Malmö högskola
TS, KS och LS
Tentamensskrivning
Linjär algebra 7.5 hp
2012-03-12
Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
Alla inlämnade papper skall vara försedda med namn.
Vi förutsätter att alla koordinater är givna i en HON-bas om inget annat anges.
1. (a) Låt ℓ vara linjen som går genom punkterna P : (3, 2, 1) och Q : (7, 5, −3).
i. Bestäm en ekvation för ℓ.
(0.2)
Lösning:
−−→
Linjen har riktningsvektorn P Q = (4, 3, −4) och går genom punkten P .
En ekvation för linjen är (x, y, z) = (3, 2, 1) + t(4, 3, −4), där t är ett reellt tal.
ii. Var skär ℓ xy-planet?
Lösning:
Linjens z-koordinat insatt i xy-planets ekvation z = 0 ger
1 − 4t = 0 ⇔ t =
(0.3)
1
4
11
1
, 0)
Skärningspunkten: (x, y, z) = (3, 2, 1) + (4, 3, −4) = (4,
4
4
(b) Skriv en ekvation på affin form för planet som går genom punkten
(1, −4, 3) och innehåller riktningarna (−1, 2, 1) och (4, −3, −1).
Lösning:
En normal vector till planet är n = (−1, 2, 1) × (4, −3, −1) = (1, 3, −5)
Då planet även ska gå genom punkten (1, −4, 3) fås
(0.5)
(x − 1) + 3(y − (−4)) − 5(z − 3) = 0 ⇔ x + 3y − 5z + 26 = 0
Svar: Planets ekvation är x + 3y − 5z + 26 = 0
2. Momentvektorn med avseende på origo är M = r × F ,
−−→
där r = OP och P angreppspunkten.
(a) Hur är momentvektorn riktad i förhållande till r och F ?
Lösning:
M är ortogonal mot r och F .
Vektorerna r, F och M är i den angivna ordningen positivt orienterade.
(b) Kraften F = (2, −1, 1) angriper i en kropp i punkten (0, 2, 2).
i. Beräkna momentvektorn med avseende på origo.
Lösning:
M = r × F = (0, 2, 2) × (2, −1, 1) = (4, 4, −4)
ii. Beräkna momentetvektorns storlek, dvs |M |.
Lösning:
p
√
|M | = |(4, 4, −4)| = 4|(1, 1, −1)| = 4 12 + (−1)2 + 12 = 4 3
iii. Bestäm vinkeln mellan r och F
Lösning:
F · r = (2, −1, 1) · (0, 2, 2) = 0
Då skalärprodukten är 0 är F och r ortogonala (vinkelräta).
3. (a) Beräkna avståndet mellan punkten (2, 2, 1) och planet x + 2y − 3z − 4 = 0
Lösning: Avståndsformeln ger
√
1
14
|2 + 2 · 2 − 3 · 1 − 4|
= √ =
d= p
2
2
2
14
14
1 + 2 + (−3)
(0.2)
(0.3)
(0.2)
(0.3)
(0.3)
(b) Bestäm avståndet mellan linjen (x, y, z) = (4, 5, 7) + t(1, −1, 1) och
punkten (6, 4, 10).
Q
u
u2
(0.4)
b
v
P
b
u1
Sätt Q : (6, 4, 10) och välj P : (4, 5, 7) som en punkt på linjen.
Bilda vektorn
−−→
u = P Q = (6, 4, 10) − (4, 5, 7) = (2, −1, 3)
Denna vektor har uppdelningen u = u1 + u2 ,
där u1 är parallell med och u2 ortogonal mot linjen.
En riktningsvektor till linjen är v = (1, −1, 1). Projektionssatsen ger
u1 =
u·v
(2, −1, 3) · (1, −1, 1)
6
v=
(1, −1, 1) = (1, −1, 1) = (2, −2, 2)
|v|2
|(1, −1, 1)|2
3
Avståndet mellan linjen och punkten Q är
|u2 | = |u − u1 | = |(2, −1, 3) − (2, −2, 2)| = |(0, 1, 1)| =
√
Svar: Avståndet är 2
√
2
(c) Beräkna arean av triangeln med hörn i (1, 3), (−2, 7) och (4, 5).
y
8
B
7
6
C
5
4
3
A
2
1
x
−3 −2 −1
1
2
3
4
5
Sätt A : (1, 3), B : (−2, 7) och C : (4, 5) och bilda
−−→
u = AB = (−2, 7) − (1, 3) = (−3, 4)
och
−→
v = AC = (4, 5) − (1, 3) = (3, 2)
Triangelns area är
1
1 −3 3
| det(u, v)| = | 4 2
2
2
Svar: Triangelns area är 9 a.e
| = 1 | − 6 − 12| = 9
2
2
(0.3)
4. Givna är matriserna
1 −2
1
1
C= 0
1 −2 och D = 0
0
0
1
0
(a) Beräkna inversen till C.
1 −2
1 1
1 −2 0
CX = Y ⇐⇒ 0
0
0
1 0
0 0
2 0 .
0 3
1
0 0
1 0 ⇐⇒ 0
0 1
0
(0.3)
0 0
1 0
0 1
1 2
0 1
0 0
3
2 ⇐⇒ X = C −1 Y
1
(b) Bestäm den matris S som uppfyller C −1 SC = D.
(0.4)
När vi löser matrisekvationen måste vi multiplicera ekvationen med C från vänster
och C −1 från höger eftersom en ändrad ordning mellan matriserna i en multiplikation
ändrar resultatet. I nedanstående beräkning utnyttjas relationerna CC −1 = C −1 C = I
och att IS = SI = S.
C −1 SC = D ⇔ CC −1 SCC −1 = CDC −1 ⇔ S = CDC −1
Alltså är
1 −2
1
S = CDC −1 = 0
0
0
1 −4
3
1
2 −6 0
= 0
0
0
3
0
1
1 0 0
1 2 3
−2 0 2 0 0 1 2
1
0 0 3
0 0 1
2 3
1 −2 −2
1 2 = 0
2 −2
0 1
0
0
3
(c) Beräkna det(S). Svar: det(S) = 6
π
5. Vid en sammansatt avbildning, av planets vektorer, sker först en rotation vinkeln
3
moturs och därefter en spegling i linjen x1 + 2x2 = 0.
√
3
π
1
π
(a) Ange matrisen för rotationen. Ledning: cos = och sin =
3
2
3
2
√
√
1
3
π
π
1 − 3
− 2
cos 3 − sin 3
2
1
=
A=
= √
√
2
π
π
3
1
cos 3
sin 3
3
1
2
2
(b) Bestäm matrisen för speglingen.
Lösning:
(0.3)
(0.3)
(0.4)
x
n
b
O
y =x−2
x·n
n
|n|2
n = (1, 2)
y
Basvektorerna e1 och e2 avbildas på kolonvektorerna
b1 = e1 − 2
(1, 0) · (1, 2)
2
1
e1 · n
n = (1, 0) − 2
(1, 2) = (1, 0) − (1, 2) = (3, −4)
|n|2
12 + 22
5
5
3
(0, 1) · (1, 2)
4
1
e2 · n
n = (0, 1) − 2
(1, 2) = (0, 1) − (1, 2) = (−4, −3)
|n|2
12 + 22
5
5
Avbildningsmatrisen är
3 −4
1
B=
5
−4 −3
b2 = e2 − 2
(c) Bestäm matrisen för den sammansatta avbildningen.
(0.3)
√
√
√
3 −4
1 − 3
3 − 4 3 −4 − 3 3
1
1
1
C = BA =
=
√
√
√
5
2
10
−4 −3
3
1
−4 − 3 3 −3 + 4 3
6. (a) Lös ekvationssystemet
x1 + 2x2 +
2x1 + 3x2 −
x1 + 4x2 −
⇔
x1
+ 2x2
− x2
(0.5)
x1
=
=
=
x3
2x3
5x3
+ x3
− 4x3
− 7x3
1
1 ⇔
1
+ 2x2
− x2
x2
x1
=
1
= −1 ⇔
x2
= −1
x3
+ x3
− 4x3
− 3x3
=
0
=
3
7
=
1
7
=
=
=
1
−1
0
(b) En känd sats i den klassiska geometrin säger att i ett parallellogram är skärningspunkten
mellan diagonalerna även mittpunkt på diagonalerna. Låt E vara skärningspunkten
mellan diagonalerna i parallellogramet ABCD och O en godtycklig punkt i rummet.
−→ −−→ −−→ −−→
Visa att OA + OC = OB + OD
B
C
E
b
b
A
O
D
(0.5)
Bevis1:
Eftersom E är mittpunkt på AC och BD ger mittpunktsformeln
( −−→
−→ −−→
2OE = OA + OC
−−→ −−→
−−→
2OE = OB + OD
Av vilket likheten följer omedelbart.
Bevis2:
−−→ −−→
Eftersom ABCD är ett parallellogram är t.ex AB = DC.
−−→
−−→
Uttrycks AB och DC i ortsvektorer fås
−−→ −→ −−→ −−→
OB − OA = OC − OD
vilket efter omskrivning ger den sökta likheten.
4
