Glimtar ur matematikens
historia
HARRY LINDHOLM
I Nämnaren nr 2 började Harry Lindholm, Malmö, redogöra för några betydelsefulla insatser, som grekiska matematiker gjort under perioden 600 till 300 f Kr.
I denna artikel fortsätter han att berätta om de matematiker som var verksamma under perioden.
Tre svåra problem
Från mitten av 400-talet koncentreras en stor del
av de grekiska matematikernas tankar på lösandet av antikens tre berömda problem.
1. Vinkelns tredelning, dvs problemet att dela
en given vinkel i tre lika delar.
2. Cirkelns kvadratur, dvs problemet att konstruera en kvadrat, som har samma area
som en given cirkel.
3. Kubens fördubbling, dvs problemet att
konstruera sidan hos en kub, som har
dubbelt så stor volym som en given kub.
De grekiska matematikerna löste dessa problem
praktiskt och approximativt med olika hjälpmedel. De var emellertid inte nöjda med detta. De
ställde det kravet på sina geometriska konstruktioner att man för dessa endast fick använda
linjal och passare, och att linjalen endast fick
användas för att dra en linje genom två givna
punkter; passaren fick endast användas för att
med en given medelpunkt rita en cirkel, som går
genom någon annan punkt.
Det skulle dröja ända till 1800-talet innan man
kunde visa att det var omöjligt att med dessa
förutsättningar lösa de tre problemen. Arbetet
med att lösa dem ledde emellertid snart till många
betydelsefulla upptäckter, som t ex de koniska
sektionerna.
Intill våra dagar har älskare av matematik
sysselsatt sig med problemet om vinkelns tredelning. En del om dess behandling genom tiderna
kan man läsa i tidskriften Elementa (1921, 1927,
1935 och 1936).
Problemet att bestämma en cirkels area hade,
som tidigare nämnts, babylonierna löst med god
noggrannhet redan omkring 1800 f Kr. För att få
sidan i en kvadrat med samma area som cirkeln
tog de 8/9 av diametern. Grekerna kunde naturligtvis också beräkna cirkelns area med en viss
noggrannhet, men de ställde upp kravet att problemet om cirkelns kvadratur skulle lösas med
enbart passare och linjal.
En filosof vid namn Antifon, som omkring 450
f Kr skall ha varit en av Sokrates' trätobröder,
ansåg sig ha löst problemet. Han angav nämligen
en metod att konstruera i cirkeln inskrivna månghörningar med allt kortare sidor och kvadrater
som hade samma areor som månghörningarna.
En annan person vid namn Bryson angav en
metod att konstruera omskrivna månghörningar
med allt kortare sidor.
Dessa lösningar förkastades emellertid av de
antika matematikerna. De ansågs inte vara i överensstämmelse med spelreglerna.
Hippokrates
Under sina försök att lösa problemet om cirkelns
kvadratur gjorde Hippokrates från den joniska
ön Kios flera betydelsefulla upptäckter omkring
440 f Kr. Han skall ha varit den förste som skrivit
en lärobok i matematik. Den finns inte bevarad,
men delar av den har troligen infogats i Euklides
Elementa.
Den tidigare nämnde Eudemos, som omkring
320 f Kr skrev om grekiska matematiker, gjorde
också utdrag ur hans verk och dessa återges i sin
tur i det tidigare nämnda arbete som nyplatonikern Proklos skrev omkring 450 e Kr. Det som på
detta sätt blivit bevarat är några av Hippokrates'
bevis för att det åtminstone finns några kroklinjiga figurer vars areor exakt kan anges med hjälp
av kvadrater.
För att ge ett prov på Hippokrates' framställningskonst skall här lämnas en något förkortad
version av ett av de enklare problem han behandlar.
Utgångsfiguren är en likbent, rätvinklig triangel
på vars hypotenusa man ritat en halvcirkel. På
kateterna konstrueras också halvcirklar.
Hipparkos kände satsen att två likformiga figurers areor förhåller sig som areorna av kvadraterna på motsvarande sträckor. Denna sats för rätlinjiga figurer hade han troligen lärt av pythagoréerna." Nu skall Hippokrates ha visat att den
också gällde för cirkelsegment (och därför för
halvcirklar).
Härav följer att arean av halvcirkeln ADB
förhåller sig till arean av halvcirkeln m som
kvadraten på AD till kvadraten på AB, och då
kvadraten på AD är dubbelt så stor som kvadraten på AB, är arean av halvcirkeln ABD dubbelt
så stor som arean av halvcirkeln m. Denna area är
därför lika med arean av cirkelkvadranten ABC.
Men nu innehåller både halvcirkeln m och cirkelkvadranten ABC segmentet mellan A och B,
och därför måste den månskäreformade figuren
mellan A och B och triangeln ABC ha samma
areor. Triangelns area kan anges med en kvadrat
och därför kan också den angivna månskärans
area anges med en kvadrat.
Hippokrates fann andra månskäror, som också
kunde kvadreras. (Ett par fall finns behandlade i
tidskriften Elementa, nr 3, 1958 och nr 1, 1959.)
Men frågan om cirkelns kvadratur löste han inte.
Demokritos
En annan betydande matematiker, vars verk har
överlevt i ännu mindre grad, är Demokritos från
Abdera, som skall ha levat mellan ungefär 470
och 380. Han är mest känd för sin hypotes att
allting, även gudarna, om de nu finns, är uppbyggt av eviga, oföränderliga, odelbara partiklar
(atomer).
De problem som Zenon fäst uppmärksamheten
på togs också upp av Demokritos. Han skall ha
diskuterat frågan om två oändligt näraliggande
plana snitt i en kon skall betraktas som lika eller
olika stora. I det senare fallet skulle konen uppstå
trappstegsvis, i det första fallet skulle den enligt
Demokritos bli en cylinder. Enligt Arkimedes
skall han ha visat att en pyramid och en kon har
en volym som är 1/3 av volymen hos det prisma,
respektive den cylinder, som har samma bas och
höjd. Ett strikt hållbart bevis presenterades först
senare av Eudoxos.
Demokritos' matematik förkastades av Platons
skola, som kom att behärska de närmaste århundradena. Han bekämpade också rådande religiösa föreställningar och det var ytterligare ett
skäl till att Platon uttalade att Demokritos' böcker borde brännas. Kanske följdes hans uppmaning. I varje fall finns ingen enda av Demokritos'
skrifter bevarad, endast brottstycken är kända
genom citat och referat i andra författares skrifter. Av hans matematiska verk känner man nästan inget mer än titlarna. De visar att han sysslade
med infinitesimala problem. Hans atomteori
hade samband med dessa.
Platon
Av Platon (ca 427 till 347 f Kr) har vi däremot allt
som han publicerade bevarat. Han är den förste
filosof om vilkens åsikter vi är helt informerade.
Orsaken till detta är hängivenheten hos hans
lärjungar, som generation efter generation i den
av Platon grundade skolan i Aten skrev av hans
dialoger. Verksamheten i hans Akademi upphörde inte förrän 529 e Kr, då den stängdes på order
av kejsar Justinianus, som ville eliminera en medtävlare till den kristna högskolan i Konstantinopel.
I sin ungdom, men även senare, gjorde Platon
resor till av greker styrda städer i Afrika och
Italien och fick under dessa kunskap om bl a
pythagoréernas läror. I Aten påverkades han
starkt av de diskussioner som han hörde Sokrates
föra. Då Platon var cirka 40 år började han själv
undervisa i Aten och där uppstod en skola, som
kan betraktas som det första universitetet.
Liksom Sokrates var Platon huvudsakligen intresserad av moraliska frågor, hur människor
skulle bete sig, hur stater skulle styras. Aristokrat, som Platon var från födseln, var han inte
intresserad av teknik, experiment och praktiska
problem. Hans synsätt kom att prägla inriktningen av studier vid skolor och universitet under
medeltiden och långt fram i nyare tiden. Sökandet av kunskap var inte till för att lösa praktiska
problem, det var något för att utveckla själen.
Platon ansåg att den dåtida grekiska matematiken var ett ypperligt medel härvidlag. Dessa abstrakta begrepp, som endast fanns i idéernas
värld, och dess höga krav på logisk bevisföring
tilltalade honom. Flera antika författare påstår
att över ingången till den tomt där han undervisade skall ha stått att läsa: Må ingen som är
okunnig i geometri här inträda.
Platons Akademi blev under de närmaste århundradena centrum för matematisk forskning.
Studiet av naturen ägde rum på annat håll. På
grund av den stora auktoritet som Platon hade
under de flesta århundradena som följde, kom
hans uppskattning av matematiken att återspeglas
i undervisningen vid skolor och universitet fram
till vår tid.
De regelbundna polyedrarna kallas för de Platonska eller kosmiska kropparna. Anledningen är att
han i dialogen Timaios för fram pythagoréernas
idé att associera tetraedern, kuben, oktaedern och
ikosaedern med de fyra elementen eld, jord, luft
och vatten. Dodekaedern fick representera hela
universum. En vän till Platon, Theaitetos, är troligen den förste som bevisat att det ej finns fler
regelbundna polyedrar än de nämnda fem.
Pythagoréerna studerade noga sträckor och
vinklar i dessa kroppar. I Euklides' Elementa
finns beräkningar av förhållandet mellan kantlängderna hos de regelbundna polyedrarna och
radierna hos de omskrivna sfärerna. Det påstås
att dessa skall ha gjorts av den nämnde Theaitetos. Det är troligt att Johannes Kepler fått idén
till sitt ungdomsarbete, som trycktes 1596, genom
läsningen av denna utredning. Han sökte ju i sitt
cosmographicum visa att de olika planeternas
avstånd från solen bestämdes av de fem reguljära
polyedrarna. Ett fantasifullt arbete helt i pythagoréernas och Platons anda.
Eudoxos
Platons akademi blev under de närmaste århundradena centrum för matematisk forskning. En av
de största matematikerna bland Platons lärjungar
var Eudoxos från Knidos (ca 408 till ca 355 f Kr).
Han gjorde också betydande insatser inom astronomin. Det lär ha varit Platon som skall ha fått
honom att ge sig i kast med uppgiften att ge en
geometrisk representation av månens, solens och
de fem planeternas rörelser. Med hjälp av 26
sfärer, varav 20 för de fem då kända planeterna,
lyckades han beskriva de observerade rörelserna
hos de sju himlakropparna. Detta av cirklar och
sfärer styrda system utvecklades vidare av bl a
Aristoteles och Ptolemaios och kom att dominera
kosmologin under nästan två tusen år.
Eudoxos matematiska arbeten tycks helt ha
gått förlorade. En del har troligen infogats i
Euklides' Elementa. Enligt Arkimedes skall
Eudoxos vara den förste som strängt bevisat
formlerna för pyramidens och konens volym.
Han skall därvid ha använt den av honom uppfunna exhaustionsmetoden. I Sigma, s 142—143,
finns ett från Euklides hämtat bevis för satsen att
Cirklars areor förhåller sig till varandra som
kvadraterna av cirklarnas diametrar, varvid exhaustionsmetoden användes. Det är troligen hämtat ur ett arbete av Eudoxos.
Menaikmos
En av Eudoxos' lärjungar, Menaikmos (ca 375 till
325 f Kr), var det som lyckades finna en lösning
på problemet om kubens fördubbling, det s k
deliska problemet, som de grekiska matematikerna godtog. Detta namn har problemet fått på
grund av det svar som oraklet i Delfi skall ha gett
en deputation från ön Delos, som frågat hur man
skulle göra för att få slut på en pest som härjade.
Svaret blev att man skulle fördubbla storleken på
det kubiska altare som fanns på ön.
Praktiskt skulle man naturligtvis kunna ha löst
problemet genom att sätta in värden i en ekvation, som med våra beskrivningar kan skrivas,
X3 = 2a3, där a är sidan i det ursprungliga altaret.
Men denna metod att pröva sig fram var de
grekiska matematikerna inte nöjda med. Problemet skulle lösas geometriskt enligt de spelregler
för passare och linjal man ställt upp.
Det första bidraget till uppgiftens lösning, som
finns omtalat, tillskrives den tidigare nämnde
Hippokrates från Kios. Han överförde problemet
till att bestämma två medelproportionaler:
a/x = x/y = y/2a,
som ger x3 = 2a3. Men han kunde inte själv finna
någon konstruktion, som gav de två medelproportionalerna x och y till de givna sträckorna.
Under sitt arbete med att lösa problemet upptäckte Menaikmos den kurva som senare fick
namnet parabel. Vägen som han gick var lång och
jag får hänvisa den som i detalj vill veta hur han
tänkte till de redogörelser som finns hos t ex Poul
la Cour och Carl Boyer. Kortfattat kan hans
tankegång återges så här.
Om man skär en rät cirkulär kon med rät
toppvinkel med plan vinkelräta mot en generatris
så uppstår skärningskurvor, som vi med moderna
beteckningar karakteriserar med hjälp av ekvationer y2 = 1x, där 1 är en konstant, som beror på
planets avstånd från konens topp. Ett obegränsat
antal punkter på en sådan kurva kunde Menaikmos konstruera med passare och linjal.
Dessa upptäckter ledde till att de koniska sektionerna kom i centrum för matematikernas intresse. Man kunde snart visa att de tre slagen av
kurvor kunde erhållas genom snitt i en godtycklig
rät kon. Före år 300 f Kr skrev Aristaios ett verk i
fem böcker om kägelsnitt.
Menaikmos uppges ha undervisat Alexander
den store i geometri. Eleven skall ha beklagat sig
över att de geometriska bevisen var så långa och
bett Menaikmos att förkorta dem — och de
grekiska matematikernas höga krav på stringens
(och att den analytiska geometrin inte var uppfunnen) gjorde verkligen bevisen omständliga och
ställde höga krav på logiskt tänkande.
Aristoteles
Konstruerade han två sådana parabler som figuren visar, där 1 i ena fallet är den givna kubens
kant a och i andra fallet 2a, kommer de två
kurvornas skärningspunkt (x, y) att uppfylla villkoret
Det avstånd som vi betecknat med x är således
kanten hos den kub, som skulle konstrueras.
Menaikmos upptäckte också de kurvor som
senare fick namnen ellips och hyperbel. Han
visade också att den förstnämnda kunde erhållas
genom att lägga ett snitt vinkelrätt mot generatrisen i en spetsvinklig rät kon och att man kunde få
hyperbeln genom att lägga ett snitt vinkelrätt mot
generatrisen i en trubbvinklig rät kon.
En som undervisade Alexander under hans barndom var Aristoteles från Stagira i Makedonien
(384 till 322 f Kr). Han hade liksom Menaikmos
följt Platons undervisning, men tog inte som
denne avstånd från bruket av sinnenas vittnesbörd för att vinna kunskap. Aristoteles hade
också haft Eudoxos som lärare och denne, som
byggde sin astronomi på egna observationer, har
troligen påverkat honom härvidlag. Att Aristoteles' far var läkare har säkert också spelat en roll.
Men det var egentligen bara inom biologin som
Aristoteles i avgörande grad baserade sina slutsatser på egna, noggranna observationer. Hans fysik
präglades i hög grad av spekulationer. Han hade
en otrolig analytisk begåvning, som han utnyttjade för att behandla nästan allt slags vetande. Det
var endast matematiken som han lämnade åt
sidan. Genom att lägga grunden till logiken och
genom att i sina skrifter ofta hänvisa till begrepp
och satser inom matematiken kom han dock
indirekt att främja dess utveckling.
Då Platon dog startade Aristoteles, som inte
kunde förlika sig med Platons tankesystem, en
konkurrerande skola i Aten, som kallades Lykeion (vårt lyceum). Hans närmaste lärjungar
fortsatte att behandla naturvetenskapliga frågor.
Men inte långt efter Aristoteles' död upphörde
hans skola. Forskning längs de vägar som Aristoteles anvisat fortsatte i stället vid det bibliotek
som omkring 300 f Kr började byggas upp i
Alexandria.
