Lösningar till tentamen i Fysik 3 (F0006T)
2013-06-07
0,5 p
b)
Sökt:
3 p Frigjord energi ur 1,0 kg U-235.
1
Relativistisk solrotation
Lösning:
Givet:
Antal U-235-atomer i m = 1,0 kg:
Solens fart:
v = 220 km/s
30
m
1,0
Solens massa ( T j1):
M = 1,989·10 kg
NU−235 =
=
≈ 2,562·1024 ,
(2.3)
M
235,043
930
u
U−235
Sökt:
−27
Felet (i Joule) om man räknar klassiskt på solens kinetiska energi med u = 1,660 539 040·10 kg ( T e). Total frigjord energi:
EU−235 = NU−235 · Qfission ≈ 71,13 TJ,
(2.4)
kring galaxen, jämfört med om man räknar relativistiskt.
−19
Lösning:
med 1 eV = 1,602 176 620 8·10 J ( T b).
Klassisk kinetisk energi:
Svar: Frigjord energi ur 1,0 kg U-235: 71 TJ.
M v2 1,989·103 · (220·103 )2
40
Kk =
=
= 4,813 38·10 J.
1p
c)
2
2
(1.1) Sökt:
Relativistisk kinetisk energi:
Frigjord energi per nukleon ur fusionsprocessen.
Lösning:
1
(1.2) Total frigjord energi: Q = ∆mc2
− 1
Kr = M c2 (γ − 1) = M c2 q
1 − v2 /c2
Qfusion =(MH−2 +MH−3 −MHe−4 −Mn )c2
=(2,014 101 778+3,016 049 278−4,002 603 254−
c2
30
51
2
= 1,989·10 q
− c ≈ 2,200 000 00·10 J.
1,008 664 915 88) uc2 ≈ 0,018 882 886 1 uc2
(220·103 )2
1−
≈17,589 296 9 MeV.
(2.5)
c2
Antal nukleoner: 2 + 3 = 4 + 1 = 5. Frigjord energi per nukleon:
(1.1) och (1.2) ger felet:
Qfusion
40
40
|Kk − Kr | = 4,81338·10 − 4,81338195·10 ≈ 3,517 859 38 MeV.
(2.6)
5
34
≈ 1,947 · 10 J.
(1.3)
Svar: Frigjord energi per nukleon för fusion: 3,517 859 4 MeV.
Svar: Felet på den kinetiska energin om man räknar klassiskt på Kommentar: Masskillnaden i mellansvaret (2.5) styr antalet värdesiffror, men även 10 värdesiffror godkänns.
solens fart runt galaxen blir 1,95 · 1034 J.
0,5 p
Kommentar: Fel räknas positivt, men även negativt svar godtags. d)
Procentuellt är felet ca 0,000040 %. Därmed kan man räkna med Sökt:
6 vs utan hänsyn till relativistiska effekter vid farten 220 km/s.
Svaret man får på uppgiften beror kraftigt på γ − 1 (vilket beror Frigjord energi ur 1,0 kg deuterium-tritium-blandning med lika
många deuteriumatomer som tritiumatomer.
på miniräknaren). Även svar upp till ca 1037 J godtags därför.
Lösning:
4 p Antal reaktioner ur m = 1,0 kg:
2
Fission vs fusion
m
1,0
Givet:
Nfusion =
=
1
235
144
89
1
M
+
M
2,014
101
778
u
+ 3,016 049 278 u
H−2
H−3
Fissionsprocess:
n + 92 U→ 56 Ba + 36 Kr + 30 n
0
26
2
3
4
1
Fusionsprocess:
H + 2 H → 2 He + 0 n
≈ 1,197·10 .
(2.7)
1
Massa, Ba-144:
MBa−144 = 143,922 940 5 u
Total frigjord energi:
Massa, Kr-89:
MKr−89 = 88,917 632 5 u
Efusion = Nfusion · Qfusion ≈ 337,4 TJ.
(2.8)
Massa, neutron ( T e):
Mn
= 1,008 664 915 88 u
Svar: Frigjord energi ur 1,0 kg deuterium-tritium-blandning:
Massa, U-235 ( T k4):
MU−235 = 235,043 930 u
340 TJ.
Massa, H-2 ( T k4):
MH−2
= 2,014 101 778 u
Massa, H-3 ( T k4):
MH−3
= 3,016 049 278 u
0,5 p
e)
MHe−4 = 4,002 603 254 u
Massa, He-4 ( T k4):
Svar: Fördelar med fusion:
1p
a)
• Mycket mer energi per nukleon (3,5 0,7 MeV)
• Mycket mer energi per kg (340 70 TJ)
Sökt:
• Det finns mycket mer väte än det finns uran
Frigjord energi per nukleon ur fissionsprocessen.
• Ingen risk för härdsmälta
Lösning:
• Mycket lite högradioaktivt avfall
Total frigjord energi: Q = ∆mc2
0,5 p
f)
Qfission =(Mn + MU−235 − MBa−144 − MKr−89 − 3Mn )c2
Svar: Enheten Gray talar om hur mycket strålningsenergi som
=(MU−235 − MBa−144 − MKr−89 − 2Mn )c2
en kropp har absorberat. Enheten Sievert tar också hänsyn
=(235,043 930 − 143,922 940 5 − 88,917 632 5−
till hur farlig strålningen är för biologisk vävnad. Man behöver inte oroa sig över 5 mSv eftersom detta motsvarar
2 · 1,008 664 915 88) uc2 ≈ 0,186 027 2 uc2
ungefär bakgrundsstrålningen under ett år.
≈173,2832 MeV,
(2.1)
med uc2 = 931,494 095 4 MeV ( T e). Antal nukleoner: 235 + 1 =
236. Frigjord energi per nukleon:
Qfission (2.1)
≈ 0,734 250 9 MeV.
(2.2)
236
Kommentar Kommentarerna tillhör inte lösningen utan är av pedagogisk natur. I ekvationer betyder . . . att några matematiska steg
(1.1)
(som skulle krävas på tentan) är överhoppade. Om det står = betyder det att ekvation (1.1) sätts in efter likhetstecknet. Fa &
T a syftar på formel, respektive tabell i formelsamlingen Fysika.
Svar: Frigjord energi per nukleon för fission: 0,734 251 MeV.
Kommentar: Masskillnaden i mellansvaret (2.1) styr antalet värdesiffror, men även 9 värdesiffror godkänns.
Senast uppdaterad: 24 januari 2017
1(2)
c Erik Elfgren
Lösningar till tentamen i Fysik 3 (F0006T)
2013-06-07
3p
3
Momentancentrum
Givet:
Längd:
L = 0,500 m
Vinkel:
θ = 45◦
Fart, punkt A:
vA = 1,4 m/s
Sökt:
a) Momentancentrums läge samt b) hastighetens belopp i P.
Lösning:
vP
Momentancentrum, C, är vinkelrätt mot
kroppens hastigheter, vA och vB :
(Cx ,Cy )
Cx = L · cos θ ≈ 0,354 m,
(3.1)
vB
L
v
C
=
L
·
sin
θ
≈
0,354
m.
(3.2)
y
θ
A
(3.3)
Avståndet från momentancentrum till P ges av Pythagoras sats:
p
p
rP = (2L cos θ)2 + (L sin θ)2 = L 4 cos2 θ + sin2 θ.
(3.4)
Vinkelhastigheten ges av vA = rA ω ⇒
ω = vA /rA = vA /(L sin θ) ≈ 3,96 rad/s.
(3.5)
(Den tangentiella) farten i P med (3.4) och (3.5):
p
vP = rP ω = vA 4 tan2 θ + 1 ≈ 3,13 m/s.
(3.6)
rp
L
Svar: a) Momentancentrum ligger i punkten (0,35; 0,35).
b) Farten i P blir 3,1 m/s.
4
Givet:
Hjulmassa:
Hjulradie:
Ångvältsmassa:
Lutningsvinkel:
Initialhastighet:
Rullsträcka:
4p
Rullande ångvält
Mh = 3,1 ton
R = 0,700 m
Mtot = 4,5 ton
θ = 15◦
v1 = 1,0 m/s
s = 2,0 m
a)
3p
Sökt:
Ångvältens kinetiska energi när
den rullat sträckan s.
Lösning:
Mekaniska energisatsen mellan
läge 1 och 2:
1
s
Senast uppdaterad: 24 januari 2017
Svar: a) Kinetisk energi efter sträckan 2,0 m: 26 kJ.
b) Maximalt rörelsemängdsmoment: 3,2·103 kg m2 /s.
5
Givet:
Säckmassa:
Fallhöjd:
Brädlängd:
Brädhöjd:
Brädmassa:
4p
Säckar på gungbräda
Ms = 2,00 kg
h1 = 3,0 m
l = 2,20 m
h0 = 0,500 m
Mb = 15 kg
Sökt:
a) Vinkelhastigheten hos
gungbrädan under rotationen, ω3 .
b) Maxhöjd från gungbrädan för B, h4 .
Lösning:
Mekaniska energisatsen
mellan läge 1 och 2:
=
U
Wövr
K
e1 + 1 + U g1 + A
1
h1
2
(före stöt)
B
l/2
Ug= 0
4
h4
3
r
h0
O
θ
B
111111111111111111111
000000000000000000000
p
K2 + U
U
M s gh1 = M s v22 /2 ⇒ v2 = 2gh1 . (5.1)
g2 + e2 , ⇒ τ = 0 (friktionsfri rotation) ⇒ rörelsemängdsmoment bevaras:
q
Ms v2 2
L2 = L3 ⇒ r⊥ Ms v2 = IO ω3 , ⇒ ω3 =
l − h20 , (5.2)
2IO
ty stel kropp har L = Iω och partikel
har L = ~r × m~v = r⊥ Ms v2 .
q
R
P
2
θ
K1 + Ug1 + Ue1 + Wövr = K2 + Ug2 + Ue2 ,
(4.1)
där
1
1
K1 = Ih ω21 + Mtot v21 , Ug1 = Mtot gh, Ue1 = 0,
(4.2)
2
2
K2 =?, Ug2 = 0, Ue2 = 0, Wövr = 0,
(4.3)
där masströghetsmomentet kring för framhjulet kring dess masscentrum ges av en homogen cylinder, T f1a:
Ih = Mh R2 /2 = 3100 · 0,72 /2 = 759,5 kg m2 ,
(4.4)
höjden är
h = s · sin θ = 2·sin 15◦ ≈ 0,5176 m.
(4.5)
(4.2) och (4.3) i (4.1) ger:
1
1
Mtot gh + Ih ω21 + Mtot v21 = K2 .
(4.6)
2
2
Rullning utan glidning:
v1 = Rω1 ⇒ ω1 = v1 /R = 1/0,7 ≈ 1,429 rad/s,
(4.7)
i (4.6) med (4.4) och (4.5):
v21 Mh
1 Ih v21 1
2 (4.4)
K2 = Mtot gh +
+
=
M
gh
+
M
v
+
M
tot 1
tot
tot
2 R2
2
2 2
!
2
1 3100
= 4500·9,82·2·sin 15◦ +
+ 4500
2
2
≈ 25 899 J.
(4.8)
b)
Sökt:
Framhjulets maximala rörelsemängdsmoment.
Lösning:
Rörelsemängdsmoment är maximalt då vinkelhastigheten är
maximal, dvs vid ω2 som fås ur den kinetiska energin i läge 2
med rullning utan glidning v2 = Rω2 :
1
1
1
K2 = Ih ω22 + Mtot ω22 R2 = ω22 (Ih + Mtot R2 ) ⇒
2
2
2
s
s
2K2
2·25 899
(4.8,4.4)
ω2 =
≈ 4,18 rad/s,
=
2
Ih + Mtot R
759,5 + 4500·0,72
(4.9)
i rörelsemängdsmoment för stel kropps rotation, L = Iω:
Lmax = Ih ω2 = 759,5·4,1801 rad/s ≈ 3174,8 kg m2 /s. (4.10)
Det vinkelräta avståndet r⊥ = 12 l2 − h20 fås ur Pythagoras sats.
Masströghetsmomentet för brädan som roterar kring sitt masscentrum ( T f1m) och för säckarna är:
IO = Ib + 2Is = Mb l2 /12 + 2Ms (l/2)2 ≈ 10,89 kg m2 .
(5.3)
(5.3) och (5.1) i (5.2):
q
p
p
Ms 2gh1 · l2 − h20 2· √2·9,82·3· 2,22 − 0,52
ω3 =
=
Mb l2 /6 + Ms l2
15·2,22 /6 + 2·2,22
≈ 1,51 rad/s.
(5.4)
Hastigheten i y-led när gungbrädan har vippat helt blir
v3y = v3t cos θ = rω3 cos θ = (l/2)ω3 · cos θ,
(5.5)
◦
θ = arcsin(h0 /l) ≈ 13,1 .
(5.6)
Med mekaniska energisatsen mellan 3 → 4:
= K
K3 + U
U
Wövr2
U
e4 ⇒
g3 + e3 + 4 + Ug4 + h4 =
v23y
(5.5)
=
2g
≈ 0,133 m.
(lω3 · cos θ)2
8g
(5.4,5.6)
=
(2,2·1,51·cos 13,1◦ )2
8·9,82
(5.7)
Svar: a) Vinkelhastighet under rotationen: 1,5 rad/s.
b) Maxhöjd från gungbrädan för B: 0,13 m.
1p
2(2)
c Erik Elfgren
