Innehåll
Vårt talsystem ..................................................................................................................................... 4
Heltal till och med en miljon ........................................................................................................... 4
Decimaltal ........................................................................................................................................ 5
Heltal upp till en miljard .................................................................................................................. 6
Heltal upp till en kvadriljon ............................................................................................................. 6
Räknesätten......................................................................................................................................... 7
Addition och subtraktion ................................................................................................................. 7
Addition och multiplikation ............................................................................................................. 8
Multiplikation och division .............................................................................................................. 9
Termer ............................................................................................................................................... 10
Addition
(+, ”plus”)................................................................................................................... 10
Subtraktion (-, ”minus”) .............................................................................................................. 10
Multiplikation ( eller , ”gånger”) ............................................................................................. 10
Division
(/ eller
, ”delat med”) ........................................................................................ 10
Uppställning – addition och subtraktion ........................................................................................... 11
addition utan övergång ................................................................................................................. 11
addition med övergång ................................................................................................................. 12
subtraktion utan övergång ............................................................................................................ 13
subtraktion med övergång – ej växling över noll .......................................................................... 14
subtraktion med övergång - växling över noll ............................................................................... 15
Multiplikation av flersiffriga tal ......................................................................................................... 16
Multiplikation av decimaltal .......................................................................................................... 19
Kort division ....................................................................................................................................... 20
Kort division utan växling .............................................................................................................. 20
Kort division med växling .............................................................................................................. 21
Kort division – nämnaren är större än täljaren ............................................................................. 22
Vilket tal är störst – vid multiplikation och division? ........................................................................ 23
Resultat av multiplikation och division ......................................................................................... 23
Delbarhetsregler............................................................................................................................ 24
Bråk.................................................................................................................................................... 25
Bråkens namn ................................................................................................................................ 25
Storleksordna bråk ........................................................................................................................ 25
Blandad form och bråkform .......................................................................................................... 26
1
Addition och subtraktion av bråk .................................................................................................. 27
Multiplikation och division av bråk med heltal. ............................................................................ 28
Multiplikation av bråk med bråk ................................................................................................... 28
Division av bråk med bråk ............................................................................................................. 29
Förkorta och förlänga bråk ............................................................................................................ 31
Procent .............................................................................................................................................. 33
Räkna ut hur många procent något är .......................................................................................... 33
Räkna ut hur mycket x % av något är ............................................................................................ 33
Procentenheter ............................................................................................................................. 34
Potenser, kvadrater och kvadratrötter ................................................................................................. 34
Negativa tal........................................................................................................................................ 35
Addition och subtraktion av negativa tal ...................................................................................... 35
Multiplikation och division av negativa tal .................................................................................... 36
Avrundning och överslagsräkning ..................................................................................................... 37
Avrundning .................................................................................................................................... 37
Överslagsräkning ............................................................................................................................... 39
Primtal, faktorisering och primtalsfaktorisering ............................................................................... 40
Faktorisering .................................................................................................................................. 40
Primtal ........................................................................................................................................... 40
Primtalsfaktorisering ..................................................................................................................... 40
Ekvationer.......................................................................................................................................... 41
Utnyttja sambandet mellan räknesätten. ..................................................................................... 41
Balansmetoden.............................................................................................................................. 41
Enheter, prefix och enhetsomvandlingar .......................................................................................... 42
Enheter .......................................................................................................................................... 42
Prefix.............................................................................................................................................. 46
Enhetsomvandlingar...................................................................................................................... 46
Geometri ........................................................................................................................................... 48
Plana figurer
(tvådimensionella figurer) ................................................................................... 48
Vinklar............................................................................................................................................ 50
Symmetri ....................................................................................................................................... 51
Area och omkrets .......................................................................................................................... 52
Tredimensionella kroppar ............................................................................................................. 55
Beräkna volym ............................................................................................................................... 56
2
Termer ........................................................................................................................................... 57
Korta sammanfattningar ....................................................................................................................... 58
Räknesätten ....................................................................................................................................... 58
Addition och subtraktion ............................................................................................................... 58
Addition och multiplikation ........................................................................................................... 58
Multiplikation och division ............................................................................................................ 58
Termer ............................................................................................................................................... 59
Addition
(+, ”plus”)................................................................................................................... 59
Subtraktion (-, ”minus”) .............................................................................................................. 59
Multiplikation ( eller , ”gånger”) ............................................................................................. 59
Division
(/ eller
, ”delat med”) ........................................................................................ 59
Uppställning....................................................................................................................................... 60
addition utan övergång ................................................................................................................. 60
addition med övergång ................................................................................................................. 60
subtraktion utan övergång ............................................................................................................ 60
subtraktion med övergång – ej växling över noll .......................................................................... 60
subtraktion med övergång - växling över noll ............................................................................... 60
Delbarhetsregler................................................................................................................................ 61
3
Vårt talsystem
Heltal till och med en miljon
ental
tiotal
hundratal
tusental
tiotusental
hundratusental
miljontal
Exempel:
tjugofemtusen trehundraåtta
25 308
tre miljoner
3 000 000
femhundraåtta tusen
508 000
femhundraåttatusen elva
508 011
en miljon femhundraåttatusen trehundraåtta
1 508 308
en miljon femtioåttatusen trehundraåtta
1 058 308
en miljon åttatusen trehundraåtta
1 008 308
två miljoner trehundrafyrtiofemtusen tre
2 345 003
Kontrollera alltid genom att:
1) Läsa upp talet du skrev. Står det vad du tänkte?
2) Kontrollera att alla siffror står på rätt plats. I talet "fem miljoner åttatusen trehundrasex" ska åttan
stå på tusentalsplatsen och femman på miljontalsplatsen. Gör de det? Kolla!!
4
Decimaltal
,
tjugofem komma ett åtta tre =
= tjugofem hela, en tiondel, åtta hundradelar och tre tusendelar = 25,183
läses ibland slarvigt tjugofem komma etthundraåttiotre
"183" är då antal tusendelar - eftersom sista siffran är en tusendelssiffra.
noll komma sex nio = sex tiondelar och nio hundradelar = 0,69
läses ibland slarvigt noll komma sextionio
"69" är då antal hundradelar - eftersom sista siffran är en hundradelssiffra.
0,600 = 0,60 = 0,6
Den enda siffra som har ett värde större än noll är tiondelssiffran. Talets värde ändras inte för att vi lägger på nollor
efteråt. Sexan förblir tiondelssiffra eftersom den fortfarande
står på samma plats – direkt efter kommat.
Jämför med vad som händer med siffrornas värde om vi lägger till en nolla efter ett
heltal, utan att sätta dit ett komma. För heltal blir alla siffror i talet värda tio gånger
mer för varje nolla vi sätter dit, eftersom siffrorna flyttar fram ett steg i positionssystemet för varje nolla vi lägger på.
0,6 är ett större tal än 0,18
Varför? Jo, för 0,6 är sex tiondelar och 0,18 bara en tiondel och åtta hundradelar.
5
hundratusendel
tiotusendel
tusendel
hundradel
tiondel
ental
tiotal
hundratal
tusental
tiotusental
Exempel:
Heltal upp till en miljard
ental
tiotal
hundratal
tusental
tiotusental
hundratusental
miljontal
tiomiljontal
hundramiljontal
miljardtal
Exempel:
en miljard trehundraåttiofem miljoner sexhundratrettioniotusen fyrahundraarton
1 385 639 418
en miljard trehundrafem miljoner sexhundratrettioniotusen fyrahundraarton
1 305 639 418
två miljarder åttiofem miljoner sexhundraniotusen fyrahundra arton
2 085 609 418
två miljarder fem miljoner niotusenåtta
2 005 009 008
fyra miljarder nittiofem
4 000 000 095
fyra miljarder tvåhundratremiljoner femtiotusensex
4 203 050 006
Heltal upp till en kvadriljon
Kvadriljontal
hundramiljardbiljontal
tiomiljardbiljontal
miljardbiljontal
hundramiljonbiljontal
tiomiljonbiljontal
miljonbiljontal
hundratusenbiljontal
tiotusenbiljontal
tusenbiljontal
hundrabiljontal
tiobiljontal
biljontal
hundramiljardtal
tiomiljardtal
miljardtal
hundramiljontal
tiomiljontal
miljontal
hundratusental
tiotusental
tusental
hundratal
tiotal
ental
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10x
x=
På engelska då?
Tyvärr har olika språk inte samma namn för de stora talen. På engelska heter det så här:
tiopotens
106
109
1012
1015
1024
svenska
miljon
miljard
biljon
1000 biljoner
kvadriljon
engelska (USA)
million
billion
trillion
quadrillion
---
På engelska är användningen dessutom olika i Storbritannien och USA, även om den
amerikanske betydelsen blir vanligar. Sedan är det ju så att det är väldigt sällan man behöver
tala om så stora tal. Det förekommer oftast inom olika vetenskaper och då använde man
andra uttryck som ni kanske kommer att stöta på så småningom. Den som är road av dessa
uttryck redan nu får säga till!
6
Räknesätten
Addition och subtraktion
Tänk dig att det ligger tre katter i en korg. Sedan kommer det dit två till. Då finns där fem katter. Det
här kan du beskriva så här på mattespråk:
3+2=5
Det blir förstås lika många katter om vi tänker att vi har två katter som går omkring och stöter på de
tre katterna i korgen. På mattespråk:
2+3=5
Men tänk nu att någon undrar hur många katter det fanns i korgen från början. Tja, det får du ju reda
på om du tar bort de två som kom dit igen. På mattespråk:
5–2=3
Någon annan kanske vet att det var tre katter från början men undrar hur många som kom dit. Det
måste ju vara det som blir kvar om man tar bort det som fanns från början. På mattespråk:
5–3=2
Du ser att talen 2, 3 och 5 hänger ihop. Du kan beskriva hur de hänger ihop på fyra olika sätt:
3+2=5
2+3=5
5–2=3
5–3=2
Det här kan man använda för att kontrollera om man räknat rätt. Att 362 – 111 = 251 kan du
kontrollera genom att räkna ut 251 + 111. Det ska bli 362. Annars har du räknat fel någonstans. För
följande ska ju gälla:
251 + 111 = 362
111 + 251 = 262
362 – 111 = 251
362 – 251 = 111
Du kan också använda det här för att lösa ekvationer. Om 367,45 + x = 576,99 så vet du att
x = 576,99 – 367,45
7
(Eftersom x och 367,45 tillsammans blir 576,99 måste ju x vara
det som blir kvar om du tar bort 367,45 från 576,99)
Addition och multiplikation
Om jag ska addera samma tal flera gånger så skriver jag så här:
3+3+3+3+3+3+3+3
För att slippa skriva så mycket kan jag i stället skriva så här:
83
Båda uttrycken betyder samma sak.
I multiplikationsuttrycket talar det första talet om hur många av det andra talet jag ska addera.
Alltså: 8 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
Jag ska addera åtta treor!
Ritar jag det här som en bild så ser jag att jag får samma svar (24) om jag adderar tre åttor:
8 + 8 + 8 = 3 8 = 24
Jag kan addera antalet katter i varje rad tre gånger (8 + 8 + 8) eller addera antalet katter i varje
kolumn1 åtta gånger (3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3). Det är lika många katter på bilden hur jag än gör.
Jag kan alltså alltid byta plats på talen i en multiplikation utan att svaret ändras.
Jag kan också multiplicera en del av ett tal i taget, så här:
3 13 = 3 10 + 3 3
Du ser på figuren ovan hur det fungerar. Tre rader med tretton katter i varje är lika många katter som
vi får om vi först tar 3 rader med 10 katter i varje (första rutan) och sedan lägger till 3 rader med 3
katter i varje.
Det här har du bland annat nytta av att förstå när du ska multiplicera med 10, 100 och 1000!
1
en kolumn är en rad ”på höjden”
8
Multiplikation och division
Tänk dig att det ligger tre högar med två enkronor i varje på ett bord:
1
1
1
1
1
1
Totalt finns där då 3 2 = 6 enkronor
Om vi i stället direkt ser att det är 6 enkronor på bordet och att det är tre högar undrar vi kanske hur
många kronor det finns i varje hög. 2
Tja, då måste vi dela upp våra 6 kronor i tre högar. Vi måste dela 6 med 3 och det skriver
6/3 eller
och i det här fallet vet vi ju att det är två.
Alltså: 6/3 = 2 När vi delar upp det vi har i ett bestämt antal ”högar” kallas det
delningsdivision.
Vi kanske i stället vet att det ligger två kronor i varje hög och undrar hur många högar det måste
vara. Då delar vi 6 med 2 i stället och svaret blir 3 – för vi behöver ta 2 enkronor 3 gånger för att få
ihop 6 enkronor.
Alltså: 6/2 = 3
När vi undrar hur många gånger ett visst antal behöver tas för att vi ska
får det vi har kallas det innehållsdivision. Man kan säga att talet 6
innehåller tre 2:or.
Med innehållsdivision blir det lätt att dividera med bråk också:
⁄
Ett delat med en halv blir naturligtvis två, eftersom vi behöver två halvor för att få en hel.
Du vet också att vi kan byta plats på talen vi multiplicerar, så precis som vid addition och subtraktion
kan vi beskriva hur tre tal hänger ihop på fyra olika sätt även när det handlar om multiplikation och
division:
23=6
32=6
6/2 = 3
6/3 = 2
Även här kan du använda de här sambanden för att kontroller att du räknat rätt. Om du får 42/2 till
21 ska 2 21 bli 42! Och du kan förstås också använda de här sambanden för att lösa ekvationer!
2
Det verkar kanske lite löjligt med de här talen, för det syns ju! Men tänk om du visste att det fanns 4023
kronor på bordet och någon hade delat upp de här pengarna i 3 högar. Då blir det inte lika självklart. (Eller det
kanske du tycker? Det blir i alla fall 4023/3 kronor i varje hög.)
9
Termer
Addition
(+, ”plus”)
Räknesättet heter addition. När vi räknar med addition adderar vi. Vi beräknar summan av de termer
vi adderar.
3+5=8
term
summa
Subtraktion (-, ”minus”)
Räknesättet heter subtraktion. När vi räknar med subtraktion subtraherar vi. Vi beräknar differensen
mellan termerna.
8–5=3
term
differens
Multiplikation ( eller , ”gånger”)
Räknesättet heter multiplikation. När vi räknar med multiplikation multiplicerar vi. Vi beräknar
produkten av faktorerna.
3 8 = 24
faktor
produkt
Division
(/ eller
, ”delat med”)
Räknesättet heter division. När vi räknar med division dividerar vi. Vi beräknar kvoten mellan täljaren
och nämnaren.
täljare
kvot
nämnare
Minnesregel: täljaren står på taket, nämnaren står där nere
10
Uppställning – addition och subtraktion
addition utan övergång
Exempel: 243 + 532
1.
a. Ställ upp talen som ska adderas så att ental hamnar ovanför ental,
tiotal ovanför tiotal o.s.v.
b. Sätt också ut ett plustecken så att det syns vilket räknesätt du
använder.
c. Dra ett streck under alltsammans. Under strecket kommer du att
skriva svaret.
2.
a. Addera en talsort i taget. Börja med entalen och arbeta dig åt
vänster.
b. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver.
1)
2)
2 4 3
2 4 3
+ 5 3 2
+ 5 3 2
7 7 5
Kontrollera gärna ditt svar: Om du drar bort det du la till så ska du få kvar det du hade från
början! Om du inte kan subtraktionsuppställning än kan du använda miniräknare för kontrollen!
11
addition med övergång
Exempel: 567 + 785
1. Precis som vid uppställning utan övergång!
2. Även här räknar du en talsort i taget och börjar med entalen. Det du ska
lära dig nu är vad du gör om du får en summa med två siffor.
a. Redan vid entalen trasslar det sig. Du kan ju bara skriva en siffra i
varje ruta och 5 + 7 blir ju 12. Då gör du så här:
i. skriv entalssiffran (2) i rutan för ental.
ii. Tiotalssiffran skriver du i stället ovanför de tiotalssiffror som
redan står i talet. Du får sedan räkna med den när du lägger
ihop de andra tiotalen.
b. Tiotalen blir alltså 1 + 6 + 8 = 15. Alltså 5 tiotal och ett hundratal.
Femman skriver du under tiotalen och ettan över hundratalen du
redan hade. Den ska ju läggas ihop med dem sedan.
c. Nu räknar du hundratalen och får 1 + 5 + 7 = 13, alltså 3 hundratal
och 1 tusental. Nu finns det ju inget mer att räkna ihop så du
skriver trean under hundratalen och ettan tillvänster om
hundratalssiffran, på tusentalsplatsen.
d. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver.
1)
2)
1
1
5 6 7
5 6 7
+ 7 8 5
+ 7 8 5
1 3 5 2
Kontrollera gärna ditt svar: Om du drar bort det du la till så ska du få kvar det du hade från
början! ! Om du inte kan subtraktionsuppställning än kan du använda miniräknare för kontrollen!
12
subtraktion utan övergång
Exempel: 543 - 231
1.
a. Ställ upp talen som ska subtraheras så att ental hamnar ovanför
ental, tiotal ovanför tiotal o.s.v. Det största talet ska stå överst.
b. Sätt också ut ett minustecken så att det syns vilket räknesätt du
använder.
c. Dra ett streck under alltsammans. Under strecket kommer du att
skriva svaret.
2.
a. Subtrahera en talsort i taget. Börja med entalen och arbeta dig åt
vänster. Tänk på att du alltid tar den övre siffran minus den undre!
b. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver.
1)
2)
5 4 3
-
2 3 1
5 4 3
-
2 3 1
3 1 2
Kontrollera gärna ditt svar! Det du dragit bort + det du fick kvar ska bli det största talet du hade
från början!
13
subtraktion med övergång – ej växling över noll
Exempel: 523 - 347
1. Precis som vid uppställning utan övergång!
2. Även här räknar du en talsort i taget och börjar med entalen. Det du ska
lära dig nu är vad du gör om den nedre siffran är störst.
a. Redan vid entalen trasslar det sig. Du ska ju ta den övre siffran
minus den nedre. I det här fallet 3 – 7. Men sju är ju större än tre!
Vad göra?
i. Du måste växla in ett av dina tiotal till 10 ental. Stryk ett
streck över den övre tiotalssiffran för att markera att du
knyckt en av dem.
ii. Skriv sedan ”10” ovanför entalssiffrorna. Nu har du 13 ental
och 13 – 7 = 6.
iii. Skriv dit sexan på entalsplatsen under strecket.
b. Nu skulle du räknat ut 2 – 4, men du har ju växlat in ett av tiotalen
i det övre talet. Alltså har du bara 1 kvar. Men 1 – 4 är inte direkt
bättre!
i. Nu måste du växla in ett av dina hundratal till 10 tiotal.
Stryck ett streck över den övre hundratalssiffran för att
markera att du knyckt en av dem.
ii. Skriv sedan ”10” ovanför tiotalssiffrorna. Nu har du 11 tiotal
och 11 – 4 = 7.
iii. Skriv dit sjuan på tiotalsplatsen under strecket.
c. Nu har du fyra hundratal kvar, eftersom du växlat in ett av dem.
Räkna ut 4 – 3 = 1 och skriv ettan på hundratalsplatsen under
strecket.
d. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver.
1)
2)
-
5
2
3
3
4
7
-
10
10
5
2
3
3
4
7
1
7
6
Kontrollera gärna ditt svar! Det du dragit bort + det du fick kvar ska bli det största talet du hade
från början!
14
subtraktion med övergång - växling över noll
Exempel: 503 – 347
1. Precis som vid uppställning utan övergång!
2. Även här räknar du en talsort i taget och börjar med entalen. Det du ska
lära dig nu är vad du gör om det t.ex. inte finns några tiotal när du skall
växla till dig fler ental.
a. Enda skillnaden är att du då måste växla till dig tiotal från
hundratalen innan du kan växla till dig ental.
i. Du måste växla in ett av dina tiotal till 10 ental. Men det går
ju inte – Det finns inga!
ii. Växla då till dig 10 tiotal genom att växla in ett hundratal.
Stryk ett streck över hundratalssiffran som vanligt.
iii. Nu kan du växla till dig 10 ental. Då stryker du ett streck över
tian ovanför tiotalen för att visa att du knyckt en av dem.
iv. Nu kan du räkna ut 13 – 7 = 6 och skriva sexan på rätt plats.
b. Nu har du redan 9 tiotal att dra bort fyra från. Räkna ut 9 – 4 = 5
och skriv femman på rätt plats (tiotalsplatsen under strecket).
c. Nu har du fyra hundratal kvar, eftersom du växlat in ett av dem.
Räkna ut 4 – 3 = 1 och skriv ettan på hundratalsplatsen under
strecket.
d. Klart! Skriv svar på rätt ställe om du behöver.
1)
2)
10
5 0 3
-
3 4 7
-
10
5 0
3
3 4
7
1 5
6
Kontrollera gärna ditt svar! Det du dragit bort + det du fick kvar ska bli det största talet du hade
från början!
15
Multiplikation av flersiffriga tal
Titta på multiplikationen 15 23
Vi kan skriva om den som upprepad addition:
15 23 = 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23
Ganska tråkigt och omständligt…
Vi kan rita en bild av den:
Tja, att rita en sådan här bild är väl heller inte något du vill göra varje gång du ska multiplicera. Men
det är kanske bra att göra någon gång, för att se vad det är du egentligen gör.
Om vi ska utföra multiplikationen 15 23 kan vi göra på olika sätt. Vi kan räkna med mellanled på
olika sätt och vi kan använda uppställning.
Vi ska börja med att räkna med mellanled med hjälp av distributiva lagen för multiplikation. Den
räknelag som säger att t.ex. 4 12 = 4 (10 + 2) = 4 10 + 4 2
Hur tillämpar vi det på 15 23?
Vi tar vår figur igen och delar den i två delar. Nu
se vi att 15 23 = 15 20 + 15 3
15 3
15 20
Här är det ju ganska enkelt att se att
15 20 + 15 3 = 300 + 45 = 345.
Hade vi haft större tal att jobba med hade vi kanske
behövt göra en uppdelning till:
15 20 + 15 3 =
= 10 20 + 5 20 + 10 3 + 5 3 =
10 20
10 3
= 200 + 100 + 30 + 15 = 300 + 45 = 345
16
5 20
53
Vi använder alltså distributiva lagen3 och delar upp
vår multiplikation i delar, tills dessa är så enkla att
vi kan räkna dem i huvudet.
10 20
10 3
Hela beräkningen ovan kan skrivas som nedan:
53
5 20
15 23 =
= 15 20 + 15 3 =
= 10 20 + 5 20 + 10 3 + 5 3 =
= 200 + 100 + 30 + 15 =
= 300 + 45 = 345
Problemet kan också lösas med hjälp av en tabell:
Skriv den multiplikation du ska beräkna i rutan högst upp till vänster
Dela upp den andra faktorn i talsorter i den översta raden och den första i
första kolumnen
För varje ruta i mitten skriver du produkten av det tal som står överst och
det tal som står till vänster. Jämför med bilderna du använde ovan!
Addera dina delprodukter och skriv de summor du får i den nedersta
raden.
Addera talen i raden längst ned och skriv svaret på din multiplikation
längst ner till höger.
15 23
10
5
20
200
100
300
3
30
15
45
345
Det här fungerar även med ännu större tal:
305 243
300
0
5
1
61 000
12 200
+ 915
74 115
3
200
60 000
0
1000
61 000
eller
40
12 000
0
200
12 200
3
900
0
15
915
61 000 + 12 200 + 915 = 73 000 + 1 115 = 74 115
Om additionen längst ner blir svår att göra i huvudet gör du den skriftligt!
Distributiva lagen säger att vi kan dela upp en multiplikation och addera delresultaten,
t.ex. 2 x 13 = 2 x 10 + 2 x 3
17
74 115
Uppställning- multiplikation
Om vi ska lösa samma multiplikation med uppställning blir det så här:
23
15
5
Börja med att multiplicera 5 3. Det blir 15. I den bild vi använde tidigare är
detta prickarna längst ned till höger.
1
Längst till höger i vår uppställning står ju entalen. I den produkt vi nyss
räknade ut är 5 entalssiffra. Därför skriver du den under siffrorna längst till
höger. Tiotalssiffran kan du inte skriva in på rätt plats ännu. Du kommer ju att
få fler tiotal när du multiplicerar 5 och 2 (som egentligen är 5 och 20).
Skriv därför ettan som minnessiffra någonstans.
23
15
115
Nu ska du multiplicera femman med tvåan i översta raden. Det innebär att du
ska ta fem ental gånger två tiotal, alltså 5 20, rutan nedtill tillvänster i vår
bild. 5 20 är 100 eller om du vill, 5 två tiotal är 10 tiotal.
1
Nu måste du lägga till det tiotal du redan hade. 10 + 1 = 11. Stryk ettan du
hade skrivit upp som minnessiffra.
Tiotalssiffrorna ska ju stå på andra platsen bakifrån. Du kan skriva dit den
sista ettan från dina 11 tiotal. De 10 tiotal som då blir över är ju ett
hundratal. Eftersom du inte har fler siffror som ska multipliceras med fem
behöver du inte skriva någon minnessiffra utan kan direkt skriva den ettan på
hundratalsplatsen – tredje platsen bakifrån.
23
15
115
3
23
15
115
23
23
15
115
+23 .
345
Nu har du gjort de multiplikationer du ska med femman. Det motsvarar
summan av alla prickar i den nedre halvan av bilden vi använde ovan.
1
Nu ska vi räkna ut summan av alla prickar i den över halvan, d.v.s. 10 23.
Vi börjar med att räkna ut det finns i det översta högra hörnet.
Vi förenklar genom att först tänka 1 3 = 3. Egentligen är det ju 1 tiotal vi
multiplicerar med 3, så den trea vi får som produkt är ju 3 tiotal = 30. Alltså
skriver vi in den på tiotalsplatsen på raden under 115. Här fick vi inga
hundratal som behöver skrivas i minnet.
Då har vi en produkt kvar att beräkna. 1 tiotal gånger 2 tiotal (10 20) = 20
tiotal = 2 hundratal eller 200. Vi skriver en tvåa på hundratalsplatsen.
1
Vi har nu räknat ut hur många prickar det finns i den övre vänstra halvan av
vår figur.
1
Då återstår bara att summera våra delprodukter. Vi räknar som vanlig
addition. Att ”23” är betyder ”230” beror ju på att vi har bestämt var de olika
talsorterna ska skrivas. Vi vet att tvåan i 23 är en hundratalssiffra.
Observera att det inte spelar någon roll vilken plats faktorernas står på i förhållande till varandra vid uppställning! Man
brukar sätta de sista siffrorna under varandra oberoende av talsort. Däremot är det viktigt att talsorterna står på rätt plats i
dina delprodukter, som sedan ska adderas.
18
Multiplikation av decimaltal
Det finns olika metoder du kan använda när du ska multiplicera decimaltal. Några ska du få komma
på själv så småningom, med hjälp av lite olika frågor. Just nu ska du bara lära dig ett sätt att tänka på
som du i princip alltid kan använda.
Kom ihåg det här:
1. Multiplikation med decimaltal, allmänt
= 0,4
Du ser ovan att det är samma sak att dividera med 10 som att multiplicera med en tiondel.
Du kan skriva 45,6 49,4 som 456 0,1 494 0,1 = 456 494 0,1 0,1 = 456 494 0,1/10 =
= 456 494 0,01
Kan du det här kan du alltid avgöra var decimalen ska stå i en produkt av två decimaltal.
2. Börja med överslagsräkning!
Om du ska räkna ut lite krångligare produkter är det bra att börja med överslagsräkning:
0,467 23,865 ≈ 0,5 24 = 12.
Ditt svar ska alltså bli ungefär 12. Nu kan du t.ex. använda uppställning. Skriv dit dina faktorer med
komman o.s.v. . När du räknar låtsas du dock inte om att där står några kommatecken.
23,865
0,467
167 055
1 431 90
+ 9 546 0__
11 144 955
3462 3352 2231
Notera! Minnessiffrorna vid additionen av delprodukterna är inte utskrivna.
Var ska nu kommat skrivas? Jo, eftersom vi vet att produkten är ungefär 12 ska det skrivas efter den
andra ettan. Svaret blir 11,144 955.
Den här metoden kan du använda även om du t.ex. använder tabellmetoden för att multiplicera.
Om du t.ex. ska multiplicera 3,45 med 4,08 så börjar du med att göra ett överslag:
3,45 4,08 ≈ 3,5 4 = 7 2 = 14.
Använd tabellmetoden för att beräkna 345 408. Du får produkten 140760
Eftersom du vet att den produkt du söker ska vara ungefär 14 vet du då att 3,45 4,08 = 14,0760
19
Kort division
Kort division utan växling
Vid kort division delar du upp en talsort i taget.
Exempel:
639/3
Vi kan skriva om den här divisionen som 600/3 + 30/3 + 9/3 = 200 + 10 + 3 = 213
Det blir dock onödigt mycket att skriva. I stället tittar vi på en siffra – en talsort i taget, men skriver
bara ut kvoten:
Vi börjar med att titta på hundradelssiffran; Vi får 6/3. 3 går 2 gånger i tre, så i kvoten skriver vi en
tvåa på hundratalsplatsen. Sedan tittar vi på tiotalen. Vi får 3/3 – och eftersom 3 går en gång i 3 får
vi i kvoten en etta på tiotalsplatsen. Till sist tar vi entalen; 9/3 = 3 och vi får en trea på entalsplatsen.
20
Kort division med växling
Ibland går inte varje talsort jämt upp när man arbetar med kort division. Då får man växla även här:
Exempel:
525/3
Vi börjar med att dela upp hundratalen; 5/3. 3 går 1 gång i 5 – men då får vi två hundratal över. De
hundratalen får vi växla in till 20 tiotal. Vi visar att vi gör det genom att skriva en liten två snett
ovanför tvåan på tiotalsplatsen. Ettan skriver vi efter likhetstecknet. Vi vet att det är en
hundratalssiffra eftersom det var 5 hundratal vi skulle dela upp.
2
Nu delar vi upp tiotalen. Vi har 22 tiotal. 3 går 7 gånger i 22 eftersom 3 x 7 = 21. Men vi får 1 tiotal
över. Det växlar vi in till 10 tiotal – och visar det genom att skriva en liten etta snett ovanför femman
på entalsplatsen. Sjuan skriver vi tiotalsplatsen efter likhetstecknet.
2 1
Nu har vi bara entalen kvar. Vi har 15 ental. 3 går 5 gånger i 15 eftersom 3 x 5 = 15. Nu gick det jämt
upp!
2 1
Du kan kontrollera att du räknat rätt genom att multiplicera kvoten med nämnaren. Då ska du få
täljaren: 3 x 175 = 300 + 210 + 15 = 525. OK! Stämmer!
21
Kort division – nämnaren är större än täljaren
Vi vill beräkna 3/11 med tre decimaler. Då måste vi räkna ut fyra decimaler för att kunna avrunda
riktigt. För att hålla rätt på platserna skriver jag ut positionerna för decimalerna.
3
3,0000
= 0,_ _ _ _ Vi kan också skriva
= 0, _ _ _ _ Decimalerna ändrar inte talets värde, de
11
11
hjälper oss att hålla koll på tiondelar och hundradelar senare i beräkningarna
Vi kan ju direkt se att kvoten blir mindre än ett. Vi behöver inte ens en hel ”elva” för att få tre. Tre är
ju bara en del av elva. Men vad skall vi skriva då? Vi kan inte skriva hur många gånger 11 går i 3 ental.
Men vi kan växla in våra tre ental till 30 tiondelar. Vi markerar att vi gör det genom att skriva de ental
vi växlar in snett framför tiondelssiffran. Vi ser att 11 går 2 gånger i 30. 2 gånger 11 är 22. Men det
blir 8 tiondelar kvar (30 – 22 = 8).
3, 3 0
0,2 _ _ _
11
Nu växlar vi in de 8 tiondelar vi får över till 80 hundradelar. 11 går 7 gånger i 80. 11 gånger 7 är 77. Vi
får 3 hundradelar i rest (80 – 77 = 3).
3, 3 0 8 0
0,27 _ _
11
Dessa tre hundradelar växlar vi in till 3 tusendelar. Tja, 11 gick två gånger i 30 tiondelar. 11 går två
gånger i 30 hundradelar också. Och vi får förstås resten 8 nu också. Och nästa gång kommer 11 att gå
7 gånger och resten att blir tre o.s.v.
3/11 är alltså lika med 0,2727272727… Med tre decimaler blir svaret ≈ 0,273.
Hade vi inte fått samma rest så snabbt hade vi fått fortsätta på samma sätt som innan.
22
Vilket tal är störst – vid multiplikation och division?
Resultat av multiplikation och division
Multiplikation av tal större än ett brukar inte vålla några problem.
Om det ena talet däremot är mindre än ett – vad händer då? Under ”multiplikation av decimaltal kan
du läsa om att man multiplicerar med 0,4 får man samma produkt som om man först multiplicerar
med 4 och sedan delar med tio. Man kan också, om man multiplicerar ett tal med ett tal mindre än
ett, se det som att man ”tar en del av det andra talet”4. Multiplicerar man ett tal med 0,89 tar man
89 hundradelar av talet som multipliceras. Man kan säga 8 tiondelar och 9 hundradelar om man så
vill. Multiplicerar man med 2,5 tar man 2 hela och 5 tiondelar eller 25 tiondelar, alltså två hela plus
hälften av det tal man multiplicerar. Ju mindre talet man multiplicerar med är, desto mindre blir
produkten. Produkten blir också alltid mindre än den faktor som multipliceras med decimaltalet.
Ex: 0,8 x 2 = 1,6
en tiondel av 2 är 0,2. Åtta tiondelar av 2 är 8 x 0,2 = 1,6
och 1,6 < 2.
Division med tal större än ett brukar också gå bra. Om man däremot skall dividera med tal mindre än
ett måste man fundera lite över vad division innebär. Vi tittar på ett exempel:
Ex:
5 x 2 = 10
Vi kan också skriva 10/2 = 5
Det senare kan vi se som att vi delar upp 10 i två högar. Då får vi 5 i varje hög. Men vi
kan också se det som att 2 går 5 gånger i 10. Vi kan ta två fem gånger och få 10.
Division och multiplikation är varandras motsatser! Om vi multiplicerar en kvot med
nämnaren får man täljaren. Vi tittar på nästa exempel:
Ex:
Vad blir 1/0,2 ?
Vi kan lösa uppgiften genom att fråga oss ”Vad skall vi
multiplicera 0,2 med för att det skall bli 1?” Vi undrar alltså hur många gånger 0,2 går i
1. Tja, 5 x 0,2 är 1 så svaret är alltså 5.
Skall vi nu, utan att räkna ut svaret, se vilken kvot som är störst får vi tänka på att ju större nämnaren
är, desto färre gånger går den i täljaren. Om täljaren är den samma måste vi multiplicera nämnaren
med ett mindre tal om nämnaren är större. Ju mindre täljaren är, desto större kvot! Tänk också på att
kvoten alltid blir större än täljaren när man dividerar med ett tal mindre än noll.
Ex:
2/0,4 > 2/0,5
(2/0,4 = 5,
2/0,5 = 4)
Om nämnaren är = 1 blir kvoten alltid lika med täljaren.
Om nämnaren är större än 1 blir kvoten alltid mindre än täljaren.
Om nämnaren är mindre än 1 blir kvoten alltid större än täljaren.
Övertyga dig själv om det riktiga i ovanstående exempel genom att titta på några enkla exempel som
du hittar på själv! Om du inte lyckas: Be din lärare om hjälp i skolan!
4
Vissa pedagoger gillar inte det sättet, men jag har pratat med flera matematiker som tycker att det är helt OK.
23
Delbarhetsregler
När vi pratar om delbarhet handlar det alltid om heltal. Ett tal är delbart med ett annat om kvoten
blir ett heltal.
Exempel:
10 är delbart med 2 för kvoten mellan 10 och 2 är 5 och 5 är ett heltal
5 är inte delbart med 2 för kvoten mellan 5 och 2 är 2,5 och 2,5 är inte ett heltal.
Du kan undersöka om ett tal är delbart med ett annat genom att prova att dela dem – i huvudet, med
någon skriftlig metod eller med miniräknare. Ofta behöver du dock inte göra det. För vissa tal kan
man enkelt se om ett tal är delbara med dem eller inte. Det finns regler som beskriver hur du ser det.
Det här är de enklaste delbarhetsreglerna:
Alla tal som slutar på en jämn siffra är delbara med 2 – de är jämna tal.
Alla tal som slutar på fem eller noll är delbara med 5.
Alla tal som slutar på noll är delbara med 10.
För att kunna använda några andra delbarhetsregler måste du veta vad siffersumman för ett tal är.
Siffersumman för ett visst tal (heltal!) räknar du ut genom att addera de siffror som bygger upp talet.
Exempel:
478 har siffersumman 4 + 7 + 8 = 19
19 har siffersumman 1 + 9 = 10
315 har siffersumman 3 + 1 + 5 = 9
Nu kan du lära dig några fler delbarhetsregler:
Alla tal vars siffersumma är delbar med tre är delbara med 3.
Alla jämna tal vars siffersumma är delbar med tre är delbara med 6.
Alla tal vars siffersumma är delbar med nio är delbara med 9.
Om du vill veta om ett tal är delbart med fyra får du dela med två först. Om då kvoten också är delbar
med två så är talet delbart med 4. Kan du dela med två ytterligare en gång var ditt första tal delbart
med 8 också. När det gäller sju finns det inga regler. Du får prova dig fram.
Observera att om ett tal är delbart med något jämnt tal är det också delbart med två: Ex: 88 = 8 11 –
men två är en faktor i 8 (2 4) så då kan jag skriva 2 4 11 = 2 44 också.
Samma sak gäller för tal i treans tabell – är ett tal t.ex. delbart med 6 är det också delbart med 3.
Ex: 72 = 6 12 = 3 2 12 = 3 24
24
Bråk
För att förstå den här texten behöver du veta vad täljare och nämnare är. Om du inte är säker: titta
på termer under räknesätt!
Bråk kan användas för att ange t.ex. hur stor del av en sak eller en mängd saker man pratar om.
Bråket tre sjundedelar betyder lika stor del av något, som tre delar av något som har delats i sju lika
stora delar eller grupper:
Bråket tre sjundedelar kan skrivas så här på mattespråk:
eller 3/7
Nämnaren, alltså sjuan i det här fallet, talar om hur många bitar eller delar som är en hel eller
alltihop. Det blir lite som en enhet som talar om vilkens sorts bitar vi pratar om. Är det fjärdelar eller
femtedelar, eller vad är det? Lite som vi vill veta vilken valuta vi pratar om när vi pratar om pengar.
Är det kronor eller dollar eller??
Täljaren, alltså trean i det här fallet, talar om hur många sådana bitar eller delar vi pratar om.
Bråk som förhållande
Du kan också stöta på bråk när man anger förhållande mellan
mängder. Tittar du på en flaska saft brukar man ange hur saften ska
spädas på det sättet. Saften kanske ska spädas 1:4. Det betyder att
du ska ha en del saft till fyra delar vatten. Du får totalt fem delar
vätska. En av dem är saft och du får alltså 1/5 saft.
Ett vanligt bråk (1/5 ovan) heter fraction på engelska.
När man anger förhållanden (1:4 ovan) heter det ratio på engelska.
Bråkens namn
½ = en halv, därefter blir det mer logiskt. Vi har tredjedelar, fjärdedelar, femtedelar, sjättedelar,
sjundedelar, åttondelar, niondelar, tiondelar, elftedelar, tolftedelar, trettondelar o.s.v.
Storleksordna bråk
¼ av en stor sak är förstås mer än ¼ av en liten sak, men när man storleksordnar bråk pratar man
alltid om så stor del av samma sak eller samma antal saker.
Nämnaren lika
Om alla bråk har samma nämnare är det jättelätt att storleksorda bråk. Är nämnarna lika är det ju
samma sorts bitar vi pratar om. De är lika stora. Då är bråket förstås större om vi har fler bitar; 3/7 av
något är mindre än 4/7.
3/7 < 4/7
i ord: tre sjundedelar är mindre än fyra sjundedelar
25
Täljaren lika
Om alla bråk har samma täljare är det också ganska enkelt. Då har vi ju lika många bitar. Då är det
bitarnas storlek som avgör. Är nämnaren liten blir det få men stora bitar. Är nämnaren stor blir det
många men små bitar. Vi får ju t.ex. mindre tårtbitar om vi är många som delar på en tårta. 3/10 är
alltså mindre än 3/6.
3/10 < 3/6
I ord: tre tiondelar är mindre än tre sjättedelar
Jämför med kända bråk
Om både täljare och nämnare får man ta till andra knep. Man kan börja med att titta på om det finns
bråk som är större än ett – de kommer förstås att vara större än de som är mindre än ett.
Alla bråk där täljaren är lika med nämnaren är exakt ett (eftersom
vi då har tagit alla bitar av den hela)
Alla bråk som där täljaren är större än nämnaren är större än ett.
Vi kan också så om det är några bråk som är exakt en halv, eller större eller mindre än en halv.
Om täljaren är precis hälften av nämnaren är bråket exakt en halv.
Är täljaren mindre än så är bråket mindre än en halv, är den större
är det större än en halv.
Det går förstås att göra så med fler bråk; är täljaren en tredjedel av nämnaren är bråket exakt en
tredjedel, är den mindre är den mindre än en tredjedel o.s.v.
Hur mycket mindre än…?
Det finns lite andra sätt man också kan prova. Du kan tänka ut en del själv. Du får ett exempel till här:
Bråk som 8/9, 7/8 och 6/7 kan du storleksordna genom att titta på hur mycket det fattas till en hel. I
det första fallet fattas 1/9, i det andra 1/8 och i det tredje 1/7. 8/9 är alltså störst och 6/7 minst.
Omvandla till decimalform
Om man inte lyckas storleksordna bråken på något annat sätt kan man alltid omvandla dem till
decimalform först. Skall du t.ex. omvandla 3/7 till decimalform dividerar du helt enkelt 3 med 7. Vet
du inte hur man gör det; titta på avsnittet om kort division!
OBS! Tänk på att om nämnaren är 10, 100, 1000 eller likanande är det bara att skriva in täljaren på
rätt plats i positionssystemet! 37/10 måste t.ex. vara 3,7:
37/10 = 30/10 + 7/10 = 3 + 7/10
Blandad form och bråkform
Alla heltal kan förstås skrivas som bråk. 1 = 7/7 = 14/14 = 197/197 eller vad du nu vill. Har du alla
bitar eller grupper har du en hel. Har du dubbelt så många som i en hel har du två; 2 = 14/7 =
200/100 = 57/57… o.s.v.
Alla bråk som är större än 1 kan skrivas både i bråkform – alltså bara som ett bråk, t.ex. 14/5 eller i
blandad form – alltså med de hela delarna för sig och det som inte räcker till en till hel för sig, det
sistnämnda då i bråkform. 5 går ju 2 hela gånger i 14, och så får vi 4 femtedelar över. 14/5 blir alltså 2
4/5 i blandad form. Det kan också skrivas så här:
26
Addition och subtraktion av bråk
Addition och subtraktion av bråk är enkelt. Det gäller bara att komma ihåg att nämnaren bara är en
sort. Du kan bara addera eller subtrahera bråk med samma nämnare, alltså bråk av samma sort.
Ett bra knep är att använda ord: två fjärdedelar + en fjärdedel är förstås tre fjärdedelar! Och fem
sjundedelar – två sjundedelar är förstås tre sjundedelar.
2/4 + 1/4 = ¾
5/7 – 2/7 = 3/7
Om man ska addera bråken 2/3 och 2/6 måste man först göra om dem så de får samma nämnare. Se
”förkorta och förlänga bråk”!
27
Multiplikation och division av bråk med heltal.
Att multiplicera ett bråk med ett heltal eller tvärt om är också lätt. Du vet att 4 1/3 = 1/3 4
eftersom ordningen inte spelar någon roll vid multiplikation.
Multiplikation med heltal kan ju skrivas om som upprepad addition och då ser vi att
4 1/3 = 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 = (4 1)/3 = 4/3
Eller
Du multiplicerar alltså bara täljaren med heltalet i fråga.
Det blir på samma sätt med division. Du delar täljaren med heltalet i fråga: (6/7)/3 = (6/3)/7 = 2/7
Tänk att tre personer ska dela på sex sjundedelar. Då får de 6/3 sjundedelar var, alltså 2 sjundedelar.
Multiplikation av bråk med bråk
Titta på multiplikationen
½x¾
Som vid multiplikation med decimaltal mindre än noll kan vi betrakta detta som att man tar en viss
del av den andra faktorn. Här tar vi hälften av ¾. Det får vi t.ex. om vi tar hälften så stora bitar men
lika många: 3/8.
Titta nu på 2/3 x ¾
Vi kan betrakta detta som att vi tar 2/3 av ¾. Skall vi ha 1/3 av ¾ får vi ta bitar som är en tredjedel så
stora. Vi måste dela varje fjärdedel i 4 bitar. Vi får tolftedelar. 3 x 4 = 12. Totalt får vi 3/12. Skall vi ha
2/3 av ¾ måste vi ta 2 sådana bitar. Alltså 6/12.
Vad är det alltså vi gör?
Jo, först delar vi det vi har (den andra faktorn) i mindre bitar. Skall vi ha ett visst antal
tredjedelar av den andra faktorn måste varje bit i den delas upp i tre bitar. Då får vi totalt så
många bitar som produkten av nämnare 1 och nämnare 2.
Sedan räknar vi efter hur många bitar vi skall ha av de nya bitarna. Det är produkten av
täljare 1 och täljare 2.
Alltså: Vid multiplikation av två bråk multipliceras täljare med täljare och nämnare med
nämnare.
Exempel:
2/3 x ¾ = (2x3)/(3x4) = 6/12 Kan förkortas med 6 till ½.
Prova att rita en bild så ser du att detta exempel stämmer. ¾ av ett varv på en cirkel
är t.ex. tre av de fyra kvartar man kan dela in cirkeln i. En tredjedel av tre stycken
kvartar är en kvart. Två sådana är ett halvt varv.
28
Division av bråk med bråk
Innehållsdivision
Väldigt många bråkdivisioner kan du lösa genom att tänka innehållsdivision.
Exempel 1:
eftersom
Exempel 2:
eftersom
- det behövs två halvor för att få en hel.
I exempel två ser du att om du har samma nämnare behöver du ju bara dividera det första talets
täljare med de andra talets täljare. Nämnaren är ju bara en ”sort” som talar om vad det är för sorts
delar vi jobbar med.
Ibland är det ju rätt enkelt att tänka innehållsdivision utan att nämnarna är lika. Du bör t.ex. veta att
det går två fjärdedelar på en halv, så en halv delat med en fjärdedel måste alltså vara två.
Om det inte är så uppenbart som i de här fallen kan du alltid göra bråken liknämniga genom att
förkorta eller förlänga som när du adderar eller subtraherar bråk. Då kan du tänka som ovan igen.
29
Allmän metod för division av bråk
Det finns en allmän metod som man kan använda när man dividerar bråk. Den bygger på det här:
Tänk dig att du ska utföra divisionen
.
Du ska göra dem liknämniga. Båda nämnarna är primtal, så du kan inte förkorta utan måste förlänga.
När nämnarna är lika innehåller de exakt samma primfaktorer. Eftersom de inte har några
gemensamma primfaktorer nu – och båda är primtal – är alltså de enklaste bråken med gemensam
nämnare du kan hitta de du får om du förlänger varje bråk med det andra bråkets nämnare :
och
Nu kan du skriva divisionen så här i stället:
I avsnittet om innehållsdivision av bråk konstaterade vi att om nämnarna är lika behöver vi bara
dividera täljarna med varandra. Vi får alltså kvoten 33/14.
Skriver vi upp allt vi gjort ovan i ett svep blir det så här:
Titta på det här lite noggrannare - varifrån kommer 33 och 14?
Vi får dem när vi förlänger bråken och vi ser att
33 = täljaren i bråk 1 x nämnaren i bråk 2
14 = nämnaren i bråk 1 x täljaren i bråk 2
och
Det här kan användas vid alla bråkdivisioner. För alla bråk gäller följande (a, b, c och d är vilka heltal
som helst som är större än 0).
30
Förkorta och förlänga bråk
Förkorta
Tänk dig en chokladkaka med 24 rutor.
Om du tar åtta av de rutorna har du ju tagit 8/24 av hela kakan. Men du har också tagit två rader av
åtta - alltså 2/6. Eller så kan du dela kakan i tre bitar som består av två rader var. Då har du tagit en
av tre bitar – alltså 1/3.
Att skriva ett om ett bråk så att det blir mindre tal i täljare och nämnare kallas att förkorta bråket.
Hur gör man det där på mattevis då? Tja, om du går från att titta på bitar till att titta på rader så får
blir det ju som att du slår ihop bitarna fyra och fyra – du delar upp dem i grupper med fyra bitar i
varje. Då får du ju 24/4 = 6 grupper (innehållsdivision!), alltså en fjärdedel så många grupper. Du
måste alltså dela nämnaren med 4! Men de bitar hade tagit slås ju också ihop fyra och fyra – alltså
måste täljaren också delas med 4!
Går du från rader till de större bitarna med två rader i varje så slår du ihop raderna två och två. Då får
du dela både täljare och nämnare med två:
Du kunde också ha slagit ihop bitarna åtta och åtta från början:
Du kan fortsätta så länge det finns något tal som det går att dela både täljare och nämnare med. När
det inte finns det längre har du förkortat bråket så långt det går.
Alltså: Om du delar både täljare och nämnare med samma tal är bråket fortfarande värt lika mycket.
31
Förlänga
I stället för att slå ihop bitar i grupper kan du förstås dela upp grupper i mindre bitar. Om du från
början delar chokladkakan i tre bitar och tar en av dem – 1/3 – kan du ju dela upp varje bit i t.ex. åtta
bitar. Då får du åtta gånger så många bitar totalt sett (nämnaren) och de du ätit blir också åtta
gånger så många – men mindre förstås (täljaren). Du multiplicerar alltså både nämnare och täljare
med åtta!
Allmänt gäller: Om du multiplicerar både nämnare och täljare med samma tal är bråket fortfarande
värt lika mycket.
Du har nytta av att kunna förkorta och förlänga bråk t.ex. när du vill addera eller subtrahera bråk som
från början har olika nämnare. Då kan du antingen förlänga eller förkorta dem så att de får samma
nämnare.
Exempel 1:
Övertyga gärna dig själv om att det stämmer genom att rita!
Exempel 2:
Att förkorta och förlänga bråk kan också vara användbart när man ska omvandla ett bråk till
procentform eller decimalform. Då förlänger eller förkortar man så att man får nämnaren 10, 100,
1000 eller vad som nu är enklast.
Exempel:
32
Procent
Man kan ange andelar av något i bråk. Man kan också ange andelar i procent. Procent är samma sak
som antal hundradelar. 57/100 kan skrivas 57 % (57 procent).
Skall du skriva om ett bråk som procent kan du prova att förlänga eller förkorta så att nämnaren blir
100 så är det klart. Ibland behöver du inte göra det – du vet ändå.
Exempel: Tag 1/2 till exempel. Du vet att en hel – allting är 100 % (det måste förstås vara alla de
hundra hundradelarna – alltså 100 %). Hälften är förstås hälften av dessa – alltså 50 %. På samma
sätt är 1/4 = 100/4 % = 25 %
Funkar inget av detta omvandlar du bråket till decimalform – med hjälp av miniräknare eller kort
division – och så läser du av hur många hundradelar det är; 0,2987 är t.ex. 29,87 %.
Precis som ett bråk kan vara större än 1 så kan man ha mer än 100 %. Om jag äter 1 och en halv tårta
har jag t.ex. ätit 150 % av en hel tårta.
Räkna ut hur många procent något är
Det viktiga är att veta vad ”det hela” är. Vad är det du jämför med? Är det hur mycket pengar du har
på ditt konto? Är det vad ett par byxor kostar innan prishöjning eller efter prishöjning?
Vet du vad du jämför med så måste du också veta vad du jämför med detta. Kanske hur mycket du
fick i ränta (i kronor) när du hade si och så mycket pengar på kontot? Det du jämför med ”det hela”
kallar vi ”delen”.
Du får antal procent genom att räkna ut ”delen”/”det hela” och skriva svaret i procentform.
Exempel: Putte har 20 000 kronor på sitt bankkonto. På ett år får han 100 kronor i ränta. Vad är
räntan i procent?
100/20 000 = 1/200 = 0,005 = 0,5 %
Svar: Räntan var 0,5%
Räkna ut hur mycket x % av något är
Du kan räkna ut hur mycket x % av något är på flera sätt. Här får du två varianter i form av två
exempel.
Exempel 1 Börja med att räkna ut hur mycket 1 % är
Hur mycket är 24 % av 200?
1 % = 200/100 = 2
24% = 24 x 2 = 48
Svar: 24 % av 200 är 48
Exempel 2 Gör om till decimalform först
Hur mycket är 24 % av 200?
24 % = 0,24
Jag ska ta 24 hundradelar av 200. Det gör jag om jag multiplicerar 0,24 med 20!
0,24 x 200 = 0,24 x 100 x 2 = 24 x 2 = 48
33
Svar: 24 % av 200 = 48
Procentenheter
Det gäller att skilja på procent och procentenheter.
Om räntan är 10 % och höjs till 12 % ökar den med 2/10 = 20 % men bara med 12 – 10 = 2
procentenheter.
Potenser, kvadrater och kvadratrötter
På samma sätt som man kan skriva om upprepad addition av samma tal som multiplikation kan man
skriva om upprepad multiplikation av samma tal som en potens.
Exempel:
3+3+3+3=43
3 3 3 3 = 34
34 läser man ”tre upphöjt till fyra”
I uttrycket 34 kallas trean ”bas” och fyran ”expontent”
Att ta ett tal upphöjt till två, alltså multiplicera det med sig själv, kallas att ta kvadraten på talet.
Namnet har att göra med att arean på en kvadrat är sidan x sidan (och båda sidorna är ju lika långa i
en kvadrat – alltså multiplicerar man ett tal med sig själv när man räknar ut arean).
32 = 9 är alltså kvadraten på 3.
Ett tals kvadratrot kan man säga är motsatsen till kvadraten.
Ett tals kvadratrot svarar på frågan: ”Vilket positivt tal ska jag ta
kvadraten på för att få det här talet?”
Kvadratroten ur 9 är alltså 3 – eftersom 32 = 9
Man skriver så här:
OBS! Av tekniska orsaker skrivs potenser i dina läxor oftast så här: 10 ^ 2 i stället för 102. Det betyder
precis samma sak och du kan själv skriva om det till det vanliga sättet innan du läser uppgiften.
34
Negativa tal
Addition och subtraktion av negativa tal
Att addera med ett negativt tal är samma sak som att subtrahera.
Ex: 5 + (-4) = 5 – 4 = 1
Vad händer om man subtraherar med ett negativt tal?
Vi kan roa oss med ett exempel: Ett flygplan flyger på 500 m höjd och ett annat på 300 m höjd.
Höjdskillnaden är (500 – 300) m. På samma sätt borde man kunna räkna ut höjdskillnaden mellan det
första flygplanet och en ubåt på 200 m djup. På samma sätt som man brukar kalla källarvåningar för 1, -2 o.s.v., med bottenvåningen som noll, anger vi ubåtens avstånd till havsytan som -200 m. Om vi
räknar ut höjdskillnaden mellan flygplan 1 och ubåten på samma sätt som mellan de två flygplanen
får vi uttrycket (500 – (-200))m. Man kan inse att avståndet är 500 m ovanför vattenytan och 200 m
under vattenytan, alltså
(500 + 200) m = 700 m. Det blir det bara om vi räknar de två minustecknen som plus!
Vi kan också titta på följande serie subtraktioner:
5–3=2
5–2=3
5–1=4
5–0=5
5 – (-1) = ?
Tittar vi från början ser vi att differensen blir större ju mindre den andra termen blir. Minskar den
andra termen med 1 ökar differensen med 1. Det verkar rimligt att mönstret skall fortsätta även om
den andra termen råkar bli mindre än 1. Så är också fallet.
5 – (-1) = 6
5 – (-2) = 7
o.s.v.
Att subtrahera ett negativt tal innebär alltså samma sak som att addera motsvarande positiva tal.
Exempel: 5 – (-6) = 5 + 6 = 1
35
Multiplikation och division av negativa tal
Att multiplicera eller dividera ett negativt tal med ett positivt brukar inte vara något problem. Det
känns inte konstigt att 2 x -3 = -6. Och eftersom ordningen på faktorerna inte spelar någon roll vid
multiplikation (2 x 3 = 3 x 2) är det heller inte konstigt att -3 x 2 = -6.
Tittar vi på division är det inte heller konstigt att t.ex. -10/2 = -5. Kvoten gånger nämnaren skall ju bli
täljaren. Det känns inte heller konstigt att hälften av -10 är -5. Däremot känns det kanske lite skumt
att säga att två går -5 ggr i -10. ”minus fem gånger” känns lite abstrakt. Kanske blir det bättre om
man säger att man får ta bort två fem gånger för att få minus 10.
Om man dividerar två negativa tal då? Tja, då verkar det inte orimligt att säga att -2 går fem gånger i 10. -10/-2 = 5. Kvoten av två negativa tal är alltså positiv.
Vi kan titta på multiplikation av två negativa tal på ett annat sätt:
Vi kikar på en serie igen:
-3 x 4 = -12
-3 x 3 = -9
-3 x 2 = -6
-3 x 1 = -3
-3 x 0 = -0
-3 x (-1) = ?
På samma sätt som vid addition är det inte orimligt att anta att mönstret fortsätter. Om produkten
växer med tre varje gång den varierande faktorn minskar med ett bör detta gälla även om även den
andra faktorn blir negativ. Så är också fallet. Multiplicerar man ett negativt tal med ett annat negativt
tal blir produkten positiv. Då ser vi också att kvoten mellan en positiv täljare och en negativ nämnare
blir negativ. Produkten av kvoten och nämnaren är ju lika med täljaren, som är positiv. Då måste
kvoten vara negativ om nämnaren är negativ.
Serien ovan fortsätter
-3 x (-1) = 3
-3 x (-2) = 6
o.s.v.
Exempel:
-5 x -5 = 25
-30/-6 = 5
36
Avrundning och överslagsräkning
Avrundning
Ibland vill man avrunda ett tal. Man kanske vid en beräkning får ett tal som aldrig tar slut. Delar jag
ett med tre får jag t.ex. 0,3333333333333333333….. Jag kan fortsätta i evighet. Det tar inte slut i alla
fall. Jag måste bestämma hur många siffror jag skall ha med. Hur många siffror jag vill ha med kan jag
tala om på olika sätt. Jag kan tala om hur många decimaler jag vill ha med i svaret. Jag kan tala om
hur många gällande siffror jag skall ha med. Jag kan säga att jag skall avrunda till närmsta hundradel
eller närmsta tiotal eller till heltal. I affären avrundar jag den totala summan jag handlar för till
närmsta femtioöring.
Avrundning till givet antal decimaler
Om jag skall avrunda till ett visst antal decimaler måste jag veta vad decimaler är. Decimaler är
siffrorna efter kommat. De som betyder tiondelar, hundradelar etc.
Ex 1:
Vi tar talet 23,45832
Om jag vill avrunda det till två decimaler skall det tal jag skriver vara så nära
23,45832 som möjligt men bara ha två decimaler kvar.
23,45832 ligger mellan 23,45 och 23,46. Eftersom siffran efter femman är en åtta
ligger talet närmare 23,46 än 23,45. Hade åttan varit en fyra eller mindre hade talet
legat närmare 23,45. Hade åttan varit en femma hade talet legat närmare 23,46
eftersom det finns siffror större än noll i nästa position. Även om det inte finns det
avrundar man uppåt om siffran efter den sista som skall stå kvar är en femma.
Alltså: Avrundning till 2 decimaler
23,45832 23,46
23,34432 23,34
23,34532 23,35
23,345 23,35
Ex 2:
37
Avrundning av talet 23,001635
a) till 1 decimal
23,0
b) till 2 decimaler
23,00
c) till 3 decimaler
23,002
d) till 4 decimaler
23,0016
e) till 5 decimaler
23,00164
Avrundning till tiondelar, hundradelar och liknande
I stället för att tala om hur många decimaler man skall avrunda till kan man tala om vilken siffra som
skall vara den sista som står kvar. I stället för att säga ”avrunda till en decimal” kan man säga avrunda
till tiondelar – den första decimalen är ju tiondelssiffran. I stället för att säga avrunda till två
decimaler säger man avrunda till hundradelar eller närmsta hundradel.
Ex: Avrunda 345,0683 till tiondelar (eller närmsta tiondel): 345,0683 345,1
Ex: Ibland blir svaret noll när man avrundar. Om vi avrundar 0,003 till närmsta hundradel blir svaret
t.ex. 0,00.
Avrundning till heltal
Man kan också avrunda till heltal. Då hugger man av alla decimaler. Här den första decimalen fyra
eller mindre är det bara att hugga på. 45,46 blir t.ex. 45. 45,46 ligger ju närmare 45 än 46 eftersom
det är mindre än 45,5 som ligger mittemellan. Är den första decimalen fem eller högre får man
däremot höja entalssiffran ett steg. 45,78 ligger t.ex. närmare 46 än 45 och avrundas alltså till 46.
Avrundning till ental
Ibland säger man ental i stället för heltal. Den sista siffran är ju entalssiffran i t.ex. 45 och 46.
Avrundning till tiotal, hundratal o.s.v.
Hittills har vi bara huggit av de siffror som står efter den sista vi vill ha med samt kanske höjt den
sista siffran som står kvar förstås. Men om vi vill avrunda till närmsta tiotal då? T.ex. talet 556.
Avrundar vi till närmsta tiotal är vi inte intresserade av entalssiffran längre. Men vi kan ju inte plocka
bort den?! Då får vi ju 56 (eftersom entalssiffran är en 6:a höjer vi tiotalssiffran till 6. Vi måste sätta
dit en nolla på entalssiffrans plats för att få kvar 6:an på tiotalsplatsen. Alltså 556 560. Man får bara
tänka på att man inte kan se på 560 om det är avrundat till 560 eller om vi vet att entalssiffran är en
nolla (som i 560,032).
Samma sak gäller vid avrundning till 100-tal: 567 600. Vi fyller på med nollor på slutet –och ser inte
längre skillnad på 600,00 632 och 620…
38
Överslagsräkning
Om man vill veta ungefär hur mycket man har köpt för i affären eller om man vill kontrollera om
svaret på en räkneuppgift är rimligt är det bra att kunna göra en överslagsräkning. Då får man veta
ungefär vad svaret på beräkningen blir, man får ett närmevärde.
EXEMPEL 1.
Beräkna närmevärdet av
37 + 54 + 29
Först avrundar du alla talen till närmsta tiotal som du lärt dig:
37 + 54 + 29 40 + 50 + 30
Sedan räknar du ut summan av de avrundade talen:
40 + 50 + 30 = 120.
Du skriver alltså:
37 + 54 + 29 40 + 50 + 30 = 120
EXEMPEL 2.
Beräkna närmevärdet av
17 43
Avrunda först:
17 43 20 40
Beräkna sedan:
20 40 = 800 Kontrollera svaret! 20 40 är dubbelt så mycket som 10 40!
Du skriver alltså:
17 43 20 40 = 800
Avrunda så att uträkningarna blir så enkla som möjligt.
Ofta avrundar vi så att vi får ”en siffra och resten nollor”
Exempel: 345 300
39
355 400
0,054 0,05
5,4 5
5,51 6
Primtal, faktorisering och primtalsfaktorisering
Faktorisering
Du vet att man kan multiplicera två tal – två faktorer - och få en produkt, t.ex. så här:
2 3=6
Om du gör tvärt om, alltså så att säga tar en produkt, och delar upp den i faktorer så säger man att
du faktoriserar, t.ex. så här:
6=2 3
Om vi struntar i ordningen på faktorerna och i att man skulle kunna skriva att
6 = 1 6 så går talet 6 bara att faktorisera på ett sätt. Andra tal går att faktorisera på många sätt.
Exempel: 100 = 10 10 = 2 50 = 4 25
Det går också att fortsätta och faktorisera faktorerna också.
Exempel: 100 = 10 10 = 2 5 10 = 2 5 2 5
Eftersom ordningen på faktorerna inte spelar någon roll kan man t.ex. ordna dem i storleksordning.
Då får vi 100 = 2 2 5 5
Om vi provar att gå via de andra faktorerna ovan, 2 50 och 4 25, så får vi faktiskt samma faktorer
som om vi går via 10 10.
Titta:
2 50 = 2 5 10 = 2 5 2 5 = 2 2 5 5
4 25 = 2 2 25 = 2 2 5 5
Primtal
Ett tal som inte går att dela upp i faktorer (utom sig själv och ett) kallas primtal. De första primtalen
är (1), 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43…
Primtalsfaktorisering
Om du delar upp ett tal i faktorer så långt det går, som vi gjorde med 100 ovan, så kommer alla
faktorerna att vara primtal. Du har primtalsfaktoriserat. Varje tal kan primtalsfaktoriseras på precis
ett sätt. Du använder de delbarhetsregler du kan och jobbar på tills du inte kan dela någon faktor
mer. De tal det inte finns några delbarhetsregler för får du prova! (Hur stora tal behöver du prova?!
Tänk efter själv och fråga din lärare om tips om du inte kommer på det!)
Exempel: 112 = 2 56 = 2 2 28 = 2 2 2 14 = 2 2 2 2 7
Klart! 5
Du har nytta av att kunna primtalsfaktorisera t.ex. när du ska förkorta bråk. De primfaktorer som
finns i både täljare och nämnare kan du ju förkorta med!
5
2 2 2 2 7 kan också skrivas om som 2 7
4
Repetera potenser om du inte förstår!
40
Ekvationer
Du kan lösa ekvationer på lite olika sätt. Enkla ekvationer kan du lösa genom att gömma det
obekanta talet (som ofta markeras med x eller y) med ett finger och tänka efter vad som ska stå där
för att det ska stämma.
Får du ekvationen 1 + x = 3 ”vet du” att för att det påståendet ska vara sant måste x vara 2.
Två andra sätt får du repetera här:
Utnyttja sambandet mellan räknesätten.
Om 3x + 4 = 19 så vet du att 3x = 19 – 4
Har du ett visst tal – här 3x – och lägger till fyra och får
19, får du tillbaka talet (3x) igen om du tar bort fyra från
19.
Nu vet du att 3x = 15
3x betyder ju 3 x. Om 3x = 15 så vet
du att x = 15/3
Föser du ihop 3 högar med ett visst antal saker i, så det
blir en hög, så får du förstås tillbaks lika många saker i
varje hög om du delar upp dem i tre högar igen.
Formellt redovisar du så här:
3x + 4 = 19
3x = 19 – 4
3x = 15
x = 15/3 = 5
Svar: x = 5
Balansmetoden
I balansmetoden utnyttjar du att likhetstecknet betyder att det som står till vänster är lika mycket
som det som står till höger. Du vill ha ett ensamt x kvar på ena sidan. Om du gör något för att nå dit
måste du göra samma sak på andra sidan. Annars gäller ju inte likheten längre.
Exempel:
3x + 4 = 19
3x + 4 – 4 = 19 – 4
3x = 15
3x/3 = 15/3
x=5
Svar: x = 5
41
Ta bort fyra på båda sidor!
Dela med tre på båda sidor!
Enheter, prefix och enhetsomvandlingar
Enheter
Vi människor har nog behövt mäta olika saker väldigt länge. Vi har till exempel länge mätt hur långa
olika saker är.
När vi började mäta längden på saker använde vi olika delar av kroppen, till exempel underarmen,
handen, tumme eller en fot.
Om någon ville berätta för någon annan hur långt något var kunde de säga ”Jo, den var tre händer
lång” eller ”Den var fem fötter lång”.
”händer” och ”fötter” blev enheter för längd. En enhet talar om hur mycket en av det man mäter är.
En hand är ju mindre än en fot, så tre händer är förstås mindre än tre fötter.
Så småningom hittade man på andra namn på det här enheterna. Mätte man med underarmen sa
man ”aln”, mätte man med fötterna sa man ”fot”.
En opraktisk sak med att mäta med kroppen är att olika människor är ju olika stora. Därför bestämde
man i olika längder hur lång en fot, en aln o.s.v. skulle vara. Då blev det lättare att veta precis hur
stort något som någon annan hade mätt var – så länge man höll sig i sitt eget land.
Pratade man med någon från ett annat land stämde det däremot inte alltid. Man hade inte gett
samma längd till en fot i alla länder.
Så småningom kom man på att det vore praktiskt att ha samma ”enheter” i olika länder.
man skulle göra nya enheter ville man gärna att de skulle vara lika smarta som vårt sätt att skriva tal.
Det vore bra om 10 av en enhet kunde bli 1 av en annan enhet. Då skulle det vara lätt att räkna. Man
skulle bara behöva flytta siffrorna åt höger och vänster.
Med de gamla ”kroppsdelsenheterna” var det ju inte så. Det kanske gick 2 och en halv hand på en fot
t.ex.
I Frankrike hade man hittat på en enhet som inte hade med kroppsdelarna att göra. Det var enheten
meter. Du vet ju ungefär hur lång en meter är.
En meter är ju en ganska opraktisk enhet om man ska mäta hur långt något litet är, t.ex. ett
suddgumma. Man behövde alltså fler enheter – för mindre saker. Det var då man kopplade dem till
vårt sätt att skriva tal på.
Om man delar en meter i tio lika stora bitar, så kan längden på en sådan bit bli en ny enhet. Varje
sådan bit är ju en tiondel av en meter. Därför fick enheten heta decimeter, efter det latinska ordet för
tiondel. När ordet deci ingår i namnet på en enhet betyder det alltid tiondel, så decimeter betyder
just ”tiondels meter”. (deci finns ju t.ex. också i deciliter som betyder tiondels liter. En liter är ju 10
deciliter).
Man fortsatte på samma sätt och delade in en decimeter i tio bitar. Sådan bitar går det ju hundra
bitar av på en meter – de är en hundradels meter. Den enheten kallades centimeter och centi betyder
förstås just hundradel.
42
Fortsätter man på samma sätt – och delar en centimeter i tio bitar – får man 1000 bitar på en meter.
Varje sådan bit är en tusendel av en meter. Enheten heter millimeter och milli betyder tusendel.
Alltså:
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
1 dm = 10 cm = 100 mm
1 cm = 10 mm
På likande sätt behövde man enheter för riktigt stora saker – vi har t.ex. kilogram för tusen gram och
kilometer för tusen meter. Kilo betyder alltså tusen.
De här orden som man sätter framför en enhet kallas prefix och du kan läsa mer om dem under
avsnittet ”prefix”.
Saker som vi mäter på olika sätt kallas storheter, t.ex. vikt, längd, area, tid och volym. Vi ska titta lite
på enheter för olika typer av storheter.
Enheter för längd
Grundenheten för längd är meter. Mindre och större enheter skapas med hjälp av prefix. I Sverige
använder vi också enheten mil för längre sträckor.
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
1 km = 1000 m
1 mil = 10 km
En annan enhet du kan stöta på är enheten 1 ljusår. Det låter som en viss tid, men är en sträcka som
är lika lång som den ljuset kan färdas på ett år, alltså ca 9 461 miljarder km!
Det kan kanske vara kul att känna till några andra enheter för längd, som använts tidigare i Sverige
och andra som t.ex. används i en del andra länder
1 svensk verktum 2,474 cm
1 svensk decimaltum 2,929 cm
1 engelsk tum6 (inch - in) = 2,54 cm
1 engelsk fot (foot – ft) = 12 in = 0,3048 m
1 yard (yard – yd) = 3 ft = 0,9144 m
1 engelsk mil (mile) = 5 280 ft = 1 609,344 m
1 sjömil (nautisk mil, distansminut) = 1 852 m
Det kan också vara bra att man ibland kan prata om någon längdenhet alls, utan att tala om någon
särskild, t.ex. när man diskuterar sambandet mellan areaenheter och längdenheter. Då skriver man
helt enkelt ”längdenhet” eller ”längdenheter” och förkortar det le.
6
Den enhet som används när man anger storlek på datorskärmar t.ex. Förr användes den också på brädgårdar,
medan många snickare använde verktum. Det gällde att vet vilken sorts tumstock man använde!
43
Enheter för area
Under avsnittet om geometri kan du se hur man räknar ut hur stor area t.ex. en rektangel har och
vad area är. Repetera det om du behöver, innan du läser vidare här!
Areaenheter (ae) bygger normalt på längdenheter (le). Mäter jag läng i centimeter blir motsvarande
areaenhet kvadratcentimeter. En kvadratcentimeter är då en yta som är lika stor som en kvadrat som
har sidan 1 cm. På motsvarande sätt är en kvadratmeter en yta som är lika stor som en kvadrat med
sidan 1m.
Eftersom vi räknar ut area genom att multiplicera två längder t.ex. 2 cm x 3 cm betecknas enheten
cm2 – vi multiplicerar ju cm med cm – och det betecknas ju just cm2. Titta på avsnittet om potenser
om det här är konstigt. Där ser du också att det kallas att ta kvadraten på ett tal när man
multiplicerar det med sig själv – inte så konstigt när man tänker på hur man räknar ut arean på just
en kvadrat!
Det viktigaste att komma ihåg här är att det inte blir samma förhållande mellan de olika enheterna
som för längdenheterna. Det återkommer vi till under avsnittet om enhetsomvandlingar.
Utöver alla ”kvadratenheter” – det finns förstås en för varenda upptänklig längdenhet bör du känna
till areaenheterna ar och hektar.
En ar är en yta lika stor som en kvadrat med sidan 10 m, alltså 100 m2.
En hektar är 100 ar (hekto = 100), alltså 10 000 m2.
Enheten hektar används bl.a. när man pratar om hur mycket åkermark eller skog en gård består av.
En annan enhet som används i de sammanhangen är ”tunnland”. Ett tunnland är ungefär en halv
hektar. Namnet kommer av att det var så stor yta en tunna säd räckte till när man sådde.
Enheter för volym
Förutom en del äldre eller engelska volymsenheter (ve) används två typer av volymsenheter i
Sverige. Det är dels enheter som är härledda från längdenheterna, på liknande sätt som
areaenheterna, dels enheter som baseras på grundenheten liter.
En kub med sidan en meter – och alla andra volymer som rymmer lika mycket – har volymen en
kubikmeter – 1 m3, något som är lika stort som en kub med sidan 1 dm har volymen en
kubikdecimeter – 1 dm3. Under avsnittet geometri kan du läsa om hur man räknar ut volymen för
några tredimensionella former. För ett rätblock multiplicerar man längden x bredden x höjden, alltså
tre sträckor. Vi får t.ex. m m m – som enligt reglerna för potenser betecknas m3
1 kubikdecimeter kallas också för 1 liter (1l). Från denna enhet kan vi få andra enheter med hjälp av
prefix; 1 deciliter = 1/10 liter; det går alltså 10 dl på en liter, o.s.v.
När man ska göra omvandlingar mellan systemet baserat på längdenheter och systemet baserat på
liter gäller det att hålla tungan rätt i mun. Mer om det under avsnittet om enhetsomvandlingar!
44
Enheter för vikt
När det gäller vikt kan vi utgå från gram. Fler enheter för tyngre eller lättare saker får vi med hjälp av
prefix. Ett kilogram (1 kg) är t.ex. 1000 gram och ett milligram (mg) ett tusendels gram (0,001 g).
Enheter för temperatur
Temperatur mäts vanligen i grader Celsius (C). Den enheten är gjort så att man valde att sätta 0 C
vid vattnets fryspunkt och 100 C vid vattnets kokpunkt och dela in temperaturerna där emellan i 100
lika stora steg.
Man kan också mäta temperatur i Kelvin (K). I den temperaturskalan är stegen mellan varje grad lika
stora som i Celsiusskalan, men noll grader = absoluta nollpunkten – det kallaste något kan bli.
Absoluta nollpunkten = 0 K = - 273,15 C
0 C blir därför 273,15 K
I USA (och några andra länder) använder man fortfarande Fahrenheitskalan. Där är vattnets
fryspunkt 32 C och kokpunkten 212 C.
De här formlerna kan användas för att räkna om temperaturer i grader Fahrenheit till grader Celsius
och tvärt om:
[°F] = [°C] × 9⁄5 + 32
[°C] = ([°F] − 32) × 5⁄9
Enheter för tid
1 år = 365 dagar = 52 veckor = 12 månader = 4 kvartal
1 kvartal = 3 månader (jan – mars; april – juni; juli – sept; okt – dec)
1 månad = ca 30 dagar
1 vecka = 7 dygn
1 dygn = 24 timmar
1 timme = 60 minuter
1 minut = 60 sekunder
1 sekund = 100 hundradels sekunder
Enheter för hastighet
Enheter för hastigheter är alltid en kvot mellan ett mått på det man är intresserad av hur fort det går
och en tid, t.ex. meter/sekund; kilometer/timme; stickade maskor/minut…
45
Prefix
En enhet är något som talar om vad det är man mäter eller räknar med. Det finns vissa basenheter
t.ex.
gram för vikt (g)7
meter för sträcka/längd (m)
liter för volym (l).
Om man vill mäta något som är mycket större eller mindre än en basenhet kan man använda prefix.
Det är små ord man sätter framför enheten och som talar om att man avser en viss multipel eller
andel av enheten i fråga. Exempel på prefix är kilo och milli.
Följande prefix ska du kunna:
kilo (k)
hekto (h)
(deka
deci (d)
centi (c)
milli (m)
mikro (µ)
=
=
=
=
=
=
=
tusen
hundra
tio)
tiondel
hundradel
tusendel
miljondel
används ytterst sällan – med bara som information
Enhetsomvandlingar
De flesta enhetsomvandlingar klarar man bra med goda kunskaper om vårt talsystem. 23 m är t.ex.
23 x 10 dm = 230 dm – eftersom det går 10 dm på varje meter. 32 cm = 32/100 m = 0,32 m –
eftersom 1 cm = 1/100 m o.s.v.
När det gäller tid blir det lite trassligare, för man behöver t.ex. dividera och multiplicera med annat
än 10, 100, 1000 o.s.v., men det brukar inte ställa till så stora problem.
Det är när man ska omvandla mellan olika areaenheter och volymsenheter man behöver tänka lite.
Areaenheter
Du vet att 1 m = 10 dm. Då är frågan – hur många dm2 är 1 m2? Nu kan man inte bara gå på att deci
betyder tiondel! Vi måste titta på hur man räknar ut area.
Tänk dig en kvadrat med sidan 1 m. Hur långa sidor har den om vi ska ange enheten i dm? Jo 10 dm
förstås. Och arean = sidan x sidan, alltså 1 m x 1 m = 1 m2 eller 10 dm x 10 dm = 100 dm2
1 m2 är alltså 100 dm2! Eftersom man tar en längd gånger en längd blir skillnaden mellan enheten
kvadraten på skillnaden på längdenheterna!
1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2
7
Egentligen är grundenheten för vikt kilogram (kg) vilket kan tyckas vara lite ologiskt. För att göra det lite
enklare och mer systematiskt i början använder vi gram (g) här – men pratar, för att inte ställa till det mer
sedan, om basenheter i stället för grundenheter .
46
Volymsenheter
1 m = 10 dm. Hur många dm3 är 1 m3? För att avgöra det måste vi titta på hur man räknar ut volym.
Tänk dig en kub med sidan 1 m, alltså 10 dm. Volymen är
1 m x 1 m x 1m = 1 m3
eller
10 dm x 10 dm x 10 dm = 1000 dm3
1 kubikmeter är alltså tusen kubikdecimeter! Eftersom man multiplicerar tre längder blir skillnaden
mellan varje enhetssteg 1000 i stället för 10!
1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3
1 dm3 = 1000 cm3 o.s.v.
När det gäller volym behöver man också hålla reda på växlingen mellan enheter som de ovan och
enheter baserade på litersystemet.
Om du lär dig att 1 liter = 1 dm3 och förstår det som står ovan kan du tänka ut resten.
1 dl är ju en tiondel av en liter, alltså 0,1 dm3 eller 100 cm3
1 ml är en tusendel av en liter – alltså 0,001 dm3 = 1 cm3
47
Geometri
Plana figurer
(tvådimensionella figurer)
Fyrhörningar
Typiskt utseende
Parallelltrapetser - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
rektangel
Parallellogrammer - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
rektangel
romber - - - - - - - - - - -
Fyrhörningar - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Beskrivs bäst
som
Fyrhörning
Uppfyller också
kraven för
-
Minimikrav
fyra hörn
parallelltrapets fyrhörning
fyra hörn
två parallella
sidor
parallellogram
fyra hörn
motstående
sidor parallella
(alltså: sidorna mitt
fyrhörning
parallelltrapets
emot varandra ska
vara parallella)
Rektangel
fyrhörning
parallelltrapets
parallellogram
fyra hörn
räta vinklar
Romb
fyrhörning
parallelltrapets
parallellogram
fyra hörn
alla sidor lika
långa
Kvadrat
fyrhörning
parallelltrapets
parallellogram
rektangel
romb
fyra hörn
räta vinklar
alla sidor lika
långa
48
Trianglar
Typiskt utseende
Beskrivs bäst som
Uppfyller också
kraven för
triangel
Övrigt
Typiskt utseende
Minimikrav
tre hörn
likbent triangel
(triangel)
tre hörn
två sidor lika långa
liksidig triangel
(triangel)
likbent triangel
tre hörn
alla sidor lika långa
rätvinklig triangel
En rätvinklig triangel
kan vara likbent, men
den kan aldrig vara
liksidig.
tre hörn
en rät vinkel
(Kan en triangel ha
två räta vinklar?
Prova!)
spetsvinklig triangel
En liksidig triangel är
alltid spetsvinklig.
En likbent triangel
kan vara spetsvinklig
tre hörn
bara spetsiga vinklar
trubbvinklig triangel
En likbent eller
rätvinklig triangel är
aldrig trubbvinklig.
En likbent triangel
kan vara trubbvinklig
tre hörn
en trubbig vinkel
(Kan en triangel ha
två trubbiga vinklar?
Prova!)
Beskrivs bäst som
Uppfyller också
kraven för
Minimikrav
ellips
Två symmetrilinjer –
och inga räta linjer
- samt en del andra krav som
vi inte går in på här. Det finns
liknande figurer som man
ställer lägre krav på. De kan
kallas ”oval”
Cirkel
49
ellips
Oändligt antal
symmetrilinjer
Vinklar
Tänk dig två linjer som sitter ihop i en punkt.
En vinkel är ett mått på hur mycket den ena linjen måste vridas för att
båda linjerna ska sammanfalla.
Om man vrider ett helt varv blir vinkeln 360°. Den lilla ringen upptill till höger läses ”grader”.
Ett halvt var blir då 180° eftersom 360/2 = 180.
Ett kvarts varv blir 90° (360/4 = 180/2 = 90)
Ett åttondels varv blir 45° (90/2 = 45)
En rät vinkel är 90°.
En spetsig vinkel är mindre än 90°.
En trubbig vinkel är mer än 90 °.
50
Symmetri
Symmetrilinjer
En figur har en symmetrilinje om du kan vika figuren så att de två halvorna helt täcker varandra.
Exempel:
En kvadrat har fyra symmetrilinjer. Du kan vika den längs vilken som helst av de fyra
streckade linjerna och halvorna kommer att täcka varandra.
En rektangel har två symmetrilinjer. Du kan vika dem på längden eller på bredden.
Däremot kan du inte vika dem längs diagonalerna8. Prova själv om du inte tror på det!
En parallellogram har inga symmetrilinjer. En cirkel däremot har oändligt många.
Rotationsaxel
En figur har en rotationsaxel om du kan rotera den mindre än ett varv runt sin ”mitt” utan att det
syns.
En kvadrat kan du rotera ett kvarts varv utan att det syns. Du kan alltså göra fyra stopp på ett varv.
Då har kvadraten en fyrtalig rotationsaxel.
En rektangel och en parallellogram kan du rotera ett halvt varv utan att det syns. Du kan göra två
stopp på ett varv. Parallellogrammer och rektanglar har tvåtaliga rotationsaxlar.
En liksidig triangel har en tretalig rotationsaxel. En rätvinklig triangel har ingen.
8
En diagonal är en linje som går från ett hörn till ett annat genom en figur.
51
Area och omkrets
begrepp
periferi:
det som avgränsar figuren från omgivningen
Enkelt: Linjen du ritar när du ska rita figuren.
yta:
det som finns inuti figuren
omkrets:
periferins längd (mäts i mm, cm, dm, m…)
Enkelt: Hur långt det är runt om figuren.
area:
ytans storlek (mäts i mm2, cm2, dm2, m2…)
enhet:
det man mäter i, t.ex. centimeter, meter, liter, kvadratmeter, timmar…
Enheten talar om hur mycket ”en” av något är.
diameter
en linje från periferin på ena sidan av en cirkel till periferin på den andra
sidan, som går genom cirkelns mittpunkt
radie
en linje från cirkelns mittpunkt till dess periferi
Kom ihåg: En kvadratcentimeter (1 cm2) är en yta som är lika stor som en kvadrat med sidan
en centimeter.
area och omkrets för rektanglar
omkretsen = längden av alla sidor tillsammans
arean = längden gånger bredden
Varför är arean = längden gånger bredden? Titta på rektangeln nedan!
Du ser att det finns tre rader med fyra rutor i rektangeln. Om varje ruta är en kvadrat med sidan 1 cm
har varje ruta arean 1 cm2.
En rad har i det här fallet arean 4 cm2. Du har tre sådana rader. Hela arean blir då 4 + 4 + 4 = 3 4 =
12, alltså 12 cm2.
För alla rektanglar gäller att varje rad (som är 1 enhet hög) har lika stor area som rektangeln är lång
– och det finns lika många sådana rader som rektangeln är bred. Du kan alltså alltid få arean genom
att multiplicera längden med bredden.
52
Area och omkrets för cirklar
Om man mäter omkretsen och diametern på en hel massa cirklar upptäcker man att om man delar
omkretsens längd med diameterns längd får man alltid samma tal; 3,141592… Det är ett tal som har
oändligt många decimaler – det tar aldrig slut. Det här talet kalls pi och skrivs med den grekiska
bokstaven pi: Ofta avrundar man till två decimaler och räknar med 3,14
Omkretsen = x diametern
eller, som formel: O = d = 2r (radien är ju halva diametern)
Om man tänker efter vad det här innebär är det ganska rimligt: Det innebär att det är ungefär tre
gånger så långt runt cirkeln som det är tvärsöver den.
Arean för en cirkel räknar man också ut med hjälp av :
Arean = x radien x radien
A = r2
Det här är inte heller så konstigt. Radien x radien är ju ytan på en kvadrat med radien som sida.
En sådan har markerats i figuren nedan. Formeln för cirkelns area säger att cirkeln är lika stor som
drygt tre sådana kvadrater. Det verkar inte så osannolikt. Hela den stora kvadraten i figuren nedan
skulle ha en area lika stor som fyra sådana kvadrater. För cirkeln går ”hörnen” bort. Tillsammans är
de knappt en liten kvadrat.
53
Area och omkrets för rektanglar med formler
Omkrets
Med ord:
omkretsen = 2 halva omkretsen = 2 (längden + bredden)
Med symboler:
O = omkretsen
l = längden
b = bredden
O = 2
Area
Med ord:
= 2 (l + b)
arean = längden bredden
Med symboler:
A = arean
l och b enligt ovan
A=lb
Area och omkrets för parallellogrammer och trianglar.
Omkretsen för parallellogrammer och trianglar räknar man lätt ut på samma sätt som omkretsen för
alla andra figurer med räta linjer som sidor. Lägg ihop längden av alla sidor bara.
Med papper, penna och sax är det ganska lätt att övertyga sig om att formlerna för area hos
parallellogrammer och trianglar nedan är sanna. Om du klipper av ena hörnet på en parallellogram
och flyttar över det till andra sidan kan du lätt göra om den till en rektangel med samma höjd. Och
om du tar två lika dana trianglar och sätter ihop dem får du en parallellogram.
Be om hjälp i skolan om du vill testa det!
Arean av en parallellogram = basen x höjden
Arean av en triangel = (basen x höjden)/2
54
Tredimensionella kroppar
Typiskt utseende
beskrivs bäst som9
krav10
Parallellepiped
motstående sidor parallella
Rätblock
alla vinklar räta
Kub
alla vinklar räta
alla kanter lika långa
Prisma
Cylinder
sfär, klot
Kon
Pyramid
9
Ett rätblock uppfyller förstås också alla krav som ställs på en parallellepiped. Vi går dock inte närmare in på
sådant när det gäller tredimensionella kroppar just nu.
10
Just nu får du i de flesta fall lära dig det här utifrån bilder. Så småningom ska du också lära dig beskriva
kropparna i ord.
55
Beräkna volym
Om vi tittar på en kropp med en viss bottenyta och väggar uppåt som är parallella med varandra och
vinkelräta mot bottenytan, t.ex. ett rätblock eller en cylinder, kan vi tänka så här för att räkna ut
volymen.
Tänk att bottenytan har en viss area. Vi tar ett exempel för enkelhets skull. Bottenytan är 5 cm2. Om
höjden är precis 1 cm blir volymen förstås precis 5 cm3 – 1 kubikcentimeter för varje kvadratcentimeter i bottenytan. Är höjden 2 cm blir volymen 5 cm2 x 2 cm = 10 cm3 o.s.v.
Volymen är alltså bottenarean x höjden.
Hur du räknar ut bottenarean är förstås beroende av vilken form den har. Se under avsnittet area!
56
Termer
Periferi och yta står det om under avsnittet om omkrets och area!
Tvådimensionella (plana) figurer
hörn
sida
diagonal
bredd
eller
höjd
längd
bas
(Höjden är alltid vinkelrät mot basen. Nästa år ska du lära dig rita in höjden i parallellogrammer och
trianglar.)
Tredimensionella kroppar
hörn
kant
sida
57
Korta sammanfattningar
Räknesätten
Addition och subtraktion
3+2=5
2+3=5
5–2=3
5–3=2
x
y
x+y=z
y+x=z
z–y=x
z–x=y
Addition och multiplikation
3+3+3+3+3+3+3+3 = 83
8+8+8 = 38
Du ser att 3 8 = 8 3
3 13 = 3 10 + 3 3
Du ser att 3 13 = 3 10 + 3 3
Multiplikation och division
1
1
1
1
Multiplikation:
Delningsdivision:
Innehållsdivision:
1
32=6
6/3 = 2
6/2 = 3
1
Gäller alltid: kvoten nämnaren = täljaren
58
Termer
Addition
(+, ”plus”)
Räknesättet heter addition. När vi räknar med addition adderar vi. Vi beräknar summan av de termer
vi adderar.
3+5=8
term
summa
Subtraktion (-, ”minus”)
Räknesättet heter subtraktion. När vi räknar med subtraktion subtraherar vi. Vi beräknar differensen
mellan termerna.
8–5=3
term
differens
Multiplikation ( eller , ”gånger”)
Räknesättet heter multiplikation. När vi räknar med multiplikation multiplicerar vi. Vi beräknar
produkten av faktorerna.
3 8 = 24
faktor
produkt
Division
(/ eller
, ”delat med”)
Räknesättet heter division. När vi räknar med division dividerar vi. Vi beräknar kvoten mellan täljaren
och nämnaren.
täljare
kvot
nämnare
Minnesregel: täljaren står på taket, nämnaren står där nere
59
Uppställning
addition utan övergång
Exempel: 243 + 532
1)
2)
+
2
4
3
5
3
2
2
4
3
5
3
2
7
7
5
1
1
5
6
7
+
7
8
5
1
3
5
2
+
addition med övergång
Exempel: 567 + 785
1)
2)
+
5
6
7
7
8
5
subtraktion utan övergång
Exempel: 543 - 231
1)
2)
-
5
4
3
2
3
1
5
4
3
2
3
1
3
1
2
10
10
5
2
3
3
4
7
1
7
6
-
subtraktion med övergång – ej växling över noll
Exempel: 523 - 347
1)
2)
-
5
2
3
3
4
7
-
subtraktion med övergång - växling över noll
Exempel: 1)
2)
10
5 0 3
503 – 347
-
3 4 7
-
10
5 0
3
3 4
7
1 5
6
60
Delbarhetsregler
Ett tal är delbart med
2
3
5
6
9
10
om
sista siffran är jämn
siffersumman är delbart med 3
sista är fem eller noll
sista siffran är jämn och siffersumman är delbar med 3
siffersumman är delbar med 9
sista siffran är noll.
Siffersumman är summan av alla siffror i talet. Exempel: 372 har siffersumman 3 + 7 + 2 = 12
Ett primtal är ett tal som bara går att dela med sig själv och ett.
61
