1
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
RÄTA LINJER OCH PLAN
Räta linjer i 3D-rummet:
Låt L vara den räta linjen genom
punkten P = ( x1 , y1 , z1 ) som är parallell med
r
r
vektorn v = (v1 , v 2 , v3 ) ≠ 0 .
P
r
v
Räta linjens ekvation på parameterform kan
man ange på vektorform eller med tre skalära
ekvationer.
Räta linjens ekvation på parameterform (radvektorform)
( x, y , z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + t ( v1 , v 2 , v3 )
Vi kan skriva vektorer som kolonner.
Räta linjens ekvation på parameterform (kolonnvektorform)
⎛ x ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ v1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ y ⎟ = ⎜ y1 ⎟ + t ⎜ v 2 ⎟
⎜ z ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜v ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 3⎠
Om vi identifierar koordinater i ovanstående ekvation får vi:
Räta linjens ekvationer på parameterform ( 3 skalära ekvationer)
⎧ x = x1 + t ⋅ v1
⎪
(*)
⎨ y = y1 + t ⋅ v2
⎪z = z + t ⋅ v
1
3
⎩
-----------------------------------------------------------------------r
Om alla koordinater i linjens riktningsvektor v = (v1 , v 2 , v3 ) är skilda från 0 dvs
v1 ≠ 0, v 2 ≠ 0 och v3 ≠ 0 kan vi eliminera parameter t [från varje ekv i (*)] och få
t=
x − x1 y − y1 z − z1
.
=
=
v1
v2
v3
Därmed kan vi skriva linjens ekvation på följande sätt
x − x1 y − y1 z − z1
(**)
=
=
v1
v2
v3
r
där P = ( x1 , y1 , z1 ) är en punkt på linjen och v = (v1 , v 2 , v3 ) är en vektor
parallell med linjen. Vi upprepar att formen (**) får användas endast om
v1 ≠ 0, v 2 ≠ 0 och v3 ≠ 0 , annars blir nämnaren 0 .
Anmärkning . Var och en av likhetera i (**)
2
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
x − x1 y − y1
y − y1 z − z1
=
och
=
v1
v2
v2
v3
är ekvationen för ett plan Π 1 respektive Π 2 . Därmed kan linjen given på formen (**)
uppfattas som skärningen mellan två plan Π 1 och Π 2 .
dvs
------------------------------------------------------------Räta linjer i xy-planet
Räta linjens ekvation i xy- planet ges oftast på en av följande form
y = kx + n
ax + by + c = 0
explicit form [ dvs formen y = f (x) ]
implicit form [ dvs formen F ( x, y ) = 0 ]
Linjen i xy-planet kan, lika som i 3D-rummet anges på parameterform. För att skriva en
linje på parameterform om linjen är given på explicit eller implicit form betecknar vi en
variabel ( x eller y) med t och löser ut den andra variabel.
Exempel. Ange linjen 4 x + 2 y − 3 = 0 i xy-planet på parameterform.
Lösning: Vi väljer en variabel t. ex. x och betecknar x = t . Från
4 x + 2 y − 3 = 0 ⇒ 4t + 2 y − 3 = 0 ⇒ y = (3 − 4t ) / 2 .
Därmed blir linjens ekvationer ( 2 ekvationer i xy-planet) på parameterform:
⎧x = t
⎨
⎩ y = 3 / 2 − 2t
Anmärkning . I xy-planet, dvs 2D- rummet, är ax + by + c = 0 en ekvation för en rät
linje.
Om vi betraktar 3D rummet med xyz-koordinatsystem då samma ekvation
r
ax + by + c = 0 beskriver ett plan med en normalvektor N = (a, b, 0) . ( Eftersom z
saknas i ekvationen är planet parallell med z axeln )
Samma resonemang gäller för ekvationen y = kx + n :
I xy-planet beskriver y = kx + n en rät linje.
I xyz-koordinatsystem beskriver y = kx + n ett plan parallell med z-axel.
====================================
r
Plan:
N
P
r
r
Låt π vara planet genom punkten P = ( x1 , y1 , z1 ) som har normalvektorn N = ( A, B, C ) ≠ 0 .
3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
Planets ekvation är
A( x − x1 ) + B ( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = 0
Efter förenkling har vi
planets ekvation på allmän form:
Ax + By + Cz + D = 0
ÖVNINGAR:
Uppgift 1.
En rät linje går genom punkterna A=(1,2,3) och B=(3,4,10).
Bestäm linjens ekvation.
r
r
Lösning: v = AB = (2,2,7) är en riktningsvektor.
Linjens ekvation på parameterform : (x,y,z)=(1,2,3)+t(2,2,7)
⎛ x ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ y ⎟ = ⎜ 2 ⎟ + t⎜ 2 ⎟
⎜ z ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜7⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Svar: (x,y,z)=(1,2,3)+t(2,2,7)
Uppgift 2.
En rät linje går genom punkterna A=(2,2,3) och B=(3,4,4).
Bestäm linjens ekvation på
a) parameterform ( x, y, z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + t (v1 , v 2 , v3 )
x − x1 y − y1 z − z1
( om möjligt)
=
=
v1
v2
v3
r
r
Lösning: v = AB = (1,2,1) är en riktningsvektor.
a) Linjens ekvation på parameterform är (x,y,z)=(2,2,3)+t(1,2,1)
x − x1 y − y1 z − z1
är
b) Linjens ekvation på formen
=
=
v1
v2
v3
x −2 y −2 z −3
.
=
=
1
2
1
b) på formen
Uppgift 3. En rät linje går genom punkten P(1,2,3) och har riktningsvektor
r
v = ( 2, 0, 5) .
a) Ange linjens ekvation på parameterform ( x, y, z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + t (v1 , v 2 , v3 ) .
b) Kan man ange linjens ekvation på formen
x − x1 y − y1 z − z1
=
=
v1
v2
v3
Svar:
a) ( x, y, z ) = (1,2,3) +t ( 2, 0, 5) är linjens ekv. på parameterform.
b) Nej, eftersom v2 =0 ( uttrycket är inte definierad om nämnaren är 0)
4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
Uppgift 4. Vi betraktar linjen L: (x,y,z)=(0,2,1)+t(1,2,0)
Bestäm
a) en riktningsvektor , dvs en vektor (bland ändligt många)
parallell med linjen
b) en enhetsvektor parallell med linjen ( det finns två sådana enhetsvektorer)
c) 3 punkter ( bland oändligt många) som ligger på linjen L.
Lösning:
r
a) En riktningsvektor är v = (1, 2, 0)
r
Notera att varje vektor av typ k v = k (1, 2 0) , k ≠ 0 är också linjens riktningsvektor.
T ex (10, 20, 0) eller (–10, –20, 0) också är linjens riktningsvektorer.
r
1 r
1
(1,2,0) .
b) En enhets vektor parallell med linjen är e1 = r v =
|v |
5
r
1 r
1
[ Den andra är e2 = − r v = −
(1,2,0) ]
|v |
5
c)
Tre punkter för vi om vi substituerar tre värden ( vilka som helst) på parametern t i
ekvationen ( x, y, z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + t (v1 , v2 , v3 ) :
T ex. t = 0 ⇒ (x,y,z)=(0,2,1)+0⋅ (1,2,0) = (0,2,1)
t = 1 ⇒ (x,y,z)=(0,2,1)+1⋅ (1,2,0) = (1,4,1)
t = 10 ⇒ (x,y,z)=(0,2,1)+10 ⋅ (1,2,0) = (10,22,1)
r
Svar: a) En riktningsvektor är v = (1,2,0).
r
1 r
1
(1,2,0) .
b) En enhets vektor parallell med linjen är e1 = r v =
|v |
5
c) Tre punkter (0,2,1) , (1,4,1) och (10,22,1) .
Uppgift 5. Linjen L är given på följande form
x−3 y+2 z−3
=
=
.
1
2
4
a) Ange linjens ekvation på parameterform.
b) Bestäm en riktningsvektor och tre punkter på linjen L
c) Bestäm 3 punkter ( bland ändligt många) som ligger på linjen L.
Lösning:
a) Vi betecknar de tre lika uttryck med t
x−3 y +2 z −3
=
=
=t
1
2
4
5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
och därefter löser x, y , z .
Vi har
x −3
= t ⇒ x = 3+t
1
y+2
= t ⇒ y = −2 + 2t
2
z −3
= t ⇒ z = 3 + 4t
4
Alltså (x,y,z)=(3,–2, 3)+t(1,2,4) är linjens ekvation på parametersform
⎛ x ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Alternativt skrivsätt ⎜ y ⎟ = ⎜ − 2 ⎟ + t ⎜ 2 ⎟
⎜ z ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 4⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r
b) En riktningsvektor är är v =(1,2,4).
c) Vi substituerar tre t-värden, t ex t=0, t=1 och t=2 och får tre punkter
A=(3,–2, 3), B=(4, 0, 7) och C=( 5, 2 11)
Uppgift 6. Bestäm vilka av följande punkter
A=(–1,0, 1) , B=( 1, 4, 2) , C=( 3, 8, 1)
ligger på linjen L: (x,y,z)=(0,2,1)+t(1,2,0).
Lösning:
i) Punkten A(–1,0, 1) ligger på linjen (x,y,z)=(0,2,1)+t(1,2,0) om och endast om det finns ett
värde på parametern t så att
(–1,0, 1) = (0,2,1)+t(1,2,0)
dvs om det finns ett t-värde så att alla tre skalära ekvationer
–1 = 0+t
0 = 2+2t
1 = 1+0·t
samtidigt är uppfyllda.
Från första ekvationen har vi t= –1. Samma t= –1 satisfierar också andra och tredje
ekvationen och därmed ligger punkten A på linjen L ( punkten svarar mot t=–1)
ii) För punkten B( 1, 4, 2) har vi följande vektorekvation
( 1, 4, 2) = (0,2,1)+t(1,2,0)
som är ekvivalent med de tre skalära ekvationerna
1 = 0+t
4 = 2+2t
6
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
2 = 1+0·t
Första ekvationen ger t=1. (Därmed, om det finns en lösning på t för alla tre ekvationen då är
t=1). Vi kollar om t=1 satisfierar de 2 kvarstående ekvationer.
Substitutionen i andra ekvationen ger 4=4 (OK) men insättning t=1 i den tredje ekvationen
ger 2=1 som är inte sant. Punkten B ligger alltså inte på linjen L.
iii) Med samma metod inser vi att punkten C fås ur ekvationen om t=3, dvs C ligger på linjen
L
Svar. A och C ligger på L medan B inte ligger på linjen L.
Uppgift 7. ( 2D rummet) Vi betraktar den räta linje i xy-planet ( 2 dimensionella rummet )
som har ekvationen L: 2 x + 3 y − 4 = 0 .
a) Bestäm linjens ekvation på explicit form y = kx + n
b) Ange linjen på parameterform
c) Bestäm en vektor parallell med linjen L
d) Bestäm två enhetsvektorer parallella med linjen.
e) Bestäm en vektor i xy-planet som är vinkelrät mot linjen L
Lösning:
a) Vi löser ut y ur ekvationen 2 x + 3 y − 4 = 0 ,
−2
4
− 2x + 4
2x + 3y − 4 = 0 ⇒ y =
⇒y=
x+
( explicit form)
3
3
3
b) Vi betecknar x= t och får ( enkelt från explicit form) linjen på parameter form
⎧x = t
⎪
−2
4
⎨
⎪⎩ y = 3 t + 3
t
⎛ x⎞ ⎛
⎞
−2
4
⎟⎟ .
Vi kan också skriva ( x, y ) = (t ,
t + ) eller ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
3
3
⎝ y ⎠ ⎝ 4 / 3 − 2t / 3 ⎠
c) Vi kan välja två punkter på linjen genom att välja värden på x (eller på t i parameterform)
och beräkna y.
→
Vi kan t ex välja följande punkter A(0, 4/3 ) och B(1, 2/3) och beräkna AB =(1, − 2 / 3) .
→
Varje vektor parallell med AB är också parallell med linjen.
( Vi kan även använda parameterform och direkt välja vektorn (1, − 2 / 3) )
→
r
Som en riktningsvektor (bland oändligt många) kan vi ange v =3 AB =(3, − 2) med
heltalskoordinater.
d) Det finns två enhetsvektorer som är parallella med linjen L
r
1 r
1
e1, 2 = ± r v = ±
(3,−2)
|v |
13
r
e) En vektor n =(a, b) är vinkelrät mot linjen L om ( och endast om) den är vinkelrät mot
r
linjens riktningsvektor v =(3, − 2) och därför är skalärprodukten
r r
n ⋅v = 0 .
7
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
Alltså 3a − 2b = 0 ⇒ a = 2b / 3 . Vi söker en vinkelrät vektor ( bland oändligt många sådana
vektorer) så at vi kan välja b, t ex kan vi ta b = 3 och få a=2.
r
Därmed blir n =(2, 3) en vektor vinkelrät mot L. Notera att varje vektor parallell med
r
n =(2, 3) också är vinkelrät mot L.
Uppgift 8.
Ett plan går genom punkten A=(1,3,1). Planet är parallellt med vektorerna
r
r
u = (1,2,3) och v = (1,1,2).
Bestäm planets ekvation
a) på parameterform
N
b) på formen Ax + By + Cz + D = 0 .
Lösning:
v
a) (x,y,z)=(1,3,1)+t(1,2,3)+s
(1,1,2)
r r r
u
b) N = u × v = (1,1,−1) .
Planets ekvation:
A( x − x1 ) + B( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = 0 ⇒
1( x − 1) + 1( y − 3) − 1( z − 1) = 0 ⇒
x+ y − z−3=0
Svar: Planets ekvation: x + y − z − 3 = 0
Uppgift 9.
Ett plan går genom punkterna A=(1,1,–2) och B=(–1,5,2) och C=(3,0,2).
Bestäm planets ekvation.
→
→
r
Lösning: N = AB× AC = ( 20,16,−6)
r
r
Vi kan använda punkten A och vektorn N 2 = (10,8,−3) (som är parallell med N ).
A( x − x1 ) + B( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = 0 ⇒
10( x − 1) + 8( y − 1) − 3( z + 2) = 0 ⇒
10 x + 8 y − 3z − 24 = 0
Svar: Planets ekvation: 10 x + 8 y − 3z − 24 = 0
Uppgift 10.
Ett plan går genom punkterna A=(1,1,2) och B=(1,2,3). Planet är parallell med linjen
( x, y , z ) = (3,4,5) + t ( 2,1,1)
Bestäm planets ekvation.
Lösning:
r →
r
Vektorerna u = AB = (0,1,1) och linjens riktningsvektor v = ( 2,1,1) är parallella med planet
Bestäm
ekvation.
r r planets
r
N = u × v = (0,2,−2) .
Planets ekvation:
8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
A( x − x1 ) + B( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = 0 ⇒
0( x − 1) + 2( y − 1) − 2( z − 2) = 0 ⇒
2 y − 2z + 2 = 0
Svar: Planets ekvation: y − z + 1 = 0
Uppgift 11.
En rät linje går genom punkten A=(1,2,0). Linjen är ortogonal (vinkelrät) mot planet
x + y + 3z + 1 = 0 . Bestäm linjens ekvation.
r
Lösning: Planets normal v = (1,1,3) är en är en riktningsvektor .
Linjens ekvation på parameterfårm : (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,1,3)
Svar: (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,1,3)
Uppgift 12.
En rät linje går genom punkten A=(1,2,0). Linjen är parallell med skärningslinjen
mellan planen
x + y + z − 3 = 0 och x + 2 y + 3z + 1 = 0
Bestäm linjens ekvation.
Lösning:
Vi löser systemet med Gaussmetoden:
⎧x + y + z − 3 = 0
⎧x + y + z − 3 = 0
⇒⎨
⎨
⎩ x + 2 y + 3z + 1 = 0 ⎩ y + 2 z + 4 = 0
En fri variabel z=t. y = −4 − 2t x = 3 − y − z ⇒ x = 7 + t
dvs
x =7+t
y = −4 − 2t
z=t
Alltså har skärnings linje ekvation
(x,y,z)=(7,–4,0)+t(1,–2,1)
Den sökta linjen har samma riktnings vektor men går genom punkten A.
Därför:
(x,y,z)=(1,2,0)+t(1,–2,1)
Svar: Linjens ekvation är (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,–2,1)
Uppgift 13.
Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen
(x,y,z)=(1,0,0)+t(1,2,1) och följande plan:
a) x + y + z + 3 = 0
Svar: a) x = 0,
b) x − y + z = 0
y = −2,
z = −1
c) x − y + z − 1 = 0
b) Ingen lösning c) Linjen ligger i planet.
Uppgift 14.
Bestäm eventuella skärningspunkter mellan följande linjer
9
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Räta linjer och plan
(x,y,z)=(1,2,3)+t(1,1,1) och (x,y,z)=(3,5,7)+s(1,2,3).
Lösning:
Linjernas ekvationer kan skriva som
⎧x = 1 + t
⎪
L1 : ⎨ y = 2 + t
⎪z = 3 + t
⎩
,
⎧x = 3 + s
⎪
L2 : ⎨ y = 5 + 2 s
⎪ z = 7 + 3s
⎩
Vi löser systemet:
⎧1 + t = 3 + s
⎧t = 1
⎪
⎨2 + t = 5 + 2 s ⇒ ⎨
⎩ s = −1
⎪3 + t = 7 + 3s
⎩
Härav
x=2, y=3 och z=4
Svar: Skärningspunkten är P=(2,3,4).
Uppgift 15. Vi betraktar två rymdfarkoster i ett lämpligt vald koordinatsystem.
En rymdfarkost rör sig längs banan (x, y, z)=(2+3t,–1+2t,–3+7t) dvs farkosten befinner sig i
punkten (x,y,z) vid tidpunkten t .
En annan rymdfarkost rör sig länga banan (x,y,z)=(–1+3t,6–t,–1+4t).
a) Krockar farkosterna? (Motivering krävs!)
b) Skär farkosternas banor varandra? (Motivering krävs!)
Lösning:
a) Svar: Farkosterna kolliderar ej eftersom systemet
2 + 3t = −1 + 3t
− 1 + 2t = 6 − t
− 3 + 7t = − 1 + 4 t
saknar lösningar
b) Både farkosterna rör sig längs räta linjer. Deras banor har följande ekvationer:
L1: (2+3t,–1+2t,–3+7t)
L2: (–1+3s,6–s,–1+4s)
Vi söker skärningen mellan linjerna och får ekvationssystemet
2 + 3t = −1 + 3s
− 1 + 2t = 6 − s
− 3 + 7t = − 1 + 4 s
som har lösningen s=3, t=2.
Svar: Banorna skär varandra.
(Farkost 1 är i skärningspunkter vid tidpunkten t=2 tidsenheter;
farkost 2 är i samma punkt vid tidpunkten t=3 tidsenheter.
