Här - Eit.lth.se

Svar uppgift 3.10 i Griffiths
Spegelladdningarnas lägen och potentialen i kvartsrymden x > 0, y > 0 ges i de
utdelade svaren. Däremot ges inte kraften på laddningen och energin som krävs
för att föra in laddningen från oänligheten. Det saknas också en diskussion om när
speglingsmetoden fungerar.
Kraften är en summa av krafterna från de tre spegelladdningarna. Den ges av
a
1
b
1
q2
−
x̂ +
−
ŷ
F =
16πε0
(a2 + b2 )1.5 a2
(a2 + b2 )1.5 b2
Arbetet vi utför för att flytta in laddningen från en position där den är oändligt
långt bort från de ledande ytorna är skillnaden mellan energin i systemet efter
flytten minus energin före flytten. Energin innan flytten är noll eftersom potentialen
oändligt långt bort är noll. Energin efter flytten är
Z
1
1
We = qV (a, b, 0) +
ρS (r)V (r)dS
2
2 S
där S är de båda ledande ytorna. Eftersom potentialen är noll på de ledande ytorna
blir ytintegralen noll och därmed ges arbetet av
q2
1
1 1
1
√
− −
A = We = qV (a, b, 0) =
2
16πε0
a2 + b 2 a b
Vi kan använda speglingsmetoden för att lösa motsvarande problem när vinkeln
mellan planen kan skrivas som α = π/n, där n är ett positivt heltal. Genom att
använda 2n − 1 spegelladningar blir randvillkoret V = 0 på halvplanen uppfyllt.
Ingen av spegelladdningarna kommer att hamna i området där den verkliga laddningen ligger. Försöker vi att lägga ut spegelladdningar för andra vinklar kommer vi
att misslyckas eftersom vi dels får oändligt många laddningar och en del av dessa
kommer att ligga i området där den verkliga laddningen ligger.
Kommentarer: Arbetet att föra in en ny laddning till ett system med fasta
positioner för de övriga laddningarna är A = qV . Detta gäller inte i detta fallet
eftersom spegelladdningarnas positioner ändras när vi flyttar laddningen. Vi kan
alltid utnyttja energikonservering och få arbetet som skillnaden mellan systemets
energi efter flytten minus energin före. Notera att systemets energi är negativt.