Tentamen i Linjär algebra IL, 7,5hp, 2010-06-05
Tid: 12:00–17:00
Hjälpmedel: Formelblad
Examinator: Anders Andersson
Telefon: 070-7770323
Fullständiga lösningar och tydliga motiveringar krävs för samtliga uppgifter
1. Undersök om linjerna
x
3
−1
x
0
1
2 och L2 : y =
0 + t 2
L1 : y = 2 + t
z
4
2
z
−2
4
skär varandra, och bestäm i så fall skärningspunkten.
(2p)
2. För vilka värden på p ligger punkterna (1, 2, p), (2, −1, −p), (3, 0, 1) och (p−1, 2, 0)
i samma plan?
(2p)
x
1
2
0 och punkten (5, −1, 3). (2p)
3. Beräkna avståndet mellan linjen y = 1 + t
z
0
−1
4. Punkten P = (1, 3, 4) speglas i planet 2x + y + z = 3. Bestäm spegelbildens läge. (3p)
1
0
1
5. Låt v 1 = −1, v 2 = 1 och v 3 = 1. Vektorn v 1 är en egenvektor med
1
1
0
egenvärdet 1 till den linjära avbildningen F (x) = Ax. Vidare är F (v 2 ) = v 3 och
F (v 3 ) = v 2 . Bestäm avbildningsmatrisen A.
(3p)
6. Finn samtliga egenvektorer och deras respektive egenvärden till matrisen
2 −7 2
A = 0 −5 2.
0 −4 1
7. Lös följande optimeringsproblem med simplexmetoden:
Maximera 21x1 + 8x2 + 11x3
då
7x1 + 2x2 +
3x1 + x2 +
5x1 + 2x2 +
x3
x3
3x3
xk
≤ 14
≤ 5
≤ 9
≥ 0, k = 1, . . . , 3
(3p)
(3p)
Linjär algebra IL, 2010-06-05
sid. 2 av 2
8. Optimeringsproblemet
Maximera 7x1 + 10x2 +
då
3x1 +
x1 +
2x1 +
x3
4x2 + 2x3
2x2 − x3
3x2 + 3x3
xk
≤ 677
≤ 371
≤ 496
≥
0, k = 1, . . . , 3
har lösts med simplexmetoden, där den optimala lösningen framgår ur följande
sluttablå:
z x1 x2 x3 s1 s2 s3
b
z 1 0 0
7
1 0
2 1669
s2
0 0 −5
1 1 −2
56
x1
1 0 −6
3 0 −4
47
x2
0 1
5 −2 0
3 134
Det maximala målfunktionsvärdet är alltså 1669 då x1 = 47, x2 = 134 och x3 = 0.
(a) Hur ändras det maximala målfunktionsvärdet om värdet 496 i det ursprungliga problemets högerled ökas till 497?
(1p)
(b) Mellan vilka gränser kan värdet 496 ändras, utan att vi får en helt annan
optimallösning med andra basvariabler?
(1p)
(c) Mellan vilka gränser kan koefficienten 10 i målfunktionen ändras, utan att vi
får en helt annan optimallösning med andra basvariabler?
(1p)
9. Vektorerna u + v och u − v har samma längd. Visa att u är ortogonal mot v.
(2p)
10. En linjär avbildning
rummets vektorer på ett visst plan genom origo.
F projicerar
2
3
Man vet att F 4 = 1. Bestäm alla möjliga värden på konstanten a.
(2p)
1
a
