Lunds Universitet
Matematiska Institutionen
Exempelskrivning 1
Lärarlyftet 7–9
OBS! Skrivningen kommer också att beröra komplexa tal.
1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen
(a) 54321 och 12345,
(b) 4941 och 2463
2. Lös den diofantiska ekvationen
18x + 23y = 13.
3. För vilka reella tal x är
2x+1
2
>
2x2
?
2x+1
4. Visa att
1
2
3
n
2+n
+ 2 + 3 + ... + n = 2 − n
1
2
2
2
2
2
för varje positivt heltal n.
5. På hur många sätt kan 7 flickor och 8 pojkar bilda 4 danspar (Ett danspar består
av en flicka och en pojke.)
6. En talföljd (an )∞
n=0 definieras genom a0 = 1 och an+1 =
följden är konvergent och beräkna dess gränsvärde.
√
3an för n ≥ 0. Visa att
7. Avgör om följande serier är konvergenta:
∞
X
k2
(a)
3k 2 + k + 1
k=1
∞
X
3k
(b)
3k + 2
k=1
∞
X
32k
(c)
24k
k=1
∞
X
k
(d)
k3 + k + 2
k=1
8. Bestäm den sneda asymptoten då x → ±∞ till funktionen
x3 + 2x2 + 3x + 4
.
f (x) =
x2 + 1
Bestäm också de x för vilka kurvan y = f (x) ligger ovanför asymptoten.
