Inneh˚all - freeLeaks

freeLeaks
NpMaB ht2000
1(40)
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 2000
3
Del I, 10 kortsvarsuppgifter med miniräknare
4
Del II, 9 uppgifter med miniräknare, fullständiga lösningar
7
Del III, 1 stor uppgift med miniräknare, fullständig lösning
10
MaB HT 2000 LÖSNINGAR
12
Del I, 10 kortsvarsuppgifter med miniräknare
Del 1 # 1
(1/0)
Sannolikhet . . . . . . . . .
Del 1 # 2
(1/0)
Olikhet . . . . . . . . . . . .
Del 1 # 3
(1/0)
Likformighet . . . . . . . .
Del 1 # 4
(1/0)
Konjugatregeln . . . . . . .
Del 1 # 5
(3/0)
Graf till funktion . . . . . .
Del 1 # 6
(2/0)
Randvinkelsatsen och vinklar
Del 1 # 7
(1/0)
Förenkla . . . . . . . . . . .
Del 1 # 8
(0/1)
Ekvationssystem . . . . . . .
Del 1 # 9
(0/1)
Linje . . . . . . . . . . . . .
Del 1 # 10
(0/1)
Olikheter . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
23
25
27
28
29
30
32
34
Del III, 1 stor uppgift med miniräknare, fullständig lösning
Del 3 # 20
(4/7/⊗) Skärningar mellan kurvan y = x2 och räta linjer . .
35
35
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Del II, 9 uppgifter med miniräknare, fullständiga lösningar
Del 2 # 11
(4/0)
Lös ekvationen . . . . . . . . . . .
Del 2 # 12
(2/0)
Linjärt ekvationssystem . . . . . . .
Del 2 # 13
(4/1)
Sannolikhet . . . . . . . . . . . . .
Del 2 # 14
(2/0)
Rät linje . . . . . . . . . . . . . . .
Del 2 # 15
(0/2)
Liksidig triangel . . . . . . . . . .
Del 2 # 16
(0/2/⊗) Median . . . . . . . . . . . . . . . .
Del 2 # 17
(0/4)
Välvt tak . . . . . . . . . . . . . .
Del 2 # 18
(0/4/⊗) Pappersark . . . . . . . . . . . . .
Del 2 # 19
(0/3)
Sannolikhet . . . . . . . . . . . . .
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2016-02-01
freeLeaks
NpMaB ht2000
2(40)
Förord
Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma 2. Innehållet i den äldre
kursen Ma B hör nu till Ma 1 och/eller Ma 2. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter som
är lämpliga till respektive kurs.
Ma 1
Ma 2a
Ma 2bc
1
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13
14
15
16
17
18
19
19
20
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
Np MaB ht 2000
freeLeaks
NpMaB ht2000
3(40)
Del 1På#uppgift
1 1-10 behöver
(1/0)du bara Sannolikhet
ange svar på respektive uppgifts svarsrad.
1.
I en burk finns enbart röda och svarta kulor. Sannolikheten att dra en röd kula ur
burken är 75 %.
Ge ett förslag på hur många röda och svarta kulor det kan finnas i burken.
Svar:
2.
(1/0)
Ange något värde på x så att 2 x − 1 < 3
Svar:
(1/0)
Svar
75 röda
25 svartaärkulor.
3. 1) Följande
tvåoch
sexhörningar
likformiga. Bestäm s. Svar:
(1/0)
Det finns många olika möjliga svar.
Svar 2)
3 röda och 1 svart kula.
9,4
7,2
s
4.
3,6
Vilket av följande uttryck är en förenkling av ( x − 2)( x + 2) ?
A.
x 2 − 4x + 4
B.
x 2 + 4x + 4
C.
x2 + 4
D.
x2 − 4
E.
x 2 + 2x
F.
x 2 − 2x
c G Robertsson 2016
Svar:
buggar ⇒ [email protected]
(1/0)
2016-02-01
På uppgift 1-10 behöver du bara ange svar på respektive uppgifts svarsrad.
1.
I en burk finns enbart röda och svarta kulor. Sannolikheten att dra en röd kula ur
burken är 75 %.
freeLeaks
NpMaB ht2000
Ge ett förslag på hur många röda och svarta kulor det kan finnas i burken.
Svar:
Del 1 # 2
2.
(1/0)
4(40)
(1/0)
Olikhet
Ange något värde på x så att 2 x − 1 < 3
Svar:
(1/0)
Notera problemets formulering: ange något värde. Vi behöver alltså inte ange en
3.
Följande två sexhörningar är likformiga. Bestäm s. Svar:
(1/0)
fullständig lösning till olikheten utan endast något värde. Försök med något enkelt,
exempelvis x = 0. Med x = 0 får vi −1 < 3 vilket är sant. Alltså duger x = 0.
Svar x = 0.
Kommentar. Om 9,4
uppgiften hade varit att7,2lösa olikheten så blir lösningen följande.
2 x −1
<3
2 x −1 +1 < 3 +1
addera 1 till bägge sidor
3,6
s
2x
<4
x
<2
dividera med 2
Räknereglerna för likheter gäller också för olikheter med ett viktigt undantag. Vid
multiplikation eller division med negativt tal så byter olikhetstecknet riktning.
4.
Vilket av följande uttryck är en förenkling av ( x − 2)( x + 2) ?
A.
x 2 − 4x + 4
B.
x 2 + 4x + 4
C.
x2 + 4
D.
x2 − 4
E.
x 2 + 2x
F.
x 2 − 2x
c G Robertsson 2016
Svar:
buggar ⇒ [email protected]
(1/0)
2016-02-01
burken är 75 %.
Ge ett förslag på hur många röda och svarta kulor det kan finnas i burken.
Svar:
(1/0)
freeLeaks
NpMaB ht2000
5(40)
2.
Ange något värde på x så att 2 x − 1 < 3
Svar:
(1/0)
3.
Följande två sexhörningar är likformiga. Bestäm s. Svar:
(1/0)
Del 1 # 3
(1/0)
9,4
Likformighet
7,2
s
3,6
4.
Vilket av följande uttryck är en förenkling av ( x − 2)( x + 2) ?
Att figurerna är likformiga betyder
s
3,6
= x 2 − 4x + 4
A.
9,4
7,2
3,6
= 0,5 · 9,4 = 4,7
sB. = x 2 + 4· x9,4
7,2 + 4
Svar 4,7
C.
x2 + 4
D.
x2 − 4
E.
x 2 + 2x
F.
x 2 − 2x
c G Robertsson 2016
Svar:
buggar ⇒ [email protected]
(1/0)
2016-02-01
9,4
freeLeaks
7,2
NpMaB ht2000
Del 1 # 4
4.
6(40)
3,6
Konjugatregeln
s
(1/0)
Vilket av följande uttryck är en förenkling av ( x − 2)( x + 2) ?
A.
x 2 − 4x + 4
B.
x 2 + 4x + 4
C.
x2 + 4
D.
x2 − 4
E.
x 2 + 2x
F.
x 2 − 2x
1(4)
Formler till nationellt prov i matematik kurs 2
Svar:
(1/0)
Algebra
Använd
FORMELSAMLINGEN.
Regler
Andragradsekvationer
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
x 2 + px + q = 0
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
p
 p
x =− ±   −q
2
2
2
Konjugatregeln ger att (x − 2)(x + 2) = x2 − 4. Alternativ D är rätt.
Aritmetik
Svar
Alternativ D med x2 − 4 är rätt.
Prefix
T
G
M
k
h
d
c
m
µ
n
p
tera
giga
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
1012
109
106
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
Potenser
c G Robertsson 2016
a xa y = a x+ y
a b = (ab)
x x
x
ax
ay
ax
= a x− y
a
= 
x
b
b
x
buggar ⇒ [email protected]
(a x ) y = a xy
1
an = n a
a− x =
a0 = 1
1
ax
2016-02-01
freeLeaks
NpMaB ht2000
Del 1 # 5
5.
(3/0)
7(40)
Graf till funktion
Np MaB ht 2000
Figuren till höger visar grafen till en funktion y = f (x)
y
4
a)
3
Bestäm f (0)
y = f (x)
2
Svar:
b)
(1/0)
Ange lösningarna till ekvationen f ( x) = 0
Svar:
6.
1
-3
(2/0)
-2
-1
-1
2
1
3 x
-2
-3
Punkterna P, Q och R ligger på en cirkel. O är cirkelns medelpunkt. PQ är cirkelns
diameter.
R
25°
y
P
x
O
f (−1) = 0
Q
f (2) = 0
a)
Bestäm vinkeln x.
Svar:
(1/0)
b)
Bestäm vinkeln y.
Svar:
(1/0)
f (0) = −2
7.
a)
Vilka tre av följande uttryck kan förenklas till t ?
t2
A.
Bestäm f t(0)
t +t
Svar a) B. f (0)
= −2.
t
b)
Lösningarna till f (x) = 0
C.
2t − t
Svar b)
D.
x1 =2 −1 och x2 = 2.
t −t
t t
+
2 2
c G Robertsson 2016
E.
Svar:
buggar ⇒ [email protected]
(1/0)
2016-02-01
a)
Bestäm f (0)
3
2
Svar:
1
Ange lösningarna till ekvationen f ( x) = 0
b)
freeLeaks
-3
-2
-1
(2/0)
-1
2
1
-2
NpMaB ht2000 (2/0)
Svar:
Del 1 # 6
6.
(1/0)
3 x
8(40)
-3
Randvinkelsatsen och vinklar
Punkterna P, Q och R ligger på en cirkel. O är cirkelns medelpunkt. PQ är cirkelns
diameter.
R
25°
y
P
x
Q
O
a)
Bestäm vinkeln x.
Svar:
(1/0)
b)
Bestäm vinkeln y.
Svar:
(1/0)
a) Bestäm vinkeln x Triangeln ORQ är likbent eftersom sträkorna OR och OQ är lika.
Då blir x = 25◦ .
7.
Vilka tre av följande uttryck kan förenklas till t ?
t2
Svar a) A. Vinkeln x = 25◦ .
t
4(4)
b)
Bestäm vinkeln y Använd FORMELSAMLINGEN där finns randvinkelsatsen.
t +t
B.
t
Kordasatsen
ab = cd
Randvinkelsatsen
C.
2t − t
D.
t2 − t
E.
t t
+
2 2
u = 2v
Svar:
(1/0)
6 betecknar
Symbolen
vinkel. Enligt randvinkelsatsen
gäller att
Pythagoras
sats
Trigonometri
POR = 2 · 6 PQR = 50◦
Triangeln OPR är likbent vilket ger
6 ORP = 6 OPR = y
Triangeln OPR har vinkelsumman 180◦
180◦ = y + y + 50◦
Då blir
y = 65◦
6
c2 = a 2 + b2
Svar b)
Vinkeln y = 65◦ .
Avståndsformeln
c G Robertsson 2016
2
d = ( x2 − x1) + ( y 2 − y1 ) 2
a
c
b
cos v =
c
a
tan v =
b
sin v =
Mittpunktsformeln
buggar ⇒ [email protected]
x + x2
xm = 1
Statistik och sannolikhet
2
och ym =
y1 + y2
2
2016-02-01
a)
Bestäm vinkeln x.
freeLeaks
b)
Bestäm vinkeln y.
Del 1 # 7
7.
(1/0)
NpMaB ht2000
Svar:
(1/0)
Svar:
9(40)
(1/0)
Svar:
(1/0)
Förenkla
Vilka tre av följande uttryck kan förenklas till t ?
t2
A.
t
B.
t +t
t
C.
2t − t
D.
t2 − t
E.
t t
+
2 2
A
B
t2
t
t+t
t
= t
Förenklas till t
= 2
C
2t − t = t
D
t2 − t
E
t
t
+
= t
2 2
Förenklas till t
= t2 − t
Förenklas till t
Svar Fallen A, C och E kan förenklas till t.
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
freeLeaks
NpMaB ht2000
Del 1 # 8
8.
(0/1)
10(40)
Np
MaB ht 2000
Ekvationssystem
Ge ett exempel på ett ekvationssystem som har lösningen x = 1 och y = 3 .
Svar:
(0/1)
Svar x = 1 och y = 3 som är ett ovanligt enkelt ekvationssystem.
9.
Punkten ( 50, a ) ligger på linjen med ekvationen 2 x + y = 5
Kommentar Geometriskt kan ekvationerna till ett ekvationssystem med två obekanta
tolkas som
två räta
skärningspunkt. Du behöver
Bestäm
a. linjer i ett plan. Lösningen är linjernas
Svar:
(0/1)
inte rita grafen för att få poäng.
linjen x = 1
Np MaB ht 2000
10.
Summan av två tal, x och y, är minst lika stor som deras produkt.
Uppg. Bedömningsanvisningar
Poäng
6.
Max 2/0
Hur skrivs detta villkor med hjälp av matematiska
linjen tecken
y = 3 och symboler?
A.
x + y ≤ xy
x + y ≥svar
xy ( x = 25° )
a)B. Korrekt
C.
x + y < xy
b)D. Korrekt
x + y >svar
xy ( y = 65° )
E.
x + y = xy
+1 g
+1 g
Svar:
7.
(0/1)
Max 1/0
Kommentar 2x = 2 och 3y = 9 är också ovanligt enkelt.
t2
t t
, 2t − t och + )
2 2
Skolverkett ger i sin rättningsnorm
följande möjliga svar.
Korrekt svar (
Kommentar
8.
+1 g
Max 0/1
  y = x + 2

Godtagbart ekvationssystem  

y
=
3



+1 vg
Max 0/1x = 1
Det9. finns naturligtvis oändligt många olika system av ekvationer som har lösningen
och y = 3.
Korrekt svar ( a = −95 )
c G Robertsson 2016
10.
buggar ⇒ [email protected]
Korrekt svar ( x + y ≥ xy )
11.
+1 vg
2016-02-01
Max 0/1
+1 vg
Max 4/0
8.
Ge ett exempel på ett ekvationssystem som har lösningen x = 1 och y = 3 .
freeLeaks
NpMaB ht2000
Svar:
Del 1 # 9
9.
(0/1)
11(40)
(0/1)
Linje
Punkten ( 50, a ) ligger på linjen med ekvationen 2 x + y = 5
Bestäm a.
Svar:
(0/1)
Linjens ekvation är
2·x+
5 x och y, är minst lika stor som deras produkt.
10. Summan
avytvå=tal,
och punkten (50, a) ligger på linjen vilket ger
x=50
Hur
z}|{ skrivs detta villkor med hjälp av matematiska tecken och symboler?
2· x + y
=5
|{z}
A.
xy=−95
+ y ≤ xy
B.
x + y ≥ xy
C.
x + y < xy
Svar a = −95
D.
x + y > xy
E.
Svar:
x + y = xy
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
(0/1)
2016-02-01
Svar:
9.
Punkten ( 50, a ) ligger på linjen med ekvationen 2 x + y = 5
freeLeaks
NpMaB ht2000
Bestäm a.
Svar:
Del 1 # 10
10.
(0/1)
(0/1)
12(40)
(0/1)
Olikheter
Summan av två tal, x och y, är minst lika stor som deras produkt.
Hur skrivs detta villkor med hjälp av matematiska tecken och symboler?
A.
B.
C.
D.
E.
x+
x+
x+
x+
x+
y ≤ xy
y ≥ xy
y < xy
y > xy
y = xy
Svar:
(0/1)
Enligt svensk standard för matematiska beteckningar gäller
Beteckning
Tillämpning
Benämning eller betydelse
=
likhetstecken
x är lika med y
6=
olikhetstecken
x 6= y
x är inte lika med y
≤
är mindre än eller lika med
x≤y
x är mindre än eller lika med y
≥
är större än eller lika med
x≥y
x är större än eller lika med y
<
är mindre än
x<y
x är mindre än y
>
är större än
x>y
x är större än y
är mycket mindre än
xy
x är mycket mindre än y
är mycket större än
xy
x är mycket större än y
≈
approximationstecken
x≈y
x är ungefär lika med y
x är approximativt lika med y
∼
proportionalitetstecken
x∼y
x är proportionell mot y
Inom geometrin betyder tecknet ∼ är likformig med
∼
= är kongruent med
x=y
Frågan gäller tolkningen av den språkliga varianten minst lika stor som. Rätt svar är B.
Svar Alternativ B.
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
Np MaB ht 2000
freeLeaks
NpMaB ht2000
13(40)
Du måste redovisa dina lösningar till uppgift 11-19 på särskilda skrivningspapper.
Del 2 # 11
11.
(4/0)
Lös ekvationen
Lös ekvationerna
1(4)
x 2 − 4 x − 45 = 0
a)
(2/0)
Formler
prov i matematik kurs 2
b)
18till
− 3 x nationellt
= 3x
2
(2/0)
12. Lös ekvationssystemet
Deluppgift
A
Algebra
2
Lös ekvationen
2 4 x − 45 = 0. Använd FORMELSAMLING.
3 x − 6 yx =−

Regler 2 x − 2 y = 1
Andragradsekvationer
(2/0)
x 2 + px + q = 0
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
2
13. TRISS-lotten är en populär skraplott. På baksidan pav enTRISS-lott
finns följande
p

x =− ±   −q
(a + b)(vinstplan:
a − b) = a 2 − b 2
2
2
Lös ekvationen
0 = x2 |{z}
−4 x −45
| {z }
Aritmetik
p=−4
q=−45
√
x1,2 = 2 ± 22 − (−45) = 2 ± 49 = 2 ± 7 = 9
Svar
A x1 = 9 och x2 = −5
Prefix
TIPS: Kontrollera alltid att lösningen uppfyller ekvationen.
T
G
M
k
h
d
c
m
µ
tera
giga
q
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli
mikro
n
p
nano
piko
Deluppgift
B 6
1012
109
10
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9 10-12
a)
Beräkna
sannolikheten
för
att
du
får
en
vinst
om
du
köper
Lös ekvationen 18 − 3 x = 3 x2 . Använd FORMELSAMLINGEN. en TRISS-lott.
(1/0)
Börja med
städa upp.
Skriv omför
som
b) attBeräkna
sannolikheten
att du får en vinst som är större än 10 000 kr om
2
0 = du|{z}
3 · en
x trisslott.
+ 3 x − 18
köper
(2/0)
Potenser
ska vara 1
c) ekvationen.
Om du köperAlltså
1 trisslott
i veckan
under
ett år, hurmed
många
25 får
kronorsvinster
Normalisera
dividera
(dela)
ekvationen
3. Vi
då en ekvation
x
1
a
−
x
kan
du
rimligen
förvänta
dig
att
få
under
året?
(1/1)
x
y
−
x
y
xy
som
y utx +som
a = x
=a
(a ) = a
a x aser
= a y 2 i FORMELSAMLINGEN.
y
a
0 = x + x −a6
q
q
0, 52 − (−6)
= −0, 5 + 6, 25 = −0, 5 + 2, 5 = 2
x
1
ax  a 
q
=
x14.
x
x linje går genom
n
a0 = 1


2
En
rät
punkterna
(−
1
,
1, 9−3
).
a n53)−
= och
a b x=2 (ab
=) −0, 5 − b x0, 5  −
2,a5 (=
b (−6) = −0,
ekvation
Svar B Bestäm
x = linjens
2 och x
= −3 på formen y = kx + m
x1 = −0, 5 +
1
Logaritmer
c G Robertsson 2016
2
buggar ⇒ [email protected]
y = 10 ⇔ x = lg y
x
lg x + lg y = lg xy
lg x − lg y = lg
x
y
lg x p = p ⋅ lg x
(2/0)
2016-02-01
11.
Lös ekvationerna
a)
freeLeaks
b)
x 2 − 4 x − 45 = 0
12.
NpMaB ht2000
18 − 3 x = 3 x 2
Del 2 # 12
(2/0)
14(40)
(2/0)
(2/0)
Linjärt ekvationssystem
Lös ekvationssystemet
3 x − 6 y = 2

2 x − 2 y = 1
(2/0)
Ett ekvationssystem med två obekanta löses enklast med substitutionsmetoden.
13. 3 xTRISS-lotten
− 6 y =är en
2 populär skraplott. På baksidan av en TRISS-lott finns följande
2 xvinstplan:
− 2y = 1
Välj nedre ekvationen och x och flytta om så att x blir ensamt i vänsterledet. Behåll
första ekvationen oförändrad.
3x − 6y =
2
1
+y
x
=
2
Substituera x i övre ekvationen.
1
3 ( + y) − 6 y =
2
2
1
x
=
+y
2
Skapa ordning i övre ekvationen, förenkla.
3
a) + 3Beräkna
y − 6 y sannolikheten
=
2 för att du får en vinst om du köper en TRISS-lott.
2
1
x
=
+ y för att du får en vinst som är större än 10 000 kr om
b)
Beräkna
sannolikheten
2
du köper
Förenklingen
geren trisslott.
1
−3 y =
c)
Om du köper 1 trisslott
i veckan under ett år, hur många 25 kronorsvinster
2
1
kan
förvänta
dig att få under året?
x du rimligen
=
+y
2
Bestäm y ur övre ekvationen
−1
y=
6
14. En rät linje går genom
1 punkterna (−1, 3) och (1, 9) .
=
+y
Bestämx linjens ekvation
2 på formen y = kx + m
Det återstår att bestämma y, använd nedre ekvationen.
1 −1
1
x= +
=
2
6
3
Svar x =
(1/0)
(2/0)
(1/1)
(2/0)
1
−1
och y =
3
3
Kommentar För system med fler än två obekanta är substitutionsmetoden icke
lämplig.
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
freeLeaks
NpMaB ht2000
15(40)
Alternativ lösning
Lös ekvationssystemet
3x − 6y
2x − 2y
= 2
= 1
3x − 6y
= 2
− 2 y − (−4 y) = 1 −
1:a ekvationen
2:a ekvationen
4
3
1:a ekvationen
ny 2:a ekv = 2:a ekv - 23 × 1:a ekv
3x − 6y
2y
= 2
= − 31
1:a ekvationen
ger y = −1
6
3x − 6y
2y
= 2
= − 31
y=
y=
Svar x =
−1
6
−1
6
ger x =
1
3
−1
1
och y =
.
3
6
Kommentar Svara exakt, svara inte med decimaltal 0,3333 eller −0,1667.
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
b)
12.
18 − 3 x = 3 x
(2/0)
Lös ekvationssystemet
freeLeaks 3x − 6 y = 2

2 x − 2 y = 1
Del 2 # 13
13.
NpMaB ht2000
(4/1)
16(40)
(2/0)
Sannolikhet
TRISS-lotten är en populär skraplott. På baksidan av en TRISS-lott finns följande
vinstplan:
a)
Beräkna sannolikheten för att du får en vinst om du köper en TRISS-lott.
(1/0)
b)
Beräkna sannolikheten för att du får en vinst som är större än 10 000 kr om
du köper en trisslott.
(2/0)
c)
Om du köper 1 trisslott i veckan under ett år, hur många 25 kronorsvinster
kan du rimligen förvänta dig att få under året?
(1/1)
a) 14.Totala
antalet
lotter
är punkterna
8 000 000 varav
600 (500
En rät
linje går
genom
. vinter. Sannolikhet för vinst är
(−1, 3) 1och
1, 9)är
1 600 500
= 0,20006.
Bestäm
linjens ekvation på formen y = kx + m
(2/0)
8 000 000
Svar a)
b)
Sannolikheten för vinst är 0,20 alternativt uttryckt som 20%.
Vinstplanen är
Antal
Vinst
4 2 500 000 kr
16
250 000 kr
64
100 000 kr
608
10 000 kr ej över 10 000 kr
Det finns 4 + 16 + 64 = 84 vinster över 10 000 kr. Sannolikheten att få en vinst över
84
10 000 kr är 8 000
= 0,0000105.
000
Svar b) Sannolikheten att få en vinst över 10 000 kr är 0,0000105 vilket är ungefär 1
chans på 100 000.
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
freeLeaks
NpMaB ht2000
17(40)
Np MaB ht 2000
c) Av 8 000 000 lotter är 712 000 25-kronorsvinster. Sannolikheten att en vecka vinna
712 000
25 Uppg.
kronor är Bedömningsanvisningar
. Ett år har 52 veckor. Lottdragningen olika veckor är oberoende
Poäng
8 000 000
händelser. Uttrycket förväntas ska tolkas som medelvärde i det långa loppet.
000
13.
Max 4/1
= 4,628.
Sannolikheterna
“adderas”, 52×712
8 000 000
Redovisad
godtagbar
beräkning
sannolikheten (0,20)
Svar c)a) Det
är rimligt
att förvänta
4,6avvinster.
+1 g
b)
Redovisad godtagbar metod
+1 g
+1 g
c)
Redovisad godtagbar beräkning av sannolikheten för en 25 kronorsvinst
Redovisad godtagbar beräkning av antalet vinster
(4,6 vinster)
+1 g
KommentarmedSkolverkets
rättningsnorm
godtagbart svar
(0,0000105) skriver följande.
+1 vg
14.
Max
Naturligtvis
är det rimligt att förvänta att antalet vinster är ett heltal, 1, 2, 3,
4, 2/0
5 ....
Logiskt finnsRedovisad
inte bråkdelar
av
vinster
men
uttrycket
förväntas
ska
tolkas
som
godtagbar metod
+1 g
medelvärde imed
långa
loppet.
korrekt
svar ( y = 3 x + 6 )
+1 g
Kommentar Tabellen visar sannolikheten för antal vinster vid köp av en lott varje
vecka
15. under ett år. Om frågan hade gällt typvärde är svaret 4 vinster. Att beräkna
Max 0/2denna
tabell ingår inte i kursen Ma1 eller MaB.
Redovisad godtagbar metod
med godtagbartAntal
svar ( y Sannolikhet
= x + 60° )
+1 vg
+1 vg
vinster
%
0
0,8
16.
Max 0/2/¤
1
4,0
2
9,9
Redovisat lämpligt exempel med antydan till jämförelse
+1 vg
3
16,2
Redovisad godtagbar jämförelse
+1 vg
4
19,4 sannolikast utfall
5
18,2
6
13,9 16
Exempel på bedömda elevlösningar
till uppgift
7
8,9
Nedan ges exempel på tre olika 8lösningar och 4,9
hur de poängsätts. Andra lösningsförslag
ska bedömas på likvärdigt sätt. 9
2,3
10
1,0
Elev 1 (1 vg)
11
0,4
12
0,1
Kommentar:
Eleven ger ett exempel och förklarar mycket kortfattat, men det går att läsa ut att eleven
förstår när median är lämpligare än medelvärdet.
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
a)
Beräkna sannolikheten för att du får en vinst om du köper en TRISS-lott.
b)
Beräkna sannolikheten för att du får en vinst som är större än 10 000 kr om
du köper en trisslott.
(2/0)
NpMaB ht2000
18(40)
Om du köper 1 trisslott i veckan under ett år, hur många 25 kronorsvinster
kan du rimligen förvänta dig att få under året?
(1/1)
freeLeaks
c)
Del 2 # 14
14.
(2/0)
(1/0)
Rät linje
En rät linje går genom punkterna (−1, 3) och (1, 9) .
Bestäm linjens ekvation på formen y = kx + m
(2/0)
2(4)
Använd
FORMELSAMLINGEN.
Funktioner
Räta linjen
y = kx + m
Andragradsfunktioner
k=
Potensfunktioner
y2 − y1
x2 − x1
y = ax 2 + bx + c
a≠0
Exponentialfunktioner
Givet är
a > 0 och a ≠ 1
y = C(x⋅ 1x,ay1 ) = (−1, 3)
y = C ⋅ ax
(x2 , y2 ) = (1, 9)
Då blir
9−3
6
k =
= = 3.
1 − (−1)
2
Geometri
Nu återstår att bestämma m. Använd formeln y = k x + m och någon av de två kända
punkterna.
Triangel Med punkten (−1, 3) får vi
Parallellogram
3 = 3 · (−1) + m
A = bh
bh
vilket
A = ger
2 m = 6
Svar Linjens ekvation är y = 3 x + 6.
Parallelltrapets
A=
h( a + b)
2
Cirkelsektor
v
⋅ 2 πr
360
v
br
2
c G Robertsson
A=
⋅ πr 2016
=
360
2
b=
Cirkel
πd 2
4
O = 2πr = πd
A = πr 2 =
Prisma
V = Bh
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
freeLeaks
NpMaB ht2000
Del 2 # 15
19(40)
Np MaB ht 2000
(0/2)
Liksidig triangel
15.
ABC är en liksidig triangel. Sträckan AD bildar vinklarna x och y med triangelsidorna såsom figuren visar.
C
D
Bestäm sambandet mellan x och y.
y
x
A
B
180◦
16. Förklara
ett exempel
när det är
är lämpligt
att använda
Triangeln
ABC ärmed
likbent
och därmed
alla vinklarna
lika median=istället
60◦ . för
3
medelvärde.
Lösning 1/
17.
6
|
(0/2/¤)
Studera triangeln ACD.
En badmintonhall
har ett välvt tak. I figuren nedan ser du badmintonhallens ena
6 ACD = 60◦
gavel inlagd i ett koordinatsystem. Det välvda taket blir då en kurva i koordinat6 CDA = 180◦ − y
systemet. Denna kurva
kan beskrivas genom sambandet y = 0,67 x − 0,028 x 2
6 DAC = x
y
ACD + 6 CDA
+ m6 DAC
= 60◦ + (180◦ − y) + x
{z
}
180◦
0◦ = 60◦ − y + x
y = 60◦ + x
Svar Sambandet är y = 60◦ + x.
Lösning 2/
Studera triangeln ABD.
x
m
ABD
BDA
6 DAB
6 ABD + 6 BDA + 6 DAB
|
{z
}
6
4,06
=
=
=
=
◦
a
60
y
60◦ − x
60◦ + y + (60◦ − x)
180◦
180◦ = 120◦ + y − x
60◦ + x = y
◦
Svar Sambandet
ärgavelns
y = 60bredd
+ x.a.
a)
Bestäm
(0/2)
b)
Som
ser i figuren
hallensflera
lägsta
takhöjd
4,0 m.
Kommentar
Detdufinnas
nästanär alltid
olika
möjliga
lösningar.
Hur stor är den högsta takhöjden?
(0/2)
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
15.
ABC är en liksidig triangel. Sträckan AD bildar vinklarna x och y med triangelsidorna såsom figuren visar.
C
D
Bestäm sambandet mellan x och y.
y
x
freeLeaks
NpMaB ht2000
A
B
Del 2 # 16
16.
20(40)
(0/2/⊗)
Median
Förklara med ett exempel när det är lämpligt att använda median istället för
medelvärde.
(0/2/¤)
Talen
17.
En badmintonhall har ett välvt tak. I figuren nedan ser du badmintonhallens ena
gavel
ett koordinatsystem.
Det välvda taket blir då en kurva i koordinat8 9inlagd
10 i 11
12
systemet. Denna
kan beskrivas
sambandet är
y =lika.
0,67Talen
x − 0,028 x 2
har medianvärdet
10 ochkurva
medelvärdet
10. genom
Båda lägesmått
8 9 10 11 1012
m
y
har medianvärdet 10 och medelvärdet 210. Vilket lägesmått som är lämpligt att använda
beror på syftet. När man vill att att kraftigt avvikande värden inte ska ha stort
inflytande på lägesmåttet så är medianvärde lämpligare.
x
m
a
4,0
a)
Bestäm gavelns bredd a.
(0/2)
b)
Som du ser i figuren är hallens lägsta takhöjd 4,0 m.
Hur stor är den högsta takhöjden?
(0/2)
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
Bestäm sambandet mellan x och y.
y
x
A
B
freeLeaks
16.
Del 2
17.
NpMaB ht2000
21(40)
Förklara med ett exempel när det är lämpligt att använda median istället för
medelvärde.
#
17
(0/4)
Välvt tak
(0/2/¤)
En badmintonhall har ett välvt tak. I figuren nedan ser du badmintonhallens ena
gavel inlagd i ett koordinatsystem. Det välvda taket blir då en kurva i koordinatsystemet. Denna kurva kan beskrivas genom sambandet y = 0,67 x − 0,028 x 2
m
y
x
m
a
4,0
a)
Bestäm gavelns bredd a.
(0/2)
b)
Som du ser i figuren är hallens lägsta takhöjd 4,0 m.
Hur stor är den högsta takhöjden?
(0/2)
Det välvda taket beskrivs med funktionen y = 0, 67 x − 0, 028 x2 .
Bestäm a
0 =
x ·(0, 67 − 0, 028 x)
|{z} |
x=0
{z
0,67
x= 0,028
=23,9
}
Gavelns bredd blir
a = 23, 93 m.
Svar a) Bredden a = 23, 9 m.
(Den andra lösningen x = 0 svarar mot vänster hörn.) Maximal höjd är mitt på gaveln,
alltså för
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
freeLeaks
NpMaB ht2000
x =
22(40)
a
23, 93
=
= 11, 96 ≈ 12 m
2
2
då blir
ymax = 0, 67 · 11, 96 − 0, 028 · 11, 962 = 4, 001 ≈ 4 m
och den högsta takhöjden
hmax = 4 + 4 = 8 m.
Svar b) Högsta takhöjden är 8 m.
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
freeLeaks
NpMaB ht2000
Del 2 # 18
18.
(0/4/⊗)
23(40)
Np MaB ht 2000
Pappersark
ABCD är ett vitt rektangelformat pappersark med grå baksida (se vänstra figuren).
Arket viks så att vikningslinjen går genom hörnet A och så att hörnet B hamnar på
sidan CD (se högra figuren).
15 cm
D
C
12 cm
B
A
Beräkna arean av den uppvikta (grå) delen av pappersarket.
Beräkningar som bygger på uppmätta värden godtas ej.
(0/4/¤)
Börja med att rita figuren. Vik upp hörnet B så att det hamnar på sidan CD och kalla
19. Vid OS
och andra idrottstävlingar tas blodprov regelbundet för att kontrollera om
punkten deltagarna
för B0 , (uttalas
B-prim).
är dopade.
Priset för att testa blod är dock ganska högt. För att minska
antalet blodprovsundersökningar och ändå kunna hitta spår av dopingpreparat kan
Strateginman
för göra
att beräkna
arean
på följande
sätt. av den uppvikta (grå) delen av pappersarket är att
beräkna “alla okända” stäckor.
Man blandar delar av fem stycken blodprov i ett enda provrör och gör ett test på
0
x om det B
D Det är bara
C i blandningen
blandningen i provröret.
finns otillåtna ämnen
som de fem blodproven måste undersökas separat.
Hur stor är sannolikheten att man måste undersöka blodproven separat?
Du kan anta att sannolikheten för att ett enskilt blodprov innehåller
dopingrester
E
är 0,015.
12
15
A
15
(0/3)
B
Starta med DB0 , som enkelt kan beräknas med hjälp av Pythagoras sats.
152 = 122 + x2
ger
x = 9.
Då längden av sidan DB0 är 9 cm blir B0 C 15 − 9 = 6 cm. Uppdatera figuren.
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
freeLeaks
NpMaB ht2000
B0
9
D
24(40)
6
C
z
12 − z
E
12
15
z
15
A
B
Längden av EB och EB0 är lika, kalla längden för z. Triangeln B0 CE är rätvinklig.
Pythagoras sats ger
z 2 = 62 + (12 − z)2
|
{z
}
144−24 z+z 2
0 = 36 + 144 − 24 z
180
36 + 144
=
= 7,5
z =
24
24
Arean hos triangeln AB0 E blir
area =
15 · 7,5
= 56,25
2
Svar Arean är 56,25 cm2 .
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
15 cm
D
C
12 cm
B
A
freeLeaks
NpMaB ht2000
25(40)
Beräkna arean av den uppvikta (grå) delen av pappersarket.
Beräkningar som bygger på uppmätta värden godtas ej.
Del 2 # 19
19.
(0/3)
(0/4/¤)
Sannolikhet
Vid OS och andra idrottstävlingar tas blodprov regelbundet för att kontrollera om
deltagarna är dopade. Priset för att testa blod är dock ganska högt. För att minska
antalet blodprovsundersökningar och ändå kunna hitta spår av dopingpreparat kan
man göra på följande sätt.
Man blandar delar av fem stycken blodprov i ett enda provrör och gör ett test på
blandningen i provröret. Det är bara om det finns otillåtna ämnen i blandningen
som de fem blodproven måste undersökas separat.
Hur stor är sannolikheten att man måste undersöka blodproven separat?
Du kan anta att sannolikheten för att ett enskilt blodprov innehåller dopingrester
är 0,015.
(0/3)
Sannolikheten för att vara dopad är P (dopad) = 0,015. Då blir sannolikheten för att vara
ren (komplementhändelsen) P (ren) = 1 − 0,015 = 0,985.
1:a
dopad
ren
2:a
dopad
ren
3:e
ren
dopad
4:e
dopad
ren
5:e
dopad
ren
alla rena
Sannolikheten för att alla 5 ska vara rena är
P (alla rena) = P (ren)5 = 0,9855 = 0.927216502365625 = 0,927
P (inte alla rena) = 1 − P (alla rena) = 0,073
Svar Sannolikheten att för att undersöka proven separat är 0,073.
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
Np MaB ht 2000
freeLeaks
NpMaB ht2000
26(40)
Redovisningen av din lösning till uppgift 20 görs dels i detta häfte (tabellen) och dels
på särskilda skrivningspapper.
Del 3 # 20
och räta linjer
(4/7/⊗)
Skärningar mellan kurvan y = x2
20. Skärningar mellan kurvan y = x 2 och räta linjer
y
9
8
A
7
6
5
Därefter beräknas summan x1 + x 2 = 2
och produkten x1 ⋅ x 2 = −1,25
4
3
Linjens k- och m-värde bestäms ur figuren till k = 2
och m = 1,25
2
1
–3 –2 –1
–1
•
I figuren till vänster kan man avläsa
x-koordinaterna för punkterna där kurvan och
linjen A skär varandra:
För vänstra skärningspunkten: x1 = − 0,5
och för högra skärningspunkten: x 2 = 2,5
1
2
3
x
Alla värden har förts in i tabellen på nästa sida.
Gör motsvarande avläsningar i figurerna nedan. Fyll sedan i tabellen på nästa sida.
y
y
y
9
9
9
8
8
8
7
7
7
6
6
6
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
5
–3 –2 –1
–1
c G Robertsson 2016
B
1
2
3
x
–3 –2 –1
–1
1
2
3
C
buggar ⇒ [email protected]
x
–3 –2 –1
–1
1
2
3
x
D
2016-02-01
freeLeaks
NpMaB ht2000
27(40)
Np MaB ht 2000
Linje
x-koordinaten x1
för vänstra
skärningspunkten med
kurvan
A
-0,5
x-koordinaten x2
för högra
skärningspunkten med
kurvan
2,5
B
C
D
Summan av
x1 + x2 2
xkoordinaterna
Produkten av
x- koordinaterna
x1 ⋅ x2
Linjens rikt- k
ningskoefficient
y-koordinaten m
för skärningspunkten med
y-axeln
Linjens ekvation
-1,25
2
1,25
y = 2 x + 1,25
•
Formulera i ord de slutsatser du kan dra av tabellen.
•
I tabellen finns angivet x-koordinaterna för skärningspunkterna mellan kurvan
y = x 2 och linjen y = 2 x + 1,25 . Dessa x-koordinater blir då också lösningen till
andragradsekvationen x 2 = 2 x + 1,25
Lös andragradsekvationen och visa att koordinaterna är korrekta i detta fall.
•
Försök att visa att de slutsatser du drog med hjälp av tabellerna gäller för alla tänkbara linjer som skär kurvan y = x 2
(4/7/¤)
Vid bedömning av ditt arbete kommer läraren att ta hänsyn till:
• Hur stor del av uppgiften du löser
• Hur väl du formulerar de slutsatser du har funnit
• Hur generell metod du använder när du visar dina slutsatser
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
• Hur väl du redovisar ditt arbete
2016-02-01
freeLeaks
NpMaB ht2000
28(40)
Uppgiften består av fyra olika delar.
1/ Gör motsvarande avläsningar i figurerna, fyll i tabellen.
2/ Formulera i ord de slutsatser du kan dra av tabellen.
3/ I tabellen finns angivet x-koordinaterna för skärningspunkterna mellan kurvan
y = x2 och linjen y = 2 x + 1,25. Dessa x-koordinater blir då också lösningen till
andragradsekvationen x2 = 2x + 1,25 Lös andragradsekvationen och visa att
koordinaterna är korrekta i detta fall.
4/ Försök att visa att de slutsatser du drog med hjälp av tabellerna gäller för alla
tänkbara linjer som skär kurvan y = x2 .
Skärningspunkter mellan en andragradfunktion y = x2 och olika räta linjer ska läsas av
och en tabell ska kompletteras. Följande uppgifter ska behandlas:
1/
Komplettera tabellen, finn skärningspunkter
Linje avlästa data
x-koordinaten för vänstra
skärningspunkten med
kurvan
x-koordinaten för högra
skärningspunkten med
kurvan
y-koordinaten för
skärningspunkten med
y-axeln
x1
B
−1
x2
2
m
2
x1 + x2
B
1
x1 · x2
−2
(2, 4)
m=2
(−1, 1)
∆x = 3
c G Robertsson 2016
∆y = 3
Linje beräknade fakta
Summan av
x-koordinaterna
Produkten av
x-koordinaterna
Linjens
riktningskoefficient
Linjens ekvation
buggar ⇒ [email protected]
k
1
y =x+2
2016-02-01
freeLeaks
(−3, 9)
NpMaB ht2000
∆x = 4
∆y = −8
m=3
(1, 1)
(−3, 9)
∆x = 3
∆y = −9
(0, 0)
c G Robertsson 2016
m=0
Linje avlästa data
x-koordinaten för vänstra
skärningspunkten med
kurvan
x-koordinaten för högra
skärningspunkten med
kurvan
y-koordinaten för
skärningspunkten med
y-axeln
Linje beräknade fakta
Summan av
x-koordinaterna
Produkten av
x-koordinaterna
Linjens
riktningskoefficient
Linjens ekvation
Linje avlästa data
x-koordinaten för vänstra
skärningspunkten med
kurvan
x-koordinaten för högra
skärningspunkten med
kurvan
y-koordinaten för
skärningspunkten med
y-axeln
Linje beräknade fakta
Summan av
x-koordinaterna
Produkten av
x-koordinaterna
Linjens
riktningskoefficient
Linjens ekvation
buggar ⇒ [email protected]
29(40)
x1
C
−3
x2
1
m
3
x1 + x2
C
−2
x1 · x2
−3
k
−2
y = −2 x+3
x1
D
−3
x2
0
m
0
x1 + x2
D
−3
x1 · x2
0
k
−3
−3 x
2016-02-01
freeLeaks
NpMaB ht2000
30(40)
Fyll i tabellen
x-koordinaten för
vänstra
skärningspunkten med
kurvan
x-koordinaten för högra
skärningspunkten med
kurvan
Summan av
x-koordinaterna
Produkten av
x-koordinaterna
Linjens
riktningskoefficient
y-koordinaten för
skärningspunkten med
y-axeln
Linjens ekvation
x1
A
-0,5
B
-1
C
-3
D
-3
x2
2,5
2
1
0
x1 + x2
2
1
-2
-3
x1 · x2
-1,25
-2
-3
0
k
2
1
-2
-3
m
1,25
2
3
0
y = 2x + 1,25
y =x+2
y = −2 x+3
y = −3 x
Tabellen avslutar första punkten på listan (sid 37).
2/
Slutsats i ord
• Summan av x-koordinaterna x1 + x2 är lika med linjens riktningskoefficient k. Detta
1(4)
stämmer för alla fyra fall.
• Produkten av x-koordinaterna x1 · x2 är lika med y-koordinatens skärning med
y-axeln med omvänt tecken. Detta stämmer för alla fyra fall.
Formler till nationellt prov i matematik kurs 2
Andra punkten i listan med 4 uppgifter är klar (sid 37).
3/
Lös x2 = 2 x + 1,25 och kontrollera
Algebra
Använd
FORMELSAMLINGEN.
Regler
Andragradsekvationer
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
x 2 + px + q = 0
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
x=−
2
Aritmetik
c G Robertsson 2016
p
 p
±   −q
2
2
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01
Prefix
T
G
M
k
h
d
c
m
µ
n
p
freeLeaks
NpMaB ht2000
31(40)
Skriv om ekvationen på samma form som i FORMELSAMLINGEN. Vi får då
0 = x2 |{z}
−2 ·x −1,25 .
| {z }
p=−2
x1,2 = 1 ±
q=−1,25
q
12 − (−1,25) = 1 ±
q
2,25) = 1 ± 1,5
• Ekvationen har två rötter x1 = −0,5 och x2 = 2,5 vilket stämmer med fall A i
tabellen.
Tredje punkten i listan med uppgifter på sidan 37 är klar.
4/
Visa generell slutsats
En godtycklig linje har formeln
y = k·x+m
och linjen skär parabeln y = x2 för de x som är lösning till
x2 = k · x + m
0 = x2 − k · x − m.
(1)
Andragradsekvationen har två rötter x1 och x2 vilket betyder att den kan faktoriseras
enligt
0 = (x − x1 )(x − x2 )
(2)
0 = x2 − (x1 + x2 )x + x1 · x2
| {z }
k
| {z }
−m
Jämför ekvation (1) med (2). Följande slutsatser gäller alltså generellt då linjen var
godtycklig.
• Summan av x-koordinaterna x1 + x2 är lika med linjens riktningskoefficient k.
• Produkten av x-koordinaterna x1 · x2 är lika med y-koordinatens skärning med
y-axeln med omvänt tecken.
Sista punkten i listan med uppgifter på sidan 37 är klar och därmed är hela uppgiften
klar.
Kommentar Uppgiften är inte särskilt svår men det är flera olika delfrågor. Alla elever
ska kunna komplettera tabellen med x1 och x2 för fallen B, C och D. Att lösa
andragradsekvationen x2 − 2 x − 1, 25 = 0 ska också alla kunna. Att kunna redovisa
välstrukturerat, fullständigt och tydligt kräver vana och träning.
c G Robertsson 2016
buggar ⇒ [email protected]
2016-02-01