Uppgift 6.4

1
Uppgift 6.4
Lösningsförslag
Antag att bungeelinan tänjs ut sträckan y. Linan kan ses som en fjäder och
kommer att uträtta ett arbete på hopparen. Arbetet bromsar hopparen så att
hastigheten är noll då huvudet når vattenytan. Kravet i uppgiften att huvudet
ska snudda vid vattenytan då hopparen vänder kan formuleras:
h = L+y +l.
(1)
Vi behöver bestämma y för att få fram ett värde på h.
Vi upp hopparens rörelse i två delar. I första stadiet faller hopparen fritt sträckan
L. Vi har då ekvationen:
∆Ek + ∆Ep = 0
(2)
som behandlats på Fö 7. Om Ep betecknar lägesenergi så är ändringen:
∆Ep = −mgL
som är negativ eftersom lägesenergin minskar då hopparen faller mot marken.
Kinetiska energin ökar och dess storlek efter det fria fallet fås med (2) som:
Ekefter − Ekföre −mgL = 0
| {z }
=0
och om vi kallar den kinetiska energin Ek i slutet av det fria fallet har vi alltså:
Ek = mgL
Vi betraktar nu andra delen av rörelsen, då repet börjar tänjas ut sträckan y.
Lägesenergin fortsätter då att minska, så att:
∆Ep = −mgy .
Den kinetiska energin minskar också:
∆Ek = Ekefter −Ekföre = 0 − mgL = −mgL
| {z }
=0
Det arbete som fjäderkraften utför kan skrivas:
1
Ws = − y 2
2
som är negativt eftersom fjäderkraften (↑) är motriktad förflyttningen (↓). Ekvation (2) modifieras1 då till att lyda:
∆Ek + ∆Ep = Ws
(3)
1 Man kan också fortsätta använda ekvation (2) eftersom vi endast har at göra med konservativa krafter. Vi har då två sorters potentiell energi: dels lägesenergin och dels energin i
fjädern. Båda tillvägagångssätten bör resultera i ekvation (4) nedan.
2
eftersom ett arbete Ws utförs av en yttre kraft. Observera dock att fjäderkraften
är konservativ. Ekvation (3) ger nu sambandet:
1
−mgL − mgy = − ky 2
2
(4)
som är en andragradsekvation på den bekanta formen:
y2 −
2mg
2mgL
y−
= 0.
k
k
Med givna värden får vi den numeriska ekvationen:
y 2 − 9,1654y − 183,3080 = 0 ⇔ y = 18,9
eller
y = −9,7
dvs den sökta sträckan är y = 18,9 m. Nu sätter vi in vårt resultat i sambandet
(1) och får:
h = L + h + l = (20 + 18,9 + 1,70) m = 40,6 m
Svar: 40,6 m