7.2 Arbete, energi
Ledningar
7.5
Använd Königs sats, ekv (7.2.2)!
7.7
Här behöver man uttrycka hastigheterna för A och C i v.
En möjlighet är att uttrycka kropparnas koordinater med hjälp av vinkeln ϕ och
sedan derivera sambanden med avseende på tiden.
Med koordinatsystemet nedan gäller att v = ẋB = . . . , och C:s hastighet är
ẏC = . . . . Genom att eliminera ϕ̇ mellan ekvationerna får man C:s hastighet
uttryckt i v och ϕ.
A
y
a
a
B
x
7.8
Här behöver man uttrycka hastigheten för B i v, det vill säga hitta ett samband
mellan hastigheterna.
Förslag: Inför ett lämpligt valt koordinatsystem och teckna partiklarnas koordinater, som då måste bero på vinkeln ϕ. Derivering med avseende på tiden ger
hastigheterna, som beror på ϕ och ϕ̇. Om ϕ̇ elimineras fås ett samband mellan
hastigheterna.
7.10
Jfr illustrationsexempel 7.2.1.
7.12
Jfr illustrationsexempel 7.2.2.
7.18
Energin konserveras.
För att kunna utnyttja detta måste vi uttrycka kinetiska energin i C:s fart, vilket
innebär att vi behöver uttrycka A:s och B:s hastigheter i C:s.
a, b) C:s horisontella hastighetskomposant måste i varje ögonblick vara hälften
så stor som A:s hastighet. Den vertikala komposanten måste vara hälften av B:s.
Varför?
I fall a) har A farten noll (vändläge). I fall b) har B farten noll. c) Lägg in
ett koordinatsystem, så att A rör sig längs x-axeln och B längs y-axeln. Teckna
partikarnas koordinater som funktioner av ϕ för ett godtyckligt läge, och derivera
med avseende på tiden för att få hastigheterna. Sätt in det givna värdet på ϕ,
och eliminera ϕ̇ mellan sambanden.
Metoden kan också användas i a) och b), men är kanske onödigt generell.
7.20
a) Energin konserveras.
_
y
x
Vi behöver ett samband mellan kropparnas hastigheter ẋ och ẏ definierade som i
figuren. Detta kan fås ur villkoret att kropparna måste ha lika stora hastighetskomposanter vinkelrätt mot kontaktytan.
Efter integration fås också ett samband mellan kropparnas förflyttningar x och y.
b) Derivera energisambandet från a) med avseende på tiden.
7.22
Visa först att vB = vA cos ϕ.
Utnyttja sedan att energin bevaras.
7.23
I ett godtyckligt läge gäller:
2
x2B + (2a)2 + zA
= (3a)2 .
Derivering med avseende på tiden ger ett samband mellan kropparnas
hastigheterna.
