Lektion L10 (4h), torsdag 2007-09-05

Chapter 10
Lektion L10 (4h), torsdag
2007-09-05
Lektionsinnehåll
Går igenom:
1. Förenkla i10 (Visar grafiskt vad som sker).
2. Förenkla
1−i
1+i
3. Förenkla
2+3i
i
(enkel räkneövning)
(visar att det inte krävs förlängning av konjugat).
4. Bestäm belopp och argument till −2i + 2 (snabb övning på belopp och
argument, grafisk överblick viktigt, tar även fram belopp och argument
till 2i − 2)
5. Bestäm belopp och argument till −3i (snabb övning på belopp och argument, grafisk överblick viktigt)
6. Bestäm belopp och argument till 4 (snabb övning på belopp och argument,
grafisk överblick viktigt)
7. Beskriv talet i · z jämfört med z.(Det ser ut att vara en vridning 90
grader, resonerar lite om beviset om man använder sig av rektangulär
form, återkommer till detta i sambnad med polär form)
8. Givet |z| = 4 och arg z =
se nästa uppgift)
5π
6 .
Bestäm z (viktigt att hänga med på detta,
9. Givet |z| = r och arg z = ϕ. Bestäm z.(fås genom att a = r cos ϕ och
b = r sin ϕ i uttrycket z = a + ib, inses grafiskt).
Observerar att vi har beskrivit z med hjälp av "avstånd (från origo)" och
"vinkel". Detta kallas för polär form (till skillnad mot a + bi som kallas
rektangulär form / kartesisk form).
Boken gör skillnad på polär form (r (cos ϕ + i sin ϕ)) och potensform (reiϕ ).
Men genom att använda den senare formen så är det enkelt att använda sig av
räknelagar.
27
CHAPTER 10. LEKTION L10 (4H), TORSDAG 2007-09-05
28
Man kan alltså skriva polär form som r (cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ . Denna form
kan användas tillsammans med räknelagar för exponentialfunktionen.
√
10. Förenkla 23 − 12 i · − √12 − √12 i (löst genom att dels utföra multiplikationen på rektangulär form och dels använda sig av polär form.)
n
11. Vad händer för √12 + √12 i
då n = 0, 1, 2, 3, . . . (räknar på polär form
och visar grafiskt vad som händer)
14. Förenkla (2 + 2i)33 (visar hur enkelt det blir med polär form (2 + 2i)33 =
√ i π 33 √ 33 i π 33
33
π
99
33π
99 33
4
8e
= 8
e 4
= 8 2 ei 4 ·33 = 2 2 ei 4 = 2 2 cos 33
4 π + i sin 4 π =
99
22
√1
2
+ i √12 = 249 (1 + i))
Övriga uppgifter lämnas till senare lektioner
Formen z = a + ib kallas kartesisk form (rektangulär form eller helt enkelt
a+ib-form).
Formen z = r (cos θ + i sin θ) = reiθ kallas för polär form, där r = |z| och
θ = arg z.
Poängterar vikten av att kunna skriva om tal mellan de två formerna.
Tittar på den första, dels genom vanlig multiplikation och sedan genom att
byta ut mot polär form (m.h.a. exponentialfunktionen). Då kan man nyttja
exponentialfunktionens räkneregler.
Tittar på den andra också genom att byta ut till polär form och nyttja
exponentialfunktionens räkneregler. (Borde Gått tillbaka till i10 som gjordes
tidigare och visar resultatet.)
Viktigt att tolka multiplikation som
=arg z
z = z1 · z2 = |z1 | eiθ1 · |z2 | eiθ2 = |z1 | |z2 |ei(θ1 + θ2 ) ,
=|z|
d.v.s. längden på produkten är detsamma som produkten av längderna för
de två faktorerna, och argumentet fås genom att addera de två faktorernas
argument (grafisk vridning...).
Vad händer då vid division? Gå över till polär form och beräknar med
räkneregler för exponentialfunktionen.
=arg z
iθ1
|z1 | i(θ 1 − θ 2 )
1 |e
Visar generellt att z = zz12 = |z
=
e
.
|z2 |eiθ2
|z2 |
=|z|
Förtydligar grafiskt vad som sker.
Rekommenderar att experimenterar med den Java-applet som tidigare användes!
Dessa räkneregler kan man enkelt få ut genom att nyttja polär form och
räkneregler för exponentialfunktionen:
• |z1 · z2 | = |z1 | |z2 |
1|
• zz12 = |z
|z2 |
• |z n | = |z|n
CHAPTER 10. LEKTION L10 (4H), TORSDAG 2007-09-05
29
• arg (z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2
• arg zz21 = arg z1 − arg z2
• arg (z n ) = n arg z
• z = |z| ei arg z = |z| cos (arg z) + i |z| sin (arg z)
• Räkneregler för exponentialfunktionen gäller!
Kontroll med MATLAB:
>> [th,r]=cart2pol(a,b)
>> [a,b]=pol2cart(th,r)
Vektorer
Avsnittet har introducerats i mekanikmomentet. Denna lektion syftar till
att se till att de grundläggande vektorbegreppen finns aktuella.
Inledande exempel. Två personer drar i ett bord. Den ena drar med kraften
20 N 45◦ åt höger och den andra drar med kraften 10 N 30◦ åt vänster (d.v.s.
150◦ räknat från höger).
Beräknar total kraft genom att ta fram komposanter och adderar (visar
grafiskt).
Visar att det vi har gjort kan ses som att vi har parallellförflytat någon av
pilarna.
Definierar begreppet vektor som storlek och riktning. Om man har en
angreppspunkt så är det en representant av vektorn som kallas för riktad sträcka.
Om man vill att en bokstav ska representera en vektor så måste man visa
→
detta på något sätt, t.ex. u, u, −
u , u (fast i vissa fall så skriver man inte ut
detta: u).
Tar upp hur man kan skriva detta med koordinater.
Jämför med komplexa tal. Man kan se komplexa tal som tvådimensionella
vektorer. Men vi kommer inte vilja att multiplikation ska uppföra sig som för
komplexa tal. Dessutom kan man inte utöka dimensionstalet om men använder
sig av komplexa tal.
Tar upp lite om dimensionsbegrepp.
Visar också skillnad mellan vektor och riktad sträcka (riktad sträcka har
även en startpunkt). När man ritar en vektor så ritar man egentligen bara en
representant av vektorn.
Visar räkneregler med hjälp av vektorerna u = (1, 2) och v = (−1, 3) och
talet c = 3.
Tar upp addition u + v = (1, 2) + (−1, 3) = (1 + (−1) , 2 + 3) (elementvis
addition). Visar grafiskt hur det ser ut.
Tar upp subtraktion u − v = (1, 2) − (−1, 3) = (1 − (−1) , 2 − 3) (elementvis
subtraktion). Visar grafiskt hur det ser ut.
Tar upp multiplikation med tal c · u = 3 · (1, 2) = (3, 6) (multipel av vektorn
u, kan också ses som u + u + u). Visar grafiskt hur det ser ut.
Vid multiplikation av två vektorer är det ej klart vad som menas. Återkommer till detta senare i kursen.
√
√
Tar upp belopp |u| = 12 + 22 = 5 (längden av en vektor). Visar grafiskt
hur det ser ut.
√
√
Tittar på det i tre dimensioner u = (1, 2, 3), |u| = 12 + 22 + 32 = 14 motiverar det grafiskt med hjälp av en applet från walter-fendt: .http://www.walterfendt.de/m14d/vektor3d.htm.
CHAPTER 10. LEKTION L10 (4H), TORSDAG 2007-09-05
30
(Inte gjort, men borde nämnt: Givet två punkter (xstart , ystart ) och (xstop , ystart ).
Vilken är vektorn u som startar i start och slutar i slut. Visar grafiskt u =
(xslut − xstart , yslut − ystart ). Visar att man kan resonera med vektorer för att
få fram detta. Låt ustart = (xstart , ystart ) och uslut = (xstop , ystart ). Då kan
man se uslut = ustart + u eller u = ustart + uslut .)
Provat på att normera vektorn: u = (1, 2). Normera betyder att man skalar
om vektorn (behåller riktningen) så den får längden 1.
Visat hur man använder vektorer i MATLAB (>> u=[1,2,], >> v=[-1,3],
>> u+v, >> u*v (funkar ej), >> norm(u))
Uppgifter
Utdelat test på komplexa tal.
Utdelat test på vektorer (1,2,6 och ev.3,4)
Utdelat papper med vektoruppgifter (endast framsidan, 2.1 och 2.2)
Dessutom vektoruppgifterna: TP4.5-4.7, Ö4.4, TP4.13, TP4.15
Nästa lektion
de Moivres formel
Binomisk ekvation
Repetera vektorbegrepp och göra någon uppgift på linjär kombination och
parallellitet och vektor från två punkter.
Linjer och plan