Sensorer och elektronik

Sensorer och elektronik
Grundläggande ellära
Innehåll
•
•
•
•
•
•
Grundläggande begrepp inom mekanik
Elektriskt fält och elektrisk potential
Dielektrika och kapacitans
Ström och strömtäthet
Ohms lag och resistans
Effektutveckling i elektriska kretsar
Mekanik: Arbete
• Arbete som en kraft F uträttar under en
förflyttning ∆x från A till B
W = F ⋅ ∆x
F
A
∆x
B
Mekanik: Arbete
• Arbete utfört av en kraft under förflyttning
längs en kurva från A till B:
B
W = ∫ F ⋅ dr
A
A
F
B
Mekanik: Konservativ kraft
• För en konservativ kraft är det uträttade
arbetet under en förflyttning från A till B
oberoende av vägen.
• Exempel på konservativa krafter är
gravitation och elektriska krafter.
Mekanik: Potentiell energi
• För konservativa krafter kan man införa en
potentiell energi. Den potentiella energin i
en punkt P ges av
P
U P − U R = − ∫ F ⋅ dr
R
där
UR
är potentialen i en referenspunkt R.
Elektriskt fält
• Om den elektriska kraften på en
testladdning q0 i en viss punkt är F, så är
det elektriska fältet i denna punkt
F
E=
q0
Elektriskt fält
• Exempel: Elektriska fältet orsakat av en
punktladdning q.
q0
q
r
r̂
F
• Beloppet av kraften ges av Coulombs lag
q q0
F=k 2
r
Elektriskt fält
(forts. exempel)
• Det elektriska fältet utanför laddningen q
blir
F
q
E=
= k 2 rˆ
q0
r
Elektrisk potential
• Ändringen i potentiell energi hos en
testladdning i ett elektriskt fält E under en
förflyttning från en punkt A till en punkt B
ges av
B
B
∆U = U
B
−U
A
= − ∫ F ⋅ dr = − q0 ∫ E ⋅ dr
A
A
• Integralerna ovan beror inte på vägen
mellan A och B eftersom den elektriska
kraften är konservativ.
Elektrisk potential
(forts.)
• Eftersom ∆U / q0 inte beror på testladdningen
så inför vi en elektrisk potential V = U / q0.
• Skillnaden i elektrisk potential mellan
punkterna B och A blir då
B
VB − V A = − ∫ E ⋅ dr
A
Spänning
• Spänningen mellan två punkter B och A är
skillnaden i potential mellan B och A
B
∆V = VB − V A = − ∫ E ⋅ dr
A
Dielektrika
• Om ett elektriskt isolerande material
placeras i ett elektriskt fält så polariseras
materialet genom att positiva och negativa
laddningar förskjuts relativt varandra.
E
_
+
_
+
_
_
+
+
_
_
+
+
Dielektrika
• Pga. polariseringen av dielektrikumet
kommer det att bildas en inducerad
ytladdning på ytan, vilket ger upphov till ett
inducerat elektriskt fält.
E0
- E
ind
-
+
+
+
+
+
+
+
+
Dielektrika
• Sambandet mellan det elektriska fältet E i
dielektrikumet och det yttre elektriska fältet E 0
är E = E0 / ε , där ε är dielektricitetskonstanten.
Kapacitans
• En kondensator består i princip av två
ledande plattor på ömse sidor om ett
dielektrikum. Kapacitansen är kvoten
mellan laddningen på plattorna och
spänningen mellan plattorna
Q
C=
∆V
Kapacitans
+Q
-Q
d
• Laddning Q = ρ s A
• Spänning ∆V = Ed = ρs d
εε0
• Kapacitans
Q εε 0 A
C=
=
∆V
d
Ström
• Strömmen I är den laddning som passerar
genom ett tvärsnitt av en ledare per
tidsenhet.
dQ
I=
dt
Strömtäthet
• Strömtätheten j är strömmen per ytenhet.
Den ström dI som passerar genom en
infinitesimal yta med area dA och normal n
ges av
dI = j⋅ ndA
• Sambandet mellan strömtätheten och
elektronernas drifthastighet v d är
j = ρv d
ρ : laddningst äthet
Ohms lag
• Om man ansluter en elektrisk ledare till ett
batteri så driver det elektriska fältet E en
ström med strömtäthet j genom ledaren.
• Ohms lag ger j = σE eller E = ρj där σ och
är konduktiviteten respektive resistiviteten.
Resistiviteten beror på typ av material,
renhet, temperatur etc.
ρ
Drudemodellen
• Drudemodellen bygger på att elektronerna
sprids pga kollisioner i ledaren.
Sannolikheten för en kollision under ett
tidsintervall dt är dt/τ. (Genomsnittliga tiden
till senaste kollisionen är τ.)
Drudemodellen
• Vid kollisionerna ändras elektronernas
riktning slumpmässigt. Eftersom den
genomsnittligga tiden till föregående
kollision är τ så kommer den genomsnittliga
drifthastigheten,om ett yttre elektriskt fält E
läggs på, att vara
eτ
v d = aτ = − E
m
Drudemodellen
• Om elektrontätheten betecknas med n blir
strömmen
ne 2τ
j = −env d =
E
m
• Alltså kan konduktiviteten skrivas
2
ne τ
σ=
m
Resistans
• Betrakta en ledare med längd l och
tvärsnittsarea A ansluten till en
spänningskälla.
• Spänningen över ledaren är ∆V = El
• Strömmen genom ledaren är I = jA
∆V El
l
• Resistansen är R = = = ρ
I
jA
A
Effektutveckling i elektriska
kretsar
• När en elektron (laddning q=-e) rör sig från
en punkt A till en punkt B så utför det
elektriska fältet ett arbete
B
W A→ B = ∫ qE ⋅ dr = −q (VB − V A ) = q (VA − VB )
A
Effektutveckling i elektriska
kretsar
• Om spänningen över en resistor är U och
strömmen genom den är I så utvecklas
effekten
∆W
∆Q
P = lim
= lim U
= UI
∆t → 0 ∆t
∆t → 0
∆t
A
I
R
U = V A − VB
B
Effektutveckling i resistorer
• Med hjälp av Ohms lag kan
effektutvecklingen i en resistor skrivas
2
U
P = UI = RI =
R
2