Chapter 10 Lektion L10 (4h), torsdag 2007-09-05 Lektionsinnehåll Går igenom: 1. Förenkla i10 (Visar grafiskt vad som sker). 2. Förenkla 1−i 1+i 3. Förenkla 2+3i i (enkel räkneövning) (visar att det inte krävs förlängning av konjugat). 4. Bestäm belopp och argument till −2i + 2 (snabb övning på belopp och argument, grafisk överblick viktigt, tar även fram belopp och argument till 2i − 2) 5. Bestäm belopp och argument till −3i (snabb övning på belopp och argument, grafisk överblick viktigt) 6. Bestäm belopp och argument till 4 (snabb övning på belopp och argument, grafisk överblick viktigt) 7. Beskriv talet i · z jämfört med z.(Det ser ut att vara en vridning 90 grader, resonerar lite om beviset om man använder sig av rektangulär form, återkommer till detta i sambnad med polär form) 8. Givet |z| = 4 och arg z = se nästa uppgift) 5π 6 . Bestäm z (viktigt att hänga med på detta, 9. Givet |z| = r och arg z = ϕ. Bestäm z.(fås genom att a = r cos ϕ och b = r sin ϕ i uttrycket z = a + ib, inses grafiskt). Observerar att vi har beskrivit z med hjälp av "avstånd (från origo)" och "vinkel". Detta kallas för polär form (till skillnad mot a + bi som kallas rektangulär form / kartesisk form). Boken gör skillnad på polär form (r (cos ϕ + i sin ϕ)) och potensform (reiϕ ). Men genom att använda den senare formen så är det enkelt att använda sig av räknelagar. 27 CHAPTER 10. LEKTION L10 (4H), TORSDAG 2007-09-05 28 Man kan alltså skriva polär form som r (cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ . Denna form kan användas tillsammans med räknelagar för exponentialfunktionen. √ 10. Förenkla 23 − 12 i · − √12 − √12 i (löst genom att dels utföra multiplikationen på rektangulär form och dels använda sig av polär form.) n 11. Vad händer för √12 + √12 i då n = 0, 1, 2, 3, . . . (räknar på polär form och visar grafiskt vad som händer) 14. Förenkla (2 + 2i)33 (visar hur enkelt det blir med polär form (2 + 2i)33 = √ i π 33 √ 33 i π 33 33 π 99 33π 99 33 4 8e = 8 e 4 = 8 2 ei 4 ·33 = 2 2 ei 4 = 2 2 cos 33 4 π + i sin 4 π = 99 22 √1 2 + i √12 = 249 (1 + i)) Övriga uppgifter lämnas till senare lektioner Formen z = a + ib kallas kartesisk form (rektangulär form eller helt enkelt a+ib-form). Formen z = r (cos θ + i sin θ) = reiθ kallas för polär form, där r = |z| och θ = arg z. Poängterar vikten av att kunna skriva om tal mellan de två formerna. Tittar på den första, dels genom vanlig multiplikation och sedan genom att byta ut mot polär form (m.h.a. exponentialfunktionen). Då kan man nyttja exponentialfunktionens räkneregler. Tittar på den andra också genom att byta ut till polär form och nyttja exponentialfunktionens räkneregler. (Borde Gått tillbaka till i10 som gjordes tidigare och visar resultatet.) Viktigt att tolka multiplikation som =arg z z = z1 · z2 = |z1 | eiθ1 · |z2 | eiθ2 = |z1 | |z2 |ei(θ1 + θ2 ) , =|z| d.v.s. längden på produkten är detsamma som produkten av längderna för de två faktorerna, och argumentet fås genom att addera de två faktorernas argument (grafisk vridning...). Vad händer då vid division? Gå över till polär form och beräknar med räkneregler för exponentialfunktionen. =arg z iθ1 |z1 | i(θ 1 − θ 2 ) 1 |e Visar generellt att z = zz12 = |z = e . |z2 |eiθ2 |z2 | =|z| Förtydligar grafiskt vad som sker. Rekommenderar att experimenterar med den Java-applet som tidigare användes! Dessa räkneregler kan man enkelt få ut genom att nyttja polär form och räkneregler för exponentialfunktionen: • |z1 · z2 | = |z1 | |z2 | 1| • zz12 = |z |z2 | • |z n | = |z|n CHAPTER 10. LEKTION L10 (4H), TORSDAG 2007-09-05 29 • arg (z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 • arg zz21 = arg z1 − arg z2 • arg (z n ) = n arg z • z = |z| ei arg z = |z| cos (arg z) + i |z| sin (arg z) • Räkneregler för exponentialfunktionen gäller! Kontroll med MATLAB: >> [th,r]=cart2pol(a,b) >> [a,b]=pol2cart(th,r) Vektorer Avsnittet har introducerats i mekanikmomentet. Denna lektion syftar till att se till att de grundläggande vektorbegreppen finns aktuella. Inledande exempel. Två personer drar i ett bord. Den ena drar med kraften 20 N 45◦ åt höger och den andra drar med kraften 10 N 30◦ åt vänster (d.v.s. 150◦ räknat från höger). Beräknar total kraft genom att ta fram komposanter och adderar (visar grafiskt). Visar att det vi har gjort kan ses som att vi har parallellförflytat någon av pilarna. Definierar begreppet vektor som storlek och riktning. Om man har en angreppspunkt så är det en representant av vektorn som kallas för riktad sträcka. Om man vill att en bokstav ska representera en vektor så måste man visa → detta på något sätt, t.ex. u, u, − u , u (fast i vissa fall så skriver man inte ut detta: u). Tar upp hur man kan skriva detta med koordinater. Jämför med komplexa tal. Man kan se komplexa tal som tvådimensionella vektorer. Men vi kommer inte vilja att multiplikation ska uppföra sig som för komplexa tal. Dessutom kan man inte utöka dimensionstalet om men använder sig av komplexa tal. Tar upp lite om dimensionsbegrepp. Visar också skillnad mellan vektor och riktad sträcka (riktad sträcka har även en startpunkt). När man ritar en vektor så ritar man egentligen bara en representant av vektorn. Visar räkneregler med hjälp av vektorerna u = (1, 2) och v = (−1, 3) och talet c = 3. Tar upp addition u + v = (1, 2) + (−1, 3) = (1 + (−1) , 2 + 3) (elementvis addition). Visar grafiskt hur det ser ut. Tar upp subtraktion u − v = (1, 2) − (−1, 3) = (1 − (−1) , 2 − 3) (elementvis subtraktion). Visar grafiskt hur det ser ut. Tar upp multiplikation med tal c · u = 3 · (1, 2) = (3, 6) (multipel av vektorn u, kan också ses som u + u + u). Visar grafiskt hur det ser ut. Vid multiplikation av två vektorer är det ej klart vad som menas. Återkommer till detta senare i kursen. √ √ Tar upp belopp |u| = 12 + 22 = 5 (längden av en vektor). Visar grafiskt hur det ser ut. √ √ Tittar på det i tre dimensioner u = (1, 2, 3), |u| = 12 + 22 + 32 = 14 motiverar det grafiskt med hjälp av en applet från walter-fendt: .http://www.walterfendt.de/m14d/vektor3d.htm. CHAPTER 10. LEKTION L10 (4H), TORSDAG 2007-09-05 30 (Inte gjort, men borde nämnt: Givet två punkter (xstart , ystart ) och (xstop , ystart ). Vilken är vektorn u som startar i start och slutar i slut. Visar grafiskt u = (xslut − xstart , yslut − ystart ). Visar att man kan resonera med vektorer för att få fram detta. Låt ustart = (xstart , ystart ) och uslut = (xstop , ystart ). Då kan man se uslut = ustart + u eller u = ustart + uslut .) Provat på att normera vektorn: u = (1, 2). Normera betyder att man skalar om vektorn (behåller riktningen) så den får längden 1. Visat hur man använder vektorer i MATLAB (>> u=[1,2,], >> v=[-1,3], >> u+v, >> u*v (funkar ej), >> norm(u)) Uppgifter Utdelat test på komplexa tal. Utdelat test på vektorer (1,2,6 och ev.3,4) Utdelat papper med vektoruppgifter (endast framsidan, 2.1 och 2.2) Dessutom vektoruppgifterna: TP4.5-4.7, Ö4.4, TP4.13, TP4.15 Nästa lektion de Moivres formel Binomisk ekvation Repetera vektorbegrepp och göra någon uppgift på linjär kombination och parallellitet och vektor från två punkter. Linjer och plan