Om de trigonometriska funktionerna

Analys 360
En webbaserad analyskurs
Grundbok
Om de trigonometriska
funktionerna
Anders Källén
MatematikCentrum
LTH
[email protected]
Om de trigonometriska funktionerna
1 (12)
Introduktion
I det här kapitlet ska vi diskutera de trigonometriska funktionerna. Vi ska definiera dem,
härleda deras derivator och inverser, samt härleda några av de viktigaste sambanden
mellan dem.
Vi definierar sinus och cosinus som en parametrisering av enhetscirkeln, och börjar därför
med att kort diskutera vad som menas med en parametrisering av en plan kurva, som
inte nödvändigtvis är en funktionsgraf. Vi för sedan diskussionen huvudsakligen geometriskt och motiverar t.ex. derivatorna av sinus och cosinus geometriskt från enhetscirkelns
egenskap att dess tangent i en punkt är vinkelrät mot dess radie.
Därefter diskuterar vi de inversa trigonometriska funktionerna på samma sätt som vi
diskuterat inverser i tidigare kapitel, vilket inkluderar härledningen av dessas derivator.
Slutligen härleds och diskuteras några av de viktigaste formlerna för de trigonometriska
funktionerna.
Om plana kurvor och parametrisering av sådana
Låt x(t) och y(t) vara två deriverbara funktioner av en variabel t. Funktionen
c(t) = (x(t), y(t))
avbildar då ett reellt tal på ett talpar, och sägs då vara en vektorvärd funktion. Om vi
ritar ut punkterna c(t) i ett koordinatsystem i ett plan får vi en kurva
γ = {c(t); a ≤ t ≤ b}.
Kurvan γ är alltså värdemängden till den vektorvärda funktionen c(t).
Om vi utgår ifrån punktmängden γ i stället för funktionen c(t), så kallar man c(t), a ≤
t ≤ b, en parametrisering av kurvan γ.
Vi säger att γ är ett kurvstycke om det finns en (deriverbar) parametrisering c(t) sådan
att
a) Både x0 (t) och y 0 (t) är kontinuerliga funktioner[1] på hela intervallet a ≤ t ≤ b.
b) Ingen punkt på γ får svara mot mer än en t-punkt (funktionen ska vara injektiv)
c) Det ska gälla att c0 (t) 6= (0, 0) (d.v.s. x0 (t) och y 0 (t) kan inte båda vara noll i samma
punkt t) då a ≤ t ≤ b.
Tänk på ett kurvstycke γ som en väg som vi kör en bil på och t som tid. Parametriseringen
c(t) talar då om var på vägen vi är vid olika tidpunkter t. Den beskriver därför hur vi kör,
vilket innefattar en beskrivning av hur vägen ser ut. Var vi är vid en viss tidpunkt beror
av hur fort/långsamt/ryckigt... vi kör. Varje körsätt svarar mot en parametrisering, och vi
inser därför att varje kurvstycke kan ha många parametriseringar. Det enda villkoret vi har
på parametriseringen är att vi aldrig stannar bilen, alltså c0 (t) 6= (0, 0) för alla t. Notera
att vi kan köra längs vägen i två riktningar. Att bestämma riktningen vi genomlöper γ i
betyder att vi ger γ en orientering, och vi pratar då om en orienterad kurva.
Om de trigonometriska funktionerna
Exempel 1 Kurvstycket y = x2 ,
helst av funktionerna
c(t) = (t, t2 ),
2 (12)
1
2
≤ x ≤ 1 kan parametriseras med vilken som
1
≤ t ≤ 1,
2
√
c(t) = ( t, t),
1
≤ t ≤ 1.
4
Dessa är naturligtvis bara två exempel, det finns oändligt många fler.
Anmärkning Olika parametriseringar skiljer sig egentligen endast åt på hur vi mäter
tiden, dvs om c(t) och C(s) är två olika parametriseringar med olika parametrar s
och t, så gäller att det finns en funktion s = φ(t) sådan att c(t) = C(φ(t)). Här måste
φ0 > 0 om kurvan ska genomlöpas i samma riktning med de två parametriseringarna.
Tangenten till kurvstycket γ i en punkt (x, y) får vi
nu på följande sätt. Först tar vi reda på vilket parametervärde t som ger punkten: c(t) = (x, y). Sedan
drar vi den räta linje som går genom de två punkterna c(t) och c(t + h), där h är ett litet tal. Om vi låter
h → 0 så kommer denna räta linje att övergå i det
som är tangenten till γ i punkten (x, y). Derivatan av
c0 (t) = (x0 (t), y 0 (t)) fås som gränsvärdet
c(t + h) − c(t)
.
h→0
h
c0 (t) = lim
y
∆x
∆y
c′ (t)
c(t)
c(t + h)
c(t+h)−c(t)
h
Här kan uttrycket c(t + h) − c(t) tolkas som
x
förflyttningen från c(t) till c(t + h), en förflyttning
vars längd vi kan räkna ut med Pythagoras’ sats: om
p
c(t + h) − c(t) = (∆x, ∆y), så gäller att längden är ∆x2 + ∆y 2 . Om vi bara tänker på
själva förflyttningen, oberoende av var den startar, så kallar vi en sådan förflyttning en
vektor och vi ritar den som en pil. Längden av denna vektor är förflyttningens (rätlinjiga)
storlek.
Dividerar vi förflyttningen med h får vi en storhet som mäter sträcka per tidsenhet, och
vars längd ger oss genomsnittshastigheten när vi rör oss från c(t) till c(t+h). Gränsvärdet
c0 (t) kallas därför (den momentana) hastigheten vid tiden t och dess längd,
p
|c0 (t)| = x0 (t)2 + y 0 (t)2 ,
kallar vi farten vid tiden t. Hastigheten anger förutom farten också den riktning i vilken
en ändring på kurvan sker. Riktningen i en punkt på kurvan beror inte av vilken parametrisering vi väljer, medan farten, som är det hastighetsmätaren visar, gör det. Derivatan
av hastigheten, c00 (t) = (x00 (t), y 00 (t)), kallar vi för accelerationen.
Härigenom blir c0 (t) en vektor som beskriver riktningen i vilken rörelsen går och den anger
därför tangentens riktning.
Om de trigonometriska funktionerna
3 (12)
Exempel 2 Om f är deriverbar, så gäller att grafen till f på intervallet [a, b], alltså
mängden
γ = {(x, f (x)), a ≤ x ≤ b},
är ett kurvstycke. Tangentens riktningsvektor i punkten (x, f (x)) är (1, f 0 (x)), vilket
är en vektor som har riktningskoefficient f 0 (x). Precis som tidigare.
Allmänt sett är en kurva något som består av ändligt
många kurvstycken, möjligen ihopsatta i ändpunkter.
Mer precist, om vi har ett antal kurvstycken γi med
ändpunkter ai , bi , i = 1, . . . , n, vilka hänger ihop så
att b1 = a2 , b2 = a3 , . . . , bn−1 = an , och att de olika
γi :na inte skär varandra utom eventuellt i gemensamma ändpunkter, så bildar de tillsammans en styckvis
C 1 kurva. Om dessutom bn = a1 sägs γ vara sluten.
b4
γ4
b2 = a3
γ2
γ1
γ3
a1
b =a =b =a
1
2
3
4
En sluten styckvis C 1 kurva γ sägs vara enkel om, i
en uppdelning γ1 , . . . , γn av γ, varje ändpunkt på ett kurvstycke γi endast är ändpunkt
på ett annat kurvstycke i uppdelningen. Detta betyder att kurvan γ inte skär över sig
själv. Slutligen säger vi att en enkel sluten kurva γ är en C 1 kurva om två kurstycken i
en uppdelning av γ som möts i en ändpunkt alltid har samma tangentriktning där.
Sluten, styckvis C1 kurva
b4 = a5
γ5
Enkel, sluten, styckvis C1 kurva
b2 = a3
Enkel, sluten, C1 kurva
b2 = a3
γ3
γ3
b2 = a3
γ4
γ2
a1 = b3
γ2
γ1
a1 = b3
γ3
a1 = b5
b1 = a2 = b3 = a4
γ2
γ1
b1 = a2
γ1
b1 = a2
Exempel 3 Enhetscirkeln är inget kurvstycke, men däremot en C 1 -kurva. Vi kan
nämligen tänka oss den sammansatt av två halvcirklar, vilka båda är kurvstycken.
Enhetscirkeln är uppenbarligen en sluten kurva.
Slutna kurvor är associerade med periodiska funktioner enligt följande definition.
Definition 1
En funktion f (t) (som kan vara vektorvärd) sägs vara periodisk om det finns ett tal
T > 0 sådant att f (t + T ) = f (t) för alla t. Det minsta sådant T som duger (om det
finns något) kallas funktionens period.
Om de trigonometriska funktionerna
4 (12)
En sluten kurva har en parametrisering c(t) som är en periodisk C 1 funktion.
Anmärkning På en styckvis C 1 -kurva kan vi mäta båglängden[2] . Om vi tar båglängden
som parameter, mäter vi sträcka och tid i samma enhet, och då måste farten vara ett
överallt! Detta gör båglängden till en bekväm parametrisering i många sammanhang,
bl.a. för enhetscirkeln i nästa avsnitt.
De trigonometriska funktionerna och deras derivator
Vi definierar de trigonometriska funktionerna[3] genom att
c(t) = (cos t, sin t)
y
(cos t, sin t)
sin t
ska vara en parametrisering av enhetscirkeln, där t
är motsvarande centrala vinkel i moturs riktning (se
figuren till höger). Här ska vinkeln mätas i radianer.
t
Notera att den trigonometriska ettan
2
cos t
1 x
2
cos t + sin t = 1
är en direkt konsekvens av definitionen. Detta därför
att enhetscirkeln kan beskrivas av ekvationen x2 +y 2 =
1.
Här gäller att om vi startar t.ex. i (1, 0) vid tiden t = 0, så kommer vi, när vi ökar
t, att gå runt cirkeln varv efter varv moturs. Ett varv svarar mot 2π radianer, så det
följer att de trigonometriska funktionerna blir 2π-periodiska funktioner. Speciellt ser vi
att c(t), 0 ≤ t ≤ 2π blir en parametrisering av enhetscirkeln[4]
Om vi följer x-koordinaten medan punkten roterar på enhetscirkeln, så får vi den blå
cosinus-grafen i figuren nedan. Den röda grafen är motsvarande y-koordinat, som alltså
ger grafen för sinusfunktionen.
1
0.5
−10
−8
−6
−4
−2
−0.5
2
4
6
8
10
t
−1
Notera att vi ur definitionerna ser att cos(t + π) = − cos(t) och sin(t + π) = − sin(t).
Denna observation behöver vi snart.
Vi ska nu bestämma derivatan av c(t), alltså derivatorna av cosinus och sinus-funktionerna.
Vi ska göra det rent geometriskt och utgår då ifrån att dessa funktioner måste vara deriverbara. Detta därför att cirkeln har en tangent i varje punkt.
För att härleda derivatan börjar vi med att notera att vinkeln t mätt i radianer betyder
längden av den cirkelbåge som vinkeln täcker. Eftersom vinkeln är lika med båglängden
på enhetscirkel, och vinkeln fungerar som tid, så kommer farten vi genomlöper cirkeln
med, som vi nämnde ovan, att vara ett, d.v.s. |c0 (t)| = 1 för alla t.
Om de trigonometriska funktionerna
5 (12)
Vad gäller riktningen av c0 (t) så är den samma som
tangentens riktning. Men tangenten till en cirkel är
vinkelrät mot dess radie, vilket betyder (se figuren)
att riktningen av tangenten i punkten (x, y) ges av
vektorn (−y, x). Med andra ord, om c(t) = (x, y), så (−y, x)
gäller att c0 (t) = (−y, x).[5] .
c′ (t)
y
c(t) = (x, y)
sin t
t
Men c0 (t) = (x0 (t), y 0 (t)), så detta betyder att
x0 (t) = −y(t),
cos t
1
x
4
5
t
y 0 (t) = x(t)
vilket utskrivet blir att
cos0 (t) = − sin t,
sin0 (t) = cos t.
En konsekvens av dessa formler är följande gränsvärden
cos h − 1
= 0,
h→0
h
lim
sin h
= 1,
h→0 h
lim
eftersom vänsterleden är derivatorna av cosinus respektive sinus i origo.
Slutligen har vi tangens-funktionen som definieras av
sin t
.
tan t =
cos t
Här har vi att tan(t+π) = tan(t), d.v.s. tangensfunktionen är π-periodisk. Den är inte definierad
då cos t = 0, alltså då t = π2 + kπ där k är ett
godtyckligt heltal, och går från −∞ till +∞ i
varje intervall
π
π
(− + kπ, + kπ).
2
2
10
8
6
4
2
−5
−4
−3
−2
1
2
3
−4
Dess derivata bestämmer vi genom att derivera
kvoten och får då att
tan0 (t) =
−1
−2
−6
−8
1
= 1 + tan2 t.
2
cos t
−10
Uttrycken till höger är samma p.g.a. den trigonometriska ettan. Man behöver kunna bägge
uttrycken!
Exempel 4 För 0 < x <
π
2
gäller att
2
x < sin x < x.
π
1
För att se det betraktar vi funktionen
sin x
f (x) =
x
0.5
om vilken vi vet att
f 0 (x) =
x cos x − sin x
< 0,
x2
0.5
1
1.5
t
Om de trigonometriska funktionerna
6 (12)
eftersom x < tan x.[6] Eftersom f (x) → 1 då x → 0, ser vi därför att f är en
avtagande funktion på intervallet [0, π2 ] från 1 till f ( π2 ) = π2 . Det följer att
2
sin x
π
<
< 1 då 0 < x < .
π
x
2
Inverserna: arcusfunktionerna
Sinus-funktionen har ingen invers. Ekvationen
sin x = y
har nämligen oändligt många lösningar om −1 ≤
y ≤ 1, medan den saknar lösningar då |y| > 1.
Däremot kan vi välja ut ett intervall på vilket funktionen går strängt monotont mellan värdena 1 och −1
och använda den delen av funktionen för att definiera en invers. Av tradition väljer vi intervallet [− π2 , π2 ],
där sinus-funktionen är strängt växande från −1 till
1.
1
−1
1
t
−1
Den funktionen, alltså
π
π
≤x≤ ,
2
2
har en invers som kallas arcus sinus och betecknas arcsin. Vi har därför att
π
π
x = arcsin y ⇔ sin x = y och − ≤ x ≤ .
2
2
För att konstruera dess graf speglar vi f i y = x, såsom är illustrerat ovan.
f (x) = sin x,
−
Derivatan av arcsin x bestämmer vi genom att vi använder formeln för derivatan av en
invers funktion:
1
1
=
där x = sin y.
arcsin0 (x) =
0
sin (y)
cos y
p
√
För att uttrycka högerledet i x använder vi att cos y = 1 − sin2 y = 1 − x2 . Notera
att eftersom y ligger i intervallet [− π2 , − π2 ] så är cos y ≥ 0. För att vi inte ska dividera
med noll krävs här att y 6= ±π/2, d.v.s. 0 < x < 1. Vi har därför att
1
, −1 < x < 1.
1 − x2
När det gäller inversen till cosinus måste vi använda
ett annat intervall än för sinus, eftersom cosinus inte är injektiv på det intervallet. Cosinusfunktion är
däremot strängt avtagande på intervallet [0, π], där
den går från 1 till −1, och vi definierar inversen arccos
som invers till den funktion. Med andra ord
3
arcsin0 (x) = √
x = arccos y
⇔
cos x = y och 0 ≤ x ≤ π.
2
1
−1
Hur dess graf ser ut ser vi i figuren ovan, och upprepar
−1
vi argumentet ovan för hur man beräknar inversens
derivata, ser vi att
1
arccos0 (x) = − √
, −1 < x < 1.
1 − x2
1
2
3
t
Om de trigonometriska funktionerna
7 (12)
Slutligen vill vi ha en invers funktion till tangensfunktionen. Denna är monoton i intervallet (− π2 , π2 ),
där den växer från −∞ till ∞. Den har därför en invers som är definierad för alla reella tal och är sådan
att
π
π
x = arctan y ⇔ tan x = y och − < x < − .
2
2
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
Dess graf ser ut som som i figuren till höger och blir
en strängt växande funktion som har y = − π2 som
asymptot i −∞ och y = π2 som asymptot i ∞. För att
beräkna dess derivata använder vi att
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
t
−2
−3
−4
−5
tan0 (x) = 1 + tan2 x,
och får då liksom ovan att
arctan0 (x) =
1
.
1 + x2
Diverse trigonometriska samband
Det finns en mängd samband mellan de trigonometriska funktionerna. Följande samband
fås direkt ur definitionen[7] och förutsätts välkända:
π
π
π
π
(1) cos x = sin( −x), sin x = cos( −x), cos( +x) = − sin x, sin( +x) = cos x.
2
2
2
2
En annan omedelbar observation är att sinus är en udda, och cosinus en jämn, funktion
enligt följande definition.
Definition 2
En funktion f sägs vara jämn om det gäller att f (−x) = f (x) för alla x. Den sägs
vara udda om det gäller att f (−x) = −f (x) för alla x.
Anmärkning Att en funktion är jämn betyder att dess graf är detsamma som dess
spegelbild i y-axeln. På samma sätt är en udda funktions graf detsamma som spegelbild i origo.
Egentligen borde det heta jämn/udda m.a.p. 0. Vi kan ibland vilja säga att en funktion
är jämn/udda m.a.p. a. Att en funktion är jämn med avseende på a betyder då att
dess graf är lika med sin spegelbild i linjen x = a, och en funktion är udda m.a.p. a
om dess graf är spegelbilden av sig själv i punkten (a, 0).
Den första av formlerna i (1) är ekvivalent med påståendet att
(2)
arcsin x + arccos x =
π
,
2
−1 ≤ x ≤ 1.
Om de trigonometriska funktionerna
8 (12)
För 0 < x < 1 framgår detta av figuren[8] till höger där vi har att
α + β = π2 och
α = arccos x,
1
β
β = arcsin x.
Vidare har vi att arcsin(−x) = − arcsin x och arccos(−x) = π −
arccos(x), så vi får med 0 < x < 1 att
arcsin(−x) + arccos(−x) = π − (arcsin x + arccos x) =
α
x
π
.
2
Det följer att formeln (2) är sann då −1 ≤ x ≤ 1 (fallen x = 0, ±1 kontrolleras lätt
separat).
Ett annat viktigt samband är
Sats 1: Additionsformeln för sinusfunktionen
(3)
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y.
Bevis. Fixera ett y och skriv f (x) = sin(x + y) − (sin x cos y + cos x sin y). Då gäller att
f 0 (x) = cos(x + y) − (cos x cos y − sin x sin y), och alltså att
f (0) = sin y − sin y,
f 0 (0) = cos y − cos y = 0.
Vidare gäller att f 00 (x) = − sin(x + y) − (− sin x cos y − cos x sin y) = −f (x), så om vi
inför funktionen
h(x) = f (x)2 + f 0 (x)2
så gäller att
h0 (x) = 2(f (x) + f 00 (x))f 0 (x) = 0 för alla x.
Det betyder att h(x) är en konstant och eftersom h(0) = 02 + 02 = 0 är denna konstant
0. Ur det följer sedan att f (x) = 0 för alla x, vilket visar satsen.
När vi visat additionsformeln (3) får vi en motsvarande formel för cosinus genom att
derivera m.a.p. x,[9] , nämligen
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y.
(4)
Additionsformlerna för sinus och cosinus är viktiga i sig, men ett specialfall är ännu
viktigare. Om vi tar x = y får vi att formlerna för dubbla vinkeln
sin(2x) = 2 sin x cos x,
cos(2x) = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x.
Från dessa följer sedan att
tan(2x) =
2 tan x
.
1 − tan2 x
Om de trigonometriska funktionerna
9 (12)
Ur formeln för dubbla vinkeln för cosinus kan vi läsa ut att
cos2 x =
1 + cos(2x)
,
2
och
sin2 x =
1 − cos(2x)
,
2
två formler som är användbara t.ex. när man ska hitta primitiva funktioner till cos2 x
eller sin2 x. Dessa formler uttrycks ofta som formlerna för halva vinkeln:
cos2
x
1 + cos x
=
,
2
2
och
sin2
x
1 − cos x
=
.
2
2
En annan tillämpning av additionsformeln för sinusfunktionen är den s.k. hjälpvinkelsatsen som säger att
det till varje par a, b av tal finns ett tal A ≥ 0 och en A sin φ
vinkel φ sådana att
(a, b)
a sin x + b cos x = A sin(x + φ).
A
A och φ bestäms på följande
sätt: rita upp punkten
√
2
(a, b) i planet. Låt A = a + b2 vara dess avstånd till
origo och φ den vinkel som linjen från origo till (a, b)
bildar med positiva x-axeln. Då gäller att
a = A cos φ,
b = A sin φ,
φ
A cos φ
så vi har att
a sin x + b cos x = A(sin x cos φ + cos x sin φ) = A sin(x + φ).
Man kallar A för funktionens amplitud och φ kallas för dess fasförskjutningen. Dessa
termer kommer ifrån tillämpningar av sinus och cosinus för vågrörelser.
Vinkeln φ måste oftast anges i form av någon av arcusfunktionerna. Vi måste då tänka
på dessa funktioners värdemängd.
Exempel 5 Punkten ( 45 , 35 ) har en vinkel som kan anges antingen som φ = arcsin( 35 )
eller som φ = arccos( 54 ). Detta därför att den ligger i första kvadranten. Punkten
(− 54 , 35 ) ligger däremot i andra kvadranten så motsvarande vinkel kan därför inte
anges med hjälp av arcsin-funktionen. Däremot kan den anges som φ = arccos(− 45 ).
Men vi kan också skriva den som φ = π − arcsin 35 .
För att ange vinkeln φ används ofta arctangensfunktionen, som är lite lättare att använda
eftersom tangens är π-periodisk.
Hur man stämmer ett piano
Som avslutning ska vi vända på additionsformlerna för sinus och cosinus för att få några
andra trigonometriska identiteter som är viktiga i tillämpningarna. Adderar vi formlerna
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y.
Om de trigonometriska funktionerna
10 (12)
får vi att
sin(x + y) + sin(x − y) = 2 sin x cos y.
och adderar vi formlerna
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
får vi
cos(x + y) + cos(x − y) = 2 cos x cos y.
Dessa formler användes under några decennier på 1500-talet till något så oväntat som att
multiplicera stora tal. En av dem som gjorde så var den danske astronomen Tycho Brahe
på ön Ven i Öresund. Låt oss illustrera med ett enkelt exempel.
Exempel 6 Vi till multiplicera 174 talen och 35. Det första vi gör då är att skriva
174 · 35 = 0.174 · 0.35 · 105 .
Sedan slår vi i en tabell upp vilka vinklar θ1 och θ2 som svarar mot de två första
faktorerna, d.v.s löser ekvationerna cos θ1 = 0.174 och cos θ2 = 0.35. Tabellerna
på den tiden gav resultat i grader, minuter och sekunder, men om vi arbetar med
radianer ska vi få att (med fyra decimaler) θ1 = 1.3959 och θ2 = 1.2132. Sedan
beräknar vi θ1 + θ2 = 2.6091 och θ1 − θ2 = 0.18270 och motsvarande cosinus-värden:
cos(2.6091) = −0.86154 och cos(0.18270) = 0.98336. Sätter vi nu in i formeln ovan
får vi att
0.174 · 0.35 = 0.5(−0.86154 + 0.98336) = 0.060910.
Multiplicerar vi med 105 får vi att 174 · 35 = 6091, vilket är nästan rätt, felet beror
på att vi arbetat med avrundade värden på de trigonometriska funktionerna.
Anmärkning Multiplikation är svårt och tidsödande, medan addition är relativt enkelt. Det var därför man kom på att utnyttja de trigonometriska formlerna på detta
sätt för att överföra multiplikation på addition. Man hade tillgång till omfattande
tabeller för de trigonometriska funktionernas värden. Anledningen till att metoden,
som kallas prostaferesis, snabbt försvann var att en enklare metod att överföra multiplikation på addition dök upp: nämligen logaritmen.
Ytterligare en omskrivning av formlerna ovan, och vi har en variant som är viktig än
idag. Om vi skriver
(
(
x+y =α
x = α+β
2
⇔
x−y =β
y = α−β
2
så får vi formeln
α−β
α+β
sin
.
2
2
Ett mycket viktigare tillämpningsområde för de trigonometriska funktionerna än trianglar
är att de beskriver rena svängningar, t.ex. ljud. Funktionen sin ωt beskriver en sådan
svängning som får en frekvens f som ges av ω = 2πf .
sin α + sin β = 2 cos
Om de trigonometriska funktionerna
Om vi på detta sätt adderar en ton med frekvensen
12 Hz och en med frekvensen 13 Hz så hör[10] vi funktionen
11 (12)
2
1
sin(24πt) + sin(26πt) = 2 cos(πt) sin(25πt).
1
2
3
t
−1
Denna funktion är ritad till höger och representerar
en svängning med frekvensen 12.5 Hz men med en
amplitud som varierar med tiden, d.v.s. ljudstyrkan
går upp och ner – vilket kallas en svävning. Vad detta kan användas till exemplifieras i
nästa exempel.
Exempel 7 Slå ner tangenten för A (440 Hz) och för B (497 Hz) samtidigt på ett
piano. Frekvensen f genererar en svängning cos(2πf t), och det vi hör är summan av
dessa (sätt deras amplitud till ett):
sin(2π440t) + sin(2π497t) = 2 cos(2π
57
937
t) sin(2π
t).
2
2
Andra faktorn ger tonen 468.5 Hz medan faktorn 2 cos(57πt) fungerar som en tidsberoende amplitud (vilket är svävningen). När man stämmer ett stränginstrument
justerar man strängen tills svävningen försvinner.
Noteringar
1. D.v.s. från början är de bara definierade i det öppna intervallet (a, b), men vi ska kunna
definiera dem i ändpunkterna så att de blir kontinuerliga funktioner på det slutna intervallet
[a, b]. Det betyder att vi får ensidiga derivator i ändpunkterna.
2. Se kapitlet Integralkalkyl.
3. En kommentar om notation. Man skriver ofta t.ex. cos t när man menar cos(t). cos är ju
namnet på funktionen, och den ska beräknas i t. Anledningen är oklar: estetiska skäl? Vi
kommer under alla omständighter att växla mellan skrivsätten.
4. Kom dock ihåg att enhetscirkeln inte var ett kurvstycke, och denna parametrisering är inte
injektiv!
5. Vektorer diskuteras kort i kapitlet Om komplexa tal och funktioner
6. Att x < tan x då 0 < x < π/2 inses t.ex. ur figuren till höger.
Triangeln OAC har en area som är större än den gråa cirkelsektorn
OAB. Triangelns area är (tan x)/2 medan cirkelsektorns är x/2.
C
7. Se Arbetsbladet om trigonometriska funktioner
B
8. Ett alternativt sätt att visa påståendet är att konstatera att funktionen
tan x
f (x) = arcsin x + arccos x har en derivata som är noll överall. Den är därför en konstant, och
genom att sätta x = 0 ser vi att konstanten måste vara π/2.
9. Du ska alltså betrakta y som en konstant och derivera en funktion avOx.
x
1
A
Om de trigonometriska funktionerna
10. Hör är egentligen fel ord, frekvensen är mycket för låg för att vi ska
kunna höra den. Men detta är matematik!
12 (12)