Vektorgeometri för gymnasister
Per-Anders Svensson
http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html
Fakulteten för teknik
Linnéuniversitetet
Linjära avbildningar II
Innehåll
Repetition: Linjära avbildningar
Matrisrepresentation av linjära avbildningar
Volymförändring vid linjära avbildningar
Sammansättning av linjära avbildningar
mars
2(32)
Repetition: Linjära avbildningar
En avbildning av rummets (planets) vektorer är en regel F som till
varje vektor x i rummet (planet) ordnar en entydigt bestämd
vektor F (x), kallad bilden av x genom F .
En avbildning av planets vektorer skulle kunna vara
• Projicera varje vektor ortogonalt på en given rät linje L genom
origo (avbildningen P i figuren nedan)
• Spegla varje vektor i en given rät linje L genom origo
(avbildningen S i figuren nedan)
• Rotera varje vektor ett halvt varv runt origo (avbildningen R
nedan).
S(x)
L
R(x)
180◦
P (x)
b
O
x
Projektionen, speglingen och rotationen ovan är alla exempel på
linjära avbildningar.
mars
3(32)
Definition (Linjär avbildning)
En avbildning F av rummets (planets) vektorer kallas linjär, om det
(i) för alla vektorer x1 och x2 i rummet (planet) gäller
F (x1 + x2 ) = F (x1 ) + F (x2 ),
(ii) för varje vektor x i rummet (planet) och varje reellt tal λ gäller
F (λx) = λF (x).
Vi kan ersätta villkoren (i) och (ii) i ovanstående definition, med ett
enda villkor:
För varje par av vektorer x1 och x2 och varje par av reella
tal λ1 och λ2 gäller att
F (λ1 x1 + λ2 x2 ) = λ1 F (x1 ) + λ2 F (x2 ).
Informellt: ”Linjärkombinationer avbildas på linjärkombinationer.”
mars
4(32)
Matrisrepresentation av linjära avbildningar
Under förra föreläsningen tittade vi på ett antal exempel på linjära
avbildningar. Vad de alla hade gemensamt var att de kunde
representeras med hjälp av matriser:
För en linjär avbildning F visade det sig att bilden y = F (x) av en
vektor x kan fås genom att beräkna en matrisprodukt Y = AX , där X
och Y är kolonnmatriser som svarar mot x respektive y, och där A är
en 2 × 2- eller en 3 × 3-matris, beroende på om F är en avbildning av
planets eller rummets vektorer.
Vi återanknyter till ett par av dessa exempel nedan.
mars
5(32)
Exempel (Spegling i en rät linje)
För den linjära avbildning S som speglar planets vektorer i linjen
L : 2x1 + 3x2 = 0, så fann vi att
S(x) = 2λv − x,
där v är en riktningsvektor för L och λ = (x · v)/|v|2 . Sambandet
mellan x = (x1 , x2 ) och S(x) = (y1 , y2 ) kan skrivas på matrisform:
1
y1
5 −12
x1
=
.
y2
x2
−12
−5
13
1
5 −12
.
Alltså kan S representeras av matrisen A =
−5
13 −12
S(x) = (y1 , y2 )
L
O
b
x = (x1 , x2 )
mars
6(32)
Exempel (Ortogonal projektion på ett plan)
För den linjära avbildning P som projicerar rummets vektorer
ortogonalt mot planet x1 + 3x2 − x3 = 0, så är
P (x) = x − λn,
där n är en normalvektor till planet och λ = (x · n)/|n|2 . På
matrisform:
10 −3
1
x1
y1
y2 = 1 −3
2
3 x2 ,
11
1
3 10
x3
y3
10 −3
1
1
−3
2
3 .
d.v.s. P representeras av A =
11
1
3 10
x = (x1 , x2 , x3 )
n
P (x) = (y1 , y2 , y3 )
mars
7(32)
Vi konstaterade förra gången att vi har att göra med en linjär
avbildning, så fort vi kan representera den med en matris, d.v.s.
OM en avbildning kan representeras av en matris,
SÅ är den linjär.
Det omvända förhållandet visar sig också gälla, d.v.s.
OM en avbildning är linjär,
SÅ kan den representeras av en matris.
Sats
För varje linjär avbildning F av rummets vektorer gäller att det i en
given bas finns en 3 × 3-matris A som representerar F , i det avseendet
att likheten y = F (x) på matrisform motsvaras av
Y = AX,
där Y och X är de kolonnmatriser som representerar vektorerna F (x)
respektive x.
I boken bevisas denna sats i det fall, då F är en avbildning av
rummets vektorer. Vi ska genomföra beviset i fallet då F är en
avbildning av planets vektorer. Matrisen A blir då istället av typ 2 × 2.
mars
8(32)
Bevis av satsen (för planets vektorer).
Låt (e1 , e2 ) vara en bas för planets vektorer. Säg att x = (x1 , x2 ) och
y = F (x) = (y1 , y2 ) i denna bas, vilket alltså betyder att
x = x1 e1 + x2 e2 och y = y1 e1 + y2 e2 .
Även F (e1 ) och F (e2 ) är vektorer i planet, så de har också varsin
uppsättning av koordinater i den givna basen, säg F (e1 ) = (a1 , a2 )
och F (e2 ) = (b1 , b2 ), vilket är samma sak som att
F (e1 ) = a1 e1 + a2 e2 och F (e2 ) = b1 e1 + b2 e2 . Nu blir
y = F (x) = F (x1 e1 + x2 e2 ) = x1 F (e1 ) + x2 F (e2 )
= x1 (a1 e1 + a2 e2 ) + x2 (b1 e1 + b2 e2 )
= (a1 x1 + b1 x2 )e1 + (a2 x1 + b2 x2 )e2 .
Men vi har ju också y = y1 e1 + y2 e2 , och eftersom koordinaterna för
en vektor är entydigt bestämda i en given bas, så måste
y1 = a1 x1 + b1 x2
x1
y1
a1 b1
.
=
⇐⇒
y2 = a2 x1 + b2 x2
x2
y2
a2 b2
a1
Därmed representeras F av A =
a2
mars
b1
, och satsen är bevisad.
b2
9(32)
Om vi studerar beviset mer ingående, ser vi att det ger oss en metod
att plocka fram matrisen till en linjär avbildning. Vi ser att vi fick
matrisen
a1 b1
A=
,
a2 b2
vars kolonner består precis av koordinaterna för F (e1 ) = (a1 , a2 ) och
F (e2 ) = (b1 , b2 ). Motsvarande gäller också för avbildningar av
rummets vektorer. Med andra ord:
Sats
Om den linjära avbildningen F av rummet representeras av
matrisen A i en given bas (e1 , e2 , e3 ), så utgörs A:s kolonner av
koordinaterna för F (e1 ), F (e2 ) och F (e3 ), d.v.s. bilderna av
basvektorerna genom F .
Exempel
Om en linjär avbildning
F avrummets vektorer representeras av
1 −6 −1
3
0 i någon bas (e1 , e2 , e3 ), så är
matrisen A = −3
0
8
1
F (e1 ) = (1, −3, 0), F (e2 ) = (−6, 3, 8) och F (e3 ) = (−1, 0, 1) i denna
bas.
mars
10(32)
Exempel (Spegling i en rät linje)
Vi ska använda föregående sats för att på nytt plocka fram den
matris A som representerar speglingen S av planets vektorer i linjen
L : 2x1 + 3x2 = 0. Vi behöver då veta koordinaterna för S(e1 ) och
S(e2 ), och tar till den formel som härleddes förra gången, d.v.s.
S(x) = 2λv − x,
där v är en riktningsvektor för L och λ = (x · v)/|v|2 .
Som riktningsvektor valde vi v = (−3, 2) (så därmed blir |v|2 = 13).
För e1 = (1, 0) får vi därmed
λ=
e1 · v
1 · (−3) + 0 · 2
3
=
=− ,
2
|v|
13
13
vilket ger
6
5
S(e1 ) = 2λv − e1 = (− 13
) · (−3, 2) − (1, 0) = ( 13
, − 12
13 ).
mars
11(32)
På samma sätt får vi för e2 = (0, 1) att
λ=
0 · (−3) + 1 · 2
2
e2 · v
=
=
,
2
|v|
13
13
och därmed
S(e2 ) = 2λv − e2 =
4
13 (−3, 2)
5
− (0, 1) = (− 12
13 , − 13 ).
12
5
5
, − 12
Sammanfattningsvis: S(e1 ) = ( 13
13 ) och S(e2 ) = (− 13 , − 13 ).
Enligt satsen ovan kan vi nu bilda matrisen A för S i den givna basen
(e1 , e2 ), genom att som kolonner i matrisen välja koordinaterna för
S(e1 ) och S(e2 ):
1
5 −12
5/13 −12/13
A=
.
=
−5
−12/13
−5/13
13 −12
Anmärkning
Observera att vi måste räkna ut ett nytt värde på λ när vi beräknar
S(e2 ); vi kan inte använda samma värde på λ som när vi beräknade
S(e1 ). Detta beror på att λ i den allmänna formeln S(x) = 2λv − x
beror av den vektor x som vi ”stoppar in” i S, i och med att
λ = (x · v)/|v|2 .
mars
12(32)
Exempel
Vi använder samma metod som i förra exemplet, för att än en gång
plocka fram matrisen för projektionen P av rummets vektorer på
planet x1 + 3x2 − x3 = 0. Den allmänna formeln är här
P (x) = x − λn,
där n är en normalvektor till planet och λ = (x · n)/|n|2 . Här har vi
n = (1, 3, −1) och därmed |n|2 = 11.
För e1 = (1, 0, 0) blir
λ=
1 · 1 + 0 · 3 + 0 · (−1)
1
e1 · n
=
=
,
|n|2
11
11
vilket ger
P (e1 ) = e1 − λn = (1, 0, 0) −
mars
1
11 (1, 3, −1)
10
3
1
= ( 11
, − 11
, 11
).
13(32)
För e2 = (0, 1, 0) blir
λ=
0 · 1 + 1 · 3 + 0 · (−1)
3
e2 · n
=
=
,
2
|n|
11
11
vilket ger
P (e2 ) = e2 − λn = (0, 1, 0) −
3
11 (1, 3, −1)
3
2
3
= (− 11
, 11
, 11
),
1
3 10
och med samma metod blir P (e3 ) = ( 11
, 11
, 11 ).
Matrisen för P i basen (e1 , e2 , e3 ) kommer att som sina kolonner ha
3
1
3
2
3
10
, − 11
, 11
), P (e2 ) = (− 11
, 11
, 11
) och
koordinaterna för P (e1 ) = ( 11
1
3 10
P (e3 ) = ( 11 , 11 , 11 ):
10/11 −3/11
1/11
10 −3
1
1
−3
2/11
3/11 =
2
3 .
A = −3/11
11
1/11
3/11 10/11
1
3 10
mars
14(32)
Exempel
e3
Låt (e1 , e2 , e3 ) vara en positivt orienterad
ON-bas för rummet. Låt R vara den avbildning, som roterar varje vektor i rummet 90◦
e2
moturs, sett från spetsen av e3 . Man kan visa
att R är linjär; vi söker dess matris.
e1
Vi behöver veta koordinaterna för R(e1 ), R(e2 ) och R(e3 ), eftersom
dessa kommer att utgöra matrisens kolonner. Med ledning av figuren
ovan ser vi att
• om e1 roteras 90◦ moturs (sett från spetsen av e3 ), så får vi e2
som resultat, d.v.s. R(e1 ) = e2 = (0, 1, 0).
• om vi roterar e2 på samma sätt får vi en vektor som pekar åt
rakt motsatt håll som e1 . Alltså är R(e2 ) = −e1 = (−1, 0, 0).
• eftersom e3 tjänstgör som rotationsaxel, så händer ingenting med
denna vektor när den roteras; R(e3 ) = e3 = (0, 0, 1).
Detta ger oss matrisen
mars
0
A = 1
0
−1 0
0 0 .
0 1
15(32)
Exempel
Låt I vara den avbildning av rummets vektorer som definieras av
I(x) = x
för varje vektor x, d.v.s. varje vektor avbildas på sig själv. Trots att
denna avbildning ”gör ingenting”, är den nog så viktig och har därför
fått ett eget namn: identitetsavbildningen.
Det är lätt att se att identitetsavbildningen är linjär. Alla vektorer
avbildas ju på sig själva, så därför är
I(λ1 x1 + λ2 x2 ) = λ1 x1 + λ2 x2 = λ1 I(x1 ) + λ2 I(x2 ).
Eftersom I är linjär, kan den representeras av en matris. Hur ser
denna ut?
mars
16(32)
Låt (e1 , e2 , e3 ) vara en bas för rummets vektorer. Nu avbildar ju I
alla vektorer på sig själva, så speciellt måste I(e1 ) = e1 = (1, 0, 0),
I(e2 ) = e2 = (0, 1, 0) och I(e3 ) = e3 = (0, 0, 1). Enligt det sätt på
vilken man plockar fram matrisen för en linjär avbildning, måste
därmed I representeras av enhetsmatrisen
1 0 0
E = 0 1 0 .
0 0 1
Lägg märke till att det inte spelar någon roll hur basen (e1 , e2 , e3 ) ser
ut; matrisen för I blir enhetsmatrisen i vilket fall som helst! (Senare
kommer vi att se att en matris för en linjär avbildning i regel ser
annorlunda ut, beroende på vilken bas man använder sig av. Men
detta gäller alltså inte för identitetsavbildningen.)
mars
17(32)
Volymförändring vid linjära avbildningar
v3
Låt v 1 , v 2 och v 3 vara tre vektorer i rummet. Då spänner dessa
upp en parallellepiped (vars volym är noll, om vektorerna råkar
vara linjärt beroende).
Om F är en linjär avbildning av rummet, så spänner även F (v 1 ), F (v 2 ) och
F (v 3 ) upp en parallellepiped i rummet
(vars volym blir noll, om dessa tre vektorer är linjärt beroende). Eventuellt
ändras även orienteringen; om systemet
(v 1 , v 2 , v 3 ) från början är positivt orienterat, kan (F (v 1 ), F (v 2 ), F (v 3 )) bli
negativt orienterat.
v2
v1
F (v 3 )
F (v 1 )
F (v 2 )
Kan något sägas om volymen av den parallellepiped som spänns upp
av v 1 , v 2 och v 3 , jämfört med den som spänns upp av deras
motsvarande bilder F (v 1 ), F (v 2 ) och F (v 3 )? Och finns ett sätt att
avgöra om orienteringen ändras (som den t.ex. gör i figurerna ovan)?
mars
18(32)
Vi påminner om att volymfunktionen V (u1 , u2 , u3 ) anger volymen
(sånär som på tecken) av den parallellepiped som spänns upp
av u1 , u2 , u3 (och att V (u1 , u2 , u3 ) bestäms genom att beräkna den
determinant, vars kolonner ges av koordinaterna för u1 , u2 och u3 ).
Man kan avgöra om systemet (u1 , u2 , u3 ) är positivt eller negativt
orienterat, genom att undersöka ifall V (u1 , u2 , u3 ) är större eller
mindre än 0. Om V (u1 , u2 , u3 ) = 0 så är u1 , u2 , u3 linjärt beroende.
Sats
Låt F vara en linjär avbildning av rummet, och antag att F i någon
bas representeras av matrisen A. Låt u1 , u2 , u3 vara tre vektorer i
rummet. Då gäller
V (F (u1 ), F (u2 ), F (u3 )) = det A · V (u1 , u2 , u3 ),
d.v.s. volymen av parallellepipeden ändras med en faktor som är lika
med determinanten av den matris som representerar F .
Anmärkning
Observera att om det A < 0, så kommer V (u1 , u2 , u3 ) och
V (F (u1 ), F (u2 ), F (u3 )) att ha olika tecken (såvida inte någon av dem
är noll). I så fall ändrar F på orienteringen.
mars
19(32)
Exempel
Vektorerna u = (1, 2, 1), v = (2, 0, 2) och w = (−1, 2, 1) spänner upp
en parallellepiped med volymen 8, ty med hjälp av Sarrus’ regel får vi
att
1 2 −1
2 = −8.
V (u, v, w) = 2 0
1 2
1
Antag att F är en linjär avbildning
matrisen
1
A = 1
0
av rummet som representeras av
0 3
2 1 .
1 2
Vilken volym har den parallellepiped som spänns upp av F (u), F (v)
och F (w)?
Lösning.
Eftersom det A = 6 så ger föregående sats direkt att
V (F (u), F (v), F (w)) = 6 · (−8) = −48, d.v.s. volymen är 48. Notera
att V (u, v, w) och V (F (u), F (v), F (w)) har samma tecken (båda är
negativa), så F ändrar inte på orienteringen.
mars
20(32)
Alternativ lösning.
En mer omständlig lösning är att först beräkna F (u), F (v) och F (w),
och därefter bestämma V (F (u), F (v), F (w)):
Om kolonnmatriserna X , Y och Z representerar vektorerna u, v
respektive w, så får vi koordinaterna för F (u), F (v) och F (w) genom
att beräkna matrisprodukerna AX , AY respektive AZ . Eftersom
1 0 3
1
4
AX = 1 2 1 2 = 6 ,
0 1 2
1
4
så är F (u) = (4, 6, 4). På samma sätt får
F (w) = (2, 4, 4). Detta ger att
4
V (F (u), F (v), F (w)) = 6
4
med hjälp av Sarrus’ regel.
mars
vi att F (v) = (8, 4, 4) och
8 2
4 4 = −48,
4 4
21(32)
Exempel
Antag att P är en projektion (ortogonal eller sned) av rummet på ett
givet plan. Låt u, v, w vara tre linjärt oberoende vektorer (d.v.s. de
spänner upp en parallellepiped med positiv volym). Vad kan sägas om
V (P (u), P (v), P (w)), d.v.s. vilken volym har den projicerade
parallellepipeden?
u
v
mars
w
22(32)
Eftersom P är en projektion på ett plan, så kommer P (u), P (v)
och P (w) alla ligga i detta plan. Dessa tre vektorer blir alltså linjärt
beroende, så V (P (u), P (v), P (w)) = 0.
P (u)
P (v)
P (w)
Men om P representeras av matrisen A, så vet vi från föregående sats
att
V (P (u), P (v), P (w)) = det A · V (u, v, w).
Här är V (u, v, w) 6= 0, ty u, v, w var ju linjärt oberoende. Men
vänsterledet är ju noll. Alltså måste det A = 0.
Slutsats: En projektion (ortogonal eller sned) av rummets vektorer på
ett plan, representeras alltid av en matris med determinanten 0.
mars
23(32)
Exempel
Vilket samband råder mellan V (u, v, w) och V (S(u), S(v), S(w)), om
S är en spegling av rummets vektorer i ett givet plan?
w
v
u
S(v)
S(u)
S(w)
mars
24(32)
Volymen av parallellepipeden ändras inte vid en spegling. Däremot
ändras orienteringen; om systemet (u, v, w) från början är positivt
orienterat, så kommer (S(u), S(v), S(w)) att bli negativt orienterat.
Alltså måste
V (S(u), S(v), S(w)) = −V (u, v, w).
Om matrisen A representerar S, så ger formeln
V (S(u), S(v), S(w)) = det A · V (u, v, w),
därmed att det A = −1.
Slutsats: En spegling av rummets vektorer i ett plan, representeras
alltid av en matris med determinanten −1.
Att fundera på: Vad kan sägas om det A, om A är matrisen för en
rotation?
mars
25(32)
Sammansättning av linjära avbildningar
I många situationer har man flera avbildningar som får operera på en
vektor i tur ordning: Om vi t.ex. har två avbildningar F och G, och
om x är en vektor i rummet, så kan vi först beräkna y = F (x), och
därefter z = G(y) = G(F (x)). Den avbildning som avbildar x på
G(F (x)) kallas för sammansättningen av F och G, och betecknas
G ◦ F (vilket uttalas ”G boll F ”). Alltså har vi definitionsmässigt att
G ◦ F (x) = G(F (x)).
Observera att notationen G ◦ F läses från höger till vänster, d.v.s
först appliceras F , därefter G (”F följt av G”). Ordningen är viktig; i
allmänhet är nämligen F ◦ G 6= G ◦ F .
Om både F och G är linjära, så visar sig G ◦ F också vara linjär.
Alltså kan G ◦ F representeras av en matris. Antag att matriserna
A, B och C representerar F , G respektive G ◦ F . Då motsvaras
y = F (x) och z = G(y) av matrisekvationerna Y = AX respektive
Z = BY , medan z = G(F (x)) = G ◦ F (x) motsvaras av Z = CX . Av
Z = BY = B(AX ) = (BA)X
följer att C = BA.
mars
26(32)
Vi har bevisat följande sats:
Sats
Låt F och G vara linjära avbildningar av rummet, och antag att de i
någon bas representeras av matriserna A respektive B. I samma bas
representeras då sammansättningen G ◦ F av matrisen BA.
Exempel
Låt S1 vara speglingen i planet Π1 : x1 + 2x2 + 3x3 = 0, medan S2 är
speglingen i planet Π2 : 3x1 + 2x2 + x3 = 0. Vi ska bestämma
matriserna för de sammansatta avbildningarna S1 ◦ S2 respektive
S2 ◦ S1 .
För en spegling i ett plan gäller att en vektor x avbildas på x − 2λn,
där n är en normalvektor till planet, och där λ = (x · n)/|n|2 (se
föregående föreläsning). Detta ger alltså
S1 (x) = x − 2λ1 n1
och S2 (x) = x − 2λ2 n2 ,
där n1 = (1, 2, 3) och n2 = (3, 2, 1) är normalvektorer till respektive
plan, och där λ1 = (x · n1 )/|n1 |2 och λ2 = (x · n2 )/|n2 |2 .
mars
27(32)
Det visar sig (övning!) att S1 och S2 representeras av
6 −2 −3
−2 −6
1
1
−2
3 −6 respektive A2 = −6
3
A1 =
7
7
−3 −6 −2
−3 −2
−3
−2 .
6
Detta ger att S1 ◦ S2 representeras av
9 −36 −32
1
4
33 −36 ,
A1 A2 =
49
48
4
9
medan S2 ◦ S1 representeras av
9
4 48
1
−36
33
4 .
A2 A1 =
49
−32 −36
9
Lägg märke till A1 A2 6= A2 A1 , så S1 ◦ S2 och S2 ◦ S1 är inte samma
avbildning.
(Man kan visa att S1 ◦ S2 och S2 ◦ S1 geometriskt kan tolkas som
rotationer runt den räta linjen (x, y, z) = (t, −2t, t) med samma vinkel
(cos−1 (1/49) ≈ 89◦ ), men åt olika håll (den ena medurs, den andra
moturs), sett från spetsen av linjens riktningsvektor (1, −2, 1).)
mars
28(32)
Exempel
Låt S och P vara en spegling respektive en ortogonal projektion i ett
och samma plan. Hur kan vi tolka de sammansatta avbildningarna
(a) P ◦ P (vi projicerar två gånger efter varandra)?
(b) S ◦ S (vi speglar två gånger efter varandra)?
(c) S ◦ P (först projicerar vi, sedan speglar vi)?
(d) P ◦ S (först speglar vi, sedan projicerar vi)?
Lösning
(a) Varje vektor som redan ligger i planet projiceras på sig själv.
Därför blir
P ◦ P (x) = P (P (x)) = P (x),
d.v.s. P ◦ P = P . Om matrisen A representerar P , så betyder
detta att A2 = A.
(b) När vi speglar två gånger efter varandra kommer en vektor x att
avbildas på ”spegelbilden av spegelbilden” av x, d.v.s. på sig själv:
S ◦ S(x) = x.
mars
Om B är matrisen för S, så blir därmed B 2 = E enhetsmatrisen.
29(32)
(c) Alla vektorer som ligger i planet är lika med sin egen spegelbild.
Detta ger att
S ◦ P (x) = S(P (x)) = P (x),
d.v.s. S ◦ P = P . För motsvarande matriser gäller därmed
BA = A.
(d) En vektor har samma projektion på planet, som dess spegelbild
har, se figuren.
x
P (S(x)) = P (x)
S(x)
Alltså är även P ◦ S = P , så för motsvarande matriser gäller
alltså AB = A.
Sammanfattningsvis: Om P är en ortogonal projektion på ett plan
och S en spegling i samma plan, så gäller
P ◦S =S◦P =P ◦P =P
och S ◦ S = I,
där I betecknar identitetsavbildningen, som ju är den avbildning som
avbildar varje vektor på sig själv; I(x) = x.
mars
30(32)
Exempel
I ett tidigare exempel från denna föreläsning konstaterade vi att
0 −1 0
0 0
A = 1
0
0 1
är matrisen (i den positivt orienterade ON-basen (e1 , e2 , e3 )) för den
linjära avbildning R som roterar varje vektor runt e3 med 90◦ moturs,
sett från spetsen av e3 .
Om vi multiplicerar A med sig själv, får
−1
0
A2 = 0 −1
0
0
vi matrisen
0
0 .
1
Detta är matrisen för R ◦ R; rotation ett halvt varv runt e3 .
mars
31(32)
Avbildningen R ◦ R ◦ R betyder tre på varandra följande rotationer
om 90◦ vardera, moturs runt e3 , d.v.s. sammanlagt en rotation 90◦
medurs, sett från spetsen av e3 . Dess matris är
0 1 0
A3 = −1 0 0 .
0 0 1
Avbildningen R ◦ R ◦ R ◦ R betyder rotation ett helt varv. Alltså är
R ◦ R ◦ R ◦ R = I identitetsavbildningen och följaktligen A4 = E
enhetsmatrisen.
mars
32(32)
