TERMINOLOGI = hur det heter på matte språket

advertisement
Matematik 1a
Nobel
MATEMATIK
Detta kompendiet är gjort av Anna Malmberg och skall fungera som ett av flera stöd för dig
som studerar matematik. Många tror sig vara dåliga på matematik för att de inte kan räkna ut
saker snabbt i huvudet men oftast vinner dessa elever i längden därför att de är noggrannare
med att lära sig de rätta räkneteknikerna och det matematiska språket. Själv hade jag svårast
med att inse att jag behövde jobba med baskunskaperna och det var också dessa jag hade
svårast att lära. Sedan det jobbet väl var gjort märkte jag inte att matematikkurserna blev
svårare, det är då bara nya tekniker och uppställningar.
Hur lyckas man med sina matematikstudier?
Självklart måste du ta ansvar för ditt eget arbete men säg också till din lärare i tid om du
tycker något är svårt eller oklart. En god dialog med din lärare är en förutsättning för att
denne ska kunna hjälpa dig på bästa sätt. Det finns många små enkla recept som din lärare kan
ge dig för att du ska komma i gång så länge som du är beredd att göra din del av jobbet.



Ta reda på vad du behöver kunna, innan du börjar räkna. Till varje avsnitt finns mål
angivna. Om du redan kan en sak behöver du inte göra alla sådana uppgifter.
Läs bokens exempel noga. Använd också boken för att ta reda på sådant du gjort tidigare
men kanske glömt.
Gör dina uppgifter så snyggt att vem som helst kan förstå din text och dina beräkningar.
På slutprovet får man många gånger några gratispoäng för en rimlig ansats även om man
inte lyckas lösa uppgiften. Markera alltid ett tydligt svar och glöm inte att ange en enhet
om det skall vara en sådan i svaret. Stryk allt som du inte vill ha bedömt på provet.
1. Förstå problemet, återberätta gärna med egna ord.
2. Planera lösningen; med hjälp av liknande problem du stött på eller genom att förenkla
problemet, titta på vilka enheter som ingår och vilka som efterfrågas, rita bilder eller
gör diagram o s v, välj metod
3. Genomför planen
4. Granska resultatet; Kan det vara rimligt? Kan man få fram svaret på annat sätt? - Det
är bättre att lösa ett problem på fem olika sätt än att lösa fem olika problem.
5. För de allra högsta betygen, ge generella lösningar i stället för numeriska exempel.
Följer du dessa punkter och ger matematiken den tid den behöver kommer det helt säkert att
gå bra för dig. Använd alltid och ha alltid med dig tillåtna matematiska hjälpmedel så som:







Dator
Bok
Linjal
Passare
Gradskiva
Miniräknare
Formelsamling
Matematik 1a
Nobel
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
Matematik 1a kursplan ............................................................................................................... 4
TERMINOLOGI = hur det heter på matte språket .................................................................... 5
Likhetstecknet = fungerar som en balansvåg ......................................................................... 5
Synonymer = Samma sak har olika namn och kan se olika ut ............................................... 5
Decimalform Bråkform
Blandadform
Procentform ................................. 5
GRUNDLÄGGANDE MATEMATIK ...................................................................................... 6
Additions- och subtraktionsalgoritmen=uppställning för plus och minus ............................. 6
Avrunda ett tal ........................................................................................................................ 6
Närmevärden .......................................................................................................................... 7
Tumregler för beräkning av närmevärden .............................................................................. 7
Överslagsräkning .................................................................................................................... 7
MULTIPLIKATION = GÅNGER ............................................................................................. 8
Multiplikationsalgoritmen ...................................................................................................... 8
Multiplikation och division med 10, 100 och 1000 ska gå som en dans ................................ 9
Matematiska tricks ............................................................................................................. 9
DIVISION = DELA MED = DIVIDERA MED ...................................................................... 10
Divisionsalgoritmen eller uppställningen, liggande stolen .................................................. 10
Tre olika räknemetoder för division ..................................................................................... 11
Bråk en divisionsmetod ........................................................................................................ 12
Förlänga och förkorta ........................................................................................................... 12
Faktorisera ........................................................................................................................ 12
Delbarhet och primtal ............................................................................................................... 13
BRÅK ....................................................................................................................................... 16
Summa och differens av två bråk ......................................................................................... 16
Summa och differens av heltal och bråk .............................................................................. 16
Multiplikation och division av två bråk ............................................................................... 16
Multiplikation och division av ett heltal och ett bråk ........................................................... 16
PRIORITERINGSREGLERNA= I vilken ordning vi ska räkna ............................................. 17
POTENSER, EXPONENTER OCH PREFIX ......................................................................... 18
Prefix .................................................................................................................................... 18
Potens ................................................................................................................................... 18
Potensregler .......................................................................................................................... 18
EN TRIANGEL ÄR TRE FORMLER..................................................................................... 19
PROCENT=hundradelar .......................................................................................................... 21
Procentenheter ...................................................................................................................... 21
Förändringsfaktorn = ff ........................................................................................................ 21
Lägesmått ............................................................................................................................. 22
Spridningsmått ..................................................................................................................... 22
Diagram ................................................................................................................................ 23
SANNOLIKHETSLÄRA......................................................................................................... 24
Några grundbegrepp ur sannolikhetsläran ............................................................................ 24
SKALA..................................................................................................................................... 25
KOORDINATSYSTEM .......................................................................................................... 26
Grafer ................................................................................................................................... 26
Funktioner ............................................................................................................................ 27
Linjära funktioner ................................................................................................................. 27
PROPORTIONSLÄRA ELLER FÖRHÅLLANDE ................................................................ 28
GEOMETRI ............................................................................................................................. 31
Trigonometri ............................................................................................................................. 33
hurdetfunkar.se
2
Matematik 1a
Nobel
Vektorer och skalärer ............................................................................................................... 34
Pil-representation av vektor ................................................................................................. 34
Hur de hela talen från 1 till 100 är uppbyggda ......................................................................... 35
Lathund för enhetsomvandlingar ............................................................................................. 36
hurdetfunkar.se
3
Matematik 1a
Nobel
Matematik 1a kursplan
100 poäng Kurskod: MATMAT01a. Kursen matematik 1a omfattar punkterna 1-7 under
rubriken Ämnets syfte. Se www.skolverket.se Här ges endast det centrala innehållet och
målen. Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla
förmåga att:
1. använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan
begreppen.
2. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.
3. formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier,
metoder och resultat.
4. tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och
utvärdera en modells egenskaper och begränsningar.
5. följa, föra och bedöma matematiska resonemang.
6. kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.
7. relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett
yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang.
Taluppfattning, aritmetik och algebra
Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och
karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier
för att använda digitala verktyg. Strategier för att använda hjälpmedel från karaktärsämnena,
till exempel formulär, mallar, tumregler, föreskrifter, manualer och handböcker. Hantering av
algebraiska uttryck och för karaktärsämnena relevanta formler samt metoder för att lösa
linjära ekvationer.
Geometri
Egenskaper hos och representationer av geometriska objekt, till exempel ritningar, praktiska
konstruktioner och koordinatsystem. Geometriska begrepp valda utifrån karaktärsämnenas
behov, till exempel skala, vektorer, likformighet, kongruens, sinus, cosinus, tangens och
symmetrier. Metoder för mätning och beräkning av storheter som är centrala för
karaktärsämnena. Enheter, enhetsbyten och behandling av mätetal som är centrala för
karaktärsämnena samt hur man avrundar på ett för karaktärsämnena relevant sätt.
Samband och förändring
Fördjupning av procentbegreppet: promille, ppm och procentenheter. Begreppen
förändringsfaktor och index samt metoder för beräkning av räntor och amorteringar för olika
typer av lån. Begreppen förhållande och proportionalitet i resonemang, beräkningar,mätningar
och konstruktioner. Skillnader mellan linjära och exponentiella förlopp.
Sannolikhet och statistik
Beskrivande statistik med hjälp av kalkylprogram samt granskning av hur statistiska metoder
och resultat används i samhället och i yrkeslivet. Begreppen beroende och oberoende
händelser samt metoder för beräkning av sannolikheter vid slumpförsök i flera steg med
exempel från spel och risk- och säkerhetsbedömningar.
Problemlösning
Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och
verktyg. Hur matematiken kan användas som verktyg i behandlingen av omfångsrika
problemsituationer i karaktärsämnena. Matematikens möjligheter och begränsningar i dessa
situationer. Matematiska problem av betydelse för privatekonomi, samhällsliv och
tillämpningar i andra ämnen. Matematiska problem med anknytning till matematikens
kulturhistoria.
hurdetfunkar.se
4
Matematik 1a
Nobel
TERMINOLOGI = hur det heter på matte språket
Summa = term + term
Ex
8=4+4=2+4+2=2+6
addition
Differens = term - term
Ex
4 = 8 – 4 = 10 – 6 = 6 - 2
subtraktion
Produkt = faktor • faktor
Ex
20 = 2 • 10 = 4 • 5 = 2 • 2 • 5
multiplikation
Kvot =
täljare
nämnare
Dessa ord måste man kunna
för att förstå vad läraren
pratar om och vad boken vill
att vi ska utföra. Det är lika
viktigt att lära sig
mattespråket som det är att
lära sig räkna. Det är precis
som att lära sig vilket språk
som helst, det går inte att tala
med någon om man bara kan
glosor.
division
Likhetstecknet = fungerar som en balansvåg
Likhetsteknet ,=, är den viktigaste symbolen i matematik och får endast användas där det står
samma sak på vänster och höger sida om tecknet trots att uttrycken kan ha olika utseende.
Ex 4 = 6-2 = 4 + 1 -1 = 8/2 = 2•2 = 1 + 3 = -1+5
Synonymer = Samma sak har olika namn och kan se olika ut
Precis som i svenskan har matematiken massor med synonymer, samma sak kan skrivas på
många sätt som kan se olika ut. Det underlättar för oss om vi kan lära oss dessa både för att
man ska förstå vad som efterfrågas och för att inte krångla till saker i onödan. Framförallt är
det viktigt att förstå var vi kan sätta ut ett likhetstecken och var vi inte kan göra det.
Decimalform
Bråkform
Blandadform
Procentform
1,0 = 1
1
1
1
1
100%
0,01
0,01  100
1

100
100
1
100
1%
1
4
25%
0,25
0,25  100 25
25
1



100
100 4  25 4
1,25
1,25  100 125 5  25 5



100
100 4  25 4
1 4  1 1
1
4
4
125%
Blandad form finns bara hos tal där decimalformen är större än ett.
Det finns också andra saker som är lika men ser olika ut
1 km=1000 m= 10 000dm= 100 000cm =1 000 000mm
1 mil=10 km=100hm=10 000 m= 100 000dm= 1000 000cm =10 000 000mm
1 kg=1000g=10 000dg=100 000cg =1000 000mg
hurdetfunkar.se
5
Matematik 1a
Nobel
GRUNDLÄGGANDE MATEMATIK
Jämna tal; alla tal som slutar på 0, 2, 4, 6, 8
Udda tal; alla tal som slutar på 1, 3, 5, 7, 9
tiondel
tiotal
tusental
tusendel
5272,528
hundratal
hundradel
ental =
endel
Plus och minus
Oavsett om vi räknar plus eller minus i huvudet eller på papper går det i stort sett ut på att
addera eller subtrahera tiotal med tiotal och ental med ental osv.
Tre decimaler
Ex 43 + 22= (40+20)+(3+2) = 60+5 = 65
En decimal
Bakom varje heltal finns ett osynligt kommatecken. Ex 3 = 3,0 = 3,00 = 3,000 osv
Additions- och subtraktionsalgoritmen=uppställning för plus och
minus
Då vi räknar plus och minus för hand ska kommatecknet alltid stå under varandra, då hamnar
automatiskt tiotalen under tiotalen och entalen under entalen osv.
12+9,45
1
12,00
+9,45
21,45
335,05+49+2
1
335,05
49,00
+ 2,00
386,05
Det är lättare att
räkna plus och
minus om man har
samma antal
decimaler
12-9,45
10 10 10 Då vi räknar minus
Plusuppställningen
fungerar även då vi
adderar fler än två
tal. Detta gäller
inte för minus
335,05-49-2
12,00
- 9,45
2,55
10
3 3 5,05
- 5 1,00
2 8 4,05
måste alltid det
största talet stå
längst upp
Det finns ingen
uppställning för flera
minustal. Du måste
lägga ihop de negativa
talen alltså de tal med
ett minustecken på
vänster sida för sig.
-49-2 = -(49+2) = -51
Avrunda ett tal
Många gånger ombeds vi att avrunda ett tal. Det avrundade talet kallas för ett närmevärde.
Vi tänker oss en tallinje
8
8,5
9
Trots att punkten 8,5 ligger precis mitt mellan punkten 8 och 9 avrundas denna punkten uppåt
till närmevärdet 9 då vi ska avrunda till närmaste heltal. Alla tal som slutar på 5, 6, 7, 8, 9
avrundas uppåt. Alla tal som slutar på 1, 2, 3, 4 avrundas neråt. Talet 5272,528 avrundas till
5000 om det avrundas till närmaste tusental.
hurdetfunkar.se
6
Matematik 1a
Nobel
Närmevärden
Vi har talet 7 354,825 som vi nu ska avrunda till olika närmevärden;
Vi ska alltid titta på siffran bakom det tal som vi ska avrunda till för att veta om vi ska
avrunda uppåt eller neråt.
närmaste heltal 7 354,825  7 355
närmaste hundratal 7 354,825  7 400
närmaste ental 7 354,825  7 355
närmaste hundradel 7 354,825  7 354,83
närmaste tusental 7 354,825  7 000
till två decimaler 7 354,825  7 354,83
Tumregler för beräkning av närmevärden
Vid multiplikation och division av närmevärden: Låt det närmevärde som har minst antal
värdesiffror bestämma antalet siffror i slutresultatet.
Vid addition och subtraktion av närmevärden: Låt det närmevärde som har minst antal
decimaler bestämma antalet decimaler i slutresultatet.
Antalet värdesiffror i ett tal tycker många är svårt att bedöma men titta noga på följande
exempel så kommer du att fatta galoppen.
Ex 0,1 020 har fyra gällande siffror (värdesiffror).
Ex 0,0 000 001 020 har fyra gällande siffror, de andra nollorna är bara där för att bestämma
storleksordningen på talet
.
Ex 1,020 har fyra gällande siffror.
Ex 1,020 000 har sju gällande siffror.
Ex 0,020 000 har fem gällande siffror.
Ex 1,20 har tre gällande siffror.
Ex 1 020 har tre eller fyra gällande siffror, här kan man inte veta om osäkerheten ligger i
tredje eller fjärde siffran oftast behandlar man dock talet som om det hade tre gällande siffror.
Ex 1 020 000 har tre, fyra, fem, sex eller sju gällande siffror, oftast behandlar man dock talet
som om det hade tre gällande siffror.
Ex 1 020 002 sju gällande siffror.
Använd tumreglerna och ge aldrig svaret med för många värdesiffror eller för många
decimaler. I början kan det kännas som att man slarvar när man avrundar svaren och inte
anger svaret med lika många decimaler som miniräknaren visar men det är precis tvärt om.
Överslagsräkning

Vid multiplikation: Den ena faktorn ökas och den andra minskas 2,71 85  3  80  240

Vid addition: Den ena termen ökas och den andra minskas 751  453  700  500

Vid division: Både täljare och nämnare ökas eller minskas

Vid subtraktion: Båda termerna ökas eller minskas 6321  834  6300  800  500
hurdetfunkar.se
548 600

1,53
2
7
Matematik 1a
Nobel
MULTIPLIKATION = GÅNGER
Multiplikationsalgoritmen
Vid multiplikation med tal som man inte klarar att räkna i huvudet kan man ställa upp talet
och räkna ut det för hand. Nedan finns några exempel vilka du kan träna in tekniken med:
723 = 216
735 = 365
7 2
 3
2 1 6
7 3
 5 1
3 6 5
4713 = 611

1
+ 4
6
4
1
4
7
1
5653 = 2968
7
3 2
1

1
+ 2 8
2 9
1
72354 = 255488
3 5
 7
7 0
+ 2 4 7 8
2 5 4 8
4 2 3
2 1
8
8
5
5
6
0
6
6 3
3 1
8
8
8454 = 3380
8 4 5
4 2 1

3 3 8 0
9614 = 1344

3
+ 9
1 3
9
1
8
6
4
6 1
4 2
4
4
72354 = 255488
723,54 = 2554,88
7 2 1
3 5 4
2 8 8
3 6 0
2 1 6
2 5 4 8 8
3, 5
 7
7 0
+ 2 4 7 8
2 5 4, 8
4 2 3
2 1
8
8
Vid multiplikation med decimaltal ska man multiplicera talen som om de vore heltal och
sedan sätta dit så många decimaler som talen tillsammans bestod av från början. Antalet
decimaler är det samma som antalet siffror efter kommatecknet.
hurdetfunkar.se
8
Matematik 1a
Nobel
Multiplikation och division med 10, 100 och 1000 ska gå som en
dans
Att multiplicera och dividera med 10, 100, 1000 är lätt att lära sig och väldigt viktigt att
kunna. Detta är sådant man ska kunna räkna i huvudet.
talen blir 10,100 eller 1000 gånger större
Vid multiplikation med 10, 100 eller 1000 flyttar man kommatecknet åt höger
210 = 20
325010 = 32 500
0,4510 = 4,5
2100 = 200
3250100 = 325 000
0,45100 = 45
21000 = 2000
32501000 = 3 250 000
0,451000 = 450
Multiplikation med andra tiotal, hundratal och tusental är lika enkelt. Först räknar man ut
siffrorna i talet sedan lägger man på nollorna.
240 = 80
2500 = 1000
26000 = 12000
325020 = 6 5000
3250300 = 975 000
50005000 = 25 000 000
talen blir 10,100 eller 1000 gånger mindre
0,452 = 0,90 = 0,9
Tal blir
0,92 = 1,8
dubbelt så
0,52 = 1
stora vid
multiplikation
med 2
Vid division med 10, 100 eller 100 flyttar man kommatecknet åt vänster
2/10 = 0,2
3250/10 = 325
0,45/10 = 0,045
2/100 = 0,02
3250/100 = 32,5
0,045/10 = 0,0045
2/1000 = 0,002
3250/1000 = 3,25
0,45/1000 = 0,00045
Matematiska tricks
Ju mer man lär sig att leka med talen
desto roligare blir matematiken
Att dividera med 0,5 är det samma som att multiplicera med 2
25/0,5 =252 = 50
44/0,5=442 = 88
632/0,5=6322 = 1264
Att multiplicera med 0,5 är det samma som att dividera med 2
250,5 =25/2 = 12,5
440,5=44/2 = 22
6320,5=632/2 = 316
Att dividera med 0,1 är det samma som att multiplicera med 10
2/0,1 =210 = 20
325/0,1 = 32510 = 3250
4,5/0,1 =4,510 = 45
Att multiplicera med 0,1 är det samma som att dividera med 10
20,1 =2/10 = 0,2
3250,1 = 325/10 = 32,5
4,50,1 =4,5/10 = 0, 45
Att dividera med 0,25 är det samma som att multiplicera med 4
2/0,25 =24 = 8
325/0,25 = 3254 = 1300
4,5/0,25 =4,54 = 18
Att multiplicera med 0,25 är det samma som att dividera med 4
20,25 =2/4 = 0,5
3280,25 = 328/4 = 82
4,40,25 =4,4/4 = 1,1
Detta beror på att 0,5=1/2 och 0,1=1/10 samt att 0,25=1/4. Tänk på om du multiplicerar eller
dividerar med ett tal som är större eller mindre än ett och undersök vad som då sker.
hurdetfunkar.se
9
Matematik 1a
Nobel
DIVISION = DELA MED = DIVIDERA MED
Glöm aldrig den enkla regeln att nämnaren står nederst och
att svaret man får kallas kvot.
täljare
 kvot
nämnare
Vid divison med två är det enklast att tänka att kvoten är hälften 8,6/2=4,3
Vid divison med fyra är det enklast att tänka att kvoten är hälften av hälften
8,6/2=4,3=4,30  8,6/4=2,15
Divisionsalgoritmen eller uppställningen, liggande stolen
Det finns många olika sätt att räkna division men även om algoritmerna ser olika ut så
fungerar de i stort på samma sätt. Det finns också tekniker som gör att man kan ”dela” utan att
behöva använda någon algoritm.
393
 131
3
1 3 1
3 9 3 3
3
0 9
9
0 3
3
0 0 0
759
 253
3
2 5 3
7 5 9 3
6
1 5
1 5
0 9
9
0 0 0
8118
 2706
3
2 7 0 6
8 1 1 8 3
6
2 1
2 1
0 0 1
0
1 8
1 8
0 0 0 0
6420
 1070
6
1 0 7 0
6 4 2 0 6
6
0 4
0
4 2
4 2
0 0 0
0
0 0 0 0
25,2
 6,3
4
0 6, 3
2 5, 2 4
0
2 5
2 4
0 1 2
1 2
0 0 0
564
 141
4
1 4 1
5 6 4 4
4
1 6
1 6
0 0 4
4
0 0 0
hurdetfunkar.se
10
Matematik 1a
Nobel
Det går även att räkna division med decimaltal men ska man ställa upp och räkna ut
decimaltal måste man alltid först förlänga talet både i täljaren och nämnaren så att åtminstone
nämnaren blir utan decimaler, lägg särskilt märke till att alla sidor om likhetstecknet är lika.
48,9 48,9 10 489
58,44 58,44 100 5844


 97,8 Detta kallas att förlänga talet


0,5
0,5 10
5
0,12
0,12 100
12
489
 97,8
5
0 9 7 ,8
4 8 9 5
0
4 8
4 5
0 3 9
3 5
0 4 0
4 0
0 0 0 0
5
4
1
0
0
5844
 487
12
4 8 7
8 4 4 1 2
8
0 4
9 6
0 8 4
8 4
0 0 0
25
 8,3
3
0 8 ,3 3 3
2 5 3
0
2 5
2 4
0 1 0
9
1 0
9
1 0
9
0 0 0 0 1
Tre olika räknemetoder för division
De tre olika räknemetoderna för division. Välj den du tycker är enklast och bli riktigt bra på
den, kortdivision och bråkräkningsmetoden tas upp längre fram i kompendiet. Bråkräkningsmetoden går bara att använda på tal som går jämt ut och det är en jätte bra metod på tal som är
lätta att faktorisera d v s dela upp i faktorer.
Kort division
195/3 = 65
1
1 9 5
3
65
-
Liggande stolen
195/3 = 65
6 5
1 9 5 3
1 8
1 5
- 1 5
0 0
Bråkräkning
195/3 = 65
faktor
1 9 5
3
faktor
3 6 5
3
65
På matte språket heter
detta att faktorisera
195 =365 och
förkorta bort 3:an
Förr använde man en metod som kallades trappan som divisionsuppställning. Den påminner
om liggande stolen men man byter plats på täljare och nämnare.
hurdetfunkar.se
11
Matematik 1a
Nobel
täljare
 kvot
nämnare
Bråk en divisionsmetod
Det lättaste sättet att dividera tal där man kan hitta gemensamma faktorer är bråkmetoden.
Denna metod används mest på tal där kvoten inte blir ett decimaltal, man kan också använda
denna metod för att förlänga eller förkorta tal.
Förlänga och förkorta
Vi kan göra om decimaltal genom att förlänga talet i både täljaren och nämnaren så att täljare
och nämnare blir utan decimaler.
93,6 93,6  10 936
5,64 5,64  100 564


Detta kallas att förlänga talet


0,6
0,6  10
6
0,04 0,04  100
4
Faktorisera
Om vi vill använda bråkräkningen som en divisionsmetod så gäller det att hitta faktorer som
är gemensamma både i täljare och nämnare, faktor * faktor = Produkt = multiplikation.
Stegvis slår man bort faktorer tills det inte går att slå bort fler faktorer. Går det inte att slå bort
fler faktorer har man fått sitt svar trots att talet kanske fortfarande är i bråkform.
936 468  2
468 156  3

 1

 1  156  156 Detta kallas att förkorta talet
6
23
3
3
564 282  2
282 141  2

 1

 1  141  141 Jämna tal kan man alltid börja med att dela med 2
4
22
2
2
Om täljaren är mindre än nämnaren blir kvoten alltid mindre än ett.
84 4  3  7
21
3 7
1 1

 1  1  4  4 Blir kvoten större eller mindre än ett?

 1  1    0,25
21
3 7
84 4  3  7
4 4
Om täljaren är större än nämnaren blir kvoten alltid större än ett.
Gör alltid en uppskattning av svarets
storleksordning innan du börjar räkna,
åtminstone så du vet om svaret kommer att
bli större eller mindre än ett.
68 2  2  17
2  17 34

 1

När det bara finns primtal kvar i täljare och nämnare är man klar
14
27
7
7
Se primtalstabellen där alla tal från ett till hundra är faktoriserade
Att kunna förlänga och förkorta tal har man stor användning av i matematiken. Det är lätt att
förstå att man får förlänga och förkorta tal om man kommer ihåg den matematiska regeln att
a/a=1 på samma sätt som att 2/2=1, 3/3=1 och /=1.
Om man vill förlänga ett heltal kan man tänka att 2 
hurdetfunkar.se
2 24 8


1 1 4 4
12
Matematik 1a
Nobel
Dessa tal är samma tal som vi dividerat med hjälp av liggande stolen och jag kommer även att
visa hur de beräknas med kort division. Här är de beräknade med bråkmetoden även om
denna metod nog är lite svår på så här stora tal eftersom det kan vara svårt att hitta faktorerna
hos talet.
393 3 131

 1131  131
3
3
759 3  253

 1 253  253
3
3
8118 3  2706

 1 2706  2706
3
3
täljare
 kvot
nämnare
faktor•faktor = produkt
3 1070
6420 2  3210

 1
 11070  1070
6
23
3
252 fullständigt faktoriserad
faktorform
bråkform
25,2 25,2  10 252 2  2  3  3  7
3  3  7 63



11

 6,3
4
4  10
40
2225
25
10
decimalform
40 fullständigt faktoriserad
faktorform
2 141
564 2  282

 1
 1141  141
4
22
2
489 3 163 489


 97,8 Talet 163 råkar vara ett primtal, dessa tal går inte att faktorisera
5
5
5
2 1461
3  487
5844 2  2922

 1
 1
 1 487  487
12
26
23
3
25 5  5 25


 8,3333  8,3 När man får den här typenav kvot är det bättre att ge svaret på bråkformen.
3
3
3
Delbarhet och primtal
•Ett tal är delbart med 2 om talet är jämt, d v s slutar med 0, 2, 4, 6 eller 8
•Ett tal är delbart med 5 om talet slutar med o eller 5
•Ett tal är delbart med 3 om talets siffersumma är delbar med 3
ex 51 siffersumma=5+1=6 eftersom 6 är delbar med 3 är 51 och 51=3•17
Ej primtal
Ej primtal
Ej primtal
Primtal är ett heltal som är större än 1 och som bara är helt delbart med sig självt och 1. Det finns oändligt
många primtal Ex 101 är ett primtal ej delbart med 2, ej delbart med 3, ej delbart med 5 och ej delbart med 7, 11,
13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 o s v. 91 är ej ett primtal eftersom 91=7•13
hurdetfunkar.se
13
Matematik 1a
Nobel
Kort division = En metod för att kunna dela.
Då man räknar plus, minus och gånger brukar man börja alla beräkningar från höger men då
vi räknar ”dela med” ska vi börja från vänster, man börjar alltså alltid att dela den största
positionssiffran av talet. Det verkar som man på de flesta högstadier i dag slutat med
algoritmer som den liggande stolen och allt mer använder sig av tekniker som kortdivision.
Steg 1
Steg 2
Steg 3
3 9 3
= 1 3 1
3
3 9 3
= 1 3 1
3
3 9 3
= 1 3 1
3
2
Steg 1
8 1 1 8
=2 7 0 6
3
1
Steg 1
Du kan göra kortdivisionen på en rad
men visas här på flera
rader för att stegvis
visa hur man går till
väga.
Detta är en jätte bra
metod som är ganska
ny i skolan vilket gör
att dina föräldrar
troligtvis inte känner
till den.
1
Steg 2
7 5 9
=2 5 3
3
Steg 3
7 5 9
=2 5 3
3
Steg 1
2
Steg 2
8 1 1 8
=2 7 0 6
3
8 1 1 8
=2 7 0 6
3
Steg 2
8 1 1 8
=2 7 0 6
3
6 4 2 0
=1 0 7 0
6
4
Steg 3
6 4 2 0
=2 0 7 0
6
Steg 4
6 4 2 0
=2 0 7 0
6
1
Steg 4
6 4 2 0
=1 0 7 0
6
4
1
Steg 3
7 5 9
=2 5 3
3
Det går även att räkna kortdivision med decimaltal men ska man ställa upp och räkna ut
decimaltal måste man alltid först förlänga talet både i täljaren och nämnaren så att åtminstone
nämnaren blir utan decimaler.
2,52
0, 4

2,52  10
0, 4  10
hurdetfunkar.se

25, 2
4
 6,3 Detta kallas att förlänga talet
5,64
0,04

5,64  100 564

0,04  100
4
14
Matematik 1a
Nobel
1 0
4
Steg 1
Steg 1
4 8 9
=0 9 7,8
5
1 0 8
4 3
Steg 2
Steg 2
4 8 9
=0 9 7,8
5
5 8 4 4
=4 8 7
1 2
8
3 4
Steg 3
5 8 4 4
=4 8 7
1 2
Steg 3
4 8 9
=0 9 7,8
5
5 8 4 4
=4 8 7
1 2
2
4 0
Steg 4
4 8 9
=0 9 7,8
5
Steg 1
2 5
 0 8,3 3 3 3
3
2 1
I bland kan det hända att talen inte
går jämt ut då brukar man runda av
svaret med lämpligt antal decimaler.
Det finns faktiskt regler för hur många decimaler
man skall ta med i svaret men tar man med en eller
två decimaler så brukar det oftast bli rätt.
Steg 2
2 5
 0 8,3 3 3 3
3
1 
Steg 3
2 5
 0 8,3 3 3 3
3
1 
Steg 4
6 4
 0 8,3 3
3
Glöm inte avrundningsreglerna!!!!!!!!
Alla tal där siffran bakom slutar på 5,6,7,8,9 avrundas uppåt
Alla tal där siffran bakom slutar på 1,2,3,4 står kvar oförändrad
Vi ska alltid titta på siffran bakom det tal som vi ska avrunda
till för att veta om vi ska avrunda uppåt eller neråt.
Vi har talet 7 354,825 som vi nu ska avrunda till olika närmevärden;
närmaste heltal 7 354,825  7 355
närmaste ental 7 354,825  7 355
närmaste tusental 7 354,825  7 000
hurdetfunkar.se
närmaste hundratal 7 354,825  7 400
närmaste hundradel 7 354,825  7 354,83
till två decimaler 7 354,825  7 354,83
15
Matematik 1a
BRÅK
Nobel
Kvot
=
täljare
nämnare
Det finns massor av olika sätt att tänka och ställa upp bråkräkning, ofta kan man rita figurer
för att förenkla bråkräkningen vilket ofta boken gör. Tänkt på att den blandade formen
1
1 2
2 =2,5 inte är det samma som produkten 2 =  1 . Ett annat sätt att säga samma sak är
2
2 2
1
1
att skriva 2  2  d v s 2,5 är inte lika med 1.
2
2
Om ett svar är avrundat ska man använda symbolen  i stället för symbolen =
Summa och differens av två bråk
A.
S.
Vid addition av två bråk måste nämnarna vara lika stora, sedan adderar man täljarna
2 5 2  2 5  3 4 15 4  15 19 3  6  1
1
1
 

  


 3   3  3,17
3 2 3 2 23 6 6
6
6
6
6
6
Samma för subtraktion av två bråk
2 5 2  2 5  3 4 15 4  15 11 1  6  5
5
5
 

  
 
 1   1  1,83
3 2 3 2 23 6 6
6
6
6
6
6
Summa och differens av heltal och bråk
A.
S.
Vid addition av ett heltal och ett bråk kan man göra så här
5 2 5 2  2 5 4 5 4  5 9 4  2 1
1
1
2   
   
 
 4   4  4,5
2 1 2 1 2 2 2 2
2
2
2
2
2
Samma för subtraktion av ett heltal och ett bråk
5 2 5 2  2 5 4 5 4  5 1 0  2 1
1
2   
   


   0,5
2 1 2 1 2 2 2 2
2
2
2
2
Multiplikation och division av två bråk
M.
Två bråk multipliceras med täljare mot täljare och nämnare mot nämnare
2 2 22 4
 

 0,08
7 7 7  7 49
D. Vid division av två bråktal ska bråket i nämnaren vändas upp och ner på och
multipliceras med bråket i täljaren. På mattespråket heter det att bråket i täljaren multipliceras
med det inverterade talet i nämnaren.
2 2 72 2 7 2  7
   
1
Detta måste
7 7 72 7 2 7  2
alla kunna.
Multiplikation och division av ett heltal och ett bråk
M. Vid multiplikation med ett bråk ska heltalet multipliceras med bråkets täljare
2 3 2 6
3 
  0,86
7
7
7
D. Vid division med ett bråk ska heltalet multipliceras med (det upp och nervända = det
inverterade) bråket
2 3 3
7 3  7 21 10  2  1
1
1
3  2  12  3  


 10   10  10,5
7 7 7
2
2
2
2
2
2
hurdetfunkar.se
16
Matematik 1a
Nobel
PRIORITERINGSREGLERNA= I vilken ordning vi ska räkna
Vi kommer förr eller senare att stöta på något som kallas för Exponenter och potenser, i den
mån de finns skall dessa beräknas först och jag beskriver dem därför i korthet här. Produkten
av flera lika faktorer kan skrivas i potensform t ex 2  2  2 = 23 = 8
5  5+ 3  2  2  2 = 52 + 3 * 23 = 25 + 3 * 8 = 25 + 24 = 49
(I det här fallet var det enklast att räkna ut exponenterna först)
Prioriteringsreglerna brukar dock anges i följande ordning.
1. PARENTESERNA
Bör räknas först, man kan tänka sig det som står innanför
parentesen som ett enda tal.
2+ (4-1)  3 =2+3  3 = 2+32 = 2+9 = 11
Observera att bråkstrecket fungerar som en osynlig parentes.
2. MULTIPLIKATION och DIVISION, beräknas sedan. Man behöver inte sätta ut
multiplikationstecken mellan parenteserna, inte heller mellan
bokstäver och siffror 2a=2a. Däremot måste man sätta ut
multiplikationstecknet mellan siffror och siffror eftersom den
1
blandade formen 2 =2,5 inte är det samma som produkten
2
1 2
2 =  1
2 2
Jämna antal minus = positivt svar
Udda antal minus = negativt svar
3. ADDITION och SUBTRAKTION
(-1)  (-1) = (-1)(-1) = (-1)2
(-1) (-1) (-1) = (-1)3
=+1
= -1
-5 – 6 = -11
-5 + (-6) = -5 -6 = -11
-5 – (-6) = -5 + 6 = 6 – 5 = 1
Nästan alla miniräknare kan dessa prioriteringsregler förutom de räknare som tyvärr finns på
de flesta grundskolor. De kan inte ens räkna ut uttryck som 23+ 22 = 6 + 4 = 10. De räknar
istället 23 + 22  (6+2)2 = 82=16 vilket är ett alldeles felaktigt svar. Kolla din miniräknare för att kontrollera om den kan prioriteringsreglerna så du vet om du kan lita på den
eller ej!!!!!
Eftersom multiplikation och division har samma prioritet gör många ett vanligt misstag då de
räknar uttryck av typen;
detta gäller alla miniräknare
3
3
  0,75 Detta ska slås in på miniräknaren som 3/4, 3/2/2 eller 3/(2  2)
22 4
Det finns också andra liknande uttryck där det är lätt att slå in fel på miniräknaren trots att
man har ställt upp talet korrekt. Det är därför viktigt att alltid försöka göra en uppskattning om
vad svarets storleksordning kommer att vara innan man börjar greja med talet och ännu
viktigare är det att verkligen ställa upp talet.
hurdetfunkar.se
17
Matematik 1a
Nobel
POTENSER, EXPONENTER OCH PREFIX
-12
10
10-9
10-6
p
n

piko nano mikro
miljon
del
10-3
m
milli
10-2
c
centi
10-1
d
deci
tusendel
hundradel
tiondel
1
10
da
deka
102
h
hekto
103
k
kilo
106
M
mega
109
G
giga
1012
T
tera
tio
hundra
tusen
miljon
miljard
biljon
Prefix
Prefix är det namn som kan skrivas i stället för siffror t ex 1km=1000m, k, är prefixet för
1000. Prefixet anger alltså mängden av en enhet.
Miljon
1 000 000 = 106
Miljard
1 000 000 000 = 109
Biljon
1 000 000 000 000 = 1012
Triljon
1 000 000 000 000 000 = 1015
Kvadriljon
1 000 000 000 000 000 000 = 1018
Potens
En potens är ett sätt att skriva upprepad multiplikation eller upprepad division.
upprepad multiplikation 3  3  3  3  34 eller 10 10 10 10 10  105
1
1
1
1
upprepad division
 4  34 eller
 5  105
3 3 3 3 3
10 10 10 10 10 10
4
Potensen 34 , har basen 3 och exponenten 4.
3
exponent
bas
En potens med basen 10, t ex 102
Tiopotensform
Grundpotensform
Ett tal skrivet som en produkt av ett tal a i decimalform och en tiopotens med heltalsexponent
n d.v.s a . 10n. Tal a får vara lika med eller större än 1 men mindre än 10 . Ex 7,4 . 103.
7,4 • 103
tal mellan
1 och 9
tiopotens
Potensregler
Potenser
För reella tal x och y och positiva tal a och b gäller
y
ax
 axy
a xa y  a x  y
a x  a xy
y
a
1
x
a x  a
n
a
n a

a xbx  (ab)x


x


b
b
1
ax  x
a0  1
a
 
hurdetfunkar.se
18
Matematik 1a
Nobel
EN TRIANGEL ÄR TRE FORMLER
Innan man har lärt sig ekvationer kan man ha hjälp av dessa trianglar då boken vrider och
vänder på frågeställningarna. Dessa fungerar som små fusklappar men glöm inte att de flesta
problem av den här typen oftast kan lösas med hjälp av vanligt sunt förnuft och
proportionalitetstänkande.
Proportionalitetstänkande innebär att man alltid tar reda
på hur saker förhåller sig till varandra.
Skala
Triangelns formler
bild
cm-m-km
skala =
skala
verklighet
cm - m- km
min
bild
verklighet
verklighet =
bild
skala
bild = verklighet  skala
Jämförpris
Triangelns formler
pris
Sträcka
kr-öre
m - km
vikt
Tid
s kg-hg-g
- h - min
jämförpris(V)
Hastighet
kr/kg-kr/hg-10öre/kg
m/s - km/h- m/min
jämförpris =
vikt =
pris
vikt
pris
Jämförpris
pris = vikt  jämförpris
Jämförpris
Triangelns formler
pris
Sträcka
kr-öre
m - km
volym
Tid
sliter=dm
- h - min3
jämförpris(V)
Hastighet
kr/litern
m/s - km/h- m/min
jämförpris =
volym =
pris
volym
pris
Jämförpris
pris = volym  jämförpris
hurdetfunkar.se
19
Matematik 1a
Nobel
Hastighetsproblem
Triangelns formler
hastighet =
sträcka
m - km
tid
s - h - min
hastighet (V)
m/s - km/h- m/min
tid =
sträcka
tid
sträcka
hastighet
sträcka = tid  hastighet
Omvandlingsproblem
Då man går från km/h till m/s kan man
endera gå stegvis eller direkt använda
förändringsfaktorn 1m/s = 3,6 km/h
km/h
m/s
103 km/h =
72 m/s =
3,6
Om du inte kommer ihåg om du skall
multiplicera eller dividera med 3,6 kan
du försöka komma ihåg att hastigheter
alltid ser lite större ut i km/h än i m/s.
Detta är endast skenbart eftersom de är
exakt lika stora om man bortser från
avrundningsfelet.
103000 m 103  1000 m 103 m


 28,61111 m/s  29 m/s
60  60 s
3,6  1000 s
3,6 s
72 / 1000 km 72  60  60 km 72  3,6 km


 259,2km/h  260 km/h
1 / 60  60 h
1  1000 h
1h
Av andra ofta förekommande problem
kan du här göra dina egna trianglar
antal
gynsamma
utfall
antal
möjliga
utfall
hurdetfunkar.se
sannolikhet
20
Matematik 1a
Nobel
PROCENT=hundradelar
Decimalform
4,05
Bråkform
4, 05 100 405 81 5 81



1100
100 20  5 20
Blandadform
1
4
20
Procentform
405 %
Procentenheter
Om räntan höjs från 9 % till 11 %  2 procentenheters ökning
Om räntan höjs från 9 % till 11 % har den alltså ökat med 2 procentenheter men den har
även ökat med ca 22% vilket vi får från (delen /det hela)= 2% / 9% ≃ 22% = 22 procent
1
 102  0, 01
100
1
 103  0, 001
1 %o = 1 tusendel=
1000
1
1 ppm = 1 miljondel =
 106  0, 000001
1000000
1 % = 1 hundradel =
Det nya
Använd den procentuella förändringen
för att beräkna förändringsfaktorn.
Triangelformeln ger dig det nya direkt om
du räknar med rätt förändringsfaktor.
(Om det nya är lägre än det gamla har det
skett en procentuell minskning, vi får då en
förändringsfaktor ffa< 1 )
(Om det nya är större än det gamla har det
skett en procentuell ökning vi får då en
förändringsfaktor ffp> 1 )
1
ff a
p = pålägg
a = avdrag
ff p 
Förändringsfaktorn = ff
3 % ökning
184 % ökning
3 % sänkning
hurdetfunkar.se
 ffp = 1,03
 ffp = 2,84
 ffa = 0,97
( 1 + 0,03 = 100% +3 % )
( 1 + 1,84 = 100% +184 % )
( 1 - 0,03 = 100% -3 % )
21
Matematik 1a
Nobel
STATISTIK, Insamling, beskrivning och tolkning av data
Frekvens anger hur många gånger ett värde eller en observation förekommer.
Relativa frekvensen = Rf = frekvensen i procentform
Lägesmått

medelvärde 
summan av observationerna
antalet observationer
Från det statistiska materialet: 2 5 5 6 8 9 9, fås medelvärdet
2+5+5+6+8+9+9 44
Medelvärde=

 6,3
7
7
Från det statistiska materialet: -9 -2 0 2 4 5 9 13, fås medelvärdet
-9+(-2) +0+2+4+5+9+13 22
Medelvärde=

 2,8
8
8
 typvärde  den observation som förekommer flest gånger ( högsta frekvensen) . Ibland
finns inget typvärde - ibland finns mer än ett.
Från det statistiska materialet: 2 5 5 6 8 9 9, fås typvärdena 5 och 9
I det statistiska materialet: -9 -2 0 2 4 5 9 13, saknas typvärde

median  mittobservationen eller medelvärdet av de båda mittersta observationerna
Från det statistiska materialet: 2 5 5 6 8 9 9, fås medianen 6
Från det statistiska materialet: -9 -2 0 2 4 5 9 13, fås medianen
24 6
 3
2
2
Spridningsmått
 Variationsbredd  största värde - minsta värde
Det statistiska materialet: 2 5 5 6 8 9 9, har variationsbredden 9  2  7
Det statistiska materialet: -9 -2 0 2 4 5 9 13, har variationsbredden 13  (9)  22
 Kvartilavståndet = övre kvartilen - nedre (undre) kvartilen.
Övre kvartilen kallas också 75-percentilen och ska vara ett tal sådant att 75 % av
observationerna har ett mindre värde. (I praktiken väljer man då vanligen medianen i
materialets övre hälft.) Nedre kvartilen kallas också 25-percentilen och ska vara ett tal sådant
att 25 % av observationerna har ett mindre värde. (I praktiken väljer man då vanligen
medianen i materialets nedre hälft.) Beräkningen av kvartilavståndet framgår av följande
exempel.
Det statistiska materialet: 2 5 5 6 8 9 9, har kvartilavståndet 9  5  4
Det statistiska materialet: -9 -2 0 2 4 5 9 13, har kvartilavståndet 7  (1)  8
 Standardavvikelsen är ett slags medelvärde av de olika observationernas avvikelser
från materialets medelvärde. Beräkningen kan med fördel överlåtas till miniräknaren.
Det statistiska materialet: 2 5 5 6 8 9 9, har standardavikelsen   2,6
Det statistiska materialet: -9 -2 0 2 4 5 9 13, har standardavikelsen   6,8
hurdetfunkar.se
22
Matematik 1a
Nobel
Diagram
Cirkeldiagram, används ofta för att illustrera storleksförhållandet mellan andelar. De olika
andelarna representeras som olika stora cirkelsektorer.
Linjediagram, används för att illustrera förändringar över en tidsperiod. Om y-axeln i ett
linjediagram är avbruten skall detta markeras tydligt, t ex genom att axeln veckas. Tidsaxeln x
saknar egentlig nollpunkt och behöver inte veckas.
Stapeldiagram, används för att jämföra olika företeelser. Stapeldiagrammet har vanligen
endast en graderad axel. I ett stapeldiagram skall den graderade axeln alltid börja på noll.
Veckad axel får inte förekomma. Det ska vara lika breda staplar som ofta anger, sort, art,
namn mm
Stolpdiagram: Utifrån en frekvenstabell kan statistisk informationen åskådliggöras i ett s.k.
stolpdiagram. Ett sådant diagram används ofta när observationerna består av tal. Längs en
horisontell axel placeras observationerna och längs en vertikal axel anges frekvensen, dvs.
antalet observationer. För varje typ av observation ritas sedan ett vertikalt tjockt streck, dvs.
en ”stolpe” i diagrammet. Ett stolpdiagram kan även användas för att visa den relativa
frekvensen.
Histogram: För ett statistiskt material med många olika observationer av tal kan det vara
meningsfullt att klassindela, dvs. gruppera, observationerna innan ett diagram ritas. Dessa
grupperingar kallas klasser och diagramtypen som då används kallas histogram. Det intervall
som väljs för varje klass kallas klassbredd. Frekvensen för varje klass representeras av staplar.
Till skillnad från stapeldiagram, ska staplarna här placeras intill varandra, utan mellanrum.
Exempel: På en förlossningsavdelning föddes det under en vecka 70 barn. Deras vikter i gram
var: 3600 1670 2120 2910 3450 3190 2940 4330 3800 3900 3320 2340 1990 3670 2710 4420
3990 3540 3620 2510 2090 3310 3040 3530 2230 2640 2640 3960 3460 3860 2230 1890
3650 2470 3250 3060 3510 3810 3480 3490 3770 4670 3440 2650 1770 3270 3550 3220
2570 3570 3880 3840 3560 2750 3470 3780 3150 3740 2880 4480 3710 3950 2550 2750
4150 4240 3400 3110 2340 4840. För att kunna visa denna information i ett histogram, görs
till att börja med en klassindelning med klassbredden 500 g = 0,5 kg. Därefter räknas hur
många barn som hör hemma i respektive klass. Observera att man måste bestämma sig till
vilken klass varje gräns ska höra. I nedanstående tabell hör exempelvis 2000 g hemma i
intervallet 2000–2500, 2500 hör hemma i intervallet 2500–3000, osv.
Klass (gram)
Antal barn
0 vikt < 500
0
500 vikt < 1000
0
1000 vikt < 1500
0
1500 vikt < 2000
4
2000 vikt < 2500
7
2500 vikt < 3000
12
3000 vikt < 3500
17
3500 vikt < 4000
23
4000 vikt < 4500
5
4500 vikt < 5000
2
Observera att enheten kg används i histogrammet. Dessutom har den horisontella axeln
veckats eftersom det inte finns några observationer i de tre första klasserna. Ändpunkterna i
delintervallen (dvs. 1,5 kg, 2,0 kg, 2,5 kg, …) kallas klassgränser. Mittpunkten i varje
delintervall (dvs. 1,75 kg, 2,25 kg, 2,75 kg, …) kallas klassmitt.
hurdetfunkar.se
23
Matematik 1a
Nobel
SANNOLIKHETSLÄRA
P  probability  sannolikheten för en händelse 
antalet gynsamma utfall H

antalet möjliga utfall
U
Några grundbegrepp ur sannolikhetsläran
 U=Utfallsrum = de möjliga utfallen t ex.
Kast med tärning: U={1,2,3,4,5,6}=6, kast med mynt U={krona, klave}=2
 H=Händelse = de gynnsamma utfallen t ex.
Udda resultat vid kast med tärning: H={1,3,5}=3, att få en sexa: H={6}=1
Oftast så kallar man de två olika händelserna för händelse A och händelse B. A={1,3,5}=6
och B={6}=1

P=Sannolikhet= andelen positiva utfall för en viss händelse
3
Sannolikheten att få ett udda tal vid kast med tärning P(udda)  P( A)  . Sannolikheten är
6
alltid ett tal mellan 0 och 1 och kan utryckas i både procentform eller i bråkform 0  P( A)  1
om H=U så måste händelsen inträffa P(U )  1
 K = Komplement händelse motsatsen till en viss händelse.
Komplementhändelsen till udda resultat vid kast med tärning K={2,4,6}=3, sannolikheten för
en händelse + sannolikheten för komplementhändelsen är alltid 1, eller P( A)  P( B)  1 .
udda + jämna 3  3
P(udda)  P( jämna) 

1
möjliga
6
 Oberoende händelser: Kombinerade sannolikheten att A och B skall inträffa.
P( A och B)  P( A)  P( B) t ex två klave i rad P(klave och klave)  0,5  0,5  0, 25 . Detta
kallas oberoende sannolikhet altså när två händelser är oberoende av varandra dvs om
sannolikheten för den ena händelsen inte påverkar sannolikheten för den andra. I så fall är
sannolikheten för att båda händelserna inträffar = produkten av sannolikheten för var och en
av händelserna.
 Beroende händelser: Om en händelse är beroende på en tidigare händelse har vi en
beroende sannolikhet. P( A och B)  P( A)  P( B givet A) t ex sannolikheten att dra två kungar
4 3
i rad ur en kortlek P(kung och kung )  
52 51
 Multiplikationsregeln: Sannolikheten för en gren = produkten av sannolikheten längs
grenen, då vi använder oss av ett träddiagram som kan liknas vid ett träd med roten upp och
grenarna nedåt.
 Additionsregeln: Då vi använder oss av ett träddiagram ska de grenar som ger våra
sannolikheter adderas.

Oddset för en händelse definieras som oddset 
hurdetfunkar.se
P( H inträffar)
P( H inträffar inte)
24
Matematik 1a
Nobel
SKALA
Om skalan är >1 så är bilden en förstoring
längd i bild , a
Om skalan är <1 så är bilden en förminskning
skala 
längd i verkligheten, b
Anta att vi har en cirkel där vi dubblar radiens längd, då blir omkretsen dubbelt så stor men
arean blir 4 gånger så stor. Detta beror på att längden inte är proportionell med arean, däremot
är längden i kvadrat proportionell mot arean.
Tar vi ett klot ser vi förstås på samma sätt att omkretsen blir dubbelt så stor då vi dubblar
radien och arean blir 4 gånger så stor, dessutom ser vi att volymen blir 8 gånger så stor.
Längden i kvadrat är alltså proportionell mot arean och längden upphöjt i tre är proportionell
mot volymen.
Dessa samband gäller för samtliga geometriska figurer oberoende deras form.
Detta är bra att komma ihåg då man arbetar med skala
a
längd i bild , a
om längdskalan 
skala 
b
längd i verkligheten, b
a
så är areaskalan   
b
a
och volymskalan   
b
hurdetfunkar.se
2
3
25
Matematik 1a
Nobel
KOORDINATSYSTEM
Varje punkt, P, i ett koordinatsystem består av två koordinater, x och y . Koordinaterna x
och y utgör alltså ett talpar som skrivs ( x , y ). Obs! ordningen med vilken koordinaterna
skrivs är viktig.
Ett koordinatsystem utgörs av två tallinjer vilka kallas y -axel och x -axel. Om de skär
varandra under räta vinklar har vi ett rätvinkligt koordinatsystem. De båda tallinjerna skär
varandra i den punkt som svarar mot koordinaterna (0, 0), denna punkt kallas origo.
I ett koordinatsystem delar koordinataxlarna planet i fyra kvadranter vilka numreras motsols
med början i den kvadrant som bara har positiva koordinater.
Då man beräknar sträckor i ett koordinatsystem måste man vara noggrann med koordinaternas
tecken.
Grafer
Grafer är ett samlingsbegrepp för en mängd punkter utritade i ett diagram eller
koordinatsystem. Den ovanstående rektangeln skulle på så sätt kunna utgöra en graf men ni
har också tidigare stött på grafer i statistikkapitlet. En speciell typ av graf kallas för funktioner
vilket vi nu ska ge oss i kast med.
hurdetfunkar.se
26
Matematik 1a
Nobel
Funktioner
En funktion beskriver ett samband t ex ”ju fler timmar du effektivt studerar matematik desto
fler poäng får du på provet”. Vi säger att y är en funktion av x eller som i vårt fall antalet
poäng på provet är en funktion av hur många timmar du effektivt studerar. En funktion kan
beskrivas med hjälp av en värdetabell, med en graf eller med en formel.
 Anta att vi har följande funktion: Utryckt med formel y  2 x 2  1 eller f ( x)  2 x 2  1
Uttryckt med värdetabell
Uttryckt med graf
2
x
Med
hjälp
av
värdetabellen
plottar man en graf
y  2( x)  1
och sammanbinder punkterna till i detta fall med
en kurva. Då man märker att punkterna inte
-2
y  2(2)2  1  2  4  1  9
hamnar i en rät linje kan det vara bra att ta till
-1,5 y  2(1,5)2  1  2  2, 25  1  5,5 några extra värden i värdetabellen.
-1
y  2(1)2  1  2 1  1  3
-0,5
y  2(0,5)2  1  2  0, 25  1  1,5
0
y  2(0)2  1  2  0  1  1
0,5
y  2(0,5)2  1  2  0, 25  1  1,5
1
y  2(1)2  1  2 1  1  3
1,5
y  2(1,5)2  1  2  2, 25  1  5,5
2
y  2(2)2  1  2  4  1  9
Linjära funktioner
Anta att vi har följande funktion: Uttryckt med formel y  2 x  1 eller f ( x)  2 x  1
Uttryckt med värdetabell
Uttryckt med graf
x
y  2( x)  1
-3
y  2(3)  1  6  1  5
-2
y  2(2)  1  4  1  3
-1
y  2(1)  1  2  1  1
0
y  2(0)  1  0  1  1
1
y  2(1)  1  2  1  3
2
y  2(2)  1  4  1  5
3
y  2(3)  1  6  1  7
Linjära funktioner utrycks alltid på formen y  kx  m . I det ovanstående fallet kan k ,
y  y y
identifieras som siffran 2 men k beskriver även lutningen på linjen k  2 1 
.
x2  x1 x
m är en konstant som talar om var linjen skär y -axeln, d v s där x  0
hurdetfunkar.se
27
Matematik 1a
Nobel
PROPORTIONSLÄRA ELLER FÖRHÅLLANDE
Den som förstår vad den gör kan lösa allehanda problem utan chanstagningar, ekvationer eller
formler. Utan att kanske ha hört ordet proportionalitet har de flesta elever löst problem av den
typen ända i från åtminstone sjätte klass.
I sjätte klass löste man problem, ofta i tre steg
1.
Ställ upp sambandet enligt förutsättningarna i uppgiften.
2.
Tag reda på vad detta samband ger för en ”enhet”
3.
Ange sambandet för det som ska beräknas och gör beräkningen.
Ex. Tre äpplen kostar 3,75kr. Hur mycket kostar fem äpplen?
1.
3 äpplen
2.
1 äpple
3.
5 äpplen
3,75 kr
Här har jag lagt
enheten som söks i
frågan till höger, i detta
fall vill man ha svaret i
enheten, kr.
Första steget anger det man känner till från början.
Steg två anger vad ett äpple kostar. Det är för många
lätt att inse att det motsvarar en tredjedel av vad tre
3, 75 kr 5kr
äpplen kostar men vi kan också tänka att vi delar båda

våra uttryck med 3 eftersom 3/3=1. Detta steg behöver
3
4
aldrig räknas ut, istället kan man bära med sig hela
uttrycket
3,75 kr
3,75  5 kr
5 
 6,25 kr Svar fem äpplen kostar 6,25 kr
3
3
Steg tre ger det fullständiga uttrycket vilket man räknar ut med miniräknaren. Att man i det
här steget multiplicerar med fem kan man lätt förstå eftersom fem äpplen kostar fem gånger
mer än ett äpple. Man kan också tänka sig att man multiplicerar båda våra uttryck med fem
eftersom 5 1  5 . Det enda vi måste känna till här för att ingenting ska slås in fel på
miniräknaren är att vid multiplikation med ett bråk och ett heltal så gäller att heltalet
multipliceras med bråkets täljare.
1 3 1 3
täljare
  1,5
Ex. 3  
kvot =
2
2
2
nämnare
Innan man lämnar in sitt svar bör man göra en rimlighetsbedömning av svaret. Är det rimligt
att fem äpplen kostar 6,25 kr. Det första vi kan fundera över är förstås om fem äpplen kostar
mer eller mindre än tre äpplen. Vi bör inse att fem äpplen kostar mer än tre äpplen, så vårt svar
är åtminstone inte helt felräknat.
Hur mycket mer än tre äpplen kostar fem äpplen? Det kan vara lätt att lura sig att fem äpplen
skulle kosta två gånger mer än tre äpplen men tar vi två gånger tre äpplen så får vi sex äpplen.
Sex äpplen kostar 3,75  2  7,5 kr, nu har vi ringat in vårt svar. Vi vet att fem äpplen kostar
mer än 3,75 kr och mindre än 7,5 kr. Vårt svar verkar korrekt.
Jag har också sett att en del elever tänker att om 3 äpplen kostar 3,75 kr så kostar 6 dubbelt så
mycket alltså 7,5 kr. Då kan man ju dra bort kostnaden för 1 äpple från kostnaden av 6 äpplen
för att få kostnaden för 5 äpplen. Detta är jätte smart men även här måste vi då räkna ut
kostnaden för ett äpple som är 3,75kr/3=1,25kr. Kostnaden för 5 äpplen blir alltså 7,5kr 1,25kr = 6,25 kr. Vårt redan tidigare beräknade svar är alltså definitivt korrekt.
hurdetfunkar.se
28
Matematik 1a
Nobel
Det ovanstående sättet att lösa problem kallas reguladetri och är en metod som användes
mycket förr för att lösa problem, alla sorts problem. I skolan i dag går man ofta igenom ett
nytt moment varje ny lektion i matematik men jag tror inte att man nog påpekar att vi
egentligen håller på med samma typer av frågor och att även om metoderna ser olika ut så
bygger de egentligen på en enda sak. Hur förhåller sig komponenterna till varandra?
I nionde klass kan man även lösa proportionalitetsproblem om man får dem ritad som en graf
eller genom att man själv ritar grafen utifrån en värdetabell. Om grafen beskriver en direkt
proportionalitet kommer grafen att vara en rät linje genom origo.
5/4 är linjens lutning och beskriver
med vilken hastighet kostnaden
ökar per äpple jag köper.
Linjens lutning 5/4=1,25 talar om
vad äpplena kostar per st.
Lutningen på linjen kan alltid
y y
räknas ut som k  2 1 =
x2  x1
6, 25  3, 75 2,5 5


 . Vitsen
53
2
4
med att använda sig av
”förhållande-ekvationer” är dock att
slippa räkna ut k .
Om man vill veta om en värdetabell beskriver en direkt proportionalitet kan man undersöka
y
om kvoten n blir samma för alla värdepar eller om grafen är en rät linje genom origo. Alla
xn
problem av den här typen kan vi lösa med hjälp av vad vi kan kalla
”proportionalitetsekvationer”. Om vi vill sätta upp ovanstående problem som en ekvation i
stället för att läsa ut svaret i koordinatsystemet eller genom att använda oss av värdetabellen
3, 75 kr a kr

sätter man upp ekvationen
och löser den. Förslag på lösning, där jag väljer
3 st
5 st
att faktorisera talen i stället för att söka den gemensamma faktorn att dela täljare och nämnare
med. Denna metod är enklare eftersom den gemensamma faktorn ibland kan vara svår att
3,75 kr  5 st 375  5 kr 125  3  5 kr 25  5  5 kr 25 kr




 6, 25 kr
hitta. a kr 
3 st
300
3 100
4  25
4
”Proportionalitetsekvationer” eller ”förhållande-ekvationer” är en räknemetod som anger hur
a c
man från att känna tre av fyra tal a, b, c och d vilka uppfyller villkoret  bestämmer det
b d
fjärde. Det vi måste beakta är om problemet verkligen beskriver en proportionalitet, det andra
sättet att titta på samma problemställning är med hjälp av hur enheterna förhåller sig till
varandra. Med förhållandet mellan två tal menas talens kvot t ex 5 : 4 = 5/4. Trots att man
framgångsrikt kan lösa problem med hjälp av förhållande ekvationer tas dessa ekvationer inte
upp förrän man börjar diskutera likformighet i gymnasiets A-kurs. ”Förhållande-ekvationer”
och ”proportionalitetsekvationer” är exakt samma sorts ekvationer och löser exakt samma
problem. I ”förhållande-ekvationer” tittar man dock på hur variablerna av samma sort
hurdetfunkar.se
29
Matematik 1a
Nobel
a kr
5 st
, här har jag istället satt kr till kr och st till st vilket

3, 75 kr 3 st
ger samma resultat då jag löser ut x . Det senaste sättet att sätta upp ekvationen hade passat de
gamla grekerna bättre. Vilken metod känns mest naturlig för dig?
förhåller sig till varandra,
Följande samband kan vara bra att känna till
a c
b d
Invertering om
 så är

b d
a c
a c
a b
Alternering om
 så är

b d
c d
a c
ab cd
Sammansättning om
 så är

b d
b
d
En direkt proportionalitet, där y och x är variabler, är ett samband av typen y  kx , man
säger att y är proportionell mot x och k kallas för proportionalitetskonstanten. k anger
alltså hur y beror av x och kan kännas i gen som den lutning linjen har. k är alltså en
y
y
y
konstant som är densamma oberoende av vilket talpar vi tar kvoten av: k  1  2  ...  n
x1 x2
xn
k
En omvänd proportionalitet där, y och x är variabler, är ett samband där y  man säger
x
att y är omvänt proportionell mot x men k är fortfarande en proportionalitetskonstant även
om k nu är konstant oberoende av vilket talpar vi tar produkten av:
k  y1  x1  y2  x2  ...  yn  xn
Vi kan också med samma tänk lösa problem där vi har med en omvänd proportionalitet att
göra. Anta att du kör från A till B på 1timme och 50minuter med hastigheten 45km/h. Hur
lång tid skulle det ta om vi åkte med hastigheten 55km/h?
Denna ekvation skulle vi kunna ställa upp som, konstant, k  v1  t1  v2  t2 . Om vi uttrycker
45
55
110   x , vi löser ut x och får
tiden och hastigheten i minuter respektive min/h får vi
60
60
45 110 45  2  55

 90 min  1 h och 30 min Svar x  1 h och 30 min .
då x 
55
55
hurdetfunkar.se
30
Matematik 1a
Nobel
GEOMETRI
1dimension = längd = omkrets = längdenheter
mm-cm-dm-m-dam-hm-km
KURVA ELLER KRÖKT
LINJE
LINJE
LINJE
2 dimensioner = yta = area = längdenheter i kvadrat = (längdenhet)2
mm2- -cm2- -dm2- -m2- -dam2- -hm2- -km2
CIRKEL
TRIANGEL
REKTANGEL
area  b  l
area 
bh
2
KVADRAT
cirkel
area   r 2
omkrets   d  2 r
RÄTVINKLIG TRIANGEL
cirkel med dubbel radie
area   (2r ) 2  22  r 2  4 r 2
omkrets   (2d )  2 (2r )  2 d  4 r
PARALLELLOGRAM
LIKSIDIG TRIANGEL
CIRKELSEKTOR
area  b  h
PARALLELTRAPETS
LIKBENT TRIANGEL
area  h
hurdetfunkar.se
( a  b)
2
31
Matematik 1a
Nobel
3 dimensioner = kropp = volym =längdenheter i kubik = (längdenheter)3 =
mm3- - -cm3- - -dm3- - -m3- - -dam3- - -hm3- - -km3
CYLINDER
PYRAMID
RÄTBLOCK
Volym   r 2  h
PRISMA
Mantelarea  2 rh
Volym  b  l  h 
 bredden  länden  höjden
KLOT
KUB
KON
klot
4 r 3
3
yta eller area  4 r 2
omkrets  2 r
volym 
volym  1m 1m 1m  13  m3  1m3 
 10dm 10dm 10dm  103  dm3  1000dm3 
 100cm 100cm 100cm  1003  cm3  1000000cm3
klot med dubbel radie
4 (2r )3 23  4 r 3 8  4 r 3 32 r 2 h



3
3
3
3
yta eller area  4 (2r ) 2  22  4 r 2  16 r 2
omkrets  2 (2r )  2  2 r  4 r
volym 
kon
volym 
 r 2h
PARALLELEPIPED
3
mantelarea   rs
kon med dubbla längder
22  2 r 2 h 23  r 2 h 8 r 2 h


3
3
3
mantelarea   (2r )(2s )  4 rs
volym 
hurdetfunkar.se
 (2r ) 2 (2h)
3

32
Matematik 1a
Trigonometri
hurdetfunkar.se
Nobel
Enhetscirkeln
33
Matematik 1a
Nobel
Vektorer och skalärer
Många fysikaliska storheter går att beskriva med ett enkelt tal (och en enhet). Detta gäller t
ex. massa, laddning, energi, temperatur, etc… Dessa storheter kallas för skalärer.
I många andra fall är det inte så enkelt. Hastighet, kraft, acceleration, rörelsemängd,
förflyttning, etc….. är storheter, där det inte hjälper mycket att veta storleken om man inte
också vet riktningen. Alla dessa storheter är vektorer och måste beskrivas med vektoralgebra
Pil-representation av vektor
En vektor kan representeras som en pil med en längd som relaterar till storleken av vektorstorheten och en riktning som motsvarar vektorstorhetens.
Ett fetstilt A eller ett A med en piltangent över är vanlig notation för en vektor.
|A| kallas beloppet av A och är längden av vektorn A men inte riktningen. Ser du någonsin
beloppet av ett negativt tal så menas det att du ska ge det positiva värdet.
hurdetfunkar.se
34
Matematik 1a
Nobel
Hur de hela talen från 1 till 100 är uppbyggda
Tal som hittas i multiplikationstabellerna
4 = 2*2
6 = 2*3
8 = 2*4 = 2*2*2
9 = 3*3
10 = 2*5
12 = 2*6 = 2*2*3
14 = 2*7
15 = 3*5
16 = 2*8 = 4*4 = 2*2*2*2
18 = 3*6 = 3*2*3
20 = 2*10 = 5*4 = 5*2*2
21 = 3*7
24 = 4*6 = 2*2*2*3
25 = 5*5
27 = 3*9 = 3*3*3
28 = 4*7 = 2*2*7
30 = 3*10 = 5*6 = 2*3*5
32 = 4*8 =2*2*2*2*2
35 = 5*7
36 = 6*6 = 2*3*2*3
40 = 4*10 = 5*8 = 2*2*2*5
42 = 6*7 = 2*3*7
45 = 5*9
48 = 6*8 = 2*3*2*2*2
49= 7*7
50 = 5*10 = 5*2*5
54 = 6*9 = 2*3*3*3
56 = 7*8 = 7*2*2*2
60 = 6*10 = 2*3*2*5
63 = 7*9 = 7*3*3
64 = 8*8 =2*2*2*2*2*2
70 = 7*10 = 7*2*5
72 = 8*9 = 2*2*2*3*3
80 = 8*10 = 2*2*2*2*5
81 = 9*9 = 3*3*3*3
90 = 9*10 = 3*3*2*5
100 = 10*10 = 2*5*2*5
Övriga tal
1 = 1*1 = 1/1
22 = 2*11
P
26 = 2*13
R
33 = 3*11
I
34 = 2*17
M
38 = 2*19
T
39 = 3*13
A
44 = 4*11 = 2*2*11
L
46 = 2*23
S
51 = 3*17
T
52 = 4*13 = 2*2*13
A
55 = 5*11
B
57 = 3*19
E
58 = 2*29
L
62 = 2*31
E
N
65 = 5 *13
66 = 6*11
68 = 4*17 = 2*2*17
69 = 3* 23
74 = 2*37
75 = 5*15 =5*3*5
76 = 4*19 = 2*2*19
77 = 7*11
78 = 2*39 = 2*3*13
82 = 2*41
primtal över 100
84 = 2*42 = 6*14 =2*3*2*7
101
85 = 5*17
103
86 = 2*43
107 Det finns
87 = 3* 29
109 oändligt
88 = 8*11 = 4*22 = 2*2*2*11
113 många
91 = 7*13
131 primtal.
92 = 2*46 = 2*2*23
137
93 = 3*31
139
94 = 2*47
149
95 = 5*19
151
96 = 8*12=2*2*2*2*2*3
157
98 = 2*49 = 2*7*7
163…..
99 = 3*33= 3*3*11
Om vi tänker oss två olika tal vilka som helst. Vi kan kalla dessa tal a och b
Produkt = faktor * faktor
multiplikation
Vid multiplikation spelar ordningen
täljare
Kvot =
division
på faktorerna a och b ingen roll
nämnare
a*b=b*a.
Summa = term + term
addition
Vid addition spelar ordningen på
Differens = term - term
subtraktion
termerna a och b ingen roll a+b =b+a
hurdetfunkar.se
Primtal
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
35
Matematik 1a
Nobel
Lathund för enhetsomvandlingar
9
10
G
106
M
mega
103
k
kilo
102
h
hekto
giga
miljard
miljon
tusen
hundra
mil
ar
10-3
m
milli
10-6

mikro
tio
tiondel
hundradel
tusendel
miljon
del
cm
centimeter
mm
millimeter
m
mikro
meter
mm2
m
kubikmeter
hl
hektoliter
kg
kilogram
hg
hektogram
l
liter
hurdetfunkar.se
cm3
10-9
n
nano
miljard
del
nm
mm3
kubikcentimeter
dl
deciliter
enheter för massa
g
gram
tidsenheter
1år = 12 månader  52 veckor = 365 dygn (366 dygn om skottår) = 31,536106s
Vi säger ofta att en månad är 4 veckor men detta gäller endast för månader med 28
dagar i sig. Det blir därför mycket enklare om man lär sig dessa data.
cm2
kvadratdecimeter
kvadratmeter
kubikdecimeter
kl
kiloliter
1dygn = 24h = 1440 min = 86400s
1h = 60 min = 3600s
1min = 60s
dm2
volymsenheter
dm3
3
ton
10-2
c
centi
1
längdenheter
dm
m
decimeter
meter
areaenheter
m2
km
hektar
(deka)
10-1
d
deci
10
cl
centiliter
ml
milliliter
l
mg
milligram
SI-enheter
m = meter  längd ( l )
kg = kilogram  massa ( m )
s = sekund  tid ( t )
K = kelvin  temperatur ( T )
A =ampereelektrisk ström (I)
mol =molsubstansmängd (n)
cd = candela  ljusstyrka (I)
Då man använder sig av formler ska
man alltid omvandla upp-gifternas
värden till SI-enheter, framförallt
uppgifter som inkluderar
tidsbegreppet.
Det vanligaste felet vi gör är när vi
jobbar med hastigheter. Räkna alltid
om km/h till m/s genom
omvanlingsfaktorn
1 m/s = 3,6 km/h
36
Download
Random flashcards
Ölplugg

1 Cards oauth2_google_ed8be09c-94f0-4e6a-8e55-87a3b14a45db

Svenska

105 Cards Anton Piter

organsik kemi

5 Cards oauth2_google_80bad7b3-612c-4f00-b9d5-910c3f3fc9ce

Multiplacation table

156 Cards Антон piter

Fysik

46 Cards oauth2_google_97f6fa87-d6cd-4ae9-bcbf-0f9c2bb34c13

Create flashcards