konstruktion av de reella talen
Frank Wikström
1 oktober 2015
Matematikcentrum, LTH
vilka egenskaper har
de reella talen?
axiom för de reella talen
I många inledande böcker definierar man reella tal (i den mån
man alls definierar dem) som en mängd R tillsammans med
två speciella tal 0 och 1, operationer + och · och en
ordningsrelation < med följande egenskaper.
3
räkneregler för + och ·
x + (y + z) = (x + y) + z
associativa lagen för +
x · (y · z) = (x · y) · z
associativa lagen för ·
x+y =y+x
kommutativa lagen för +
x·y =y·x
kommutativa lagen för ·
x · (y + z) = x · y + x · z
distributiva lagen
0+x =x
identitetselement för +
1·x =x
identitetselement för ·
∀x∃y : x + y = 0
existens av additiv invers
∀x 6= 0∃y : x · y = 1
existens av multiplikativ invers
4
räkneregler för + och ·
x + (y + z) = (x + y) + z
associativa lagen för +
x · (y · z) = (x · y) · z
associativa lagen för ·
x+y =y+x
kommutativa lagen för +
x·y =y·x
kommutativa lagen för ·
x · (y + z) = x · y + x · z
distributiva lagen
0+x =x
identitetselement för +
1·x =x
identitetselement för ·
∀x∃y : x + y = 0
existens av additiv invers
∀x 6= 0∃y : x · y = 1
existens av multiplikativ invers
Ovanstående säger att de reella talen bildar en kropp (det gör
också till exempel de rationella talen och de komplexa talen).
4
räkneregler för <
x<y
x<y
x<y
⇒
x+z <y+z
och y < z
och z > 0
⇒
⇒
x<z
x·z <y·z
5
räkneregler för <
x<y
x<y
x<y
⇒
x+z <y+z
och y < z
och z > 0
⇒
⇒
x<z
x·z <y·z
Dessutom vill man att ordningen är fullständig, dvs. att om x
och y är reella tal, gäller att (precis) ett av ”x < y”, ”y < x” och
”x = y” är uppfyllt.
5
räkneregler för <
x<y
x<y
x<y
⇒
x+z <y+z
och y < z
och z > 0
⇒
⇒
x<z
x·z <y·z
Dessutom vill man att ordningen är fullständig, dvs. att om x
och y är reella tal, gäller att (precis) ett av ”x < y”, ”y < x” och
”x = y” är uppfyllt.
En kropp som uppfyller ovanstående kallas en ordnad kropp.
(Även de rationella talen bildar en ordnad kropp, däremot inte
de komplexa talen).
5
fullständighet
Det som skiljer de rationella talen från de reella talen är det
sista axiomet som krävs: axiomet om övre gräns. Detta är lite
svårare att formulera än de övriga:
6
fullständighet
Det som skiljer de rationella talen från de reella talen är det
sista axiomet som krävs: axiomet om övre gräns. Detta är lite
svårare att formulera än de övriga:
• En mängd av reella tal A ⊂ R kallas uppåt begränsad om
det finns något (reellt) tal M, sådant att x < M för alla
x ∈ A. Ett sådant tal M kallas en övre begränsning till A.
6
fullständighet
Det som skiljer de rationella talen från de reella talen är det
sista axiomet som krävs: axiomet om övre gräns. Detta är lite
svårare att formulera än de övriga:
• En mängd av reella tal A ⊂ R kallas uppåt begränsad om
det finns något (reellt) tal M, sådant att x < M för alla
x ∈ A. Ett sådant tal M kallas en övre begränsning till A.
• Om M är en övre begränsning till A, men varje tal M0 < M
inte är en övre begränsning till A (dvs. för varje M0 < M
finns något x ∈ A så att x > M0 ) så kallas M en minsta övre
begränsning (ibland övre gräns eler supremum till A).
6
fullständighet
Det som skiljer de rationella talen från de reella talen är det
sista axiomet som krävs: axiomet om övre gräns. Detta är lite
svårare att formulera än de övriga:
• En mängd av reella tal A ⊂ R kallas uppåt begränsad om
det finns något (reellt) tal M, sådant att x < M för alla
x ∈ A. Ett sådant tal M kallas en övre begränsning till A.
• Om M är en övre begränsning till A, men varje tal M0 < M
inte är en övre begränsning till A (dvs. för varje M0 < M
finns något x ∈ A så att x > M0 ) så kallas M en minsta övre
begränsning (ibland övre gräns eler supremum till A).
Axiomet om övre gräns
Varje uppåt begränsad delmängd A ⊂ R har en minsta övre
begränsning (som betecknas sup A).
6
kommentarer om axiomet om övre gräns
De rationella talen uppfyller inte axiomet om övre gräns. Man
kan till exempel visa att
A = {x ∈ Q : x2 < 2}
är uppåt begränsad, men om M ∈ Q är en övre begränsning till
A, så går det alltid att hitta en mindre (rationell) övre
begränsning.
7
varför behövs axiomet om övre gräns?
Axiomet om övre gräns behövs till exempel för att visa
grundläggande satser om kontinuerliga funktioner (satsen om
mellanliggande värde, satsen om största och minsta värde,
etc.) och behövs även för ett riktigt bra gränsvärdesbegrepp.
Mer om detta i senare föreläsningar under hösten.
8
finns de reella talen?
finns de reella talen?
När man väl har tillgång till en ordnad kropp som dessutom
uppfyller axiomet om övre gräns så kan man sätta igång och
göra analys. Innehållet i endimkursen byggs upp utifrån att en
sådan mängd av tal finns. Men hur kan vi veta det?
10
konstruktion av de reella talen
Vi skulle vilja hitta ett sätt att se att det verkligen finns en
mängd av tal som uppfyller vad vi vill. (Allra helst skulle vi vilja
att det bara finns en enda ordnad kropp som uppfyller
axiomet om övre gräns.)
Låt oss utgå från att vi vet att de rationella talen existerar. (Vad
nu det betyder. I mån av tid säger jag något om konstruktionen
av de rationella talen i slutet.)
Målet är att, utifrån de rationella talen, konstruera de reella
talen, dvs. konstruera en ordnad kropp med
supremumegenskapen. Det finns flera, till synes olika, sätt att
göra detta, men det går att visa att alla konstruktioner ger
” isomorfa” slutresultat.
11
cauchyföljder
talföljder
För tillfället, låt oss låtsas att rationella tal är de enda vi har
att tillgå.
Definition
En talföljd är en ”ordnad lista av tal”
(a) = (a1 , a2 , a3 , . . .)
Mer formellt, en talföljd är en funktion a : N → Q.
13
gränsvärde av följder
Definition
Låt (a) = (a1 , a2 , . . .) vara en talföljd. Vi säger att följden har
gränsvärdet L om det till varje rationellt tal ε > 0 finns ett heltal
N sådant att
− ε < an − L < ε
för alla n ≥ N.
14
gränsvärde av följder
Definition
Låt (a) = (a1 , a2 , . . .) vara en talföljd. Vi säger att följden har
gränsvärdet L om det till varje rationellt tal ε > 0 finns ett heltal
N sådant att
|an − L| < ε
för alla n ≥ N.
14
gränsvärde av följder
Definition
Låt (a) = (a1 , a2 , . . .) vara en talföljd. Vi säger att följden har
gränsvärdet L om det till varje rationellt tal ε > 0 finns ett heltal
N sådant att
|an − L| < ε
för alla n ≥ N.
Kom ihåg att alla tal (även L) är rationella! Problemet är att
även talföljder som ”borde ha” ett gränsvärde, inte säkert har
det. Betrakta t.ex. följden:
31 314 3141 31415
(π) = 3, ,
,
,
,...
10 100 1000 10000
14
cauchyföljder
För att kunna hantera följder som inte nödvändigtvis har ett
gränsvärde, inför vi ett lite svagare begrepp.
Definition
Låt (a) = (a1 , a2 , . . .) vara en talföljd. Vi säger att följden är en
Cauchyföljd om det till varje rationellt ε > 0 finns ett heltal N
sådant att
|an − am | < ε
för alla n, m ≥ N.
15
cauchyföljder
För att kunna hantera följder som inte nödvändigtvis har ett
gränsvärde, inför vi ett lite svagare begrepp.
Definition
Låt (a) = (a1 , a2 , . . .) vara en talföljd. Vi säger att följden är en
Cauchyföljd om det till varje rationellt ε > 0 finns ett heltal N
sådant att
|an − am | < ε
för alla n, m ≥ N.
Följden:
(π) =
31 314 3141 31415
3, ,
,
,
,...
10 100 1000 10000
är en Cauchyföljd.
15
samband mellan gränsvärden och cauchyföljder
Att Cauchyföljder verkligen är ett svagare begrepp följer ur:
Sats
Om (a) har ett gränsvärde, så är (a) en Cauchyföljd.
16
samband mellan gränsvärden och cauchyföljder
Att Cauchyföljder verkligen är ett svagare begrepp följer ur:
Sats
Om (a) har ett gränsvärde, så är (a) en Cauchyföljd.
Bevis
Anta att an → L då n → ∞, och låt ε > 0. Då finns N sådant att
|an − L| < ε2 för n ≥ N.
16
samband mellan gränsvärden och cauchyföljder
Att Cauchyföljder verkligen är ett svagare begrepp följer ur:
Sats
Om (a) har ett gränsvärde, så är (a) en Cauchyföljd.
Bevis
Anta att an → L då n → ∞, och låt ε > 0. Då finns N sådant att
|an − L| < ε2 för n ≥ N. Därmed måste:
|an − am | = |(an − L) − (am − L)|
≤ |an − L| + |am − L| <
ε ε
+ =ε
2 2
om n, m ≥ N.
16
cauchyföljder är begränsade
Även om Cauchyföljder inte behöver ha något gränsvärde, så är
de åtminstone begränsade, dvs. det finns ett tal M, sådant att
|an | < M för alla n.
Sats
Cauchyföljder är begränsade
17
cauchyföljder är begränsade
Även om Cauchyföljder inte behöver ha något gränsvärde, så är
de åtminstone begränsade, dvs. det finns ett tal M, sådant att
|an | < M för alla n.
Sats
Cauchyföljder är begränsade
Bevis
Per definition (med ε = 1) finns ett N sådant att |an − aN | ≤ 1
för alla n ≥ N. I synnerhet är |an | ≤ |aN | + 1 för n ≥ N.
Låt
M = max{|a1 |, |a2 |, . . . , |aN−1 |, |aN | + 1}.
Då är |an | ≤ M för alla n.
17
ekvivalenta cauchyföljder
Definition
Om (a) och (b) är Cauchyföljder, så säger vi att de är ekvivalenta
om an − bn → 0 då n → ∞. (Och skriver (a) ∼ (b).)
18
ekvivalenta cauchyföljder
Definition
Om (a) och (b) är Cauchyföljder, så säger vi att de är ekvivalenta
om an − bn → 0 då n → ∞. (Och skriver (a) ∼ (b).)
Till exempel är
n+1
n
eftersom
an − bn =
∼
n−1
,
n
n+1 n−1
2
−
= →0
n
n
n
då n → ∞.
18
reella tal
reella tal
Reella tal är Cauchyföljder, där ekvivalenta Cauchyföljder ses
som samma reella tal.
20
reella tal
Reella tal är Cauchyföljder, där ekvivalenta Cauchyföljder ses
som samma reella tal.
1
2
(Jämför rationella tal: Är = ?)
2
4
20
reella tal
Reella tal är Cauchyföljder, där ekvivalenta Cauchyföljder ses
som samma reella tal.
1
2
(Jämför rationella tal: Är = ?)
2
4
För att denna definition ska vara meningsfull, måste vi förstås
visa att vi får en ordnad kropp som uppfyller axiomet om övre
gräns.
20
reella tal
Reella tal är Cauchyföljder, där ekvivalenta Cauchyföljder ses
som samma reella tal.
1
2
(Jämför rationella tal: Är = ?)
2
4
För att denna definition ska vara meningsfull, måste vi förstås
visa att vi får en ordnad kropp som uppfyller axiomet om övre
gräns.
Intuition: Ett rationellt tal r svarar mot en konstant
Cauchyföljd:
(r) = (r, r, r, . . .)
Cauchyföljder som inte är ekvivalenta med någon sådan (r)
svarar mot irrationella tal, t.ex. följden (π) från tidigare.
20
räkneoperationer
Om (a) och (b) är reella tal (dvs. Cauchyföljder), definierar vi:
(a) + (b) = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 , . . .)
(a) · (b) = (a1 · b1 , a2 · b2 , a3 · b3 , . . .).
21
räkneoperationer
Om (a) och (b) är reella tal (dvs. Cauchyföljder), definierar vi:
(a) + (b) = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 , . . .)
(a) · (b) = (a1 · b1 , a2 · b2 , a3 · b3 , . . .).
Det finns två problem med dessa definitioner!
1. Vi måste visa att (a) + (b) och (a) · (b) blir Cauchyföljder.
2. Vi måste visa att om vi byter ut (a) och (b) mot ekvivalenta
Caucyföljder, så blir motsvarande summor och produkter
också ekvivalenta, dvs om (a) ∼ (a0 ) och (b0 ) ∼ (b0 ), så blir
(a) + (b) ∼ (a0 ) + (b0 ) och (a) · (b) ∼ (a0 ) · (b0 ).
21
summan av två reella tal är ett reellt tal
Sats
Om (a) och (b) är Cauchyföljder, så är (a)+(b) också en Cauchyföljd.
22
summan av två reella tal är ett reellt tal
Sats
Om (a) och (b) är Cauchyföljder, så är (a)+(b) också en Cauchyföljd.
Bevis
Vi måste visa att |(an + bn ) − (am + bm )| är litet bara n och m är
tillräckligt stora. Men,
|(an + bn ) − (am + bm )| ≤ |an − am | + |bn − bm | <
ε ε
+ = ε.
2 2
för alla n, m ≥ N.
22
summan av två reella tal är ett reellt tal
Sats
Om (a) och (b) är Cauchyföljder, så är (a)+(b) också en Cauchyföljd.
Bevis
Vi måste visa att |(an + bn ) − (am + bm )| är litet bara n och m är
tillräckligt stora. Men,
|(an + bn ) − (am + bm )| ≤ |an − am | + |bn − bm |.
22
produkten av två reella tal är ett reellt tal
Sats
Om (a) och (b) är Cauchyföljder, så är (a)·(b) också en Cauchyföljd.
23
produkten av två reella tal är ett reellt tal
Sats
Om (a) och (b) är Cauchyföljder, så är (a)·(b) också en Cauchyföljd.
Bevis
Vi har
|an · bn − am · bm | = |an bn − an bm + an bm − am bm |
≤ |an bn − an bm | + |an bm − am bm |
= |an | |bn − bm | + |bm | |an − am |
≤ Ma |bn − bm | + Mb |an − am |
eftersom (a) och (b) är begränsade. Låt k > 0. Välj N så stort
att |bn − bm | < 2Mε a och |an − am | < 2Mε om n, m ≥ N.
b
23
ekvivalenta följder ger ekvivalenta summor
Sats
Om (a) ∼ (a0 ) och (b) ∼ (b0 ) så är (a) + (b) ∼ (a0 ) + (b0 ).
24
ekvivalenta följder ger ekvivalenta summor
Sats
Om (a) ∼ (a0 ) och (b) ∼ (b0 ) så är (a) + (b) ∼ (a0 ) + (b0 ).
Bevis
Vi ska visa att (an + bn ) − (a0n + b0n ) → 0, då n → ∞. Låt ε > 0.
Då är
|(an + bn ) − (a0n + b0n )| ≤ |an − a0n | + |bn − b0n | ≤
ε ε
+
2 2
för n ≥ N om bara N är tillräckligt stort (eftersom an − a0n → 0
och bn − b0n → 0).
24
ekvivalenta följder ger ekvivalenta produkter
Sats
Om (a) ∼ (a0 ) och (b) ∼ (b0 ) så är (a) · (b) ∼ (a0 ) · (b0 ).
25
ekvivalenta följder ger ekvivalenta produkter
Sats
Om (a) ∼ (a0 ) och (b) ∼ (b0 ) så är (a) · (b) ∼ (a0 ) · (b0 ).
Bevis
Vi ska visa att an · bn − a0n · b0n → 0, då n → ∞.
|an bn − a0n b0n | = |an bn − bn a0n + bn a0n − a0n b0n |
≤ |an bn − bn a0n | + |bn a0n − a0n b0n |
= |bn | |an − a0n | + |a0n | |bn − b0n |
≤ Mb |an − a0n | + M0a |bn − b0n |
Avsluta som tidigare.
25
sammanfattning
Vi sammanfattar vad vi gjort:
• Vi har infört reella tal som (ekvivalensklasser av)
Cauchyföljder
26
sammanfattning
Vi sammanfattar vad vi gjort:
• Vi har infört reella tal som (ekvivalensklasser av)
Cauchyföljder
• Vi har visat att varje rationellt tal svarar mot ett reellt tal
(konstant Cauchyföljd)
26
sammanfattning
Vi sammanfattar vad vi gjort:
• Vi har infört reella tal som (ekvivalensklasser av)
Cauchyföljder
• Vi har visat att varje rationellt tal svarar mot ett reellt tal
(konstant Cauchyföljd)
• Vi har visat att vi kan addera och multiplicera våra reella
tal och att ekvivalenta följder ger ekvivalenta summor och
produkter
26
de reella talen bildar en kropp
Vi måste kontrollera att våra reella tal bildar en kropp, dvs. att
räknereglerna (associativa lagarna, kommutativa lagarna, etc.)
är uppfyllda.
Men: det följer direkt från att Q är en kropp. Eftersom vi
definierar addition och multiplikation ”elementvis” i våra
Cauchyföljder, ser vi direkt att alla räkneregler är uppfyllda.
27
de reella talen bildar en kropp
Vi måste kontrollera att våra reella tal bildar en kropp, dvs. att
räknereglerna (associativa lagarna, kommutativa lagarna, etc.)
är uppfyllda.
Men: det följer direkt från att Q är en kropp. Eftersom vi
definierar addition och multiplikation ”elementvis” i våra
Cauchyföljder, ser vi direkt att alla räkneregler är uppfyllda.
Ett konkret exempel:
(a) + (b) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . .)
= (b1 + a1 , b2 + a2 , . . .) = (b) + (a)
27
de reella talen bildar en kropp
Vi måste kontrollera att våra reella tal bildar en kropp, dvs. att
räknereglerna (associativa lagarna, kommutativa lagarna, etc.)
är uppfyllda.
Men: det följer direkt från att Q är en kropp. Eftersom vi
definierar addition och multiplikation ”elementvis” i våra
Cauchyföljder, ser vi direkt att alla räkneregler är uppfyllda.
Ett konkret exempel:
(a) + (b) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . .)
= (b1 + a1 , b2 + a2 , . . .) = (b) + (a)
Det enda som kanske kräver lite tankearbete är existensen av
multiplikativ invers.
27
de reella talen bildar en ordnad kropp
Definition
Om (a) 6= 0 (dvs. (a) är en talföljd sådan att an 6→ 0), så säger
vi att (a) är positiv om det finns ett heltal N sådant att an > 0
för alla n ≥ N.
28
de reella talen bildar en ordnad kropp
Definition
Om (a) 6= 0 (dvs. (a) är en talföljd sådan att an 6→ 0), så säger
vi att (a) är positiv om det finns ett heltal N sådant att an > 0
för alla n ≥ N.
(Återigen vill vi visa att om (a) ∼ (a0 ) och (a) är positiv, så är
även (a0 ) det. Lämnas som en övning.)
Definition
(a) > (b)
⇔
(a) − (b) är positiv
På likartat sätt som tidigare kontrollerar vi att detta gör R till
en ordnad kropp.
28
axiomet om övre gräns
Det sista (och besvärligaste) som återstår är att visa att våra
reella tal uppfyller axiomet om övre gräns.
Anmärkning: nu när vi kan prata om positiva och negativa
reella tal, kan vi definiera talföljder av reella tal, gränsvärden
av sådana, och till och med Cauchyföljder av reella tal!
29
de rationella talen är täta i de reella talen
Sats
Om (a) > (0) finns ett rationellt (r) sådant att (a) > (r) > (0).
30
de rationella talen är täta i de reella talen
Sats
Om (a) > (0) finns ett rationellt (r) sådant att (a) > (r) > (0).
Bevis
Eftersom (a) > (0) finns det ett N så att an > 0 för n ≥ N.
Eftersom an 6→ 0 finns ett ε0 > 0 sådant att an > ε0 för godtyckligt stora n. Eftersom (a) är en Cauchyföljd vet vi dessutom
att |an − aM | < ε20 för n ≥ M om bara M är nog stort. Fixera ett
sådant M ≥ N som dessutom uppfyller att aM > ε0 . Dvs. om
n ≥ M är
ε0
ε0
an = aM + (an − aM ) > ε0 −
= .
2
2
ε0
Tag r = 2 .
30
de reella talen bildar en arkimedeisk kropp
Sats
Anta att (a) och (b) är positiva reella tal. Då finns ett heltal m,
sådant att (m) · (a) > (b).
31
de reella talen bildar en arkimedeisk kropp
Sats
Anta att (a) och (b) är positiva reella tal. Då finns ett heltal m,
sådant att (m) · (a) > (b).
Bevis
Eftersom (a) > 0 finns ett rationellt (r) så att (a) > (r) > (0).
Eftersom (b) är en Cauchyföljd är (b) begränsad, dvs det finns
ett rationellt M så att bn < M för alla n.
Låt m vara ett heltal större än M/r. Det följer att
an · m > r ·
M
= M > bn
r
för tillräckligt stora n, dvs (m) · (a) > (b).
31
de rationella talen är täta i de reella talen
Sats
Givet ett reellt tal (a) och ett (godtyckligt litet) rationellt tal ε >
0, går det att hitta ett rationellt tal (r) sådant att |(a) − (r)| < ε.
32
de rationella talen är täta i de reella talen
Sats
Givet ett reellt tal (a) och ett (godtyckligt litet) rationellt tal ε >
0, går det att hitta ett rationellt tal (r) sådant att |(a) − (r)| < ε.
Bevis
Eftersom (a) är en Cauchyföljd, vet vi att det finns ett N så att
|an − aN | < ε för n ≥ N. Ta r = aN .
32
axiomet om övre gräns
axiomet om övre gräns
Det enda som återstår är att visa att våra reella tal uppfyller
axiomet om övre gräns, vilket tyvärr är ganska krångligt.
34
axiomet om övre gräns
Det enda som återstår är att visa att våra reella tal uppfyller
axiomet om övre gräns, vilket tyvärr är ganska krångligt.
Låt ∅ 6= A ⊂ R vara en uppåt begränsad mängd.
34
axiomet om övre gräns
Det enda som återstår är att visa att våra reella tal uppfyller
axiomet om övre gräns, vilket tyvärr är ganska krångligt.
Låt ∅ 6= A ⊂ R vara en uppåt begränsad mängd.
För att inte förlora oss i beteckningar, låt oss glömma att våra
reella tal egentligen är Cauchyföljder (utom när vi verkligen
behöver det) och återgå till ”normala” beteckningar för reella
tal.
34
axiomet om övre gräns
Vi ska konstruera två följder av reella tal: (un ) och (`n )
(egentligen följder av Cauchyföljder…) som båda konvergerar
mot sup A på följande vis:
1. Sätt u1 = M, där M är någon övre begränsning till A och
`1 = a, där a är något fixt tal i A.
35
axiomet om övre gräns
Vi ska konstruera två följder av reella tal: (un ) och (`n )
(egentligen följder av Cauchyföljder…) som båda konvergerar
mot sup A på följande vis:
1. Sätt u1 = M, där M är någon övre begränsning till A och
`1 = a, där a är något fixt tal i A.
1
2. Ta medelvärdet µ = u1 +`
2 . Om µ är en övre begränsning till
A, sätt u2 = µ och `2 = `1 . Om inte, sätt u2 = u1 och `2 = µ.
35
axiomet om övre gräns
Vi ska konstruera två följder av reella tal: (un ) och (`n )
(egentligen följder av Cauchyföljder…) som båda konvergerar
mot sup A på följande vis:
1. Sätt u1 = M, där M är någon övre begränsning till A och
`1 = a, där a är något fixt tal i A.
1
2. Ta medelvärdet µ = u1 +`
2 . Om µ är en övre begränsning till
A, sätt u2 = µ och `2 = `1 . Om inte, sätt u2 = u1 och `2 = µ.
2
3. Ta medelvärdet µ = u2 +`
2 . Om µ är en övre begränsning till
A, sätt u3 = µ och `3 = `2 . Om inte, sätt u3 = u2 och `3 = µ.
35
axiomet om övre gräns
Vi ska konstruera två följder av reella tal: (un ) och (`n )
(egentligen följder av Cauchyföljder…) som båda konvergerar
mot sup A på följande vis:
1. Sätt u1 = M, där M är någon övre begränsning till A och
`1 = a, där a är något fixt tal i A.
1
2. Ta medelvärdet µ = u1 +`
2 . Om µ är en övre begränsning till
A, sätt u2 = µ och `2 = `1 . Om inte, sätt u2 = u1 och `2 = µ.
2
3. Ta medelvärdet µ = u2 +`
2 . Om µ är en övre begränsning till
A, sätt u3 = µ och `3 = `2 . Om inte, sätt u3 = u2 och `3 = µ.
4. Upprepa på samma sätt.
35
axiomet om övre gräns
Vi ska konstruera två följder av reella tal: (un ) och (`n )
(egentligen följder av Cauchyföljder…) som båda konvergerar
mot sup A på följande vis:
1. Sätt u1 = M, där M är någon övre begränsning till A och
`1 = a, där a är något fixt tal i A.
1
2. Ta medelvärdet µ = u1 +`
2 . Om µ är en övre begränsning till
A, sätt u2 = µ och `2 = `1 . Om inte, sätt u2 = u1 och `2 = µ.
2
3. Ta medelvärdet µ = u2 +`
2 . Om µ är en övre begränsning till
A, sätt u3 = µ och `3 = `2 . Om inte, sätt u3 = u2 och `3 = µ.
4. Upprepa på samma sätt.
Det är nästan uppenbart att (un ) blir en avtagande och (`n ) en
växande följd av reella tal.
35
axiomet om övre gräns
Lemma
Följderna (un ) och (`n ) blir Cauchyföljder (av reella tal).
36
axiomet om övre gräns
Lemma
Följderna (un ) och (`n ) blir Cauchyföljder (av reella tal).
Bevis
Observera att `n är växande och uppåt begränsad (av M). Antag
att (`n ) inte är en Cauchyföljd. Då finns något ε0 > 0, sådant att
oavsett hur stort N är, måste `p − `q > ε0 för några p > q ≥ N.
Välj först N = 1 och välj tal (n1 < n2 ) så att `n1 + ε0 < `n2 .
Forsätt för att hitta n1 < n2 < n3 < n4 så att `n3 + ε0 < `n4 , dvs
`n4 > `n3 + ε0 ≥ `n2 + ε0 > `n1 + 2ε0 .
Upprepa konstruktionen. Till slut måste något `nk > M (varför?),
vilket är en motsägelse.
Beviset för (un ) är analogt.
36
cauchyföljder av reella tal har gränsvärde
Lemma
Varje Cauchyföljd (an ) av reella tal har ett gränsvärde.
37
cauchyföljder av reella tal har gränsvärde
Lemma
Varje Cauchyföljd (an ) av reella tal har ett gränsvärde.
Bevis
Låt an vara ett godtyckligt reellt tal i följden. Då går det att hitta
ett rationellt tal rn med |an − rn | < n1 . Låt (r) = (r1 , r2 , . . .). Då
blir (r) en Cauchyföljd av rationella tal: om ε > 0, välj N så stort
att 1/N < ε/3. Eftersom (an ) är Cauchy finns något M ≥ N så att
|an − am | < ε/3 för n, m ≥ M. Alltså
|rn − rm | = |(rn − an ) + (an − am ) + (am − rn )|
≤ |(rn − an )| + |(an − am )| + |(am − rn )| <
ε ε ε
+ + = ε.
3 3 3
Med andra ord är (r) ett reellt tal! Och (r) är i princip per definition ett gränsvärde till (an ).
37
slutkläm
Återvänd till våra följder (un ) och (`n ). Eftersom de är
Cauchyföljder (av reella tal) har de gränsvärden, u respektive `,
men ur konstruktionen följer att u = `. (Eftersom
un+1 − `n+1 = 21 (un − `n ).
38
slutkläm
Återvänd till våra följder (un ) och (`n ). Eftersom de är
Cauchyföljder (av reella tal) har de gränsvärden, u respektive `,
men ur konstruktionen följer att u = `. (Eftersom
un+1 − `n+1 = 21 (un − `n ).
Vidare måste u vara en övre begränsning till A. (Om inte finns
något a ∈ A med a > u, dvs ε = a − u > 0. Men eftersom un är
växande och un → u betyder det att un > u − ε = a om n är
stort, vilket motsäger att un är en övre begränsning till A.)
38
slutkläm
Återvänd till våra följder (un ) och (`n ). Eftersom de är
Cauchyföljder (av reella tal) har de gränsvärden, u respektive `,
men ur konstruktionen följer att u = `. (Eftersom
un+1 − `n+1 = 21 (un − `n ).
Vidare måste u vara en övre begränsning till A. (Om inte finns
något a ∈ A med a > u, dvs ε = a − u > 0. Men eftersom un är
växande och un → u betyder det att un > u − ε = a om n är
stort, vilket motsäger att un är en övre begränsning till A.)
Mostvarande argument (med `n ) visar att om ε > 0 finns något
a ∈ A med a > u − ε, dvs att det inte finns någon mindre övre
begränsning, så u = sup A.
38
