriver att fördelen med att vara deltagande observatör
är att elevers strategier vid problemlösningen kan studeras samtidigt som den sker. En
nackdel med att delta i en observation kan dock vara att observatören stör gruppens
naturliga beteende och hämmar diskussionen. Bell (2000) definierar deltagande
observation som en kreativ och emotionell erfarenhet där den observerande lever sig in i
och förstår omgivningen, där iakttagande och lyssnande sammanvävs med betraktande
och frågande. Efter gruppuppgiften fick eleverna genom en enkät utvärdera sitt arbete,
hur samarbetet i gruppen hade fungerat och sin eventuella kunskapsutveckling. Enkäten
användes i denna undersökning för att få en övergripande beskrivning av elevernas
attityder.
5.3 Procedur
Arbetet inleddes i de två klasserna med en presentation av oss själva och anledningen till
att vi var där. Ett missiv skickades till målsman för eleverna (bilaga 1), i vilket vi åter
presenterade oss själva samt undersökningens metoder och syfte. I brevet kunde målsman
välja om eleverna skulle få delta i undersökningen samt möjlighet att kontakta oss för att
ställa frågor kring vårt arbete. Samtliga involverade fick även reda på att de när som helst
kunde avbryta sin medverkan. I brevet garanterades anonymitet av såväl skola som elever
och lärare. Brevet skulle undertecknas av målsman och skickas tillbaka till skolan.
25
Undersökningen genomfördes i ett mindre rum som var avskilt från klassrummet. Vi satt
tillsammans med gruppen kring ett bord och bandspelaren stod synlig mitt på bordet.
Gruppen informerades om att uppgiften gick ut på en observation av hur och vad de
tänkte och resonerade kring, när problemet löstes. Grupperna hade obegränsat med tid till
sitt förfogande för att utföra uppgiften. Eleverna fick lyssna på en del av inspelningen
efteråt.
Eleverna i undersökningen mötte ett problem i form av en öppen uppgift, som i första
hand gick ut på kommunikation och utveckling av den matematiska begreppsbildningen.
Enligt
författarna
i
den
teoretiska
bakgrunden
lägger
kommunikation
och
begreppsbildning grund för elevers fortsatta problemlösningsförmåga och utifrån detta
valdes ett problem som riktade fokus mot kommunikation och matematiska begrepp.
Valet av uppgift grundades även på Lesters (1996) och Malmers (1984) tankegångar
kring elevers utveckling av problemlösningsförmågan. Författarna framhåller att elever
till en början inte skall möta problem som innehåller krav på matematiska uträkningar.
Eftersom eleverna i undersökningen enligt lärarna hade begränsad vana vid att lösa
matematiska problem i grupp valdes ett sådant problem.
Uppgiften som eleverna genomförde i grupp var av öppen karaktär, det vill säga det fanns
inget givet korrekt svar. På bordet som eleverna satt runt, placerades fyra stora röda kort
på vilka det stod addition, subtraktion, multiplikation och division (bilaga 2). Vi gav en
beskrivning av vad uppgiften gick ut på och eleverna fick möjlighet att ställa frågor.
Därefter delades 20 små gula kort (bilaga 2) ut till gruppen så att samtliga fick fem kort
var med olika matematiska begrepp. Vissa begrepp var direkt kopplade till de fyra
räknesätten, medan andra inte hade någon uppenbar anknytning till något av dem.
Eleverna fick i uppgift att i turordning placera ett av sina små kort vid något av de större
korten, med de fyra räknesätten, samt motivera varför de valde den placeringen. Sedan
skulle de även motivera sitt val genom att berätta hur de hade tänkt. Övriga i gruppen fick
även möjlighet att förklara sina tankar och idéer kring begreppet. Det fanns utrymme för
flera olika sätt att tänka, eftersom inte något specifikt svar var rätt eller fel. Då eleverna
26
behövde hjälp med att placera kortet, resonerade gruppen tillsammans fram ett
gemensamt svar som samtliga var överens om.
Eleverna fick i samma lokal, efter gruppuppgiften, svara på frågor i en enkät (bilaga 3).
Dessa frågor berörde deras synsätt på matematik och gruppuppgiften. Frågorna handlade
även om deras insats i uppgiften och en eventuell kunskapsutveckling. Efter
observationen och elevenkäten sammanställdes data inför analysen. I resultatet redovisas
de enkätfrågor som är relevanta för undersökningen.
5.4 Validitet och reliabilitet
Bell (2000) framhåller att reliabilitet kan översättas med tillförlitlighet och i detta arbete
stärktes denna genom att undersökningen genomfördes av två personer och på två olika
skolor. Validitet som innebär giltighet är ett betydligt mer komplicerat begrepp (Bell
2000). Validitet är ett mått på om en viss fråga mäter eller beskriver det man vill att den
ska mäta eller beskriva. Att konkret mäta detta i en undersökning kan innebära
svårigheter (Bell 2000) och därför var det i sammanhanget avgörande att kritiskt granska
såväl frågeställningarna i studien som frågorna i enkäten.
Vid analys av insamlat material är det omöjligt att vara objektiv och helt fri från
förutfattade meningar (Ely 1993). Vi som författare till detta examensarbete insåg att det
fanns flera olika tolkningar av de företeelser som förekom i grupparbetena och att det var
viktigt att sträva efter att vara så objektiv som möjligt. Jakobsson (2001) påpekar att det
är avgörande att sträva efter att öka sin medvetenhet kring de egna erfarenheterna och
referensramarna, vilka i stor omfattning påverkar tolkningen. I analysen i detta arbete
togs, genom en strävan efter ökad medvetenhet, hänsyn till att tolkningen till viss del var
subjektiv. Denna medvetenhet skulle kunna bidra till en ökning av slutsatsernas giltighet.
27
5.5 Databearbetning
För att bearbeta materialet transkriberades bandinspelningarna från observationerna.
Texterna lästes flertalet gånger och anteckningar fördes vid dessa tillfällen. Under
läsningen försökte vi se mönster och teman i elevernas kommunikation. Intentionen
under analysen av materielen var att försöka förstå helheten av elevernas kommunikation
och interaktion. För att få en överblick av vad eleverna talade om under gruppuppgiften
delades deras kommunikation in i två huvudkategorier. Den första kategorin (A)
behandlar kommunikation som berör problemlösningsuppgiften. Denna kategori
innefattar inte bara kommunikation som innehåller matematik eller annan viktig
information för lösningen av problemet, utan även kommentarer som på annat sätt för
arbetet framåt. Det var av vikt att eleverna i denna kategori fokuserade på uppgiften. Den
andra kategorin (B) är kommunikation kring innehåll som inte på något sätt berör
problemlösningsuppgiften eller dess lösning.
Den första kategorin har vidare delats in i underrubriker, vilka behandlar hur eleverna på
olika sätt kommunicerade kring problemet. Samtliga kategorier handlar om att bidra till
lösningen av problemet. För att bilda dessa kategorier utgick vi från Unenges (1988)
antaganden kring elevers strategier för lösning av problem, vilka är gissa, fråga, och
härleda. Även Polyas (1990) beskrivning av hur elever i fyra steg löser ett problem utgör
underlag för kategorierna. De fyra stegen är att förstå innehållet i problemet, göra upp en
plan för hur det skall lösas, använda sin valda strategi och slutligen titta tillbaka på
problemet och reflektera över lösningen i förhållande till ursprungssituationen. Dessutom
beaktades Kronqvist och Malmers (1993) teser kring vilka egenskaper läraren bör se till
att elever utvecklar genom samtal och kommunikation. Dessa egenskaper är att kunna
reflektera, formulera sina egna tankar i ord, ta del av andra strategier än de egna och dra
logiska slutsatser. Genom dessa antaganden och genom mönster som framkommit under
analys av materialet utarbetades sju kategorier som behandlar hur eleverna på olika sätt
kommunicerade kring problemet.
28
Kategorier av elevernas kommunikation och hur de bidrar till att lösa problemet i detta
arbete:
1. Ger förslag till lösning av problemet och förklarar hur de har tänkt, även
härledning.
2. Ger förslag till lösning av problemet utan att förklara hur de har tänkt, även
gissning.
3. Stödjer eller instämmer i andra elevers uttalanden.
4. Tar avstånd från andra elevers uttalanden.
5. Söker information av andra eller inom sig själv, det vill säga tänker högt.
6. Bidrar med information och fakta som de tycker är relevant för uppgiften, även
ger svar då någon annan elev ställer en fråga.
7. Driver på andra sätt arbetet framåt.
Efter genomgången av det transkriberade materialet skapades kategorier för hur eleverna
använde de matematiska begreppen. För att analysera deras begreppsanvändning tolkades
Vygotskijs (1934) och Riesbecks (2000) resonemang kring elevers utveckling av
förståelsen för de vetenskapliga begreppen som en trappa med tre steg.
A. Eleverna använder vardagliga begrepp.
B. Eleverna använder vetenskapliga begrepp men stödjer sig på en vardaglig diskurs.
C. Eleverna har utvecklat en vetenskaplig diskurs.
29
6 RESULTAT
För att redovisa resultatet har materialet från enkäten och observationen sammanställs var
för sig och beskrivs under vardera frågeställningen. Syftet med arbetet var inte att göra en
jämförande studie mellan skolorna och därför lades materialet från samtliga grupper på
båda skolorna samman. Det underlag utifrån vilka resultaten har kategoriserats, finns
beskrivet under databearbetning. En del av elevernas uttalanden skulle kunna
klassificeras inom fler än en kategori, men uttalandet placerades där det hade sitt
huvudsakliga syfte. Detta tolkades utifrån sammanhanget och elevernas tidigare
kommentarer. Uttalanden anges i större sekvenser och det aktuella markeras med kursiv
stil.
6.1
Hur kommunicerar elever under ett grupparbete kring
problemlösning i matematik?
För att svara på frågeställningarna om hur eleverna kommunicerade under grupparbetet,
sammanställdes
observationerna.
Kommunikationen
klassificerades
under
olika
kategorier.
6.1.1 Vad talar eleverna om?
Totalt under samtliga gruppers kommunikation fälldes 643 kommentarer av eleverna.
Kommentarerna bestod oftast av en eller flera meningar och ibland av endast ett eller ett
fåtal ord.
Kategori A innehåller kommunikation som berörde problemlösningsuppgiften, det vill
säga kommentarer som innehöll matematik eller annan viktig information för lösningen
av problemet och kommentarer som förde arbetet framåt. Majoriteten av all
kommunikation under gruppuppgiften hamnade under denna kategori. Totalt var det 637
30
kommentarer som berörde uppgiften, vilket innebär att 99 % av elevernas kommentarer
handlade om innehållet och fortskridandet av arbetet.
Håkan:
Jag väljer avstånd och jag lägger den nog på addition för att om man
mäter ut ett avstånd så kan man plussa ihop det och få fram vad hela
avståndet blir.
Jens:
Fast det skulle man kunna lägga på subtraktion också för man kan ju
också dra ifrån avstånd om man vill veta hur långt något blir.
Katja:
Fast det är nog vanligare att man plussar ihop olika avstånd.
Jens:
Lägg den på addition som Håkan sade.
Gruppen:
Ja.
Edvard:
Är det redan jag? Liten! Där! (Subtraktion). För att om man tar 100
minus 99 så blir det litet.
Pelle:
Det kan vara multiplikation också om man tar en miljon gånger noll, det
är noll.
Kategori B omfattar elevernas kommunikation kring innehåll som inte på något sätt
berörde problemlösningsuppgiften eller dess lösning. En mycket liten del, endast sex
kommentarer, det vill säga 1 %, av den totala kommunikationen berörde innehåll som
inte kunde knytas till uppgiften på något sätt.
6.1.2 På vilka sätt bidrar eleverna till lösningen av problemet?
Nedanstående kategorier är underkategorier till kategori A om kommunikation som
berörde problemlösningsuppgiften och hur eleverna på olika sätt bidrog till lösningen.
Totalt fanns det i materialet 637 kommentarer som passade in under dessa sju kategorier.
För att få en översikt av innehållet i kommentarerna och kunna placera dem under rätt
underrubrik, krävdes upprepad läsning av dessa samt en analys av i vilken kontext de
fälldes. En del kommentarer var svåra att placera under rätt kategori på grund av att de
31
innehöll flera meningar, vilka i sig skulle kunna placeras under olika kategorier. Dessa
delades inte upp utan sågs i sitt sammanhang och därefter söktes en förståelse för vad
eleverna primärt hade försökt uttrycka. Under varje kategori ges exempel på uttalanden.
1. Ger förslag till lösning av problemet och förklarar hur de har tänkt, även
härledning
Elevernas kommentarer under denna kategori innehöll ett förslag på under vilket eller
vilka räknesätt de ville lägga deras eget eller någon annan elevs kort och en förklaring till
varför de ville lägga det där eller hur de tänkte. Totalt återfanns 104 kommentarer av
detta slag, vilket motsvarade 16 % av alla bidrag till lösningen.
Emma:
Jag börjar med kvoten och den tycker jag tillhör division för att svaret i
division är kvoten.
Observatör:
Instämmer ni andra?
Gruppen:
Ja.
Bella:
Alltså jag tycker där (multiplikation) för att när man räknar ut kvadrat
och sånt så brukar man för det mesta ställa upp det, kanske eh, I don’t
know?
Observatör:
Det finns inga rätt eller fel.
Linn:
Då lägger vi den där (under multiplikation).
Gruppen:
Ja.
Linn:
Mönster?
Jenny:
Oh, det vet jag var det ska ligga. Multiplikation, ja men tänk efter här nu.
Ni använder ju mönster, man tar asså tre mönster gånger fyra mönster det
är liksom tolv mönster.
Linn:
Ja, men då kan det lika bra vara något mönster minus något mönster.
Jenny:
Det kan vara alla.
Stefan:
Vi kan chansa på den.
32
2. Ger förslag till lösning av problemet utan att förklara hur de har tänkt, även
gissning
Elevernas uttalanden under denna kategori innehöll endast ett förslag på under vilket eller
vilka räknesätt de ville lägga deras eget eller någon annan elevs kort. Av denna typ av
kommentarer fanns totalt 93 stycken, vilket motsvarade 15 % av det totala antalet sätt att
bidra till lösningen.
Pelle:
Likhetstecken.
Isa:
Jaha. Okey, men det kan ju vara två likadana tal.
Pelle:
Typ subtraktion.
Isa:
Det kan vara den med (addition).
Pelle:
Ja, men jag tar den (subtraktion).
Anders:
Jag väljer liten och den ska vara på addition.
Emma:
Varför då?
Anders:
Vet inte.
Emma:
Hur tänkte du?
Anders:
Vet inte.
3. Stödjer eller instämmer i andra elevers uttalanden
Ett sätt att bidra till lösningen av ett problem kan vara att stödja andra elevers uttalanden.
Under analysen av det totala underlaget återfanns 123 sådana kommentarer, vilket
motsvarade 18 % av alla kommentarer som analyserades under denna frågeställning.
Anders:
Jag lägger stor på multiplikation för att det nog är det största talet man kan
räkna med, alltså det blir störst.
Emma:
Ja, det var ju smart tänkt.
Lina:
Ja det var det ju.
33
Jens:
Jag väljer summa. Jag lägger den på…var addition plus?
Håkan:
Ja, det är det.
Jens:
Okay, och subtraktion är minus?
Katja:
Ja, det är det väl.
Jens:
Jag lägger den på multiplikation, men jag vet inte riktigt varför. Summa är
något med att det är det talet det blir. Vilken vet jag inte.
Rosa:
Ja, jag skulle också vilja lägga den på multiplikation, för summan är ju
det som det blir.
4. Tar avstånd från andra elevers uttalanden
Då eleverna inte instämde i olika förklaringar och sätt att lösa problemet kunde de behöva
ta avstånd från andra elevers uttalanden. I undersökningen påträffades 32 utlåtanden där
eleverna på ett eller annat sätt tog avstånd från andras uttalanden. Detta motsvarade 5 %
av alla utlåtanden kring problemet.
Rosa:
Jag väljer faktor. Jag vet inte var jag ska lägga den. Vad är nu det där?
Katja:
Division, det är delat med.
Rosa:
Då lägger jag den där. Man får kanske faktor när man räknar.
Katja:
Jag tror att faktor har med något annat att göra, men jag vet inte vad.
Bella:
Jag tar den, faktor!
Stefan:
Vänta, faktor…
Jenny:
Att man faktar.
Stefan:
Faktor gånger faktor är produkt eller något sånt.
Linn:
Ja, det är väl på minus.
Jenny:
Gånger!
Linn:
Minus?
34
5. Söker information av andra eller inom sig själv, det vill säga tänker högt
För att klara av att lösa problemet var eleverna ibland tvungna att fråga någon annan i
gruppen om information kring begreppet. Det hände även att eleverna sökte information
inom sig själva, genom att tänka högt för att resonera sig fram till en lösning. I grupperna
fanns 71 yttranden av dessa två typer av informationssökande. Således handlade 11 % av
kommunikationen kring grupparbetet om att söka information.
Isa:
Differens!
Edvard:
Vad är det?
Anna:
Ja, du.
Isa:
Hallå, vet någon av er vad differens är?
Anna:
Ja, det är skillnad.
Edvard:
Det är minus då.
Sven:
Ehh, var ska man lägga cirkel? Jag vet inte.
Emma:
Man kan ju inte räkna ihop den, den har ju inga sidor.
Lina:
Fast man kan ta den på gånger. Noll gånger noll är noll och det är ju en
cirkel.
6. Bidrar med information och fakta som de tycker är relevant för uppgiften, även
ger svar då någon annan elev ställer en fråga
För att eleverna skulle kunna lösa problemet krävdes att de tillförde information om
begreppen så att de tillsammans i gruppen kunde komma överens om en lösning.
Informationen kunde uttryckas genom att de svarade på någon annans fråga eller som
information som de tyckte var viktig att klargöra för att kunna lösa problemet.
Informationen uttrycktes i dessa fall utan anknytning till hur problemet skulle lösas, det
vill säga utan att nämna varken en förklaring eller under vilket räknesätt kortet i fråga
skulle placeras. Uttalanden som bidrog med information visade sig vara 73 stycken,
vilket motsvarade 12 % av kommunikationen kring uppgiften.
35
Pelle:
Jag fattar inte, är division gånger eller så?
Observatör:
Det får ni diskutera.
Isa:
Mmm, då säger vi så, addition är …minus, multiplikation är gånger och
subtraktion är…
Pelle:
Minus!
Edvard:
Nu är det jag, källare?
Pelle:
Täljare!
Edvard:
Det är en sån som täljer.
Isa:
Man kan tälja med en kniv.
Pelle:
Då blir det minus.
Anna:
Ja, om man täljer så går det av bitar så blir det mindre och mindre.
7. Driver på olika sätt arbetet framåt
För att arbetet och kommunikationen skulle fungera på ett bra sätt krävdes av eleverna att
de fällde kommentarer som på olika sätt drev arbetet framåt. Ett sådant uttalande kunde
exempelvis vara att påminna en annan elev om att det var hennes tur. Ett annat uttalande
under denna kategori kunde vara att eleverna uttryckte att de inte visste var de ville lägga
sitt kort och på detta sätt försökte få hjälp av de andra gruppmedlemmarna. Denna
kategori innehöll även övrig kommunikation som berörde arbetet, men som inte hörde
hemma under de första sex kategorierna. Samtliga uttalanden i undersökningen skulle
kunna placeras under denna kategori, men då kommentarerna kunde klassificeras i någon
annan kategori gjordes detta. Det förekom i grupperna 141 uttalande som kunde
kategoriseras under denna underrubrik, vilket motsvarade 22 % av kommunikationen
kring problemet.
Linn:
Ja, då är det jag nu.
Jenny:
Ja, då är det Linn-Finn.
Linn:
Ja, då tar jag den, cirkel!
36
Katja:
Jag tar cirkel och den lägger jag på multiplikation.
Jens:
Varför lade du den där?
Katja:
Det finns inga tal i en cirkel och då…nej, jag vet inte.
Håkan:
Det är svåra kort med trianglar och sånt.
Katja:
Jag lägger bara den där.
6.1.3 Hur använder eleverna de matematiska begreppen?
För att få svar på hur eleverna använde de matematiska begreppen evaluerades främst de
kommentarer som innehåller matematiska begrepp och en förklaring eller ett resonemang
kring begreppet. Många begrepp fanns presenterade för eleverna i form av
begreppskorten och därför omfattar undersökningen även kommentarer som inte innehöll
något matematiskt begrepp. Dessa kommentarer innehöll dock information som avslöjade
för övriga gruppmedlemmar vilket begrepp eller kort eleverna syftade på utifrån
förklaringen. För att det skulle vara möjligt att förstå på vilket sätt de använde begreppet
och hur de tänkte kring det, kunde endast yttranden som innehöll tankar och förklaringar
kring begrepp användas. Totalt återfanns 118 kommentarer där eleverna använde begrepp
på dessa sätt, vilket nedan beskrivs som den totala begreppsanvändningen.
A. Eleverna använder vardagliga begrepp
Kommentarerna som grupperats under denna kategori innehöll begrepp som eleverna
förknippade med matematik, men som inte var vetenskapliga. Här klassificeras även
kommentarer som innehöll ett vetenskapligt begrepp på grund av att eleverna fått
begreppet presenterat för sig genom kortet eller av annan elev. Dock var det tydligt att de
inte hade någon förståelse för begreppet eller använde det på ett felaktigt sätt. Trots att
eleverna fick begreppen presenterade för sig hände det att de använde vardagliga begrepp
istället och även dessa yttranden ordnades under rubriken. I materialet återfanns 48
37
kommentarer som kunde grupperas under denna kategori, vilket motsvarade 41 % av den
totala begreppsanvändningen.
Jens:
Jag har kvadrat och jag vet inte var jag ska lägga den.
Håkan:
Du kan göra som mig, ta en bokstav.
Jens:
Jag vet inte vad det är.
Rosa:
Det är väl en fyrkant?
Jens:
Jag kommer inte ihåg om det är den långa fyrkanten eller den andra?
Håkan:
Det är den som är helt fyrkantig, alltså inte den långa.
B. Eleverna använder vetenskapliga begrepp men stödjer sig på en vardaglig
diskurs
Kommentarer som ordnats under denna kategori innehöll eller syftade på ett
vetenskapligt begrepp, men eleverna stöttade sig på en vardaglig diskurs. I grupperna
förekom även kommentarer där de använde vetenskapliga begrepp i ett korrekt vardagligt
sammanhang, men var något osäkra på innebörden. Eleverna i grupperna uttryckte sig på
dessa sätt vid 48 tillfällen, vilket motsvarade 41 % av den totala begreppsanvändningen.
Emma:
Omkrets och den lägger jag på addition, för man plussar…adderar ju
omkretsen, så att man får ett svar.
Observatör:
Är ni andra nöjda med förklaringen?
Gruppen:
Ja.
C. Eleverna har utvecklat en vetenskaplig diskurs
Kommentarer som grupperats under denna kategori innehöll eller syftade på ett
vetenskapligt begrepp, vilket uttrycktes i en vetenskaplig diskurs. Utifrån elevernas
kommentarer var det tydligt att de hade utvecklat en förståelse för begreppen och
använde sig av dem på ett naturligt sätt. I materialet från de fyra grupperna påträffades 22
kommentarer
som
kunde
ordnas
under
38
denna
kategori.
Av
den
totala
begreppsanvändningen uttrycktes således 18 % på ett korrekt sätt inom en vetenskaplig
diskurs.
Emma:
Jag börjar med kvoten och den tycker jag tillhör division, för att svaret i
division är kvoten.
Observatör:
Instämmer ni andra?
Gruppen:
Ja.
Sven:
Jag sätter produkt på multiplikation för det är ju faktor, faktor, produkt.
Observatör:
Någon annan tanke?
Gruppen:
Nej.
6.2
Vilka attityder och uppfattningar har elever om grupparbete kring ett
matematiskt problem?
För att svara på frågeställningarna om elevernas uppfattningar och attityder till uppgiften,
sammanställdes de 16 elevernas enkätsvar. Fokus riktades här mot de frågor i enkäten
som var relevanta för studien.
6.2.1 Anser eleverna att de lär sig någonting genom problemlösning i
grupp och i så fall vad?
13 elever svarade att de lärde sig något genom gruppuppgiften och tre elever svarade att
de inte lärde sig någonting. De elever som svarade jakande på frågan utvecklade svaret
och angav exempelvis att: ”Jag lärde mig att samarbeta bättre”, ”Hur andra tänker om
olika saker”, ”Vad Supstantiv, Multiplikatjon, adektiv och aditjon”, ”Jag tränade på olika
matteord”, ”Vad kvot är och annat” och ”Jag lärde mig fler saker och vad dom bettyde.
Och hur man kunde göra för att få de rätta svaret”. Av de elever som svarade nekande
uppgav en att ”Jag kunde redan orden ganska bra” och en annan ”För jag fick alla rät”.
39
6.2.2 Vilka uppfattningar har eleverna om samarbetet i gruppen?
Eleverna fick i enkäten uttrycka sig om hur de tyckte att samarbetet fungerade i gruppen.
Elva elever tyckte att samarbetet fungerade bra och fem elever tyckte att samarbetet
fungerade ganska bra. Eleverna som ställde sig positiva till samarbetet i gruppen angav
exempelvis: ”Vi arbetade mycket tillsammans och vi gjorde det bra”, ”Samarbetet
fungerade bra”, ”Att alla hör åftast med alla och så”, ”Vi hjälptes åt när det var svårt” och
”allt eftersom alla hjälptes åt att komma fram till det rätta svaret”.
40
7 DISKUSSION OCH SLUTSATSER
7.1 Sammanfattning och analys av resultaten
Vad talar elever om och på vilka sätt bidrar de till lösningen av problemet?
Totalt yttrade eleverna 643 kommentarer under de fyra grupparbetena. 99 % av
kommentarerna handlade om arbetet och 1 % berörde annat innehåll. De kommentarer
som berörde arbetet kategoriserades i olika grupper beroende på hur de bidrog till
lösningen av problemet, vilka visas i diagram 1 nedan. 16 % av kommentarerna innehöll
förslag till lösning av problemet samt en förklaring. 15 % av kommentarerna uttryckte ett
eller flera förslag till lösningen utan förklaring. 19 % av inläggen fälldes för att stödja
andras uttalanden och 5 % för att ta avstånd från dem. De elevyttranden som innehöll
frågor för att söka information inom sig själv eller av övriga gruppmedlemmar
motsvarade 11 %, medan 12 % av elevernas kommentarer uttryckte information och fakta
kring problemet. Slutligen var 22 % av kommentarerna bidrag till att på olika sätt driva
arbetet framåt.
På vilka sätt bidrar eleverna till lösningen av problemet?
1. Ger förslag till lösning av
problemet och förklarar hur de
har tänkt.
2. Ger förslag till lösning av
problemet utan att förklara hur
de har tänkt.
1: 16%
7: 23%
3. Stödjer andra elevers
uttalanden.
4. Tar avstånd från andra elevers
uttalanden.
2: 15%
6: 12%
5. Söker information av andra
eller sig själv.
5: 11%
6. Bidrar med information och
fakta..
3: 19%
4: 5%
7. Driver på olika sätt arbetet
framåt.
Diagram 1. Elevernas lösningsstrategier
41
Resultatet av hur eleverna bidrog till att lösa problemet stämmer överens med Jaworskis
(1998) resonemang om att elever i ett grupparbete på olika sätt tillsammans klarar av att
bidra till lösningar av problem. Kategori ett och två visar att eleverna hade förslag till
lösning, vilket kan jämföras med Polyas (1990) steg två för problemlösning då elever gör
upp en plan för hur problemet skall lösas. Det kan även jämföras med Unenges (1988)
teser om att elever gissar hur problemet skall lösas eller härleder till och finner likheter
med andra problem som de mött. Under arbetets gång fick eleverna i likhet med vad
Wahlström (1993) och Björkkvist (2001) menar träna sig i att stå för sina egna åsikter
och synliggöra sina egna tankar och strategier samt ta del av andras, genom att de stöttade
eller tog avstånd från övriga gruppmedlemmars uttalanden (kategori tre och fyra).
Kategori fem visar att eleverna sökte information för att förstå problemet, vilket Polya
beskriver som det första steget för att klara av att lösa ett problem. Även Unenge
beskriver denna strategi som ett sätt att lösa ett problem och i detta fall går den ut på att
elever frågar någon som de tror klarar av att lösa problemet. Att bidra med fakta (kategori
sex) är ett annat sätt att träna sig i att stå för sina åsikter, men kan även tolkas som att
eleverna använde sig av Polyas fjärde steg för att lösa problem, nämligen att reflektera
över lösningen i förhållande till ursprungssituationen. För kategori sju, som innehåller
kommentarer vilka på olika sätt driver arbetet framåt, finner vi inte något stöd i de teorier
vi fördjupat oss i. Detta är intressant, eftersom det i detta arbete visade sig vara denna
kategori som var den mest förekommande för att bidra till lösningen av problemet. Vi
anser att när eleverna på olika sätt drev arbetet framåt genom att till exempel
uppmärksamma övriga gruppmedlemmar på att återgå till problemet eller påminna om
turtagning, bidrog de i stor utsträckning till framåtskridandet av problemets lösning.
Hur använder eleverna de matematiska begreppen?
Totalt yttrade eleverna 118 kommentarer vilka innehöll eller syftade på matematiska
begrepp och en förklaring eller ett resonemang kring begreppet. Kommentarerna
kategoriserades efter hur långt eleverna hade kommit i sin begreppsutveckling, vilket
visas i diagram 2 nedan. 41 % av kommentarerna innehöll vardagliga begrepp.
42
Ytterligare 41 % av kommentarerna innehöll vetenskapliga begrepp som stöttade sig på
en vardaglig diskurs. 18 % av kommentarerna uttrycktes genom en vetenskaplig diskurs.
Hur använder eleverna de matematiska begreppen?
C.
18%
A. Eleverna använder vardagliga
begrepp
A.
41%
B. Eleverna använder
vetenskapliga begrepp men
stödjer sig på en vardaglig
diskurs
C. Eleverna har utvecklat en
vetenskaplig diskurs
B.
41%
Diagram 2. Elevernas användande av begreppen
I 41 % (A) av kommentarerna använde eleverna vardagliga begrepp trots att de hade fått
de vetenskapliga begreppen presenterade genom korten. Detta skulle kunna innebära att
undersökningens resultat överensstämmer med Riesbecks (2000) resonemang. Hon
menar att elever i ett självstyrt arbete i grupp inte klarar av att ta till sig ett vetenskapligt
matematiskt språkbruk och tänkande.
Resultatet att eleverna i sina kommentarer i stor utsträckning, 41 % (B), stödde sig på en
vardaglig diskurs kan tolkas enligt Wistedts (2001) antaganden. Dessa handlar om att
elever ofta har svårigheter med att överbrygga avståndet mellan sina vardagskunskaper
och sitt vardagsspråk och den kunskap och det språk de möter inom skolans
ämnesundervisning. Elever tar stöd i sina tidigare erfarenheter när de formar nya
kunskaper. Även Riesbeck (2000) skriver att elever under inlärningen och utvecklingen
av vetenskapliga begrepp stödjer sig på redan välkända begrepp, vilka de använder i sin
vardag. Begreppsförståelsen som elever utvecklar vid ett självstyrt arbete är i första hand
grundad i ett vardagligt språk. När eleverna i denna undersökning diskuterade kring
43
begreppen hände det vid flertalet tillfällen att de nämnde både den vardagliga och den
vetenskapliga benämningen på samma begrepp i samma mening. Även när elever
använder matematiska termer är innebörden oftast grundad i en vardaglig diskurs, menar
Riesbeck.
Trots Riesbecks (2000) resonemang om att elever under ett självstyrt arbete inte klarar av
att ta till sig ett vetenskapligt språkbruk visar resultatet i detta arbete att eleverna i 18 %
av sina kommentarer använde ett sådant språkbruk. Detta kan tolkas som att några av
eleverna redan hade en utvecklad vetenskaplig diskurs inom vissa områden, till exempel
en förståelse för begreppen som berör de fyra räknesätten. Vygotskij (1934) resonerar
kring ordets betydelse som ett fenomen som hör ihop med tänkandet. Språkets och ordets
betydelse ändras och utvecklas och är alltså inte statiska. Trots att resultatet i detta arbete
visar att några elever redan, till en viss del, hade utvecklat en vetenskaplig förståelse för
några begrepp betyder det inte, enligt Vygotskij, att utvecklingen av den vetenskapliga
diskursen är fulländad.
Riesbeck (2000) betonar att den önskvärda samtalsformen, det vill säga användandet av
matematiska begrepp i rätt sammanhang, förmodligen förverkligas först efter en tids
inskolning. Detta kan tolkas som att resultatet i denna undersökning hade blivit ett annat
om den genomförts fler gånger med samma elever. Ett förväntat resultat hade då varit att
fler kommentarer kunde ha klassificerats under kategori C.
Vilka attityder och uppfattningar har elever om grupparbete kring ett matematiskt
problem?
13 elever tyckte att gruppuppgiften var rolig och tre tyckte att den var ganska rolig. 12
elever tyckte att uppgiften var lätt och sex elever tyckte att den var ”medel”. 13 elever
tyckte att de hade lärt sig någonting efter de genomfört gruppuppgiften, medan tre elever
ansåg att de inte hade lärt sig någonting. Av de elever som tyckte att de hade lärt sig
någonting, tyckte en del att de hade utvecklat sin sociala förmåga, medan andra
44
uppfattade att de hade utvecklats matematiskt. Elva elever ansåg att samarbetet hade
fungerat bra och fem elever ansåg att det hade fungerat ganska bra.
7.2 Diskussion
Elevers begreppsanvändning och begreppsbildning genom kommunikation och arbete i
grupp i matematik är ett aktuellt ämne. Såväl forskning som nationella och internationella
studier påvisar att en ökad kommunikation i samtliga skolämnen är nödvändig i skolan. I
PISAs internationella kunskapsmätningar (Skolverket 2001) har elevers språkliga
förmåga i samband med matematiska uppgifter och dess betydelse för matematiken
belysts
och
understrukits.
Styrdokumenten
i
skolan
betonar
hur
avgörande
kommunikation och interaktion är för begreppsbildning och kunskapsutveckling i ämnet.
Dessutom framstår problemlösning enligt innehållet i den teoretiska bakgrunden i denna
undersökning, som ett betydelsefullt arbetssätt inom matematiken. Utifrån detta
utformades gruppuppgiften i arbetet och denna skulle kunna utgöra ett verktyg för att öka
och utveckla kommunikation och interaktion i ämnet matematik. Elevernas
förhållningssätt till gruppuppgiften visade att de varken var särskilt vana vid att arbeta
med matematiska problem i grupp eller med problem som är öppna.
I denna studie framkom att elever genom att interagera i grupparbete skulle kunna
utveckla flera olika sätt att hantera och angripa problem. Genom kommunikationen och
diskussioner som förekom under grupparbetet kring det öppna problemet, fick eleverna
möjlighet att ta del av nya strategier och tankeformer samt pröva hållfastheten i det egna
tänkandet. När eleverna i studien förtydligade och utvecklade det egna ställningstagandet,
kunde därmed samtliga gruppmedlemmars tänkande utvecklas och det fanns möjlighet till
ett fördjupat lärande.
Utifrån materialet kunde vi dra vissa slutsatser och se mönster bland elevgruppens
kommentarer, som sammanställdes i analysen. Det bör dock tilläggas att på grund av
ovanan vid att arbeta på detta sätt var elevernas kommentarer och diskussioner ofta
torftiga. Samtliga var visserligen delaktiga under hela arbetet, men det gavs varken
45
särskilt uttömmande svar eller förklaringar till hur tankegångarna gick. Angående
elevernas delaktighet, fick vi uppfattningen att kriterierna för detta skiljde sig åt när det
gällde vårt synsätt respektive elevernas. De ansåg sig vara delaktiga i samarbetet då de
var fysiskt närvarande, medan vi däremot menade att eleverna skulle tillföra något till
diskussionen. En viktig aspekt i resonemanget var att eleverna i uppgiften ”tvingades” att
vara delaktiga, genom att vi delade ut kort till samtliga i gruppen, som skulle placeras ut
och de skulle förklara hur de tänkte. Hade det varit frivilligt att välja kort och säga något,
antar vi att en del elever hade varit helt passiva. Vidare uppfattar vi att eleverna i enkäten
menade att de var delaktiga i arbetet, för att de pratade om ”sina” kort. Detta gällde även
vid de tillfällen de endast gjorde det som de blivit ålagda i uppgiften.
Det positiva resultatet gällande elevernas attityder till arbetssättet kan bero på att det för
dem var ett nytt och annorlunda inslag i matematikundervisningen. Dessutom kan vår
positiva inställning till uppgiften i hög grad ha inverkat på elevernas attityder, vilket vi
finner stöd för i Pehkonens (2001) resonemang. Att vi båda intervjuade två grupper
vardera påverkar därutöver resultatet och sänker sannolikt tillförlitligheten, eftersom vi,
även om vi ämnade gå till väga på samma sätt, säkerligen inte gjorde detta helt och hållet.
Det är dessutom ofrånkomligt att observatören gör en personlig tolkning utifrån egen
erfarenhet och tidigare kunskap (Jakobsson 2001).
Elevernas svar kring deras uppfattningar och attityder till grupparbetet och samarbetet i
enkäten finns det viss anledning att ställa sig frågande till. Det är svårt att få kännedom
om de svarade sanningsenligt eller om svaren är de som antogs vara de rätta. I
sammanhanget är det av vikt att även nämna att frågorna i enkäten var formulerade för att
ge en övergripande kartläggning av elevernas attityder till uppgiften. Detta medför att
undersökningen inte ger någon djupare beskrivning av elevernas attityder. De flesta
eleverna ansåg i enkäten att samarbetet fungerade bra och det tyckte även vi som
observatörer. Det bör dock nämnas att eleverna i förhållande till varandra inte tog lika
stort utrymme i interaktionen. Att eleverna tog mer eller mindre plats, kan eventuellt
sammankopplas med deras roller i klassen.
46
Vi är medvetna om att vi har ett för litet underlag för att kunna dra generella slutsatser.
Även om undersökningsgruppen inte är så omfattande, skulle dock urvalet kunna
representera en större grupp som en eventuell generalisering skulle kunna gälla. Detta
finner vi stöd för både i den teoretiska bakgrunden i arbetet samt den litteratur och de
teorier vi mött under utbildningen.
Genom erfarenheterna vi förvärvat under studiens genomförande och en fördjupning i
litteratur kring ämnet, kom vi fram till att arbetssättet kräver grundläggande och ständig
övning för att det skall bli konstruktivt och utvecklande för samtliga elever i gruppen. En
del av eleverna i undersökningen ansåg att de hade utvecklats matematiskt, vilket vi
ställde oss kritiska till. Vår kritiska inställning grundades på att elevernas kommunikation
visade att en del begrepp fortfarande inte hade befästs hos dem. Vidare insåg vi att det
inte var aktuellt att eleverna i undersökningen skulle kunna klara av att på ett konstruktivt
sätt utveckla matematiken, eftersom de var ovana vid arbetssättet. Gruppuppgifter kring
matematiska problem är så betydelsefulla för både matematik och språk, att de måste få
ett större utrymme inom lärarutbildningen, men framför allt i verksamheten på skolor. De
två ämnena är oskiljaktiga och interagerar i ett ständigt samspel, vilket genom detta
arbete framgått med stor tydlighet.
47
8 AVSLUTNING
Vi har genom detta arbete fått insikter om elevers sätt att resonera kring ett öppet
problem i grupp. Eleverna i undersökningen var inte vana vid arbetssättet och hade vissa
svårigheter att på ett önskvärt sätt förhålla sig till uppgiften. Vi inser att
problemlösningsförmåga och förmåga att förhålla sig till öppna uppgifter, är processer
som utvecklas under lång tid. Det skulle vara givande att följa några elevgrupper under
en längre tid, för att kunna undersöka hur deras vana vid arbetssättet skulle kunna
utvecklas och påverka resultatet.
Det skulle vara intressant att genomföra uppgiften i undersökningen igen, utan att berätta
för elevgruppen att det handlade om matematiska begrepp. Eventuellt kunde de tydligaste
och mest självklara matematiska begreppen tonas ned. Resultatet skulle med största
sannolikhet skilja sig från resultatet i detta arbete, där i stort sett alla kommentarer i
elevgrupperna hade anknytning till matematik. Det hade även varit intressant att studera
och jämföra hur olika gruppkonstellationer, såsom homogena och heterogena grupper när
det gäller såväl kunskap som delaktighet, inverkar på samarbetet och effektiviteten i
gruppen. Vidare skulle en enkät kunna kompletteras med efterföljande intervjuer, för att
få en djupare beskrivning av elevers attityder till problemlösning och öppna uppgifter i
grupp.
En föreskriven gruppuppgift i de nationella proven skulle kunna leda till att arbete i grupp
i matematik blev ett naturligt och kontinuerligt inslag i undervisningen. Vi anser att det är
underligt att inte gruppuppgiften är obligatorisk i de nationella proven, eftersom
styrdokumenten med tydlighet betonar betydelsen av att elever lär sig lyssna,
argumentera och nyttja sina kunskaper att lösa problem tillsammans med andra. Vi inser
dock att det innebär svårigheter att genomföra dessa uppgifter, eftersom de tar mycket tid
och resurser i anspråk. För att elevers insatser i en gruppuppgift skall kunna värderas,
krävs att samma lärare observerar samtliga elevgrupper. Då kan en rättvis bedömning
genomföras och när eleverna löser uppgiften bör resten av klassen undervisas av en
48
annan lärare, vilket inte alltid är genomförbart. Hade elever i skolan varit vana vid
kontinuerligt arbete i grupp, hade chansen antagligen ökat att gruppuppgiften genomförts
i de nationella proven, eftersom det då, både bland elever och bland lärare, hade funnits
en vana vid arbetssättet. Vi vill framhålla vikten av mer utrymme i undervisningen för
elevaktiva arbetssätt som grupparbete kring öppna matematiska problem innebär.
Elever behöver förutom tillfällen att tala matematik med varandra, hjälp av en vuxen som
försöker förstå vad de säger och som kan hjälpa dem att tydliggöra och utveckla deras
tankar. Vi anser att lärare skall skapa situationer och välja eller utveckla intressanta
problem, som framkallar relevanta elevaktiviteter och interaktion mellan elever. Lärarens
roll har förändrats över tid från att ha varit styrande till att numera vara vägledande, där
en av de viktigaste uppgifterna är att organisera elevernas aktiva lärande. Det gäller att
inspirera elever utan att dominera, att ställa frågor och samtidigt vara återhållsam med
svar, att anvisa väg, men att låta dem gå själv. När lärare är alltför aktiva kan elever
passiviseras. Det är avgörande att finna en balans där samtliga involverade tillåts att
utvecklas och blomma. Genom studien anser vi att vi har fått en fördjupad förståelse för
lärares vägledande roll vid gruppuppgifter.
Vi känner oss nöjda med utvecklingen av vårt examensarbete och med hänsyn till
begränsande faktorer fick vi så bra svar som var möjligt på våra frågeställningar. Det har
gett oss en tydligare insikt i hur problemlösning, kring en öppen uppgift, i grupp i
matematik kan genomföras och vad som krävs av både lärare och elever för att arbetet
skall bli tillfredsställande. Examensarbetet har upplevts relevant för vår kommande
yrkesroll och ger en god grund för ett livslångt lärande inom området.
49
9 KÄLLFÖRTECKNING
Litteratur
Ahlberg, Ann (1995). Barn och matematik problemlösning på lågstadiet. Lund:
Studentlitteratur.
Ahlberg, Ann (1991). Att lösa problem i grupp. I Göran Emanuelsson, Bengt Johansson
& Ronnie Ryding. Problemlösning (s 85 – 99). Lund: Studentlitteratur.
Alfwedson, Gerd & Gerhard (2002). Arbete i lag och grupp. Stockholm: Liber AB.
Bell, Judith (2000). Introduktion till forskningsmetodik. Lund: Studentlitteratur
Björkqvist, Ole (2001). Matematisk problemlösning. I Barbro Grevholm (red.),
Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv (s 115 - 132). Lund: Studentlitteratur
Dysthe, Olga (1996). Det flerstämmiga klassrummet. Lund: Studentlitteratur.
Ely, Margot m fl. (1993). Kvalitativ forskningsmetodik i praktiken – cirklar inom cirklar.
Lund: Studentlitteratur
Emanuelsson, Göran, Wallby, Karin, Johansson, Bengt & Ryding, Ronny (red.) (2000).
Nämnaren Tema. Matematik från början. Göteborg: NCM Nämnaren Göteborgs
Universitet.
Hagland, Kerstin, Hedrén, Rolf, Taflin Eva (2005). Rika matematiska problem :
inspiration till variation. Stockholm: Liber
50
Jakobsson, Anders (2001). Elevers interaktiva lärande vid problemlösning i grupp.
Malmö: Institutionen för pedagogik. Lärarhögskolan i Malmö.
Jaworski, Barbara (2000) Kan alla elever vara matematiker? I Göran Emanuelsson, Karin
Wallby, Bengt Johansson & Ronnie Ryding (Red.), Nämnaren Tema. Matematik – ett
kommunikationsämne (s 92 – 100). Göteborg: Nationellt Centrum för
matematikutbildning, NCM.
Jaworski, Barbara (1998). Att undervisa i matematik: ett socialkonstruktivistiskt
perspektiv. I Arne Engström (red.), Matematik och reflektion (s 97 - 123). Lund:
Studentlitteratur.
Johnsen Høines, Marit (2000). Matematik som språk - verksamhetsteoretiska perspektiv.
Malmö: Liber AB.
Kronqvist, Karl-Åke & Malmer, Gudrun (1993). Räkna med barn. Solna: Ekelunds
Förlag AB.
Lester, Frank K. (1996). Problemlösningens natur. I Göran Emanuelsson, Karin Wallby,
Bengt Johansson & Ronnie Ryding (Red.), Nämnaren Tema. Matematik – ett
kommunikationsämne (s 85 - 91). Göteborg: Nationellt Centrum för
matematikutbildning, NCM.
Lindö, Rigmor (2002). Det gränslösa språkrummet om barns tal- och skriftspråk i
didaktiskt perspektiv. Lund: Studentlitteratur.
Lärarförbundet (2002). Lärarens handbok Skollag Läroplaner Yrkesetiska principer.
Stockholm: Lärarförbundet.
Löwing, Madeleina (2004). Läraren och matematikundervisningen. I Karin Wallby
(Red.), Nämnaren tidskrift för matematikundervisning, 3, 6-11.
51
Maher, Carolyn A. (1998). Kommunikation och konstruktivistisk undervisning. I Arne
Engström (Red.), Matematik och reflektion (s 124 – 143). Lund: Studentlitteratur.
Malmer, Gudrun (2002). Bra matematik för alla. Nödvändig för elever med
inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur.
Malmer, Gudrun (1984). Matematik – ett ämne att räkna med. Skövde: Esselte Studium.
Myndigheten för skolutveckling (2003). Att läsa och skriva. Stockholm: Myndigheten för
skolutveckling.
Olsson, Ingrid (2000). Att skapa möjligheter att förstå. I Karin Wallby, Göran
Emanuelsson, Bengt Johansson, Ronnie Ryding & Anders Wallby (Red.), Nämnaren
Tema. Matematik från början. Göteborg: Nationellt Centrum för matematikutbildning,
NCM.
Patel, Runa & Davidsson, Bo (2003). Forskningsmetodikens grunder Att planera,
genomföra och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur.
Pòlya, George (1990). How to solve it: a new aspect of mathematical method.
Harmondsworth : Penguin Books.
Riesbeck, Eva (2000). Interaktion och problemlösning. Att kommunicera om och med
matematik. Linköping: Linköpings Universitet LiU- PEK-R-221.
Skolverket (2003/2004). Ämnesprov i Engelska, Matematik och Svenska för skolår 5.
Stockholm: Liber.
Skolverket (2001). PISA 2000 Rapport 209. Stockholm: Skolverket och Liber
Distribution.
52
Skolverket (2000). Grundskolans kursplaner och betygskriterier. Stockholm: Skolverket
och Fritzes.
Sterner, Görel & Lundberg, Ingvar (2002). Läs- och skrivsvårigheter och lärande i
matematik. Göteborg: Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM.
Säljö, Roger (2000). Lärande i praktiken ett sociokulturellt perspektiv. Stockholm:
Bokförlaget Prisma
Unenge, Jan (1988). Matematikdidaktik för grundskolan. Lund: Studentlitteratur.
Vygotskij, Lev S. (1934). Tänkande och språk. Göteborg: Bokförlaget Daidalos AB.
Wahlström, Gunilla O. (1993). Gruppen som grogrund. Stockholm: Liber AB.
Wistedt, Inger (2001). Rum för samtal - om dialogen som en möjlighet att demokratisera
undervisningen. I Barbro Grevholm (Red.), Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv
(s 219 – 229). Lund: Studentlitteratur.
Webreferens
PRIM-Gruppen (2004). Forskningsgruppen för bedömning av kunskap och kompetens.
[www document]. URL http://www.lhs.se/prim/matematik/amnesprov_5.html (200511-28).
Föreläsningar
Mats Lundström (050809). Workshop – enkäter. Malmö: Malmö Högskola,
Lärarutbildningen.
53
Bilaga 1
Till vårdnadshavare för elever i skolår 4
Vi heter Nina Alsenfelt och Janicke Hallkvist och vi läser sista terminen på
lärarutbildningen. Under hösten skriver vi vårt examensarbete inom matematik. Syftet
med arbetet är att undersöka hur elever i skolår fyra interagerar och kommunicerar under
ett arbete med problemlösning i grupp. Vi planerar att genomföra flera grupparbeten,
under vilka eleverna blir observerade och inspelade på band för att ta reda på vad de talar
om. Observationen kommer att efterföljas av en enkät där elevernas attityder till
grupparbetet undersöks. I det färdiga examensarbetet kommer samtliga elever, lärare och
skolan att presenteras anonymt. Målsman eller elev kan när som helst avbyta elevens
deltagande i undersökningen.
Vänligen fyll i lappen nedan och lämna till klassläraren.
Om ni har frågor är ni välkomna att ringa oss.
Nina: xxxx-xxxxxx
Janicke: xxxx-xxxxxx
Med vänlig hälsning Nina Alsenfelt och Janicke Hallkvist.
________________________________________________________________________
Mitt barn får vara med i undersökningen
Ja
Nej
Elevens namn: ______________________________
Målsmans underskrift: ________________________________
54
Bilaga 2a
Korten i gruppuppgiften
addition
subtraktion
multiplikation
division
term
summa
differens
produkt
faktor
täljare
nämnare
kvot
55
Bilaga 2b
likhetstecken
läsuppgift
stor
liten
rektangel
kvadrat
triangel
cirkel
avstånd
omkrets
mönster
10-kompisar
56
Bilaga 3a
Elevenkät
Namn:_______________________________
Pojke
Flicka
Varför lär du dig matematik?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Vad tycker du om matematik?
Roligt
Ganska roligt Mindre roligt Inte roligt
Hur är du i matematik?
Bra
Ganska bra
Mindre bra
Inte bra
Hur tycker du att det är att arbeta i matteboken?
Roligt
Ganska roligt Mindre roligt Inte roligt
Arbetar ni någon gång utan matteboken på mattelektionerna?
Ofta
Ibland
57
Sällan
Aldrig
Bilaga 3b
Kan man lära sig matte utan att arbeta i matteboken?
Ja
Nej
Om du svarade ja, på vilket sätt kan man lära sig matte utan att arbeta i
matteboken?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Vad tyckte du om gruppuppgiften?
Rolig
Ganska rolig Mindre rolig Inte rolig
Var gruppuppgiften lätt eller svår?
Lätt
Svår
Lärde du dig någonting?
Ja
Nej
Om du svarade ja, vad lärde du dig?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
58
Bilaga 3c
Om du svarade nej, varför lärde du inte dig någonting?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Hur fungerade samarbetet i din grupp?
Bra
Ganska bra
Mindre bra
Inte bra
Vad fungerade bra?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Vad fungerade dåligt?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Tack för hjälpen!
59
