1
STUDENTEXAMENSNÄMNDEN
18.3.2015
MATEMATIKPROV
LÅNG LÄROKURS
Högst tio uppgifter får lösas. Uppgifter som markerats med en stjärna (*) ger maximalt 9 poäng, övriga uppgifter maximalt 6 poäng.
LÅNG 1, 29.4.2014 1. Rita tre enhetscirklar och märk ut följande vinklar och deras motsvarande periferipunkter: a) 405. b) 120. 3
c) rad. 4
2. a) Rita en figur av det område i planet som definieras av olikheterna 0 y
| x | då 1 x 1. b) Lös ekvationen x 1 x 2 x . 3. Under tidsperioden 2003−2013 ökade antalet invånare i Helsingfors som talar ett främ‐
mande språk som modersmål med 7,5 procent per år. År 2013 antog man att detta antal kommer att ytterligare fördubblas under tidsperioden 2013−2033. Beräkna den genom‐
snittliga årliga procentuella ökningen av antalet invånare som talar ett främmande språk under dessa 30 år. 4. Vi granskar ekvationen t 4 x 2 ( t 2 1) x 1
0 för olika värden på parametern t 0 . a) Lös ekvationen då t 1. b) Bestäm alla de värden på parametern t 0 för vilka ekvationen har åtminstone en lösning x R. 5. Anta att A ( 2, 2) , B (3,1), C ( 2, 3) och D (1, 1). Beräkna de exakta värdena för koordinaterna för skärningspunkten mellan sträckorna AB och CD. 6. Vi antar att befolkningens intelligenskvot är normalfördelad N (100,15). Bestäm ett symmetriskt intervall kring väntevärdet 100 som exakt hälften av befolkningen tillhör. 7. a) För vilka värden på variabeln x är uttrycket ln(sin x ) definierat? Enheten för variabeln x
är radianer. b) Bestäm närmevärdena för alla lösningar till ekvationen ln(sin x ) 2 i intervallet
0 x 10 med två decimalers noggrannhet. 2
8. En oljecistern har formen av en rak cirkulär cylinder och dess axel är horisontell. Diametern av det tvärsnitt som står vinkelrätt mot axeln är 1,3 meter. 8. a)
En oljecistern har formen av en rak cirkulär cylinder och dess axel är horisontell. Diametern Bestäm cisternens längd då dess volym är 3 000 liter. av det tvärsnitt som står vinkelrätt mot axeln är 1,3 meter. b) Oljedjupet i den djupaste punkten mäts till 40 centimeter. Hur många liter olja finns då a) Bestäm cisternens längd då dess volym är 3
000 liter. kvar i cisternen? b)
Oljedjupet i den djupaste punkten mäts till 40 centimeter. Hur många liter olja finns då kvar i cisternen? <http://www.tankkituomiset.fi/palavan‐nesteen‐sailiot/kuivurisailiot> Läst 20.2.2014 <http://www.tankkituomiset.fi/palavan-nesteen-sailiot/kuivurisailiot>. Hämtad 20.2.2014.
<http://www.tankkituomiset.fi/palavan‐nesteen‐sailiot/kuivurisailiot> Läst 20.2.2014 9. Man har reserverat 16 kvadratmeter tyg för ett tält som har formen av en rak cirkulär kon. Tyg används inte för tältets botten. Bestäm diametern för den cirkulära basytan då tältets 9. volym är så stor som möjligt. Man har reserverat 16 kvadratmeter tyg för ett tält som har formen av en rak cirkulär kon. Tyg används inte för tältets botten. Bestäm diametern för den cirkulära basytan då tältets volym är så stor som möjligt. <http://www.indios.cz/cs/rytirske-a-stredoveke-stany/merlin/>. Hämtad 3.2.2014.
<http://www.indios.cz/cs/rytirske‐a‐stredoveke‐stany/merlin/> Läst 3.2.2014 <http://www.indios.cz/cs/rytirske‐a‐stredoveke‐stany/merlin/> Läst 3.2.2014 10.
10. Anta att a 0. Grafen y f ( x ) till funktionen f ( x ) a x roterar kring x‐axeln i intervallet [0,1], varvid volymen av den rotationskropp som uppstår är 2 . Bestäm arean 10. Anta att a 0. Grafen y f ( x ) till funktionen f ( x ) a x roterar kring x‐axeln i 1
A 2 f ( x ) 1 f ( x )2 dx. 2 . Bestäm arean
av kroppens rotationsyta med formeln intervallet [0,1], varvid volymen av den rotationskropp som uppstår är 10
A 2 f ( x )
av kroppens rotationsyta med formeln 0
1 f ( x )2 dx. 3
11.
11. Visa att ett tal a5 75 a4 74 a3 73 a2 72 a1 7 a0 som är uttryckt i 7‐systemet är delbart med talet 6 exakt då siffrornas summa a5 a4 a3 a2 a1 a0 är delbar med talet 6. Här gäller att a5 , a4 , a3 , a2 , a1 , a0 {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. 12.
12. Italienaren Fibonacci beräknade år 1225 närmevärdet x 1, 368808108 för roten till ekva‐
0 . tionen x 3 2 x 2 10 x 20
a) Visa att ekvationen har exakt en rot i mängden av reella tal. b) Med hur många iterationer får man första gången samma nio decimaler som i Fibonaccis närmevärde då man använder Newtons metod och startvärdet x0 1? <http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci> Läst 20.2.2014 <http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci>.
Hämtad 20.2.2014.
<http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton>.
Hämtad 17.3.2014.
<http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton> Läst 17.3.2014 13. a) Visa genom att undersöka en differenskvot att funktionen 13.
x
f ( x )
1 | x |
är deriverbar i punkten x 0. b) Anta att g ( x ) f ( x ) då x R. Visa genom att undersöka en differenskvot att funk‐
tionen g ( x ) inte är deriverbar i punkten x 0. 4
*14.
14. I ett tvådagarsevenemang för hundar, JuliJubel, kan man anmäla sig till antingen lördags‐
utställningen eller söndagsutställningen eller till båda två. Ett år anmäldes 1 372 hundar, av vilka 31 endast anmäldes till lördagsutställningen och 43 endast till söndagsutställningen. Anta att L är händelsen ”En hund som anmälts till JuliJubel anmäldes till lördagsut‐
ställningen” och S händelsen ”En hund som anmälts till JuliJubel anmäldes till söndags‐
utställningen”. a) Beräkna sannolikheten P(L och S) för detta år. (3 p.) b) Hur definierar man oberoende för två händelser i sannolikhetsläran? (2 p.) c) Är L och S oberoende detta år? (2 p.) d) Anta allmänt att a är antalet hundar som är anmälda till endast lördagen, b antalet anmälda till båda dagarna och c antalet anmälda till endast söndagen. För vilket villkor gällande talen a, b och c är händelserna L och S oberoende av varandra? (2 p.) n
1
*15.
15. Vi undersöker summan
. k 1 k ( k 1)
a) Beräkna summorna då n 1, 2, , 5, och formulera med hjälp av dem en gissning för värdet av summan som funktion av den övre gränsen n. (2 p.) b) Bestäm sådana koefficienter A R och B R, så att formeln 1
A
B
k (k 1)
k k 1
gäller för varje k 1. (2 p.) c) Bevisa att ditt gissade uttryck i deluppgift a är korrekt genom att använda formeln i deluppgift b. (4 p.) n
1
d) Bestäm gränsvärdet lim
. (1 p.) n
k 1 k ( k 1)
