Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
Linjär algebra
F1
Ekvationssystem och matriser
Pelle
2016-01-18
Pelle
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
kursfakta hemsida frågelåda
Fakta om Linjär algebra
Omfattning: 6hp (4 veckors heltid = 120h)
19 föreläsningar, 8 övningstillfällen (en varje läsvecka)
Ni är: C, E och L
Kursbok: Gunnar Sparr, Linjär algebra, Studentlitteratur 1994 +
Övningshäfte.
Kursregistrering: Jag delar ut listor idag och ytterligare två
föreläsningar.
Tentamen: Må 14 mars 8–13. Inga hjälpmedel. Anonym.
Pelle
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
kursfakta hemsida frågelåda
Kurshemsida
Kursen har en enkel hemsida: www.maths.lth.se/matematiklth/
personal/pellep/kurser/linalg/.
www.maths.lth.se/~pellep/kurser/linalg/.
Här hittar du kursinformation och föreläsningsanteckningar m.m.
Pelle
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
kursfakta hemsida frågelåda
Frågelåda
Forum där lärare besvarar alla matematikfrågor: forum.maths.lth.se.
Inloggning med StiL-identitet.
Pelle
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
linjära icke-linjära
Linjär algebra = studiet av linjära ekvationer
Exempel på linjär ekvation
Lösningarna utgörs av
alla talpar (x, y ) så att
2x + 3y = 5
y=
Terminologi
5 2
− x,
3 3
x ∈ R.
Lösningen till uppgiften
kan illustreras grafiskt:
x, y : obekanta,
2, 3: koefficienter,
5: högerled.
y
Uppgift
Bestäm alla par av reella tal
(x, y ) som uppfyller ekvationen
ovan.
x
(Rät linje)
Pelle
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
linjära icke-linjära
Icke-linjära ekvationer.
Exempel: Ekvationen
Exempel: Lös ekvationen
4x 2 y = 1
x 2 − 4x + y 2 − 2y = −4.
har lösningarna
Kvadratkomplettering ger
(x − 2)2 + (y − 1)2 = 1.
y
Lösningsmängd:
y
x
x
(Cirkel, finns med i kursen)
Pelle
(Behandlas ej i linjär
algebra!)
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
linjära successiv elimination teori
Linjära ekvationssystem
Exempel:
3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
x + 2y + 3z = 26
Tre linjära ekvationer med
tre obekanta (x, y och z).
Uppgift: Bestäm tripplar av
reella tal (x, y , z) sådan att
alla tre ekvationer är
uppfyllda samtidigt.
Pelle
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
linjära successiv elimination teori
Lösningsmetod: Successiv elimination
3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
x + 2y + 3z = 26
3x + 2y + z = 39
5
1
⇔
3y + 3z = 8
x + 2y + 3z = 26
3x + 2y + z = 39
5
1
⇔
3y + 3z = 8
4
8
3 y + 3 z = 13
Observera: två ekvationer med
två obekanta y och z.
-2/3
3x + 2y +
5
⇔
3y +
-1/3
z = 39
1
3z
36
15 z
=8
=
33
5
(trappform)
Lösa ut de obekanta en efter en
(lätt!):
-4/5
z = 11/4, y = 17/4, x = 37/4.
(Återsubstitution)
Pelle
2016-01-18
z
y,z
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
linjära successiv elimination teori
Teori
Vi har följande viktiga resultat:
Sats 1, s 9
Två ekvationssystem är ekvivalenta (har samma lösningar) om det ena
framkommer från det andra genom att man antingen
(i) bytar ordning på ett par av ekvationerna, eller
(ii) multiplicerar en ekvation med ett tal c 6= 0, eller
(iii) adderar en multipel av en ekvation till en annan ekvation.
Bevis.
Man kontrollerar enkelt att alla operationerna (i)–(iii) är reversibla.
Pelle
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
linjära successiv elimination teori
Historisk anmärkning
Successiv elimination kallas också gausselimination efter den berömda tyska
matematikern C. F. Gauss (1777–1855)
Ekvationssystemet i exemplet kommer från en 2000 år gammal kinesisk
lärobok.
Lösningsmetoden är troligtvis mycket äldre än så.
Pelle
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
linjära successiv elimination teori
Rektangulära ekvationssystem
Två ekv. med tre
obekanta. (Underbestämt)
(
2x + 3y + 4z = 5
4x − 3y + 2z = 1
Förväntning: Oändligt
många lösningar.
Tre ekv. med två
obekanta.(Överbestämt)
x + y = 1
x + 2y = 2
x + 3y = 4
Förväntning: Lösningar
saknas.
Definition
1) Antalet ekv. = antalet obekanta: Kvadratiskt ekvationssystem.
2) Antalet ekv. > antalet obekanta: Överbestämt system.
3) Antalet ekvationer < antalet obekanta: Underbestämt system.
Pelle
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
definition addition likhet multiplikation exempel
Matriser
En matris är ett rektangulärt schema av
a11 a12
a21 a22
A= .
..
..
.
tal.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
am1 am2 . . . amn
aij är talet på rad i och kolonn j.
A har m rader och n kolonner. vi säger att A en m × n matris.
Pelle
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
definition addition likhet multiplikation exempel
Matriser
Addition
Addition: Addera elementen på samma plats.
1 2
5 6
1+5 2+6
6 8
+
=
=
3+7 4+8
10 12
3 4
7 8
Obs! Funkar bara om matriserna är lika stora.
Multiplikation med tal: Multiplicera alla elementen med talet.
1 2
5·1 5·2
5 10
=
=
3 4
5·3 5·4
15 20
Pelle
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
definition addition likhet multiplikation exempel
Matriser
Likhet
Likhet: A = B.
betyder att vi har likhet på varje plats i A och B.
Pelle
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
definition addition likhet multiplikation exempel
Matriser
Multiplikation
Matrismultiplikation: C = AB.
På plats (i, j) i matrisen C står rad i från A multiplicerad med kolonn
j från B".
1 2 3 4 1
3
5 6
1·1+2·3 1·2+2·0
7
2
= 3 · 1 + 4 · 3 3 · 2 + 4 · 0 = 15
0
5·1+6·3 5·2+6·0
23
2
6
10
Obs! Funkar bara om A har lika många kolonner som B har rader.
Oftast blir AB 6= BA.
Om A är m × p, B är p × n blir C m × n.
Pelle
2016-01-18
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser
definition addition likhet multiplikation exempel
Matriser
Exempel
1 1 1
x1
3
2 0 1 ,
Låt
A=
X = x2 ,
Y = 0
−1 3 2
x3
5
x1 + x2 + x3
1 1 1
x1
2x1 + x3
2 0 1
x2 =
Då blir
AX =
−x1 + 3x2
−1 3 2
x3
x1 + x2 + x3 = 3
Och likheten AX = Y blir
2x1
+ x3 = 0
−x1 + 3x2
= −5
ett linjärt ekvationssystem!
Pelle
2016-01-18
