Lösningar Sem. 5b
1
Lösningsförslag till Seminarie-uppgifter 5 för b-grupper
(Matematik 4, del 1, på Naturvetenskapligt basår, Stockholms universitet)
1. För att lättare se vilka standardvinklar som kan adderas eller subtraheras till
7π 360◦
7·180◦
◦
◦
vinkeln skrivas om uttryckt i grader: 7π
12 = 12 · 2π = 12 = 7 · 15 = 105 .
7π
12
kan
Eftersom 105◦ = 60◦ + 45◦ kan vi använda additionsformeln för cosinus och med kända
värden för sinus och cosinus av standardvinklar få
cos 105◦ = cos(60◦ + 45◦ ) = cos 60◦ cos 45◦ − sin 60◦ sin 45◦
√
√
1 3
1− 3
1 1
.
= √ − √ = √
2 2 2 2
2
2. Term två och tre utvecklas med additionsformeln för sinus. Sedan används värden för sinus
och cosinus av standardvinklar.
sin x + sin(x + 120◦ ) + sin(x + 240◦ )
= sin x + sin x cos 120◦ + cos x sin 120◦ + sin x cos 240◦ + cos x sin 240◦
= sin x − sin x cos 60◦ + cos x sin 60◦ − sin x cos 60◦ − cos x sin 60◦
√
√
1
3
1
3
= sin x − sin x ·
+ cos x ·
− sin x ·
− cos x ·
2
2
2
2
√
√
1
3
1
3
= sin x − sin x +
cos x − sin x −
cos x = 0 .
2
2
2
2
3. Vi vet att cos 2u = 0, 28 och att vinkeln u ligger i första kvadranten (0◦ < u < 90◦ ) så
att både sin u och cos u är positiva. Formeln för dubbla vinkeln kan skrivas om på två sätt
med hjälp av trigonometriska ettan. Antingen
cos 2u = cos2 u − sin2 u = 1 − 2 sin2 u
eller
cos 2u = cos2 u − sin2 u = 2 cos2 u − 1 .
Den första ger
2 sin2 u = 1 − cos 2u
⇔
sin2 u =
1 − cos 2u
2
och den andra
1 + cos 2u
.
2
◦
◦
Med värden
q insatta√och kvadratroten ur (med
q positivt√tecken, ty 0 < u < 90 ) får vi
sin u = 1−0,28
= 0, 36 = 0, 6 och cos u = 1+0,28
= 0, 64 = 0, 8.
2
2
2 cos2 u = 1 + cos 2u
⇔
cos2 u =
4. Vi vet att sin x = 45 . I formeln för dubbla vinkeln, sin 2x = 2 sin x cos x, finns cos x med så
vi bestämmer först dess värde med hjälp av trigonometriska ettan:
cos2 x + sin2 x = 1
⇔
cos2 x + ( 45 )2 = 1
⇔
cos2 x =
9
25
⇔
cos x = ± 35
Lösningar Sem. 5b
2
Det ger
4
sin 2x = 2 sin x cos x = 2
5
3
24
±
=±
,
5
25
alltså två möjligheter.
Ett sätt att få fram en formel för sin x2 uttryckt i sin x är att först sätta v =
den andra formeln för dubbla vinkeln, d.v.s.
x
2
och använda
cos 2v = cos2 v − sin2 v = 1 − 2 sin2 v .
Löser vi ut sin v får vi
r
sin v = ±
1 − cos 2v
,
2
eller om vi åter inför att v = x2 ,
r
x
1 − cos x
sin = ±
.
2
2
I det fall då cos x =
3
5
ger detta att
r
5−3
1
x
= ±√ .
sin = ±
2
2·5
5
Då cos x = − 35 fås
r
5+3
x
2
sin = ±
= ±√ .
2
2·5
5
För halva vinkeln har vi därmed fyra möjliga sinus-värden.
5. (a)
C
A
B
O
Triangeln AOB är liksidig och har alltså alla vinklar lika med 60◦ =
blir längden på cirkelbågen ACB = b = v · r = π3 · 1 dm = π3 dm.
(b) Arean av cirkelsektorn ACBO är
v
2π
· πr2 =
π/3
2π
· π · 12 dm2 =
π
6
π
3.
Då ∧AOB =
π
3
dm2 .
För att bestämma arean av cirkelsegmentet ABC beräknar vi arean av triangeln AOB
och subtraherar denna från cirkelsektorns area. Triangelns area ges av areasatsen:
√
√
3
sin π3 · (1 dm) · (1 dm)
3
2
2
=
dm =
dm2 .
2
2
4
Cirkelsegmentets area är alltså
π
6
√
−
3
4
dm2 .
