Klicka här för att ladda ner kapitel 1 ur Matte

advertisement
1
Tal
Kapitlet inleds med en historisk tillbakablick där eleverna får bekanta sig med det egyptiska och det romerska
talsystemet. Efter det kommer en genomgång av tiosystemet och de fyra räknesätten. Talområdet är här begränsat till de positiva heltalen. Särskild vikt läggs vid att
förklara innebörden av ett positionssystem, dvs. att en
siffras värde beror av vilken plats den har i talet. Det här
bör vara självklarheter för de allra flesta eleverna.
Därefter går vi igenom begreppen delbarhet, primtal
och sammansatta tal – begrepp som man däremot kan
förvänta sig vara nya för eleverna.
I avsnitten Tal i decimalform övergår vi sedan till att
arbeta med decimaltal, alltså tal med en eller flera decimaler. Avsnittet tar stöd av tallinjer. För många elever är
det ett stort steg att gå från att förstå heltalen till att förstå att det finns oändligt många tal mellan heltalen. Det
är viktigt att som lärare försäkra sig om att eleverna förstår detta. Det kommer annars bli svårt för dem att ta till
sig kommande avsnitt.
I avsnitten Multiplicera med 10, 100 och 1 000 samt
Dividera med 10, 100 och 1 000 återvänder vi till positionssystemet. Att kunna multiplicera och dividera med
10, 100 och 1 000 bygger ju på grundläggande förståelse
för vårt talsystem, och är nödvändigt att behärska för att
senare kunna räkna med t.ex. procent.
Kapitlet avslutas med avrundning och överslagsräkning. Framförallt överslagsräkning förutsätter en god
taluppfattning.
Blå kurs är parallell med grön kurs och alla moment
på grön kurs finns även på blå kurs utom det inledande
avsnittet om historiska talsystem.
I röd kurs kan eleven bekanta sig med det kinesiska
talsystemet och mayafolkets talsystem och även fördjupa
sina kunskaper om bland annat primtal, faktorisering
och överslagsräkning.
Centralt innehåll
I det här kapitlet behandlas det centrala innehållet:
Taluppfattning och tals användning
●● Reella tal och deras egenskaper samt deras användning i vardagliga och matematiska situationer.
●● Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella
tal. Metoder för beräkningar som använts i olika historiska och kulturella sammanhang.
●● Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och
decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning
samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digital teknik. Metodernas användning i olika situationer.
●● Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och beräkningar i vardagliga och matematiska situationer och
inom andra ämnesområden.
6
1
1
Talet 7 anses vara ett mystiskt tal och
dyker upp i många olika sammanhang:
●● de sju underverken
Tal
●● veckans sju dagar
År 2007 röstade 100 miljoner människor fram vilka som
är de sju underverk av de byggnader som finns kvar att
besöka och se i dag. Världens sju nya underverk blev
enligt omröstningen:
●● den sjuarmade ljusstaken
●● snövit och de sju dvärgarna
Känner du till fler sammanhang där
talet sju ingår?
●● Kinesiska muren
Mål
Innehåll
●● staden Petra i Jordanien
●● Kristusstatyn i Rio de Janeiro
När du arbetar med det här kapitlet
får du lära dig
●● staden Machu Picchu i Peru
●● om olika talsystem
●● hur vårt talsystem är uppbyggt
●● staden Chichén Itzá i Mexiko
●● om delbarhet och om att faktorisera tal
●● att använda och förstå de matematiska ord
som hör ihop med de fyra räknesätten
●● Colosseum i Rom
●● att räkna med de fyra räknesätten
●● om tal skrivna i decimalform
●● Taj Mahal i Indien
●● att multiplicera och dividera med
Begrepp
10, 100 och 1 000
Fotot på ingressuppslaget föreställer Taj Mahal.
●● att avrunda tal
●● att göra överslagsräkning
Begrepp
tal
produkt
faktorträd
siffra
division
kvot
tiosystemet
täljare
tallinje
platsvärde
nämnare
decimalform
addition
delbarhet
bråkform
term
siffersumma
avrundning
summa
primtal
subtraktion
sammansatta
tal
avrundningssiffra
differens
multiplikation
faktor
multipel
primtalsfaktor
●● Skriv talet sju miljoner sjuhundrasjutusen
sjuttiosju.
●● Räkna ut sjuttio minus sju komma sju.
●● Använd sju sjuor och olika räknesätt för att
uttrycka talet 77.
As I was going to St Ives, I met a man with
seven wifes. Every wife had seven sacks.
And every sack had seven cats. Every cat
had seven kittens. Kittens, cats, sacks and
wifes, how many were going to St Ives?
överslagsräkning
Ja, hur många var på väg till St Ives?
6
7
Motsvarande centrala innehåll från årskurs 4–6 är:
Kommentarer och svar
Taluppfattning och tals användning
Fler exempel på sammanhang där talet sju ingår:
●● Rationella tal och deras egenskaper.
●● jag är i sjunde himlen (kan man vara när man är kär)
●● Positionssystemet för tal i decimalform. Det binära
talsystemet och talsystem som använts i några
kulturer genom historien, till exempel den
babyloniska.
●● Sjustjärnorna (ett annat namn på den öppna stjärnhopen Plejaderna)
●● Tal i bråk- och decimalform och deras användning i
vardagliga situationer.
●● Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal
och enkla tal i decimalform vid överslagsräkning,
huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga
metoder och miniräknare. Metodernas användning i
olika situationer.
●● Rimlighetsbedömning vid uppskattningar och
beräkningar i vardagliga situationer.
●● 7 707 077
●● 70 – 7,7 = 62,3
●● The problem of St Ives:
närmevärde
Svar till frågorna
●● Exempelvis 7 ∙ 7 + 7 ∙ 7 – 7 – 7 – 7
●● Han mötte en man med sju fruar, som i sin tur hade
sju säckar, som innehöll sju katter, som hade sju
kattungar vardera; alltså
1 + 7 + 7 · 7 · 7 + 7 · 7 · 7 · 7 = 2 752 män, fruar kattor och
kattungar. Men de var ju inte på väg till St Ives.
Svar: Tydligen var endast en person var på väg till St
Ives.
●● sju sorters kakor
Diskutera gärna med eleverna om de har egna associationer till talet 7.
Världens sju underverk har länge ansetts vara:
●● fyrtornet på ön Faros
●● Zeusstatyn i templet i Olympia
●● kolossen på Rhodos
●● de hängande trädgårdarna i Babylon
●● pyramiderna vid Giza
●● mausoleet i Halikarnassos
●● artemistemplet i Efesos
Av dessa finns endast pyramiderna vid Giza kvar, de övriga är sedan lång tid borta.
7
G
Olika sätt att skriva tal
Avsnittet behandlar några olika sätt som man under
äldre tider har skrivit tal. Vi börjar med det enklaste, att
rista skåror i ett ben, och tar sedan upp det egyptiska och
det romerska talsystemet. Exemplet med vargbenet visar
ett sätt att beskriva antal som används än i dag, dvs. att
enbart använda streck och att eventuellt gruppera strecken för att lättare kunna ordna dem. Egyptiernas symboler byggde på bilder och var inte ett positionssystem,
medan romarnas skrivsätt delvis var beroende av symbolens position i talet. Skillnaderna i utseende mellan de
två talsystemen kan delvis beskrivas utifrån den tidens
teknologier: de runda formerna i egypternas talsymboler
var möjliga att skapa med skrivarens pensel, medan de
raka linjerna i romarnas symboler lämpade sig väl för att
hugga i sten med mejsel och hammare. Att addera eller
subtrahera två tal skrivna i det egyptiska eller i det
romerska talsystemen är inte så svårt, men att utför multiplikationer och divisioner är däremot näst intill ogörligt.
Syftet med avsnittet är dels att eleverna ska förstå att
det finns flera sätt att skriva tal, dels att de ska förstå tiosystemet bättre genom att sätta sig in i andra talsystem
och se likheter och skillnader mellan dem.
G
De sätt vi skriver tal har utvecklats på olika
sätt i olika delar av världen.
1
b) 10
c) 23
Skårorna var indelade i grupper med fem streck i varje grupp.
Ge ett förslag till varför pojken gjorde så.
6
●● Uppmärksamma gärna eleverna på skillnader och likheter mellan talsystemen, t.ex. om det har betydelse i
6
1 235
eller
21
24 000
eller
13
412 000
3
I det egyptiska talsystemet är symbolen för ett tusental
en lotusblomma. Vilket tal motsvarar symbolen
a)
b)
b)
c)
b) 253
c) 2 084
d) 12 309
4, 5
Ställ frågan till eleverna om man kan skriva talen i
uppgift 4 och 5 på fler än ett sätt. Ta det som utgångspunkt för att diskutera vad det innebär att ett talsystem inte är ett positionssystem. Diskutera t.ex. hur
lätt är det att utföra beräkningar med talsystemet.
9
Uppgiften kan användas som utgångspunkt för diskussioner om hur vårt positionssystem är uppbyggt,
som vi beskriver på nästa uppslag i läroboken.
2 a) Om VIII = 8 och XI = 11, vad betyder då
XXVI?
b) Om VI = 6 och IX = 9, vad betyder då XIV?
4
5
6
L
C
D
M
50
100
500
1 000
7
8
9
X
XI
10
11
IV betyder 5 – 1
VI betyder 5 + 1
IX betyder 10 – 1
XI betyder 10 + 1
b) 29
7
8
9
symbolerna i det egyptiska talsystemet.
Bokstäverna betyder 5 + 1 + 1
b) XXIX
Bokstäverna betyder 10 + 10 + 10 – 1
c) CLIV
Bokstäverna betyder 100 + 50 + 5 – 1
Romerska
siffror används
ibland fortfarande.
Till exempel i namnet
på Sveriges kung,
Carl XVI Gustaf.
Vilket av talen i rutan betyder
XII
VII
XXI
XVI
XIX
CII
LII
VII
AJa
BNej
CIbland
D Vet ej
symbolerna i det romerska talsystemet.
c) 154
Svar:
a) VII
XXI
1 Det har betydelse i vilken ordning man skriver
2 Det har betydelse i vilken ordning man skriver
AJa
BNej
CIbland
D Vet ej
3 Vilket av alternativen betyder 14 i vårt sätt att
skriva tal?
A
B
C
D Vet ej
4 Vilket av alternativen betyder 495 i vårt sätt att
Skriv med vanliga siffror.
b) XIV
c) CLI
skriva tal?
d) CLXVI
I rutan till höger finns några tal skrivna i
det egyptiska och i det romerska talsystemet.
Vilka visar talet 124?
CXXIV
CXXVI
ACCCCVIIIIV
BCDXCV
CCDLXXXXV
D Vet ej
Kan du skriva talet 236 på mer än ett sätt i
a) det egyptiska talsystemet
c) Förklara dina svar.
Gå vidare
ArbetsblAd
1:1
1 tal
Låt eleverna själva lista ut hur egyptiernas och romarnas
talsystem var konstruerat.
= 134,
3
VII VIII IX
b) det romerska talsystemet
Skriv med egyptiska talsymboler.
7
?
2
c) 52
d)
Vad betyder
a) 14
8
c)
Start
= 212 och
1
b) 19
Låt gärna eleverna skriva egna tal med romerska symboler och låt dem sedan byta tal med varandra.
vad betyder då
VI
a) LX
vilken ordning man skriver symbolerna.
1 Om
V
a) 12
I det gamla Egypten använde man för 5 000 år sedan
bilder för att skriva tal. Så här skrev de tal:
Kommentarer till uppgifter
Tänk på
IV
a) 7
Egyptiska talsystemet
5
●● att beskriva och använda några olika historiska talsystem och jämföra dem med tiosystemet, det talsystem
som vi använder i dag
III
Exempel
Rita hur pojken kunde ha ristat in i vargbenet om
antalet lamm hade varit
a)
Här ska eleverna lära sig:
II
Skriv följande tal med romerska siffror
a) 4
2
G
Det romerska talsystemet började användas för mer än 2 000 år sedan.
Romarna använde bokstäver som tecken för tal.
I
G
Snabbquiz
Romerska talsystemet
Det finns gamla fynd som visar att
människor redan för tiotusentals år sedan
använde symboler för att kunna ange antal.
Kanske behövde man beskriva antal och
storlek på sin djurflock. Man har hittat ett
30 000 år gammalt vargben med inristade
skåror som man tror visar antal.
4
Lärandemål
Slut
Grundkurs
Olika sätt att skriva tal
1 tal
9
Facit
6 a)XII
c)151
c)
2
Ett par förslag på varför
skårorna var grupperade
i fem kan vara att det blir
lättare att snabbt avläsa
antalet och att det var
fem kan bero på att vi
har fem fingrar på en
hand.
4 a)123
c)211 200
5 a)
b)
c)
b)XIX c)LII
7 a)60
b)
c)10
Det kinesiska talsystemet och Mayafolkets talsystem
behandlas på sidorna 42–43.
Extramaterial
1 a)
3 a)100
Röd kurs
b)10 000
d)100 000
b)1 203
b)14
d)166
8
CXXIV och
9 a)T.ex.
och
b)CCXXXVI
Arbetsblad
1:1
Mer om egyptiska och romerska talsystem
●●
Läs mer
●● Larsson, Kerstin och Larson, Niclas (2011): Räkning en
kul historia. Nämnaren 2, 2011.
c) I det romerska talsystemet måste man skriva symbolerna i rätt
ordning, det behöver
man inte i det egyptiska talsystemet. Så
med romerska symboler så kan man skriva
talet endast på ett sätt,
men med egyptiska
symboler kan man
skriva talet på flera
olika sätt.
d)
8
1 tal
1 tal
9
På sidan 10 betonas begreppen siffra, tal och platsvärde.
Sidan 11 repeterar förståelsen för de fyra räknesätten liksom de begrepp som hör ihop med dessa. Där finns även
uppgifter som lyfter fram varför kommutativa lagen gäller
för addition och multiplikation men inte för subtraktion.
Slut
Tiosystemet
Platsvärde
tio
tu
s
tu ent
al
se
n
hu tal
nd
r
tio ata
ta l
l
en
ta
l
G
Tiosystemet och
De fyra räknesätten
De fyra räknesätten
7
G
7
0
Addition
Subtraktion
7
0
2
2+4=6
6–4=2
7
0
2
6
0
2
6
8
I tiosystemet använder vi tio siffror:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9.
Med dessa siffror skriver vi tal. Tiosystemet är ett
positionssystem. Det betyder att en siffras platsvärde beror
på vilken plats den har i talet.
7
term
I talet 70 har siffran 7 platsvärdet tiotal. Siffran 7 är värd 7 tiotal.
Här ska eleverna lära sig:
●● att beskriva vårt talsystem och redogöra för betydelsen av en siffras platsvärde
Nollan markerar en tom tiotalsplats. Siffran 2 är värd 2 ental.
11
12
13
14
●● Det kan vara värt att poängtera att i vårt talsystem
finns 10 siffror och att vi med dessa siffror kan skriva
oändligt många tal. Symbolen 7 kan m.a.o. stå för både
en siffra och ett tal, medan 77 är enbart ett tal som
består av två siffror.
●● Det råder ibland förvirring kring begreppen siffra och
tal. På nyheterna kan man höra att dödssiffran för
jordbävningen fortsätter att öka eller att arbetslöshetssiffran minskar. Be eleverna att t.ex. fundera på skillnaden mellan arbetslöshetssiffran ökar och arbetslöshetstalet ökar.
●● Jämför gärna tiosystemet med de äldre talsystemen.
Finns det någon symbol för ”ingenting”, dvs. nollan, i
det egyptiska eller det romerska systemen?
●● Det är vanligt att eleverna säger att de ska räkna tal
när de menar att de ska göra uppgifter. Det är viktigt
att läraren använder rätt terminologi och skiljer på när
orden tal och uppgift används.
Använd alla fyra siffrorna 4, 5, 6 och 8 och skriv
Udda tal slutar på
1, 3, 5, 7 eller 9.
a) det största tal du kan
b) det minsta tal du kan
c) det tal som ligger närmast 5 000
d) det största udda tal du kan
a) så stort som möjligt
b) så litet som möjligt
c) det minsta möjliga udda talet
d) det största möjliga jämna talet
e) så nära 5 000 som möjligt
10
1 tal
3
5
6
7
b) 1 846 –
= 802
c) 5 643 –
1
2
nämnare
3
3
4
A3 427
5
6
16
4
5
6
a) 4 tiotal större än 3 080
b) 5 tiotal mindre än 3 249
c) 7 hundratal mindre än 4 576
d) 4 hundratal större än 5 875
19
7
4
Istanbul
Indien
Det talsystem som vi använder kallas tiosystemet
och började användas i Europa för cirka 800 år
sedan. Det har sitt ursprung i Indien och kom till
Europa med arabiska handelsresande. Därför kallas
våra siffror för arabiska siffror. Indierna var de
första som hade ett tecken för ingenting. Man kan
säga att de uppfann nollan.
C3 742
med för att få talet 201?
A52
B502
C542
3 Hur mycket ökar talet 359 om du byter plats på
hundratalssiffran och entalssiffran?
0
2
4
A36
6
B 180
C594
Beräkna
a) summan av 20 och 5
b) differensen av 20 och 5
c) produkten av 20 och 5
d) kvoten av 20 och 5
Snabbquiz 2
1 I uttrycket 5 ∙ 13 kallas talen 5 och 13 för
Dela upp 18 i
b) tre termer
c) två faktorer
d) tre faktorer
Atermer
Ge förslag på täljare och nämnare som ger kvoten
b) 3
c) 5
12
___
4
B
4
___
Cprodukter
2 I uttrycket ___
​   ​ = 4 kallas talet 3 för
a) Vilka av uttrycken i rutan har samma värde?
4·3
Bfaktorer
12
3
d) 8
4–7
7–4
3+8
Atäljare
8+3
12
Bkvot
Cnämnare
3 Ett annat ord för differens är
b) I vilka räknesätt spelar ordningen på talen ingen roll?
20
B3 724
2 Du har talet 743. Vilket tal ska du subtrahera
eller 4 kulor kan tas 2
gånger från 8 kulor
8
15
3·4
Historik
9
b)
a) 2
ArbetsblAd
1:2–1:3
8
Vilka beräkningar visar pilarna?
a) två termer
18
7
Så
här kan man
tänka: 8 kulor har
delats i 4 högar
8
__
=2
kvot
A
10
0
9
täljare
2
plats på hundratalssiffran och entalssiffran?
differens
Division
9
= 2 403
Vilket tal är
Mekka
8
produkt
1
1 Du har talet 3 247. Vilket tal får du om du byter
–4
4
a)
17
Vilka tal ska stå i rutorna?
Akvot
Fia har ett 70 meter långt rep.
Bsubtraktion Cskillnad
a) Hur många rep som är 5 meter kan hon göra av repet?
ArbetsblAd
1:4–1:9
b) Hur långt blir varje rep om hon gör 5 stycken lika långa rep av repet?
1 tal
1 tal
11
Gå vidare
Blå kurs
Kommentarer till uppgifter
12
Är en variant av startuppgiften.
15
Låt gärna eleverna visa egna beräkningar med hjälp
av pilar och be dem byta med varandra.
17
Man kan dela upp 18 i två respektive tre termer på ett
antal olika sätt (i två termer på 9 olika sätt, i tre termer på 27 olika sätt). Låt gärna eleverna undersöka
vilka varianter som finns. När det gäller att dela upp
talet i faktorer finns det inte lika många varianter. Låt
eleverna undersöka vilka. Även talet 1 räknas som en
faktor.
19
20
Använd alla fyra siffrorna 4, 5, 3 och 8 och bilda ett
tal som är
15
Jämna tal slutar
på 0, 2, 4, 6 eller 8.
= 2 089
2
G
d) 24 360
b) tre tiotusental, åtta hundratal och sex ental
Start
Låt eleverna bilda tal utifrån givna siffror och givna förutsättningar. Till exempel:
c) 1 423
Skriv talet som består av
a) 3 789 –
Tänk på
b) 154
0
a) tre hundratal, sju tiotal och ett ental
●● innebörden av de olika räknesätten
●● begreppen tiosystemet, tal, siffra, platsvärde, addition,
term, summa, subtraktion, differens, multiplikation,
faktor, produkt, division, täljare, nämnare och kvot
faktor
Vilket platsvärde har siffran 4 i talet
a) 43
1
2·4=8
I talet 702 har siffran 7 platsvärdet hundratal. Siffran 7 är värd 7 hundratal.
10
term
Multiplikation
Nollan markerar en tom entalsplats.
Lärandemål
summa
+4
0
G
Snabbquiz 1
Mer grundläggande uppgifter och genomgångar finns på
sidan 30 och på sidan 31.
Facit
17 a) T.ex. 10 + 8
10 a)tiotal
b)ental
b)T.ex. 10 + 3 + 5
c)hundratal
c) T.ex. 2 ∙ 9
d)tusental
d)T.ex. 2 ∙ 3 ∙ 3
11 a)371
b)30 806
12 a)8 654
b)4 568
c)4 865
d)8 645
13 a)1 700
b)1 044
18 a) T.ex. 16 och 8
Repetition
Repetition 1 finns på sidan 274.
Extramaterial
b)T.ex. 12 och 4
Arbetsblad
c) T.ex. 15 och 3
1:2
Hela tal på tallinjen
●●
1:3
Positionssystemet
●●
1:4
Addition med heltal
●●
1:5
Subtraktion med heltal
●●
1:6
Multiplikation av heltal 1
●●
1:7
Multiplikation av heltal 2
●●
1:8
Division av heltal, kort division
●●
Läs mer
1:8b
Division av heltal, liggande stol
●●
●● Kerstin Larsson (2011): Subtraktion. Nämnaren 4, 2011.
●● Kerstin Larsson (2012): Subtraktionsberäkningar.
Nämnaren 1, 2012.
●● Tímea Dami (2007): Varför räknar du just så? Nämnaren 1, 2007.
1:9
De fyra räknesätten med heltal, blandat
●●
c)3 240
Uttrycken i rutorna kan med hjälp av talpilar illustreras på samma sätt som uttrycken i genomgångsrutan.
14 a)3 120
b)3 199
c)3 876
d)6 275
Uppgiften vilar på begreppen innehållsdivision och
delningsdivision. Begreppet innehållsdivision är viktigt för att eleverna ska förstå division med decimaltal och division med tal mindre än 1 och för att kunna
beräkna kvoten av två bråk. Hur man beräknar kvoten av två bråk tas upp i Matte Direkt 8.
15 a) 15 – 6 = 9b)3 ∙ 2 = 6
16 a)25
b)15
c)100
d)T.ex. 16 och 2
19 a) A: 3 ∙ 4 och 4 ∙ 3
B: 3 + 8 och 8 + 3
b)Man kan byta plats på
talen i addition och
multiplikation.
20 a) 14 st
b)14 m
Aktiviteter
1:1
Göra tal av siffror
●●
1:2
Upp till 9 och andra räknespel
●●
1 tal
11
G
Delbarhet
Kunskaper om delbarhet ger en bra känsla för tal och är
användbart när man till exempel ska förkorta bråk eller
hitta minsta gemensamma nämnare till olika bråk.
Begreppet delbarhet används enbart för hela tal. Här
arbetar vi dessutom endast med de naturliga talen, dvs.
de positiva heltalen inklusive talet noll.
Slut
Delbarhet
G
Siffersumman är summan
av siffrorna i talet. Siffersumman för
talet 402 är 4 + 0 + 2 = 6
Är 48 är delbart med
Hur många kan dela lika på 6 kolor?
a) 2
b) 3
c) 5
Svar:
a) 48 är ett jämnt tal. Alltså är 48 delbart med 2.
2 personer kan få 3 kolor var.
2∙3=6
En person kan få 6 kolor.
1∙6=6
Tal delbara med
 2 är alla jämna tal
12 är delbart med 3.
Alltså är 48 delbart med 3.
Lärandemål
 3 är tal vars siffersumma
är delbar med 3
Här ska eleverna lära sig:
●● att använda delbarhetsreglerna för talen 2, 3, 5 och 10
●● att använda delbarhet vid problemlösning
●● begreppen delbarhet, delbarhetsregler och siffersumma
Det betyder att 6 är delbart med 1, 2, 3 och 6.
21
22
23
Tänk på
27
b) 8 kolor
c) 9 kolor
d) 10 kolor
e) 12 kolor
28
●● Om man knyter an begreppet delbarhet till multiplikationstabellen kan det vara lättare för eleverna att förstå att det handlar om hela tal. Vi har inte multiplikationstabeller för decimaltal. Kommentera gärna att
alla tal är delbara med 1 och sig självt. De delarna brukar i vissa kontexter utelämnas.
Start
Inled gärna avsnittet om delbarhet med en aktivitet. Dela
ut markörer, papperslappar, centikuber eller liknande
och be eleverna lägga alla tal mellan 1 och 16 som rektanglar.
24
a) 7 delbart med
b) 8 delbart med
d) 10 delbart med
e) 12 delbart med
c) 9 delbart med
29
a) Agnes leder en barngrupp. Det är 28 barn i gruppen.
Hon vill dela dem i grupper med lika många barn
i varje grupp. Hur många barn kan det vara i varje grupp?
Skriv alla möjligheter.
30
25
26
a) 3 spelare
●● På vilka sätt kan talen 1 till och med 16 skrivas
som en produkt av två faktorer?
Primtalen tar vi upp på sidan 14. De tal som kan läggas
som en kvadrat kallas för kvadrattal. Till dem återkommer vi i senare årskurser av Matte Direkt.
Vilka av talen är delbara med
a) 2
b) 5
c) 3
d) 10
32
b) 2, 4 och 5 personer
c) 2, 5 och 7 personer
b) 5 spelare
c) 6 spelare
33
b) 3
c) 5
12
23
Svar: Minst 24 barn som kan delas in i grupper om 24,
12, 8, 6, 4 3, 2 eller 1 barn.
25
30–32
Lyft gärna upp och diskutera elevernas resonemang.
Uppgiften leder över till avsnittet Primtal och sammansatta tal på nästa uppslag.
Uppgifterna innehåller begreppen siffra, tal, tvåsiffrigt, tresiffrigt, femsiffrigt, ental, tiotal, delbart. Man
kan behöva belysa begreppen i helklass. Följ gärna
upp uppgifterna i helklass och låt eleverna berätta
hur de kom fram till sina lösningar. På så sätt får eleverna ta del av olika strategier för att lösa problem och
får dessutom träna på att föra resonemang.
2 Udda tal är delbara med 3.
AJa
BNej
CVissa
D Vet ej
A 2 och 5
B Endast 2 och 0
C T.ex. 2 och 0
D Vet ej
4
Det femsiffriga talet 1 2
är delbart med både 2 och 3.
Hundratalet och entalet är samma siffra. Vilken siffra är det?
Låt eleverna formulera en delbarhetsregel för tal
delbara med 6 genom att svara på frågorna:
Det finns fler än 100 karameller i burken. Vilket är det lägsta
antalet karameller i burken om karamellerna kan delas lika
a) Vilka av talen i rutan är delbara med 2, 3 och 6
b) Vilka av talen i rutan är delbara med 3 men inte
med 6?
c) mellan 2 personer, mellan 3 personer och
1 tal
c) Skriv en regel för delbarhet med 6.
b)1, 2, 4, 7, 14 och 28
21 a)
b)
24 a) 1, 3, 5 och 15 personer
b)1, 2, 3, 6, 9 och 18 personer
c) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 och
40 personer
c)
25 a) T.ex. 12 karameller
b)T.ex. 20 karameller
d)
c) T.ex. 70 karameller
e)
12 15 21 36 63
162 282 304 516
13
Facit
Ett sätt att formulera en regel för delbarhet med talet 6 är
t.ex: Tal delbara med 6 är alla tal som är delbara med
både 2 och 3.
Gå vidare
Blå kurs
Mer grundläggande träning på delbarhet finns på
sidan 32.
26 a)1
b)2
Röd kurs
c)4
d)0
Mer om delbarhet och faktorisering finns på sidan 45.
27 a) 12, 18, 788 och 480
b)25 och 480
c)480
22 a) 1 och 7
b)1, 2, 4 och 8
d)1, 2, 5 och 10
e) 1, 2, 3, 4, 6 och 12
23 a) 1, 2, 4, 7, 14 eller 28
barn
1 tal
D Vet ej
Alternativt slut
1 om talet är delbart
1 tal
Här kan du utmana eleverna genom att vända på frågeställningen: Måns jobbar med en annan barngrupp.
Han säger att hans grupp går att dela in på 8 olika sätt
med lika många barn i varje grupp. Vilket är det minsta antalet barn i Måns grupp?
CVissa
d) 10
Vilka siffror kan vara tiotal i det tresiffriga talet 6
med 3.
c) 1, 3 och 9
12
om talet är delbart
b) mellan 3 personer och mellan 5 personer
Kommentarer till uppgifter
BNej
4 ___ 6 ____
a) mellan 5 personer och mellan 6 personer
d) 13 spelare
AJa
talet är delbart med 2, 3 och 5?
3 840 25 4 521 524 45
Vilka siffror kan vara ental i det tvåsiffriga talet 4
med
1 Jämna tal är delbara med 2.
3 Vilka siffror kan stå på de tomma platserna om
21 32 93 46 15 81 102
mellan 5 personer
●● Vilka tal kan läggas som rektanglar på fler än ett
sätt?
●● Vilka tal kan läggas som en kvadrat?
31
c) 40 äpplen
I en kortlek finns det 52 kort.
Hur många kort blir över om korten delas lika mellan
Talet 6 kan läggas som en rektangel på två sätt
eller
b) 18 äpplen
En påse med karameller ska delas lika mellan några
personer. Ge exempel på hur många karameller det kan
vara i påsen om karamellerna kan delas lika mellan
a) 3 och 4 personer
c) 10
a) Beräkna siffersumman för varje tal.
a) 2
Hur många personer kan dela lika på
a) 15 äpplen
b) 5
12 18 25 111 788 480
b) Vilka av talen är delbara med 3?
Vilka tal är
b) Vilka tal är 28 delbart med?
●● Eleverna har ibland svårt att ta till sig att delbarhet
endast handlar om hela tal och anser att det går att
dela alla tal eftersom det går att skriva kvoten som ett
tal i decimalform.
10 är tal som slutar med 0
Använd delbarhetsreglerna och ta reda
på vilka av talen i rutan som är delbara med
a) 2
Kolorna ska delas lika. Rita på vilka sätt de kan delas om det är
a) 7 kolor
 5 är tal som slutar med 0 eller 5
48 delbart med 5.
6 personer kan få 1 kola var.
6∙1=6
G
Delbarhetsregler
b) 48 har siffersumman 4 + 8 = 12.
c) Eftersom 48 inte slutar på 0 eller 5, så är inte
3 personer kan få 2 kolor var.
3∙2=6
G
Snabbquiz
Exempel
28 a) 21: 2 + 1 = 3
32: 3 + 2 = 5
93: 9 + 3 = 12
46: 4 + 6 = 10
15: 1 + 5 = 6
81: 8 + 1 = 9
102: 1 + 0 + 2 = 3
b)21, 93, 15, 81 och 102
29 a) 3 840 och 524
b)3 840, 25 och 45
c) 3 840, 4 521 och 45
d)3 840
30 a) 0, 2, 4, 6 eller 8
b)2,5 eller 8
31
2,5 och 8
32
4
33 a) 120 karameller
b)105 karameller
c) 120 karameller
c) 0 eller 5
d)0
1 tal
13
G
Primtal och sammansatta tal
Avsnittet utvecklar elevernas kunskaper om delbarhet,
faktorisering och primtal. Genom att använda sig av faktorträd får eleverna en metod att hitta ett tals delare och
primtalsfaktorer. Primtal är ett begrepp som vi tycker de
allra flesta elever bör lära sig. Vi inför även begreppet
multipel, vilket förmodligen är ett nytt begrepp för de
flesta eleverna. Avsnittet avslutas med en uppgift på aritmetikens huvudsats.
Lärandemål
Här ska eleverna lära sig:
Slut
Primtal och sammansatta tal
G
Om man ska dela på 2, 3 eller 5 kolor, så kan man göra det på
endast två sätt. En person får alla kolor eller varje person får
en kola var.
Talen 2, 3 och 5 är exempel på primtal. Ett primtal är ett
heltal som är större än 1 och endast är delbart med 1 och
sig självt. Man kan också säga att ett primtal endast kan
delas upp i faktorerna 1 och talet självt.
2=1∙2
34
36
Undersök vad eleverna minns om delbarhet.
1 Vem har rätt? Vilka tal är 110 delbart med?
Anna
a) 20
110 är delbart med 5 och 10
12
b) 27
13
17
14
18
15
19
c) 65
d) 134
39
16
110 är delbart med 2, 5 och 10
Finns det ytterligare tal som 110 är delbart med?
2 Vilket tal passar inte ihop med de övriga?
Förklara.
9
21
18
31
Både Anna, Benjamin och Clara har rätt, men talet 110 är
förutom att det är delbart med 2, 5 och 10 även delbart
med 1, 11, 55 och 110.
·
a)
2
2
·
15
3
·
b) 30 och 40
b) 3
12
15
40
a)
·
20
Benjamin
Vem eller vilka har rätt? Förklara ditt svar.
·
·
b) 24
·
d)
60
6
6
·
·
c) 40
26
45
60
b)
100
10
·
·
b) 20
c) 45
Inled med aktiviteten Erathostenes såll. En instruktion finns i uppgift 12 på sidan 44 i röd kurs. Låt
gärna eleverna arbeta i par eller i grupp.
Mer grundläggande uppgifter och genomgångar på primtal och faktorträd finns på sidan 33.
Kommentarer till uppgifter
37, 38
Multipel är förmodligen ett nytt begrepp för eleverna.
Ett bra sätt att introducera begreppet på är att knyta
begreppet till multiplikationstabellen. Talet 18 är t.ex.
en multipel av talen 2, 3, 6 och 9 eftersom 18 finns i
både 2:ans, 3:ans, 6:ans och 9:ans tabell.
Alla heltal större
än noll kan skrivas
som en produkt av
primtal på endast
ett sätt.
1 tal
Mer om primtal, sammansatta tal, delbarhet och faktorisering finns på sidorna 44–45.
Repetition
15
Repetition 2 finns på sidan 275.
Facit
b)13, 17 och 19
35 a) 20 är ett jämnt tal och
är delbart med 2. Talet
är också delbart med 5
och 10 eftersom det
slutar med 0.
b)27 har siffersumman 9
och är delbart med 3.
c) 65 slutar på 5 och är
delbart med 5.
Extramaterial
eftersom 24 = 3 ∙ 8, 24 =
= 4 ∙ 6 och 24 = 6 ∙ 4
3
36 a) 23 och 29
b)31 och 37
b)6, 12 och 15
c) 15 och 20
38
Alla har rätt, 24 är en
multipel av 3, 4 och 6
·
2
35
b)
5
5
12
c)
·
6
2
·
1:10
Delbarhet och faktorträd
●●
1:11
Faktorträd
●●
7
Aktiviteter
·
Arbetsblad
3
1:3
Erathostenes såll
●
1:4
Tal som hör ihop på olika sätt
●●
28
d)
2
d)134 är ett jämnt tal
och är delbart med 2.
e) 327 har siffersumman
12 och är delbart med
3.
15
39 a)
·
14
2
·
Läs mer
7
42
40 a)
2
●● Lene Christensen (2011). Talmönster från början.
Nämnaren 2, 2011.
·
21
3
·
7
3
2
·
6
2
·
3
60
c)
6
2
·
·
3
2
42 a) 26 = 2 ∙ 13
84
d)
18
b)
37 a) 6, 12 och 20
1 tal
Röd kurs
huvudsats
e) 120
c) 41, 43 och 47
14
Aritmetikens
ArbetsblAd
1:10–1:11
34 a) 12, 14, 15, 16 och 18
C 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
Gå vidare
22
d) 84
B 3 ∙ 2 ∙ 4
Blå kurs
Alla naturliga tal kan skrivas som en produkt av primtal på
endast ett sätt. Det kallas aritmetikens huvudsats. Till exempel kan
12 skrivas som 2 ∙ 2 ∙ 3. Skriv talen som en produkt av primtal.
a) 8
C Vet ej
6
·
1 tal
Alternativ start
A 2 ∙ 12
42
·
BNej
får man
84
d) 68
34
C Vet ej
4 Om man delar upp talet 24 i primtalsfaktorer, så
14
·
Vilket av talen i rutan har den största primtalsfaktorn?
a)
24 är
en multipel
av 6
Clara
6
Dela upp talen i primtalsfaktorer. Börja med att göra ett faktorträd.
a) 21
43
Anna
·
2
AJa
28
·
41
42
24 är
en multipel
av 4
21
d)
12
c)
18
BNej
3 Om man delar upp talet 120 i primtalsfaktorer,
·
·
4, 8, 12 och 16 är
exempel på multiplar av 4.
4 = 4 ∙ 1, 8 = 4 ∙ 2,
12 = 4 ∙ 3 och 16 = 4 ∙ 4.
c) 5
b)
42
C Vet ej
så kommer en av faktorerna att vara 3.
c)
35
5
·
c) 40 och 50
38
24 är
en multipel
av 3
AJa
Vi har satt ringar runt
primtalsfaktorerna.
5
b)
15
3
Benjamin 110 är delbart med 2 och 10
Clara
6
BNej
2 Talet 15 är ett primtal.
Svar: Talet 30 har primtalsfaktorerna 2, 3 och 5.
e) 327
Vilka tal i rutan är multiplar av talet
a) 2
14
·
3
Vilka tal är primtal av talen mellan
a) 20 och 30
37
5
30
eller
Ta hjälp av delbarhetsreglerna och förklara varför talen inte är primtal.
6
Start
5
1 Ett primtal kan vara delbart med 3.
Rita av och gör klart faktorträden.
Vilka av talen i rutan är
b) primtal
●● att dela upp sammansatta tal i primtalsfaktorer
●● Begreppet multipel är troligtvis ett nytt begrepp för de
flesta av eleverna. Om man knyter an till multiplikationstabellen är det lättare för eleverna att ta till sig
begreppet. De tal som är t.ex. multiplar av 4 är de tal
som finns i fyrans multiplikationstabell. Begreppet
multipel är användbart till exempel vid förlängning
och förkortning av bråk.
30
5=1∙5
a) sammansatta tal
35
Tänk på
3=1∙3
Du behöver bara
göra ett faktorträd.
Det blir samma
primtalsfaktorer.
Vilka primtalsfaktorer har talet 30?
3
G
AJa
Exempel
Alla andra tal kallas för sammansatta tal. De är tal som kan
delas upp i fler faktorer än 1 och talet självt. Till exempel är
6 och 15 sammansatta tal: 6 = 2 ∙ 3 och 15 = 3 ∙ 5.
●● metoder för att undersöka om ett tal är ett primtal
eller ett sammansatt tal
●● begreppen primtal, sammansatta tal, multipel, primtalsfaktor och faktorträd
2
G
Snabbquiz
Ett sammansatt tal kan delas upp i fler faktorer än 1 och talet självt.
När ett tal inte går att dela upp i fler faktorer är faktorerna primtal.
Man kallar dem primtalsfaktorer. För att dela upp ett tal i faktorer
kan man göra ett faktorträd.
b)34 = 2 ∙ 17
·
42
7
·
6
2
·
43 a) 8 = 2 ∙ 2 ∙ 2
3
41 a) 21 = 3 ∙ 7
10
b)24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3
·
c) 40 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5
5
b)20 = 2 ∙ 2 ∙ 5
c) 45 = 3 ∙ 3 ∙ 5
d)84 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7
e) 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5
d)68 ≈ 2 ∙ 2 ∙ 17
1 tal
15
G
Tal i decimalform
Hur ska vi skriva tal som inte är heltal, alltså tal som på
tallinjen ligger mellan heltalen? I avsnittet använder vi
tallinjer för att eleverna ska få en bild av hur man kan
representera de tal som finns mellan heltalen. Det kan
vara värt att poängtera att det finns oändligt många tal
mellan varje markering på tallinjen.
Slut
Tal i decimalform
G
Om man delar tallinjen mellan två heltal i tio lika stora delar, så blir
1
varje del en tiondel. En tiondel kan skrivas i bråkform ___
10
och i decimalform 0,1.
0,1
●● Tal som tre tiondelar och sju hundradelar kan ses som
tal givna i bråkform. Vi återkommer till tal i bråkform i
kapitel 4, men eleverna har arbetat med bråk under
tidigare skolår och bör vara bekanta med dessa.
Poängtera t.ex. att 3/10 = 0,3 och 7/100 = 0,07.
●● Undvik att utläsa tal som 4,52 som fyra komma femtiotvå. Säg i stället fyra hela, fem tiondelar och 2 hundradelar eller fyra hela och femtiotvå hundradelar. På
så sätt betonas siffrornas platsvärde.
Start
Skriv olika decimaltal på lappar och dela ut en lapp
till varje elev. Be eleverna ställa sig i ordning efter
talens storlek. Exempel på tal kan vara:
Alternativ start
Låt eleverna skriva ett decimaltal mellan 0 och 2 på
en post-it-lapp och be dem sedan placera det på en
tom tallinje som är ritad på tavlan. Endast noll ska i
förväg vara markerad på tallinjen. Den första eleven
avgör indelningen på tallinjen när hon placerar det
första talet. Övriga elever får anpassa sig efter det.
Be varje elev förklara placeringen av sin lapp.
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,005
0,1
A
B
0
48
51
B
52
C
1 tal
C
0
0,1
0,2
0,25
53
Rita en tallinje som börjar med 9 och slutar med 11 och markera
följande tal.
B = 9,05
C = 10,4
B
C
0,01
0,194
0,196
b) 2,485
2,488
2,491
9,4
9,6
b) 9,3
9,6
9,9
c) 9,92
9,94
9,96
b) 10,39 eller 10,4
16
B
1
B
2,4
0,4
1,09
2,05
0,5
0,45
0,406
0,529
AInga
BTio
CHundra
D Oändligt många
Blå kurs
0,495
Mer grundläggande uppgifter och genomgångar på tal i
decimalform finns på sidorna 34–35.
Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta.
1,023
1,2
1,32
b)
1,03
0,52
0,423
0,3
0,42
Extramaterial
Rita en tallinje och rita pilar som pekar på talen.
A = 1,5
B = 1,08
C = 0,35
D = 1,95
E = 0,7
ArbetsblAd
1:14
1 tal
17
Facit
48
Uppgiften är en variant av startuppgiften och kan lätt
varieras med andra tal.
44
A = 0,1
C = 1,1
52
Resonera kring vilken hjälp man kan ha av att skriva
om 9,9 och 10 till 9,90 och 10,00 samt 10 och 10,01 till
10,000 och 10,010
45
A = 0,12
C = 0,24
54
Behöver eleverna en ledtråd så kan ni ge tipset: Sortera efter platsvärdet. Börja med heltalen – vilket är
störst? Om lika – titta på tiondelssiffran, osv.
Diskutera gärna med eleverna i helklass hur man här
lämpligast delar in tallinjen.
D Vet ej
Gå vidare
C
1 tal
Kommentarer till uppgifter
55
A
C
2
1,2
55
ArbetsblAd
1:12–1:13
C0,109
b) större än 10 men mindre än 10,01
b)
a)
Vilket tal är störst? Förklara varför.
a) 9,1 eller 9,09
D Vet ej
Vilka tal pekar pilarna på? Välj bland talen i rutan.
A
54
B0,4
B0,099
Skriv ett tal som är
Vilka tal ska stå i rutorna? Ta hjälp av tallinjen du ritade till
uppgift 46.
a) 9,2
D Vet ej
4 Hur många tal finns mellan 0 och 1?
Vilka tal ska stå i rutorna?
a) 0,192
B 5, 076
3 A0,111
0,02
a)
D = 10,95
C0,32
0,01
a) större än 9,9 men mindre än 10
A = 9,5
47
50
1
A
45
46
C
49
46
B
50
A = 0,011
C = 0,022
B = 0,75
51 a) 0,198
0,204
B = 0,18
A
C
9
10
47 a) 9,8
10
D
20
10,2
b)10,2
10,5
10,8
c) 9,98
10
10,02
48 a) 9,1 är störst eftersom
9,1 är 10 hundradelar
större än 9 och 9,09 är
9 hundradelar större
än 9.
b)10,39 är störst eftersom 10,39 är 39 hundradelar större än 10
och 10,4 är 40 hundradelar större än 10.
49
A = 0,001
C = 0,013
16
2 A0,124
B
A
0,1 är lika
mycket som
0,10.
Vilka tal pekar pilarna på?
44
C5,7
0,01
1
0,05
Vilket tal är störst?
1 A5,67
0,009
Vilka tal pekar pilarna på?
0
2,0342,40 0,2430,43 3,04 23,0
Be varje elev förklara sitt val av placering.
0,3
Om man delar tallinjen mellan två heltal i hundra lika stora delar, så blir
1
varje del en hundradel. En hundradel kan skrivas i bråkform ____ och i
100
decimalform 0,01.
●● att skriva bråk med nämnaren 10, 100 eller 1 000 i
decimalform
Tänk på
0,006
A
Här ska eleverna lära sig:
●● begreppen tallinje, bråkform, decimalform, tiondel,
hundradel och tusendel
0,2
0,01
Lärandemål
●● att läsa av en tallinje och att placera ut tal på en
tallinje
0,001
0
0
G
Om man delar tallinjen mellan två heltal i tusen lika stora delar, så blir varje
1
del en tusendel. En tusendel kan skrivas i bråkform _____ och
1 000
i decimalform 0,001.
Tiondelar och hundradelar
G
Snabbquiz
Tusendelar
0,2
b)2,494
2,503
Arbetsblad
1:12
Tiondelar på tallinjen
●●
1:13
Hundradelar på tallinjen
●●
1:14
Decimaltal på tallinjen
●●
B = 0,015
Aktiviteter
0,202
1:5
2,497
Decimaltal
●●
2,5
52 a) T.ex. 9,91
b)T.ex. 10,002
53 a) A= 1,2 B = 2,05
C = 2,4
b)A = 0,45 B = 0,495
C = 0,529
54 a) 1,023
1,32
1,03
b)0,3 0,42
0,52
1,2
0,423
55
C
0
E
B
1
A
D
2
B = 0,007
1 tal
17
62
Decimaltecknet skiljer heltalen från decimalerna.
Talet 8,095 har tre decimaler.
Talet 8,095 kan läsas:
8, 0 9 5
8 ental 9 hundradelar och 5 tusendelar
decimaltecken
8 ental och 95 tusendelar
56
Här ska eleverna lära sig:
●● metoder för att storleksordna decimaltal
●● att utföra beräkningar med decimaltal och i det sammanhanget förstå betydelsen av en siffras platsvärde
57
58
b) 2,71
●● Upprepa att siffrans värde beror av platsen i talet. En
del elever kan ha svårt att förstå att tiondelar är större
än hundradelar, alltså att t.ex. 0,3 är större än 0,07.
Även språkligt kan en del elever blanda ihop begreppen tiondel – hundradel (där tiondel är större än
hundradel) med tiotal – hundratal (där tiotal är min-
0,007
0,7
c) 8,017
65
70
0,07
7,00
7,000
7,0
61
b) 85 tusendelar
c) 85 tiondelar
d) 850 tusendelar
Vilket av de tre talen i rutan är störst?
Sandra och Dilan svarar så här:
9,16 s
4,03 m
c) 7,04
G
0,12
Skriv talet som är en hundradel större än
b) 5,217
c) 5,001
59, 60
61
67
71
= 4,05
B 4,35 –
= 4,3
C 4,35 –
= 1,3
D 4,35 –
= 2,14
Mer grundläggande uppgifter och genomgångar finns på
sidorna 36–37.
Vilka har räknat rätt och vilka har räknat fel? Förklara.
1,12 – 0,3 = 0,82
A 4,35 –
Blå kurs
d) 3,99
1,12 – 0,3 = 1,9
Repetition
0,7 + 0,4 = 1,1
0,012
Anna
Benjamin
Clara
Extramaterial
Dilan
Arbetsblad
Beräkna med huvudräkning.
3,7
3,423
3,98
Talet 3,7 är
störst för att det
har minst antal
decimaler.
Kommentarer till uppgifter
56
1 Vilket tal ska stå i rutan?
Gå vidare
d) 4,98
68
a) 0,8 + 0,03
b) 0,8 + 0,3
c) 3,9 + 0,1
d) 3,98 + 0,1
69
a) 2,83 – 0,02
b) 2,83 – 0,2
c) 3,06 – 0,01
d) 3,06 – 0,1
70
Skriv talet som är
a) fem tiondelar mindre än 3,49
71
b) tolv tiondelar mindre än 8,15
Kan du räkna med uppställning? Titta i verktygslådan på sidan 300 om du
behöver hjälp.
50,8
a) 2,58 + 3,7
b) 12,05 – 7,4
c) 3,2 ∙ 7
d) ____
8
ArbetsblAd
1:15–1:21
1 tal
63
1 tal
b) 3,48
Skriv talen med siffror.
Låt eleverna jämföra sina svar med varandra och följ
sedan upp i helklass.
18
9,45 s
3,48 m
Repetition 3 finns på sidan 276.
1,2
a) 85 hundradelar
Skriv med siffror (ett tal i taget):
nio tiondelar nio hundradelar
nitton hundradelar nitton nitton tiondelar
nio tusendelar nitton tusendelar
8,009
Skriv talet som är en tiondel större än
0,7 + 0,4 = 0,11
Förklara varför båda svaren är fel och varför 3,98 är rätt svar!
För att uppmärksamma eleverna på innebörden av
begreppet platsvärde kan man inleda lektionen med den
här aktiviteten. Använd gärna miniwhiteboard eller dela
ut vanligt papper.
60 meter: 8,79 s
9,02 s
Längdhopp: 4,35 m 3,89 m
7,28
b) 12 tusendelar
3,423 är
störst för att
423 är större än
7 och 98.
18
7,3
Vilket av talen i rutan är lika mycket som
a) 12 hundradelar
60
7,245
b) 2 ental och 5 hundradelar
c) 4 ental, 9 hundradelar och 8 tusendelar
59
3,195
Yonko och Celine sprang 60 meter. Yonko sprang på tiden 8,83 sekunder.
Celine sprang 2 tiondelar långsammare. Vilken tid hade Celine?
a) 7,5
d) 1,571
dre än hundratal).
Start
66
67
a) 3 ental, 5 tiondelar och 7 hundradelar
3,21
Skolan har haft friidrottstävling.
Skriv resultatlistor med bästa
a) 5
Skriv med siffror det tal som består av
c) 12 tiondelar
Tänk på
7
Vilket platsvärde har siffran 7 i talet
a) 7,1
●● begreppen decimaltal och decimal
●● att utföra beräkningar med tal i skrivna decimalform
b) 7 hundradelar
c) 7 tusendelar
3,2
resultatet först.
64
Vilket av talen i rutan är lika mycket som
a) 7 tiondelar
63
decimaler
8 095 tusendelar
Lärandemål
3,09
b)
G
Snabbquiz
Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta.
a)
nd
hu el
nd
tu rad
se el
nd
el
G
ta
l
Decimaltal
tio
Decimaltal presenteras här utan stöd av tallinjen. Här
betonas siffrans plats i talet på samma sätt som för heltalen på sidan 10. För att ge decimaltal en mer praktisk
innebörd kan det vara lämpligt att exemplifiera med t.ex.
resultat i friidrottstävlingar.
Slut
en
G
Decimaltal
Diskutera gärna med eleverna hur nollans betydelse
beror av var den står i talet. Jämför t.ex. 0,7; 0,70; 0,07
eller 1,080; 1,800; 1,08; 10,80; 10,8
Uppgifterna är varianter på startuppgiften.
Uppgiften ger exempel på elevfel som grundar sig på
missuppfattningen att antalet decimaler avgör hur
stort talet är. Sandra tror att det tal som har flest antal
decimaler är störst, medan Dilan tror det motsatta.
Fel liknande Sandras kan delvis undvikas genom att
utläsa talet 3,423 som tre hela och fyrahundrathugotre tusendelar istället för tre komma fyrahundratjugotre.
Var uppmärksam på hur eleverna skriver resultatlistorna. Den som hoppar längst vinner och det längsta
resultatet ska därför stå överst, men den som springer
fortast har kortast tid så där är det den kortaste tiden
som ska stå överst. Man kan uppmana eleverna att
själva leta fram resultatlistor och be dem jämföra
längder och tider.
Utveckla uppgiften genom att låta eleverna fundera
över vilka fel personerna kan ha gjort.
Det är viktigt att eleverna kan använda skriftliga räknemetoder. Det finns många arbetsblad till de elever
som behöver.
1 tal
19
Facit
56 a)0,7
b)0,07
c)0,007
b)4,35 m
3,89 m
c)tusendel
64
9,03 s
d)hundradel
65 a)5,1
58 a)3,57
59 a)0,12
66 a)7,51
c)8,5
b)0,085
d)0,850
61
Alla tre talen har 3 ental.
3,7 har 7 tiondelar,
3,423 har 4 tiondelar
och 3,98 har 9 tiondelar.
Det innebär att 3,98 är
störst.
62 a) 3,09
3,21
b)7,245
8,009
c)5,011
b)0,012
c)1,2
60 a)0,85
c)7,14
b)2,05
c)4,098
3,195
7,28
3,2
7,3
Decimaltal
●●
1:16
Addition med decimaltal
●●
1:17
Subtraktion med decimaltal
●●
1:18
Multiplikation av decimaltal 1
●●
1:19
Multiplikation av decimaltal 2
●●
1:20
Division av decimaltal 1, kort division
●●
1:20b
Division av decimaltal 1, liggande stolen
●●
1:21
Division av decimaltal 2, kort division
●●
1:21b
Division av decimaltal 2, liggande stolen
●●
63 a) 8,79 s 9,02 s 9,16 s
9,45 s
57 a)ental
b)tiondel
1:15
4,03 m
3,48 m
b)3,58
d)5,08
b)5,227
d)4,00
67
Benjamin har räknat
rätt.
7 tiondelar + 4 tiondelar =
= 11 tiondelar.
11 tiondelar = 1,1.
Dilan har också räknat
rätt.
112 hundradelar – 30
hundradelar = 82 hundradelar.
82 hundradelar = 0,82.
68 a)0,83
c)4,0
b)1,1
d)4,08
69 a)2,81
b)2,63
71 a)6,28
b)4,65
c)3,05
d)2,96
c)22,4
d)6,35
70 a)2,99
b)6,95
1 tal
19
Lärandemål
Här ska eleverna lära sig:
Multiplicera med 10, 100 och 1 000
100 ∙ 2,75 = 275
1 000 ∙ 2,75 = 2 750
2
72
●● En vanlig missuppfattning är att man lägger till nollor
när man multiplicerar med 10, 100 och 1 000. Det kan
ha sin grund i att eleverna övertolkar de regler som
endast gäller positiva heltal. Missuppfattningar kan
yttra sig så här:
275
____
= 2,75
100
1 000
b) 100
c) 1 000
82
c) 10 ∙ 4
d) 100 ∙ 6,05
74
a) 100 ∙ 69,5
b) 100 ∙ 0,98
c) 1 000 ∙ 78,9
d) 1 000 ∙ 0,789
75
Vera säger att 10 ∙ 6,75 = 60,75. Vad har hon gjort för fel?
76
Vad ska stå i rutorna?
a)
∙ 4,5 = 45
d) 1 000 ∙
= 54
b) 23,4 ∙
= 2 340
c) 543 =
∙ 100
e) 100 ∙
= 32,5
f) 897 =
∙ 0,897
408
​ ____ ​ likställs med 48
10
1 tal
2
7,
5
B507
C50,7
D Vet ej
Läs i pratbubblan och räkna på samma sätt.
a) 5 ∙ 3,2
b) 5 ∙ 48
c) 5 ∙ 4,48
d) 5 ∙ 22,22
5 070
100
b) 100
c) 1 000
83
408
a) ____
10
408
b) ____
100
408
c) _____
1 000
40,8
d) ____
49
e) ___
84
395
a) ____
395
b) ____
395
c) _____
39,5
d) ____
85
e) ____
86
87
Kristoffer köper 10 chokladbitar för 4,50 kr/st och
100 kolor för 0,50 kr/st. Hur mycket ska han betala?
10
100
1 000
100
100
65
a) ___ = 6,5
a)
725
b) ___ = 7,25
10
____ = 2,05
b)
100
___ = 245
c)
10
b) 100 stycken kostar 8 790 kr
88
53,4 ∙ 8 = 427,2
89
71
a) ___
50
90
831,6
a) _____
Läs i pratbubblan och räkna på samma sätt.
24
a) ___
5
62
b) ___
38
c) ___
42,5
d) ____
71
b) ____
710
c) ____
7 100
d) _____
831,6
b) _____
8 316
c) _____
8 316
d) ______
5
5
5
b) 53,4 ∙ 80
c) 534 ∙ 80
81
a) 6,2 ∙ 7,5
b) 62 ∙ 75
c) 620 ∙ 75
62 ∙ 7,5 = 465
90
500
5
900
9
50
9 000
Så här kan
23
du räkna ut ___ :
5
23
___
= 2,3
10
5
831,6
______
= 92,4
9
1 tal
21
Skriv av och beräkna med räknare:
10 ∙ 3,05 100 ∙ 3,05 1 000 ∙ 3,05
305 305
305
____
​   ​  ​ ____  ​  _____
​ 
  ​ 
10
100
1 000
Hur ändras en siffras platsvärde när du multiplicerar eller dividerar med 10, 100 och 1 000?
Kommentarer till uppgifter
73, 74,
83, 84
Var uppmärksam på att eleverna inte omotiverat lägger till eller tar bort nollor inne i eller i slutet av talet.
80, 81
I de här uppgifterna ska eleverna ta hjälp av vad som
står på skylten och avgöra storleken på produkterna.
De ska alltså inte utföra beräkningarna skriftligt eller
med räknare. Uppgiften är avsedd att hjälpa eleverna
att generalisera förståelsen för att multiplicera med
10, 100 och 1 000.
Motsvarar uppgifterna 80 och 81, men här är räknesättet i stället division.
74 a)6 950
b)tiotal
b)42
d)605
b)98
c)78 900 d)789
75
Hon har lagt till en nolla
på platsvärdet för ental
istället för att decimalerna flyttas ett steg åt vänster. 7 ska stå på entalsplatsen.
76 a)10
b)100
c)5,43
d)0,054
e)0,325
f) 1 000
77
88 km
c)22,4
80 a)4 272
c)42 720
81 a)46,5
82 a)ental
A1,36
B3,4
C13,6
D Vet ej
Grundläggande uppgifter och genomgångar på multiplikation och division med 10, 100 och 1 000 finns på
sidan 38.
1:22
Multiplikation med 10 och 100
●●
1:23
Division med 10 och 100
●●
b)tiondel
c)hundradel
83 a)40,8
c)0,408
b)4,08
d)0,408
e)4,9
84 a)39,5 b)3,95
c)0,395
d)0,395
e)0,85
85 a)10
b)100 c)10
86 a)205
b)2 450
c)5 030
87 a) 97,50 kr b)87,90 kr
c)7,6
b)240
b)4 650
c)46 500
88 a)4,8
78
95 kr
79 a)16
D Vet ej
Arbetsblad
c)hundratal
c)40
C85,6
Extramaterial
Facit
73 a)42,5
B214
Blå kurs
ArbetsblAd
1:23
72 a)ental
A21,4
Gå vidare
71
___
= 14,2
1 tal
Låt eleverna arbeta med räknaren och upptäcka hur siffrorna ändrar platsvärde när talen multipliceras och/eller
divideras med 10, 100 och 1 000. En instruktion kan vara:
D Vet ej
2,3 · 2 = 4,6
ArbetsblAd
1:22
Start
C50,7
4 Beräkna ​ ___ ​ 
1 000
Ta hjälp av rutan och beräkna.
a) 534 ∙ 8
B57
6,8
5
5,03 = _____
Agnes mamma köper biobiljetter för att ge bort.
Vad kostar en biobiljett om
Så här kan du
räkna ut 5 · 6,4:
10 · 6,4 = 64
64
___
= 32
2
A507
3 Beräkna 5 · 42,8
100
4,56
c) ____ = 0,456
a) 10 stycken kostar 975 kr
Ta hjälp av rutan och beräkna.
80
20
A570
2 Beräkna ​ _____ ​ 
Vilka tal ska stå i rutorna?
Under 10 dagar cyklar Rikard fram och tillbaka till en sjö för att bada.
Till sjön är det 4,4 km. Hur långt cyklade Rikard sammanlagt under
dessa dagar?
89, 90
20
5
1 Beräkna 100 ∙ 5,07
Beräkna
85
10 ∙ 4,25 likställs med 40,25
Motsvarande missuppfattning kan vid division bli:
7
G
Ser du hur
siffrans platsvärde ändras när
man dividerar med
10, 100 och
1 000?
Vilket platsvärde får siffran 7 i talet 275 när talet divideras med
a) 10
b) 10 ∙ 4,2
79
2
275
_____
= 0,275
a) 10 ∙ 4,25
78
I talet 30,2 ändras platsvärdet för siffran 3 från tiotal
till ental när 30,2 divideras med 10.
5
Beräkna
●● att utföra multiplikationer och divisioner med 10, 100
och 1 000 utan hjälp av uppställning
I talet 35,4 ändras platsvärdet för siffran 5 från ental
till tiotal när 35,4 multipliceras med 10.
5
73
77
●● Vi vill avråda ifrån regler som berättar hur decimaltecknet ska flyttas vid multiplikation respektive division med 10, 100, 1 000 osv. Eleverna blandar lätt ihop
reglerna och gör fel. Uppmana hellre eleverna att ställa sig själva frågorna ”Blir talet större eller mindre när
man multiplicerar respektive dividerar med 10?”.
Poängtera att siffrorna är desamma och att de är placerade i samma ordning när man har multiplicerat
eller dividerat med 10, 100 eller 1 000. Använd gärna
begreppet platsvärde. En förklaring kan till exempel
lyda som:
7
7,
10
G
Snabbquiz
Vilket platsvärde får siffran 7 när 2,75 multipliceras med
a) 10
●● hur ett tals siffror ändrar platsvärde vid multiplikation
och division med 10, 100 och 1 000
Tänk på
2,
275
____
= 27,5
Ser du hur
siffrans platsvärde ändras när
man multiplicerar
med 10, 100 och
1 000?
nd
r
tio ata
ta l
l
en
ta
l
tio
nd
e
hu lar
nd
ra
de
la
r
10 ∙ 2,75 = 27,5
Dividera med 10, 100 och 1 000
hu
G
nd
r
tio ata
ta l
l
en
ta
l
tio
nd
e
hu lar
nd
ra
de
la
r
Om man har god förståelse för tiosystemet, så är det
enkelt att multiplicera och dividera med 10, 100 och
1 000. Eleverna ska inte behöva utföra dessa beräkningar
med uppställning.
Framställningen på det här uppslaget utgår från
begreppet platsvärde. Det kan vara klokt att inleda lektionen med att repetera det begreppet.
Slut
hu
G
Multiplicera med 10, 100 och
1 000. Dividera med 10, 100
och 1 000
89 a)1,42
b)12,4
d)8,5
b)0,142
d)111,1
c)142
d)142
b)4 272
90 a)9,24
b)0,924
c)924
d)0,924
1 tal
21
G
Avrunda heltal och
Avrunda decimaltal
Att kunna göra rimliga avrundningar är viktigt för att
kunna utföra en överslagsräkning och för att få ett korrekt antal decimaler vid beräkningar. God talförståelse är
en förutsättning för att kunna förstå och kunna tillämpa
avrundningsreglerna. Här tar vi tallinjen till hjälp för att
stötta resonemangen. Avsikten är att eleverna ska få en
bild av att talen kan placeras på en tallinje och förstå hur
de ska avrundas innan avrundningsreglerna gås igenom.
Slut
Avrunda heltal
G
”Tänk att det var 23 165 personer som var
på konserten!”
”Över 20 000 personer var på konserten.”
Citaten berättar om samma konsert, men
publikantalet har angivits olika noggrant.
23 000
Tusental
23 165 ≈ 23 000
Hundratal
23 165 ≈ 23 200
Tiotal
23 165 ≈ 23 170
Tecknet ≈ utläser man
”ungefär lika med”.
91
●● begreppen avrunda, närmevärde, avrundningsregler
och avrundningssiffra
92
93
a) miljontal
94
95
96
Diskutera olika förslag till avrundning av publikantalet i
exemplet i genomgångsrutan. Är någon avrundning mer
rätt än en annan? Hitta gärna på egna exempel med olika
stora folksamlingar.
22
1 tal
b) 0,1|666666 ≈ 0,2
a) en decimal
c) hundratal
99
b) tusentals meter
b) två decimaler
100
b) hundratusental
●●0, 1, 2, 3 eller 4
b)
b) 425,23 kr
c) 107,52 kr
b) 3,265
c) 9,5
102
Skriv två tal som båda har närmevärdet 3,8.
a) miljoner kronor
103
Du ska avrunda till tiotal. Skriv det minsta naturliga talet och det största
naturliga talet som avrundas till 70.
Skylten säger att det är 1 km till Sivik. Hur många meter kan det vara
b) som längst till Sivik
Sivik 1
8,709
b) 6 bitar
c) 7 bitar
Extramaterial
8,75
8,732
92
93
95
97
104
Fråga gärna eleverna: När kan det vara bra att avrunda mätetalet? Kan det vara viktigt att veta det exakta
antalet meter?
Aktuellt värde på folkmängd finns på Statistiska Centralbyråns hemsida www.scb.se. Låt eleverna fundera
på vad de tycker är en vettig avrundning med tanke
på hur fort värdet förändras.
Uppgiften tvingar eleverna att arbeta baklänges och
ställer deras taluppfattning på prov.
Kommentera gärna avrundningen 2,365 ≈ 2,37. Vi
avrundar alltid femman uppåt, trots att den ju ligger
lika nära 0 som 10. En tidigare använd regel var att
avrunda 5 till närmaste jämna tal.
Eftersom det minsta talet som kan avrundas till 4,7 är
4,65 så kan det ligga nära till hands att svara 4,75 på
b-uppgiften. Det är dock fel eftersom 4,75 avrundas
till 4,8. Vilket tal mindre än 4,75 man än väljer, t.ex.
4,7499, finns alltid ett lite större tal att välja som fortfarande är mindre än 4,75, t.ex. 4,74999. Man kan
ange svaret som 4,74999…, där prickarna anger att
antal 9:or fortsätter i oändlighet.
Arbetsblad
8,645
d) 5 bitar
1 m är
100 cm
Avrundning
●●
Läs mer
a) Vilket är det minsta tal som kan avrundas till 4,7?
ArbetsblAd
1:24
b) Varför frågar vi inte efter det största talet?
1 tal
Kommentarer till uppgifter
Repetition
1:24
Hur många hela centimeter blir varje bit om du delar
en bräda som är 2 meter i
a) 3 bitar
104
8,65
Mer grundläggande uppgifter och genomgångar på
avrundning finns på sidan 39.
Repetition 4 finns på sidan 277.
Avrunda till ental
Vilka av talen har närmevärdet 8,7?
c) tusental kronor
avrundas talet uppåt.
Hur mycket ska du betala kontant om det på ett kvitto står
a) 4,82
Blå kurs
avrundas talet nedåt.
●●5, 6, 7, 8 eller 9
c)
101
b) hundratusental kronor
Om siffran efter
avrundningssiffran är:
c) ental
Avrunda till ett närmevärde med två decimaler
a) 98,78 kr
c) hundratals meter
Avrundningsregler
Avrunda 2,365 till ett närmevärde med
a)
b) tusental
Gå vidare
Avrundningssiffra
Den 20 april 2013 betalade Svenska Spel ut en lottovinst på 237 697 528 kr.
Avrunda vinsten till
a) som kortast till Sivik
22
b) en decimal
c) tiotusental
skolbiblioteket.
Alternativ start
97
Den 31 januari 2016 hade Sverige 9 858 794 invånare. Avrunda till
B Mopeden kostade 15 500 kronor.
Alla mätvärden är ungefärliga värden angivna med en viss
noggrannhet. Avståndet i A är exempel på ett mätvärde
och är alltså ett avrundat värde. Vad gäller kostnaden för
mopeden (B) eller antalet böcker i skolbiblioteket (C) så
kan de vara både exakta och avrundade värden.
23 165 ligger mitt emellan
23 160 och 23 170.
Då är regeln att man
avrundar uppåt.
Ett maratonlopp är 42 195 m. Avrunda sträckan till
a) tiotusentals meter
a) två decimaler
Svar:
a) 0,16|66666 ≈ 0,17
Avrundningssiffra
Avrunda talet 38 450 till
a) tiotusental
●● En siffras platsvärde i talet är viktig förkunskap.
C Vid inventeringen fanns det 15 500 böcker i
23 165 ligger närmare
20 000 än 30 000
98
●● att kunna använda närmevärden i praktiska situationer
A Avståndet mellan skolan och Lillsjön är 15 500 m.
30 000
Publikantalen avrundat till
●● att korrekt kunna avrunda heltal och decimaltal
När är talet exakt och när är det avrundat?
Låt eleverna ge exempel på en situation där ett stort
heltal bör avrundas och en annan situation där man
behöver avrunda ett decimaltal. Låt eleverna diskutera två och två och följ upp i helklass eller låt eleverna skriva ned sina förslag och lämna in. Följ sedan
upp på nästa lektion.
Avrunda 0,1666666 till ett närmevärde med
20 000
Här ska eleverna lära sig:
Start
Exempel
23 165
Lärandemål
●● Avrundning, precis som de flesta aspekter av tal, ska
grundas i en god taluppfattning. Eleverna bör lära sig
att se vad som är rimligt och förnuftigt i situationen.
G
Du ska dela en bräda som är 1 m i 3 lika långa delar. Använder du
räknaren för att räkna ut hur lång en bit ska vara trycker du 1 � 3
och får svaret 0,3333333. Så noga kan man inte mäta brädan.
Därför avrundar man längden till två decimaler.
Varje bit ska alltså vara ungefär 0,33 m.
Det avrundade värdet kallas för ett närmevärde.
”Det var 23 000 personer i publiken!”
Tiotusental 23 165 ≈ 20 000
Tänk på
Avrunda decimaltal
1 tal
23
●● Marianne Rönnbom (2007): Vad göms i ett kassakvitto?
Nämnaren 2, 2007.
●● Håkan Johansson, Bengt Nilsson och Lennart Skoogh
(1993): Låt oss runda av det här. Nämnaren 1, 1993.
Facit
91 a)40 000 b)38 000
c)38 500
b)42 000 m
93 a)10 000 000
b)9 900 000
c)9 860 000
94 a)238 000 000
b)237 700 000
c)237 698 000
95
65 och 74
98 a)0,24
100 a)5
1018,65
c) 42 200 m
97 a)2,4
b)425 kr
c) 108 kr
92 a) 40 000 m
96 a) 500 m
99 a) 99 kr
b)1 499 m
b)2,37 c)2
b)3
8,709
c)10
8,732
102Till exempel 3,82 och
3,79
103 a) 66 cm
b)33 cm
c) 28 cm
d)40 cm
104 a)4,65
b)Vi kan inte skriva det
största talet för det är
ett tal med oändligt
många decimaler.
4,7499999…. Talet
4,75 avrundas till 4,8.
b)3,26
c)0,38
1 tal
23
G
G
Överslagsräkning
Överslagsräkning, tillsammans med huvudräkning, är
vardagskunskaper som man ofta har nytta av. I exemplet
i läroboken möter eleven några av de ord man vanligtvis
använder för att markera att ett överslag bör göras.
Det är bra att regelbundet träna överslagsräkning. Tillfällen erbjuds ofta, t.ex. då man snabbt vill få en uppskattning av storleksordningen av en beräkning.
Slut
Överslagsräkning
G
107
a) 623 + 875
Ofta har man stor nytta av att snabbt kunna
göra en överslagsräkning. När man gör en
överslagsräkning avrundar man först talen så
att man sedan lätt kan använda huvudräkning.
Man kan också
säga Räkna på ett
ungefär, Gör ett
överslag eller Räkna
i runda tal.
108
Lisen köper tre tröjor. De kostar 295 kr, 120 kr och 179 kr.
Ungefär hur mycket kostar tröjorna tillsammans?
109
295 kr + 120 kr + 179 kr ≈ 300 kr + 100 kr + 200 kr = 600 kr
r
295 k
Svar: Tröjorna kostar ungefär 600 kr tillsammans.
●● metoder för överslagsräkning
31∙ 58 ≈ 30 ∙ 60 = 1 800 kr
Svar: Totalkostnaden blir ungefär 1 800 kr.
●● att bedöma ett svars rimlighet
105
Tänk på
●● Ibland är det mycket viktigt att man mäter noggrant
och ibland har det ingen större betydelse. Det beror på
situationen. Diskutera gärna detta med hela klassen,
t.ex. genom att göra startuppgiften här nedanför.
a) Maja köper en tröja och ett par jeans.
625 k
r
Ungefär hur mycket ska hon betala?
b) Elias köper ett par skor, en jacka och
498 k
r
ett par skor. Hon har två 500-lappar.
Räcker pengarna? Motivera.
189 k
r
275 k
r
Fias fotbollslag ska köpa ny utrustning.
Ungefär hur mycket ska de betala för
a) _____
364
b) _________
36 400
3 640
c) ______
​
​​= 520
d) ____
36,4
​ ​= 520
​ 7 ​= 520
​
7
3 ∙ 400 = 1 200,
så 3 ∙ 450 måste
vara större.
c) 12 tröjor
●● Hur många gem ligger det i burken? Vilken strategi
kan vara bra att använda för att göra en rimlig uppskattning?
​= 520
●● Be eleverna att leta i tidningar efter exempel på tal
som verkar vara uppskattningar. Diskutera: Hur vet du
att det inte är exakta värden? Hur kan uppskattningarna vara gjorda?
7
b) 42 ∙ 580
c) 6,9 ∙ 3,2
d) 69 ∙ 32
e) 690 ∙ 32
111
298
b) ____
5
2 987
c) _____
5
29 725
d) ______
5
304 123
e) _______
112
a)
43
___
432
____
41
___
408
____
4 305
_____
113
a) Under en löpartävling behövdes det 3 548 muggar till 6 vätskekontroller.
Blå kurs
b) Löparna drack cirka 4 dl sportdryck var. Ungefär hur
Mer om grundläggande uppgifter och genomgångar på
överslagsräkning finns på sidan 40.
114
89 kr
185 kr
105 kr
●● Markera en punkt på en tallinje: Vilket tal skulle det
här kunna vara?
29
a) ___
5
279 kr
b) 29 strumpor
Använd någon eller några av frågeställningarna som diskussionsunderlag.
a) 42 ∙ 58
115
a) 18 shorts
24
d) 3 · 4,5 = 135
G
9
b)
9
c)
6
d)
6
5
e)
Gå vidare
6
Ungefär hur många muggar behövdes det till varje vätskekontroll?
många liter sportdryck behövdes om det var 478
löpare?
c) Fia köper en tröja, ett par jeans och
d) 32 fotbollar
b) 30 · 450 = 135
c) 30 · 4,5 = 135
d) 27 ∙ 498
110
ett par jeans. Ungefär hur mycket ska
han betala?
106
c) 18 ∙ 32
Beräkna med överslagsräkning. Avrunda först så att du kan räkna
med huvudräkning.
r
179 k
Klassen köper skoltröjor. En tröja kostar 58 kr. De är
31 elever i klassen. Ungefär hur mycket kostar tröjorna
för hela klassen?
●● innebörden av begreppet överslagsräkning
●● Det är viktigt att påpeka att en överslagsräkning görs
med huvudräkning. Det gäller att först avrunda de
värden man ska använda för beräkningen så att man
sedan kan utföra den i huvudet utan hjälp av skriftliga
metoder eller miniräknare. Därmed kan flera olika
svar vara rätt så länge de ligger inom rimliga gränser.
120 k
Exempel
a) 3 · 450 = 135
70
r
Här ska eleverna lära sig:
b) 498 + 249
Beräkningarna här nedanför är inte rätt utförda.
Skriv av uträkningarna och sätt ut decimaltecken
på rätt ställe eller lägg till en eller flera nollor i svaret.
Exempel
Lärandemål
Räkna med överslagsräkning. Börja med att skriva av uppgiften.
116
Filip ska beställa pennor till skolan. Pennorna ligger i
askar med 12 pennor i varje ask. Varje elev behöver
cirka 8 pennor och det går 528 elever på skolan.
Ungefär hur många askar ska han beställa?
Röd kurs
Mer om huvudräkning och överslagsräkning finns på sidorna 46–47.
Rikards fotbollslag ska åka på match. Det är 21 spelare
som är tretton år och de ska åka bil. Rikard delar 21 med 4
och kommer fram till att de behöver 5 bilar. Hur kan Rikard
ha resonerat? Skulle du ha tänkt på ett annat sätt?
Repetition
Repetition 5 finns på sidan 278.
Fotbollslaget har fått 10 000 kr att köpa utrustning för.
Ge förslag på vad de kan köpa. Välj bland det som finns
på bilden som hör till uppgift 106.
ArbetsblAd
1:25–1:26
1 tal
1 tal
25
Extramaterial
Arbetsblad
Start
Denna start kan användas för att diskutera när det är bra
med överslagsräkning och när man är beroende av mer
nogranna värden.
Diskutera vilka effekter mätfelen har i följande situationer:
A Du har handlat tyg och ber om 1,2 meter.
Kommentarer till uppgifter
105
106
108–109
1. Expediten mäter fel och du får 1,1 meter tyg.
2. Expediten mäter fel och du får i stället
1,5 meter tyg.
B Din klocka visar 5 minuter fel.
110–112
1. Du ska hinna med bussen kl. 07.28.
2. Du ska träffa dina kompisar vid 17-tiden.
C Du bakar en kladdkaka.
1. Du häller i en matsked salt i stället för en
tesked salt.
2. Du häller i 200 g smält smör i stället för 175 g
smält smör
D Ge ett exempel när det har stor betydelse om
man mäter eller avrundar och ett exempel när
det har liten betydelse.
24
1 tal
115, 116
Kan med fördel användas som en diskussionsuppgift i helklass. Låt eleverna ge förslag på lämpliga
avrundningar.
Variera uppgiften genom att välja andra antal av
utrustningen.
Uppgifterna tränar eleverna på att göra överslag
för att kunna beräkna uppgifterna med huvudräkning. Det är viktigt att man håller reda på storleksordningen av talen man arbetar med. Ett mycket
vanligt fel är att man placerar decimaltecknet fel,
dvs. att siffrorna blir rätt men platsvärdet fel.
Dessa uppgifter kan ge utrymme till diskussioner
om olika sätt att avrunda och inom vilka gränser
som ett korrekt svar bör ligga. Diskutera gärna vilken avrundning man bör välja och vilken avrundning som ger ett resultat som ligger närmast det
exakta svaret.
Uppgifterna ger möjligheter till rika diskussioner
inom gruppen. Dela gärna upp klassen i mindre
grupper och låt dem bli eniga om ett svar.
Facit
105 a) 189 kr + 498 kr ≈
≈ 200 kr + 500 kr =
= 700 kr
b)275 kr + 625 kr +
+ 498 kr ≈ 300 kr +
+ 600 kr + 500 kr =
= 1 400 kr
c) 189 kr + 498 kr +
+ 275 kr ≈ 200 kr +
+ 500 kr + 300 kr =
= 1 000 kr
Pengarna räcker, alla
priserna är avrundade
uppåt.
106 a) 18 ∙ 105 kr ≈
≈ 20 ∙ 100 kr = 2 000 kr
b)29 ∙ 89 kr ≈ 30 ∙ 90 kr =
= 2 700 kr
c) 12 ∙ 279 kr ≈
≈ 12 ∙ 300 kr = 3 600 kr
d)32 ∙ 185 kr ≈
≈ 30 ∙ 200 kr = 6 000 kr
107 a) 623 + 875 ≈
≈ 600 + 900 = 1 500
b)498 + 249 ≈
≈ 500 + 250 = 750
c) 18 ∙ 32 ≈ 20 ∙ 30 = 600
d)27 ∙ 498 ≈ 30 ∙ 500 =
= 15 000
108 a)1 350
c)135
109 a)52,0
d)6 000
112 a)5
d)70
Vilket närmevärde är störst
●●
Aktivitet
1:6
Överslag
●
●● Peder Claesson (1981-1982): Hur tänker du när du gör
ett överslag? Uppslaget, Nämnaren 2, 1981-1982.
●● Barbara Reys, Robert Reys och Göran Emanuelsson
(1996): Uppskattning av överslag. Nämnaren 1, 1996.
●● Jan-Eije Hammaräng (1988): Matte är att kunna slå
över. Nämnaren 3, 1988.
d)2 100
e)21 000
111 a)6
1:26
d)13,5
b)24 000
c)21
●●
Läs mer
d)5,20
110 a)2 400
Överslagsräkning
b)13 500
b)5 200
c)52,0
1:25
b)60
c)600
e)60 000
b)50
c)7
e)700
113 a) Ca 600 muggar
b)2 000 dl = 200 liter
114Det behövs cirka 4 000
pennor. Då behöver man
köpa cirka 400 askar.
115Rikard räknar troligtvis
med att det får plats
4 spelare + en vuxen
som kör per bil och gör
därför beräkningen
21
___
​   ​ = 5,25.
4
Han följde avrundningsreglerna och avrundade
5,25 till 5. Här skulle
han ha avrundat uppåt
till 6 bilar.
Men det finns bilar som
kan ta 6 personer. Om
fotbollslaget har tillgång
till en sådan bil så räcker
det med 5 bilar.
116De kan till exempel köpa
50 bollar eller 20 tröjor,
20 shorts och 20 par
strumpor.
1 tal
25
G
Begrepp och resonemang
Uppslaget
Vem eller vilka har rätt?
Begrepp och resonemang
Kommentar:
Som uppgiften är formulerad kan Anna eller Clara ha
svarat rätt.
G
Observera att om man lär eleverna att utläsa 0,10 som
noll hela, 1 tiondel och noll hundradelar eller som noll
hela och tio hundradelar, så uppstår inte det feltänk som
alternativ B representerar (Noll komma tio kommer efter
noll komma nio). Diskutera gärna varför alternativ B och
D aldrig kan vara rätt.
Vilken ska bort?
Exempel på resonemang:
A 7 ska bort därför att det är ett primtal medan 8 och 27
är sammansatta tal.
Arbeta i grupper på 2–4 personer.
Alla i gruppen ritar av tabellen i sitt räknehäfte.
Varje grupp har en tärning.
Vilket tal kommer efter 0,9? Motivera ditt svar.
Rita gärna en tallinje mellan 0,9 och 1 och dela in den i
hundradelsstreck. Vad bör dessa kallas? (91 hundradelar,
92 hundradelar, …)
Turas om att kasta tärningen och skriv det tal som
tärningen visar i någon av kolumnerna ental,
tiondelar, hundradelar eller tusendelar. När tärningen
gått fyra varv i gruppen har alla fått ett fyrsiffrigt tal.
Den som fått det största talet vinner. Spela flera gånger.
Jag tror
att talet
efter 0,9 är
0,10.
Det kan
vara 1.
Anna
8 m = 800 cm
göra en utslagsomgång?
De tre talen kan paras ihop två och två så att det tredje inte passar in.
Vilket tal tycker du inte passar in? Motivera.
A
7
8
27
B
321
9 042
508
C
25
16
30
Begreppskarta
?
Resultatet
?
av en addition
kallas
kvot
?
Problemlösning
A
B
Greta ska bygga ett staket. Det ska
vara 8 meter långt. Hon gräver ner
7 stolpar. Avståndet är lika långt
mellan stolparna. Stolparna är 10 cm
breda. Ungefär hur långt är avståndet
mellan stolparna?
Eva tänker på ett primtal. Hon
subtraherar talet med 3 och dividerar
med 4. Hon får då talet 5. Vilket tal
tänker hon på?
Liknande problem finns på sidan 266 i kapitlet Problemlösning.
Sant eller falskt?
B Problemet kan lösas genom att arbeta baklänges.
1 I talet 2 347 har siffran 4 platsvärdet
___
​   ​ = 5 Ett tal dividerat med 4 är 5. Det talet måste
tiotal.
4
vara 20.
2 I talet 564,19 har siffran 9 platsvärdet
tiondel.
3 Alla tal som är delbara med 3 har en
jämn siffersumma.
4 Talet 28 har primtalsfaktorerna 2 · 2 · 7.
5 Summan av två primtal kan vara ett
primtal.
?
9 042 ska bort därför att det är ett fyrsiffrigt tal.
differens
produkt
måste vara 23, som är ett primtal.
Liknande problem finns på sidan 267 i kapitlet Problemlösning.
7 9,9 är mindre än 9,10.
8 Summan av 10 och 15 är 150.
9 Om 1 000 spikar kostar 350 kr är
Problemet går även att lösa med hjälp av en ekvation.
styckepriset 3,5 kr.
B 321 ska bort därför att det är ett udda tal.
– 3 = 20 Ett tal subtraherat med 3 är 20. Talet
Eva tänker på talet 23.
6 Produkten av två primtal kan vara ett
primtal.
?
8 m = 800 cm
Bredd 7 stolpar = 7 ∙ 10 cm = 70 cm
730 cm
Avstånd mellan stolparna = _______
​ 
 ​ 
 
≈ 120 cm = 1,2 m
6
Dilan
Vilken ska bort?
27 ska bort därför att det är ett tvåsiffrigt tal, medan 7
och 9 är ensiffriga tal.
10 cm
●● Kan det bli oavgjort? I så fall: Hur skulle man kunna
Clara
A En bra strategi är att börja med att rita en bild.
●● Har det någon betydelse vem som börjar?
Jag tror att
det är 0.
Rita av och gör klart begreppskartan genom att
fylla i begrepp i cirkeln och länkord
i rektanglarna.
8 ska bort därför att det är ett jämnt tal.
G
Fundera på
●● Vad ska man tänka på när man ska bestämma i vilken
kolumn man ska skriva in talet man fått på tärningen?
Benjamin
Nästa tal
måste vara
0,91.
Lösningar och kommentarer
Arbeta tillsammans
Vem eller vilka har rätt?
G
Problemlösning
Uppslaget
Ental
Tiondelar
Hundradelar
Tusendelar
G
Uppslaget
10 Produkten av 5 och 3 är 8.
508 ska bort därför att det inte är delbart med 3.
26
C 25 ska bort därför att det är udda.
16 ska bort därför att det talet inte innehåller
faktorn 5.
30 ska bort därför att det talet kan delas upp i olika
primtalsfaktorer (2 ∙ 3 ∙ 5) medan 16 (2 ∙ 2∙ 2 ∙ 2) och
25 (5 ∙ 5) består av lika faktorer.
Begreppskarta
Resultatet
av en division
kallas
kvot
av en addition
kallas
summa
av en
subtraktion
kallas
av en
multiplikation
kallas
differens
produkt
1 tal
Arbeta tillsammans
Kommentar:
Spelet är lätt och går fort att genomföra. Sätt gärna en
max-tid på t.ex. 10 minuter. De tre “fundera-satserna”
kan det vara upp till eleverna själva att ägna tid åt. Elever
brukar vara pigga på att själva göra regler och finna ut
strategier.
Kommentar:
Påståendena i Sant eller falskt handlar till synes om
begrepp och metoder. Men om de används som en
gemensam övning (elever parvis, i grupp eller hela klassen tillsammans) tränas resonemang och kommunikation. Bra frågor att ställa brukar vara:
a) Om svaret är “sant”: Hur visar du att påståendet är
sant? Hur visar du att påståendet alltid gäller?
Facit
1
sant
3
falskt (t.ex. 18 har siffersumman 1 + 8 = 9)
4
sant
1 tal
27
b) Om svaret är “falskt”: Hur visar du att påståendet är
falskt? Hur kan det ändras så att det blir sant?
Sant eller falskt
2
falskt (platsvärdet är en
hundradel)
26
1 tal
7
falskt (9 hela och 9 tiondelar är större än 9 hela
och 1 tiondel)
8
falskt (produkten av 10
och 15 är 150. Summan
av 10 och 15 är 25)
5
sant (t.ex. 2 + 11 = 13)
9
falskt
(350/1 000 = 0,35 kr)
6
falskt (ett tal som är en
produkt av två andra tal
är ett sammansatt tal)
10falskt (summan av 5 och
3 är 8. Produkten av 5
och 3 är 15)
1 tal
27
I tabellen här nedanför hittar du facit och förslag på var
eleven kan träna mer. Arbetsbladen hittar du i materialet
Matte Direkt 7 Arbetsblad, prov och aktiviteter. Där finns
även en alternativ diagnos, som du som lärare kan
använda om eleven behöver genomföra ytterligare en
diagnos.
Delbarhet
29 och 31
Primtal och
sammansatta tal
14
a)18 = 2 · 3 · 3
b)30 = 2 · 3 · 5
c)42 = 2 · 3 · 7
Primtal och
sammansatta tal
14
a)400
b)130
c)499
d)190
De fyra
räknesätten
11
8a
A-0,2; B-1,5; C-2,9
8b
A-2,01; B-2,07;
C-2,115
Tal i
decimalform
Arbets
blad
8
11
31
16
31
34
c) 42
b) 5 · 26
c) 432 + 67
871
610
43,75
b) _____
25
c) ____
2,3
d) ____
10,5
e) _____
10
10
100
100
D
1 000
18
Vilka tal pekar pilarna på?
B
b) hundratal
19
1
2
B
3
28
b) en decimal
b) T.ex.
10
1:10
1:11
c) 0,9 och 0,10
1,09
1,123
2,1
1,089
1:4
1:5
1:6
12
28
så att slutsumman blir jämn: Alla talen är jämna, två
tal är jämna eller alla talen är udda. Summan av ett
jämnt och ett udda tal blir alltid ett udda tal.
3
14
17
6
20
37
Exempel 1, alla talen i översta raden är jämna.
10
16
36
2
73
10
1,089 1,09 1,1
1,123 2,1
Tal i
decimalform
16
34
1:6
11
a)2,03
b)7,5
Tal i
decimalform
18
36
1:6
12
13,15 s
Tal i
decimalform
18
36
1:6
13
a)32
b)40,5
c)3
d)7 860
e)5 750
Mult med 10,
100, 1 000
20
38
1:22
14
a)8,5
b)4,375
c)0,25
d)0,023
e)0,0105
Div med 10,
100, 1 000
21
38
1:23
15
a)13 000
b)13 500
c)13 480
Avrunda
­heltal
22
39
1:24
16
a)84
b)83,9
c)83,93
Avrunda
decimaltal
23
39
1:24
6
8
1 tal
29
Facit
Avsnitt
17
Ja. Exempel på
avrundning:
3 ∙ 8,95 + 24 +
+ 2 ∙ 17,90 ≈ 3 ∙ 9 +
+ 24 + 2 ∙ 20 = 91.
Allt avrundat uppåt.
Överslag
Nej, Agnes kan ha
fel. 2,234 är t.ex.
mindre än 3,23.
Tiosystemet
18
24
10
40
30
1:25
1:26
1:2
1:3
19
34
Avsnitt
4
7
Problemlösning
Facit
20
Exempel 2, två tal i översta raden är jämna.
3
1:6
14
12
56
1 tal
Resonemang och kommunikation
8
22
alltid ska bli jämn. Beskriv minst två.
1:12
1:13
16
31
d) Det finns tre sätt som talen i översta raden kan väljas
d) Man kan välja de fyra starttalen på flera olika sätt för att slutsumman
I ett 100-meterslopp hade Anton tiden 12,85 s. Filips tid var tre tiondelar
långsammare. På vilken tid sprang Filip?
16
c) Se exempel a).
En stor skål innehåller 25 liter vatten. Varje dag försvinner 3 liter vatten
och varje natt hälls 2 liter på. När är skålen tom?
c) Välj fyra tal så att slutsumman blir udda.
b) 75 tiondelar
10
58
b) Välj fyra tal så att slutsumman blir jämn.
a) 2 hela och 3 hundradelar
15
27
a) Välj fyra andra tal. Skriv upp dem på samma sätt och räkna ut
Skriv som ett decimaltal.
6
12
slutsumman.
11
20
29
9
Agnes säger: ”Ett tal som innehåller tusendelar är alltid större än ett tal
som innehåller hundradelar.” Har Agnes rätt eller fel? Motivera ditt svar.
Här intill har vi adderat talen som ligger bredvid varandra och skrivit
summan mellan talen, till exempel 3 + 14 = 17. Om vi fortsätter på
samma sätt får vi en slutsumma (73).
Skriv talen i rutan i storleksordning. Börja med det minsta.
3
Agnes har 100 kr. Hon ska köpa 3 liter mjölk för 8,95 kr styck, en limpa
för 24 kr och 2 kg äpplen. Äpplena kostar 17,90 kr per kilo. Kommer
pengarna att räcka? Motivera ditt svar med överslagsräkning.
Bedömningsuppgift
b) 0,11 och 0,12
8
57
c) två decimaler
C
Skriv ett tal mellan
12
19
c) tiotal
2,1
a) 5,8 och 5,9
7
9
Problemlösning
C
2
Avrunda talet 83,928 till ett närmevärde med
a) ental
17
a) T.ex.
Det var 13 475 åskådare på fotbollsmatchen.
Avrunda antalet åskådare till
a) tusental
16
75
d) 258 – 68
2
1:10
1:11
Tal i
decimalform
34
720
Beräkna
1,1
13
85
a) ___
Lösningar och kommentarer:
b)
9
33
14
c) kvoten mellan 28 och 7
a)
1:10
a)t.ex. 5,83
b)t.ex. 0,113
c)t.ex. 0,6
1 tal
b) 30
A
32
e) 1 000 · 5,75
15
Dela upp talen i primtalsfaktorer. Börja med att göra ett faktorträd.
0
12
d) 78,6 · 100
Resonemang och kommunikation
A
1:9
c) 0,03 · 100
Vilka av talen mellan 25 och 35 är primtal?
a) 18
1:2
246
c) 5
b) 4,05 · 10
10
14
21
Arbets
blad
a)246, 720, 610
b)246, 720, 75
c)720, 610, 75
28
6
b) 3
a) 10 · 3,2
Sida
kurs
De fyra
räkne­sätten
9
30
5
b) differensen av 56 och 7
Vilka av talen i rutan är delbara med
a) 2
a) 80 · 5
a)350
b)49
c)474
7
Beräkna
7
3
6
3
13
Sida
kurs
10
a)100-tal
b)5 708
5
a) Vilket platsvärde har siffran 6 i talet 5 678? b) Vilket tal är 3 tiotal större än 5 678?
4
2
4
2
Arbets
blad
Tiosystemet
b) det minsta udda tal som är möjligt
Sida
kurs
T.ex.
a)6 798, 9 876
b)6 789
Använd siffrorna 6, 7, 8 och 9 och skriv
a) ett jämnt tal
Sida
kurs
1
Avsnitt
1
a) produkten av 5 och 70
Sida
kurs
Facit
Använd huvudräkning och beräkna
Begrepp och metod
D
D
Bedömningsuppgift
Diagnos
Begrepp och metod
Sida
kurs
D
Diagnos
Efter 23:e dagen
T.ex. Varje dygn
(dag + natt) försvinner 1 liter. Efter
22 dygn återstår
3 liter. De försvinner
under dag 23.
Utveckla gärna uppgiften genom att be eleverna att göra
en liknande triangel som startar med fem tal. Ställ frågan
hur starttalen ska väljas för att sluttalet ska bli jämnt respektive udda.
13
23
37
58
Exempel 3, alla talen i översta raden är udda.
1
5
6
7
12
18
15
22
34
52
Kommentar:
Gör gärna egna trianglar och visa att de olika kombinationerna av udda och jämna tal alltid ger en slutsumma
som är jämn. Hur måste talen i översta raden vara för att
slutsumman ska bli udda? (Ett tal är udda i översta
raden).
I materialet Matte Direkt 7 Arbetsblad, prov och aktiviteter finns en bedömningsmatris kopplad till denna uppgift.
1 tal
29
B
Blå kurs
Tiosystemet
De fyra räknesätten
Talet 63 045 läser du som sextiotretusen fyrtiofem.
B
Vilket platsvärde har siffran
a) 3
b) 0
6 3
Addition
Subtraktion
12 + 3 = 15
12 – 3 = 9
term
0 4 5
summa
term
Multiplikation
Svar:
a) Siffran 3 har platsvärdet tusental. Talet innehåller 3 tusental.
Division
12 ∙ 3 = 36
faktor
b) Siffran 0 har platsvärdet hundratal. Talet innehåller 0 hundratal.
differens
täljare
nämnare
produkt
12
___
=4
B
Ibland
används ordet
skillnad i stället
för differens.
Hur många kan dela lika på 6 kulor?
B
a) 175
2
b) 598
b) 5 642
c) 12 075
Vilken siffra är tusentalssiffra i följande tal?
a) 1 234
4
c) 15 000
Vilken siffra är tiotalssiffra i följande tal?
a) 435
3
9
Två personer kan få 3 kulor var.
Tal delbara med
1∙6=6
2∙3=6
 2 är alla jämna tal
b) 123 567
c) 90 124
Använd siffrorna 1, 2, 3 och 4 och skriv
b) ett så litet udda tal som möjligt
5
Bilda ett så stort femsiffrigt tal som möjligt genom att använda
varje siffra minst en gång
a)
6
0
3
1
b)
7
1
9
7
2
Vilka tal ska stå i rutan? Titta på siffrornas platsvärden.
6
a) 345 –
7
a) 5 891 –
8
= 340
= 5 091
b) 5 678 –
= 678
c) 2 354 –
= 2 304
b) 8 576 –
= 576
c) 9 389 –
= 9 309
b) 3 hundratal större än 450
c) 4 tiotal mindre än 130
d) 5 hundratal mindre än 1510
30
3 Produkten av 12 och 3
12
C ___
3
4 Kvoten av 12 och 3
D 12 + 3
18
19
11
a) produkten av 30 och 6
b) kvoten av 30 och 6
12
a) Dela upp 18 i två termer.
b) Dela upp 18 i två faktorer.
13
Ge ett förslag på täljare och nämnare om kvoten är 8.
14
Skriv en multiplikation av två heltal, där produkten är
a) 35
b) 24
ArbetsblAd
1:2–1:3
c) 27
d) 56
20
c) 6
21
9
Visa gärna additionen 12 + 3, subtraktionen 12 – 3,
12
multiplikationen 12 ∙ 3 och divisionen __
​   ​  med hjälp
3
av talpilar som i exempelrutan på sidan 11, grön kurs.
12
Kommentera att man kan dela upp talet i termer på
fler sätt än ett.
e) 72
d) 8
Facit
1 a)ental
b)hundratal
c)tusental
9
1 – D, 2 – A, 3 – B, 4 – C
10 a)24
b)36
2 a)3
b)4
c)7
b)5
3 a)1
11 a)180
b)3
c)0
12 a) T.ex. 11 och 7 (addi-
4 a)4 312
b)1 243
5 a)76 310 b)99 721
6 a)5
b)5 000
c)50
7 a)800
c)90
b)T.ex. 2 och 9 (multiplikation)
13T.ex. 16 och 2 (division)
b)8 000
c)80
8 a)55
tion), 30 och 12 (subtraktion).
14 a) T.ex. 5 ∙ 7
b)T.ex. 4 ∙ 6
b)750
c) T.ex. 3 ∙ 9
d)1 010
d)T.ex. 7 ∙ 8
e) T.ex. 8 ∙ 9
1 tal
12
18
25
111
e) 12
Differensen av två tal är 4 och produkten av dem är 12. Vilka är talen?
17
Summan av två tal är 18 och differensen mellan dem är 10. Vilka är talen?
60
72
100
255
91
23
a) 2
ArbetsblAd
1:4–1:9
31
32
1:2
Hela tal på tallinjen
●●
1:3
Positionssystemet
●●
1:4
Addition med heltal
●●
1:5
Subtraktion med heltal
●●
1:6
Multiplikation av heltal 1
●●
Multiplikation av heltal 2
●●
1:8
Division av heltal, kort division
●●
1:8b
Division av heltal, liggande stol
●●
1:9
De fyra räknesätten med heltal, blandat
●●
Aktiviteter
1:1
Göra tal av siffror
●●
1:2
Upp till 9 och andra räknespel
●●
b) 5
c) 3
·
10
25
524
2
25 a)
19 a) Talen är jämna (slutar
b)12, 18, 6 788
20 a) Talen slutar på 0 eller
5.
22 a) Talen slutar på 0
5
26 a)
b)840, 25, 75
c) 33, 840, 4 521, 75
d)840
·
·
·
9
3
4
2
·
Vilka av talen i rutan är
2
c)
3
·
d)
d)
18
3
·
6
·
7
33
3
·
·
2 3 4 5
10 11 12
·
25
c)
4
14
d)
·
5
·
12
b)
·
6
c)
·
21
3
8
·
30
·
10
·
6 7 8 9
13 14 15
Alla primtal, utom talet 2, är udda tal. Varför är det så?
I Olivers klass finns 18 elever. Läraren delar in klassen i två grupper med
9 elever i varje grupp. På vilka olika sätt kan klassen delas upp om varje
grupp ska innehålla lika många elever?
33
2
·
3
7
·
7
33
d)
5
2
·
4
2
·
3
·
11
2
12
b)
3
·
4
2
·
3
6
2
·
3
30
d)
3
·
10
2
·
Jämför med uppgift 18. Variera med andra klasstorlekar, t.ex. talen 19–25.
Extramaterial
Arbetsblad
1:10
Delbarhet och faktorträd
●●
1:11
Faktorträd
●●
1:3
2
·
29
Aktiviteter
18
c)
Det kan underlätta för eleven att arbeta med konkret
material som t.ex. plastbrickor, kapsyler eller liknande. Variera gärna uppgiften genom att låta eleven
välja andra tal, t.ex. 9, 10, 11 (primtal!), 14 eller 15.
3
21
b)
3
18
14
d)
3
·
8
b)T.ex. 20, 70, 390
23 a) 840, 524
5
25
c)
21 a) 21: 2 + 1 = 3
c) 21, 39, 51, 81, 1 002
·
15
5
b)15, 60, 100, 255, 480
32: 3 + 2 = 5
39: 3 + 9 = 12
46: 4 + 6 = 10
51: 5 + 1 = 6
81: 8 + 1 = 9
1 002: 1 + 0 + 0 + 2 = 3
Vi har ringat in primtalen.
ArbetsblAd
1:10–1:11
b)
6
c)
på 0, 2, 4, 6 eller 8).
5
Kommentarer till uppgifter
2
Repetition 1 finns på sidan 274.
120
e) T.ex. ​ ____ ​ 
10
2
1 tal
24 a)
Repetition
1714 och 4
10
1 tal
b)Talen har en siffersumma som är delbar
med 3.
166 och 2
b)
·
b) primtal
28
33 840
4 521 75
d) 10
3
a) sammansatta tal
29
Vilka av talen i rutan är delbara med
18
18
40
c) T.ex. ​ ___ ​  d)T.ex. ___
​   ​ 
3
5
27
21 32 39 46
51 81 1 002
b) Skriv tre tal som är delbara med 10.
Arbetsblad
8
a)
480
a) Vad är gemensamt för alla tal som är delbara med 10?
Facit
12
26
9
b)
·
15
2
a) Beräkna siffersumman till talen i rutan.
Extramaterial
15 a) T.ex. ​ ___
 ​  b) T.ex. ​ __ ​ 
4
2
a)
6 788
c) Vilka av talen är delbara med 3?
22
16
1:7
25
5
b) Vad är gemensamt för alla tal som är delbara med 3?
1 tal
Här kan man uppmana eleven att själv bestämma
regler och bilda tal av ett antal valda siffror. De kan
t.ex. bilda det tal som är störst, minst, jämnt, udda,
o.s.v.
2
a) Vad är gemensamt för alla tal som är delbara med 5?
15
1 tal
4
10
a)
b) Vilka av talen är delbara med 5?
Skriv en division av två heltal, där kvoten är
b) 4
24
a) Vad är gemensamt för alla tal som är delbara med 2?
7
·
Rita av och gör klart faktorträden
Elin har bakat 12 bullar. Hon ska förpacka dem i påsar med
lika många bullar i varje. Rita på vilka olika sätt de kan delas.
b) Vilka av talen i rutan är delbara med 2?
b) summan av 30 och 6
2
Talet 20 har primtalsfaktorerna 2, 2 och 5.
10 är tal som slutar på 0
3
20
När man ska dela upp ett tal
i faktorer kan det vara bra att
göra ett faktorträd.
 5 är tal som slutar med
0 eller 5
6∙1=6
2
2 = 1 ∙ 2 och 3 = 1 ∙ 3
Ta hjälp av delbarhetsreglerna i rutan.
a) differensen av 30 och 6
a) 3
Kommentarer till uppgifter
30
B 12 ∙ 3
10
15
Vilket tal är
a) 2 tiotal större än 35
A 12 – 3
Beräkna
Jämna tal slutar
på 0, 2, 4, 6 eller 8.
Udda tal slutar på
1, 3, 5, 7 eller 9.
a) ett så stort jämnt tal som möjligt
3∙2=6
Para ihop de som betyder samma sak.
2 Differensen av 12 och 3
Talen 2 och 3 är exempel på primtal. Primtal kan man inte dela
upp i fler faktorer än 1 och talet självt.
 3 är tal vars siffersumma är delbar
med 3
3
1 Summan av 12 och 3
B
6=2∙3
Delbarhetsregler
En person kan få 6 kulor.
kvot
Vilket platsvärde har siffran 5 i talen
Talet 6 är ett exempel på ett sammansatt tal. Ett sammansatt tal
kan man dela upp i faktorer. Det går att dela upp talet 6 i faktorerna
2 och 3.
Siffersumman av talet
231 är 2 + 3 + 1 = 6
3 personer kan få 2 kulor var. 6 personer kan få 1 kula var.
1
B
Primtal och sammansatta tal
Exempel
Lär dig orden som hör ihop med de olika räknesätten.
t io
tu
s
tu en
se ta
nt l
al
hu
nd
tio rata
ta l
l
en
ta
l
Exempel
Delbarhet
Erathostenes såll
Repetition
Repetition 2 finns på sidan 275.
28Alla jämna tal större än
5
27 a) 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14,
15
b)2, 3, 5, 7, 11, 13
●
två är en multipel av 2
och ett annat tal, till
exempel 14 = 2 ∙ 7 eller
124 = 2 ∙ 62. Alltså kan
de inte vara primtal.
293 grupper med 6 elever i
varje grupp, 6 grupper
med 3 elever i varje
grupp, 9 grupper med
2 elever i varje grupp,
2 grupper med 9 elever i
varje grupp, 18 grupper
med en elev i varje grupp
eller en grupp med alla
18 elever.
1 tal
31
A
Tallinjen mellan 0 och 1 är delad i 10 lika delar. Varje del är en tiondel.
B
A
B
C
B
0
0,5
Vilka tal pekar pilarna på?
Svar:
A 0,1
30
B 0,3
C 0,7
1
A 0,02
37
B 0,06
A
B
a)
C
B
b)
C
b)
1
31
32
2
38
0,2
0,4
1,2
b) 0,92
b) 1,1
1,3
1,5
2,3
c) 1,05
c) 0
0,3
0,6
1,8
Vilka tal ska stå i rutorna?
c) 1 hel + 3 tiondelar =
tiondelar
tiondelar
b) 7 tiondelar + 4 tiondelar =
d) 2 hela + 5 tiondelar =
tiondelar
0,12
0,94
0,96
1,04
1,03
1,01
0,93
hundradelar
b) 96 hundradelar + 4 hundradelar =
hundradelar
33
a) 0,6 + 0,3
b) 0,6 + 0,4
c) 0,6 + 0,5
d) 0,6 + 0,8
34
a) 1 – 0,2
b) 1 – 0,7
c) 1 – 0,4
d) 2 – 0,4
41
a) 0,13 – 0,01
35
a) 1,8 + 0,3
b) 2,1 – 0,3
c) 2,5 – 0,6
d) 1,4 – 0,5
42
Rita en tallinje mellan 0 och 1 och markera talen med pilar.
36
Agnes säger att 0,95 + 0,5 = 1. Förklara för Agnes varför det är fel.
b) 0,95 + 0,04
c) 0,95 + 0,05
d) 0,95 + 0,07
b) 0,13 – 0,04
c) 0,1 – 0,01
d) 1 – 0,01
36
40
Om eleven har svårt att förklara varför svaret är fel
kan man tipsa eleven om att skriva uppgiften som
0,95 + 0,50. En följdfråga skulle kunna vara: Vilket
tal ska adderas till 0,95 för att svaret ska bli 1?
Extramaterial
Arbetsblad
B = 0,5
C = 1,1
b)A = 1,4
C = 2,3
1,5
0,11
b)1,7
1,9
2,1
b)0,98
1,00
1,02
c)0,9
1,2
1,5
c) 0,99
0,97
0,95
b)11
d)25
40 a)0,98
b)0,99
c)1,00
d)1,02
c)1,1
d)1,4
41 a)0,12
b)0,09
34 a)0,8
b)0,3
c)0,09
d)0,99
c)0,6
d)1,6
b)1,8
1:13
Hundradelar på tallinjen
●●
c)1,9
d)0,9
1:14
Decimaltal på tallinjen
●●
360,95 + 0,5 = 1,45. T.ex.
Agnes har inte förstått
att femman i 0,5 har
samma platsvärde som
nian i 0,95.
42 B
0
A
0,5
D
1,275
1,3
1,2
1,32
0,98
d)
0,8
0,398
0,54
b) 3,25
c) 0,598
d) 3,245
I talet 4,281
har siffran 8
platsvärdet
hundradel.
Vilket platsvärde har siffran
a) 6 i talet 3,65
b) 0 i talet 6,08
c) 9 i talet 0,809
d) 7 i talet 2,67
Ahmed säger att siffran 8 har samma platsvärde i uttrycken
0,08
a) 3,465 –
b) 65 tusendelar
c) 652 tusendelar
57
b) 9 hela och 27 hundradelar
3,8
4,358
58
b) 3,12 –
= 3,02
= 1,365
b) 1,254 –
c) 3,12 –
= 3,1
= 3,01
c) 3,465 –
= 0,234
= 3,06
Knappa in talet 333,333 på en räknare.
Lägg till eller minska med ett tal så att räknaren visar nästa tal.
Skriv vilka tal som ska stå i stället för A, B, C och D.
+
År 2009 satte Usain Bolt från Jamaica
världsrekord på 100 m med tiden 9,58 s.
+
A
B
+
C
–
D
Kan du räkna med uppställning? Titta i verktygslådan på s. 300 om du
behöver hjälp.
21,2
b) 5,2 – 1,6
c) 2,3 ∙ 4
d) ____
4
a) 4,5 + 3,8
ArbetsblAd
1:15–1:21
1 tal
1 tal
Diskutera nollans betydelse beroende på var den
står i talet. Jämför t.ex. 0,7–0,70–0,07 eller
1,080–1,800–1,08–10,80–10,8.
En del elever har svårt att förstå att till exempel talet
0,8 är större än 0,46, eftersom 46 är större än 8.
Betona därför platsvärdets betydelse.
Fråga eleverna hur många hundradelar snabbare
Asafa Powells är, jämfört med Nesta Carter.
1
43 a)5,304
b)0,835
c)4,06
44 a)0,9
b)0,009
c)0,09
45 a)0,15 b)1,5 c)0,015
46 a)0,5 b)0,9 c)1,1
47 a)0,006
49 a) 9,78 s
52 a)ental
b)hundradel
b)0,065
48 a)3,5 b)9,27 c)9,027
Arbetsblad
37
Facit
c)0,652
Extramaterial
C
B
b) större än 1,9 men mindre än 2
Vilka tal ska stå i stället för rutorna? Använd en räknare om du vill.
a) 3 hela och 5 tiondelar
49
39 a)99 b)100 c)92
b)1,0 eller 1
1,03
Vilket platsvärde har siffran 5 i talet
a) 3,12 –
a) 6 tusendelar
50
0,10
0,05
1,023
Skriv ett tal som är
55
48
B = 0,99
38 a) 0,09
0,5
b)
Har han rätt? Förklara.
47
43
B = 0,05
1,0
35 a)2,1
●
1,15
56
36
0,8
●●
Decimaltal
b)A = 0,93
C = 1,04
B = 1,8
Tiondelar på tallinjen
1:5
0,015
c) 11 tiondelar
C = 0,12
1:12
Aktiviteter
37 a) A = 0,01
0,09
b) Asafa Powell har sprungit på en tid
som är 14 hundradelar långsammare.
Vilken tid är det?
35
31 a) 0,6
33 a)0,9
0,15
Kommentarer till uppgifter
30 a) A = 0,2
32 a)9
54
b) 9 tiondelar
49
Facit
c)13
Jämför med uppgift 36.
0,09
a) Nesta Carter har sprungit på en tid
som är 2 tiondelar långsammare.
Vilken tid är det?
1 tal
Tal som 7 tiondelar eller 2 tiondelar kan ses som tal
7
2
givna i bråkform. Poängtera att ___
​     ​ = 0,7 och ___
​    ​ = 0,2
10
10
är olika skrivsätt för samma tal. Förklara gärna med
hjälp av begreppet platsvärde.
9,00
a) 5 tiondelar
ArbetsblAd
1:13–1:14
1 tal
32
0,009
46
D 0,65
ArbetsblAd
1:12
Kommentarer till uppgifter
0,9
Skriv som decimaltal.
a) 0,95 + 0,03
C 0,9
b) 15 tiondelar
0,46
0,16
c) 9 hela och 27 tusendelar
40
B 0,2
53
c) 15 tusendelar
hundradelar
0,75
7,98
Vilket av talen i rutan är lika mycket som
a) 15 hundradelar
Vad ska stå i rutan?
a) 96 hundradelar + 3 hundradelar =
b) 9 tusendelar
0,15
a) 5,4
c) 9 hundradelar
45
0,08
A 0,5
52
Vilket av talen i rutan är lika mycket som
0,8
a) större än 1 men mindre än 1,1
Skriv som decimaltal.
a) 9 tiondelar
Beräkna. Du kan ta hjälp av tallinjerna i uppgift 37.
Beräkna. Du kan ta hjälp av tallinjerna i uppgift 30.
34
44
C
1,0
c) 1 hel – 8 hundradelar =
tiondelar
51
c) 4 ental och 6 hundradelar
Vilka tal ska stå i rutorna? Du kan ta hjälp av tallinjerna.
a) 0
decimaler
b) 0 ental 8 tiondelar 3 hundradelar 5 tusendelar
0,1
0,07
decimaltecken
Decimaltecknet skiljer heltalen
från decimalerna.
43
B
0,9
a) 0,06
a) 7 tiondelar + 2 tiondelar =
B
c)
3, 0 2 5
3,025 är ett decimaltal.
C
0
Vilka tal ska stå i rutorna? Du kan ta hjälp av tallinjerna i uppgift 31.
39
3 ental 0 tiondelar 2 hundradelar 5 tusendelar
B
Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta.
a)
a) 5 ental 3 tiondelar 0 hundradelar 4 tusendelar
A
1
A
C 0,08
B
a)
0
B
0,1
Vilka tal pekar pilarna på?
A
Vilka tal pekar pilarna på?
C
En
hundradel
1
skrivs ____ i
100
bråkform och 0,01
i decimalform.
Svar:
En tiondel
1
skrivs ___ i
10
bråkform och 0,1 i
decimalform.
Talet 3,025 består av
0,05
Vilka tal pekar pilarna på?
0
l
Tallinjen mellan 0 och 0,1 är delad i 10 lika delar. Varje del är en hundradel.
Exempel
50
Decimaltal
nd
hu el
nd
tu rad
se el
nd
el
Exempel
t io
Tal i decimalform
en
ta
B
b)9,72 s
50 a) 0,09 0,15 0,46 0,8
c)tiondel
d)tusendel
53 a)tiondel
b)tiondel
c)tusendel
d)hundradel
54Nej, i talet 3,8 har siffran
8 platsvärdet tiondel. I
de andra talen har siffran 8 platsvärdet hundradel.
1:15
Decimaltal
●●
1:16
Addition med decimaltal
●●
b)0,98 1,023
1,2 1,32
1:17
Subtraktion med decimaltal
●●
c)0,05 0,16 0,5 0,75
1:18
Multiplikation med decimaltal 1
●●
1:19
Multiplikation med decimaltal 2
●●
51 a) T.ex. 1,04
58 a)8,3
b)3,6
b)T.ex. 1,97
c)9,2
d)5,3
1:20
Division 1 med decimaltal, kort division
●●
1:20b
Division 1 med decimaltal, liggande stolen
●●
1:21
Division 2 med decimaltal, kort division
●●
1:21b
Division 2 med decimaltal, liggande stolen
●●
1,0
d)0,398 0,54 0,8
1,275 1,3
55 a)0,1 b)0,02 c)0,11
56 a)2,1 b)1,02 c)0,405
57A = 2,134 B = 20,122
C = 200,21 D = 500,249
Repetition
Repetition 3 finns på sidan 276.
32
1 tal
1 tal
33
B
Avrundning
hu
nd
r
tio ata
ta l
l
en
ta
l
t io
nd
e
hu lar
nd
ra
de
la
r
Multiplikation och division med 10 och 100
10 · 7,5 = 75
B
100 · 7,5 = 750
7,
7
Beräkna
59
a) 10 · 2
5
5
b) 10 · 2,5
a) 10 · 0,5
b) 10 · 0,55
c) 10 · 0,05
61
a) 100 · 4
b) 100 · 4,2
c) 100 · 4,25
62
Skriv det tal som är hundra gånger större än
63
b) 0,89
c) 0,05
c) Avrunda till hundratal.
48 250 ≈ 48 300
69
70
48 200
48 300
7
5
7,
5
b) tusental
c) hundratal
64
45
b) ___
10
45,9
c) ____
10
459
d) ____
10
65
790
a) ____
100
70,5
b) ____
100
125
c) ____
100
6
d) _____
100
b) hundratal
c) tiotal
48 250 ligger lika långt
från 48 200 och
48 300. Avrunda uppåt.
a) 1,23|4 ≈ 1,23
b) 3,56|890 ≈ 3,57
Avrundningssiffra
409
e) ____
10
Avrunda till två decimaler.
d) 3,666
Oliver köper en säck med 10 kg fågelfrö för 189 kr.
Vilket är kilopriset?
73
a) 0,875897
b) 1,0286345
c) 7,00327
d) 0,0553
Skriv det tal som är hundra gånger mindre än
74
Petra ska avrunda 37,46 till ental och skriver
Facit
59, 61,
64, 65
59 a)20 b)25
b)5,5 c)0,5
61 a)400 b)420 c)425
62 a)80
b)89
c)5
64 a)4
d)109
b)4,5 c)4,59
d)45,9
Arbetsblad
1:22
Multiplikation med 10 och 100
●●
1:23
Division med 10 och 100
●●
1:24
Avrundning
●
65 a)7,9
c)1,25
e)40,9
b)0,705
d)0,06
6618,90 kr/kg
67 a)0,89
c)0,09
Repetition 4 finns på sidan 277.
c)25,3
6390 meter
Extramaterial
b)0,9 (0,90)
d)2,49
680,85 m
69 a)70 000 b)67 000
c)67 300
b) 4 · 230 = 92
c) ___
189
​ 3 ​= 630
d) ____
18,9
​ 3 ​= 630
ArbetsblAd
1:24
39
70 a)2 000
A 98 + 18 ≈ 120
80
A 3 ∙ 69 ≈ 200
40
1 tal
78
b)2 500
c)2 490
71Peter tror kanske att om
man ska avrunda till
hundratal så ska man
bara skriva ut hundratalet.
Heltal
som är delbara
med två kallas
som inte är
delbara med två
kallas
som endast är
delbara med ett
och sig självt är
?
?
?
I en av uppgifterna är överslagsräkningen orimlig. I vilken?
79
B 257 + 741 ≈ 1 000
C 18 + 39 ≈ 600
B 29 ∙ 402 ≈ 1 200
ArbetsblAd
1:25–1:26
C 1,8 ∙ 3,2 ≈ 6
1 tal
Uppgiften tränar på rimliga överslag. Det är viktigt
att man håller reda på storleksordningen. Ett mycket vanligt fel är att man placerar decimaltecknet fel,
dvs. siffrorna blir kanske rätt men platsvärdet fel.
Extramaterial
41
Problemlösning
A Rita en bild. Vi antar för enkelhetens skull att busken
själv inte har någon bredd.
5 buskar innebär 4 lika långa avstånd mellan dem.
12
___
​   ​ = 3 meter.
4
Jämför med Problemlösning, sidan 266.
B Arbeta baklänges. Dividera 18 med 3. Svaret, 6,
Arbetsblad
72 a)1,14
b)1,49
c)2,68
d)3,67
1:25
Överslagsräkning
●●
73 a)0,88
b)1,03
subtraheras med 4. Svaret, 2, är det tal som Adam
tänkte på.
c)7,00
d)0,06
1:26
Vilket närmevärde är bäst?
●●
Jämför med Problemlösning, sidan 267.
74 a) Svaret är 37. Om man
ska avrunda till heltal
blir avrundningssiffran 4 och då avrundar
man nedåt.
b)Om varje pris först
avrundas kan slutsumman bli felaktig.
Repetition
Resonemang och kommunikation
Repetition 5 finns på sidan 278.
Clara tycker att det räcker att ange åskådarantalet i
hundratal. Dilan vill vara noggrannare och anger därför
antalet i tiotal. En tredje pratbubbla kan ha texten: ”Det
var ungefär 13 000 åskådare på matchen”.
Facit
75 a) 90 kr
b)180 kr
76 a) 1 400 kr b)2 000 kr
c) Nej, summan blir
ungefär 1 100 kr.
d)Ja, summan blir
1 500 kr och då är priset avrundat uppåt.
1 tal
Rita av och gör klart begreppskartan
genom att fylla de begrepp som saknas.
Beräkningarna är inte rätt utförda. Skriv av uträkningarna och sätt ut
decimaltecken på rätt ställe eller lägg till en eller flera nollor.
a) 4 · 2,3 = 920
●●
Dilan
Begrepp
Calle ska köpa glassar till klassen. De är 29 elever i klassen. Glassarna
ligger i lådor med 8 glassar i varje låda. Hur många lådor måste han köpa?
c) Ja, summan blir ungefär 150 kr och då är
alla priserna avrundade uppåt.
34
28 kr
Kommentarer till uppgifter
Kommentarer till uppgifter
Repetition
77
1 tal
Poängtera gärna att 2,675 avrundas till 2,68 trots att
2,67 ligger lika nära 2,675 på tallinjen. Man avrundar
”uppåt”.
697 k
r
d) Klubben ska köpa puckar för 1 500 kr.
Kan de köpa 50 puckar?
78
b) När man handlar och ska betala är det slutsumman som avrundas.
Varför avrundar man inte varje pris för sig?
60 a)5
Clara
Både Clara och Dilan har resonerat rätt.
Förklara hur de kan ha tänkt. Gör en egen
pratbubbla och skriv ett tredje sätt att beskriva
publikantalet.
398 k
r
a) Ungefär hur mycket kostar 2 hjälmar?
c) Du har 1 000 kr. Kan du köpa en klubba
och en hjälm?
37,46 ≈ 37,5 ≈ 38
Jag tycker det
är 12 550
personer.
a) Ungefär hur mycket kostar en hårborste och ett nagellack?
c) Du har 150 kr. Kan du köpa ett nagellack, en hårborste och
en läppglans?
talet uppåt.
a) Förklara varför Petra har gjort fel.
Kontrollera att eleverna ser att siffrorna ändrar
platsvärde när ett tal multipliceras eller divideras
med 10 eller 100.
Resonemang och kommunikation
b) Ungefär hur mycket kostar 3 läppglans?
●●5, 6, 7, 8 eller 9 avrundas
1 tal
72 c)
75
Du kan
dra streck
efter den sista
siffran du vill ha med.
Siffran till höger om
strecket avgör sedan
hur du ska
avrunda.
c) 2,675
ArbetsblAd
1:22–1:23
B
Adam tänker på ett tal. Han adderar talet med 4 och multiplicerar sedan
med 3. Han får då talet 18. Vilket tal tänkte han på?
Det är
12 500 personer
på arenan.
b) Ungefär hur mycket kostar 5 klubbor?
Avrunda till två decimaler.
b) 1,489
Sandra orienterar. Hon springer 100 steg på 85 m.
Hur lång steglängd har Sandra?
Greta ska plantera 5 buskar. Det ska vara 12 meter mellan första och sista
busken. Hur långt blir avståndet mellan varje buske?
Svar: 5 nagellack kostar ungefär 200 kr.
Om siffran efter avrundningssiffran är
Peter ska avrunda talet 5 348 till hundratal och svarar 300.
Vad har han gjort för fel?
Exempel
d) 249
39 kr
Ungefär hur mycket kostar 5 nagellack?
talet nedåt, man behåller
avrundningssiffran.
a) 1,142
c) 9
B
När du inte
behöver räkna
exakt kan du göra en
överslagsräkning.
Avrunda talen så att du
kan räkna ut med
huvudräkning.
Exempel 2
76
Ser du hur
platsvärdet för
varje siffra ändras när
man dividerar med
10 och 100?
47 kr
Svar: Ja, 100 kr räcker, eftersom
priserna avrundades uppåt.
●●0, 1, 2, 3 eller 4 avrundas
72
b) 90
58 kr + 39 kr ≈ 60 kr + 40 kr = 100 kr
Avrundningsregler
Avrunda 2 485 till
c) 4,82|511 ≈ 4,83
40
a) ___
10
38
B
A
58 kr
5 ∙ 39 kr ≈ 5 ∙ 40 kr = 200 kr
a) tusental
Beräkna
a) 89
B
Du har 100 kr. Kan du köpa
ett nagellack och en läppglans?
48 250 ligger närmare
48 000 än 49 000.
r
100
68
49 000
Avrunda 67 325 till
a) tiotusental
d) 1,09
hu
nd
r
tio ata
ta l
l
en
ta
l
tio
nd
e
hu lar
nd
ra
de
la
75
____
= 0,75
67
48 000
48 250
71
66
50 000
48 250 ligger närmare
50 000 än 40 000.
48 250
b) Avrunda till tusental.
48 250 ≈ 48 000
Petter har en steglängd på 0,9 meter.
Han springer 100 steg. Hur långt har han sprungit?
75
___
= 7,5
10
40 000
Problemlösning
Exempel 1
48 250
a) Avrunda till tiotusental.
48 250 ≈ 50 000
c) 10 · 2,53
60
a) 0,8
Exempel
Ser du hur
platsvärdet för
varje siffra ändras när
man multiplicerar
med 10 och 100?
B
Uppslaget
Överslagsräkning
774 lådor
78 a)9,20
b)920
c)63,0
d)6,30
Begrepp
Heltal
79C är orimlig,
18 + 39 ≈ 20 + 40 = 60
80B är orimlig, 29 ∙ 402 ≈
≈ 30 ∙ 400 = 12 000
som är delbara
med två kallas
som inte är
delbara med två
kallas
som endast är
delbara med ett
och sig självt är
jämna
udda
primtal
1 tal
35
R
Röd kurs
Mer om olika talsystem
För cirka 2 000 år sedan skrev
mayafolket tal med ett positionssystem.
De använde talet 20 som bas i stället
för 10 som vi använder i vårt talsystem.
Symbolen för noll var en snäcka.
Kinesiskt talsystem
För ca 3 000 år sedan i Kina använde man
bambustavar för att symbolisera tal.
R
Mer om primtal och sammansatta tal
Mayafolkets talsystem
Bambustavarna lades på en bricka som var indelad i rutor.
Precis som vårt talsystem så visade rutorna olika positioner
i ett tiosystem. Stavarna lades så att siffrorna bestod av lodräta
bambustavar i varannan position och vågräta bambustavar
i varannan position. Om rutan var tom betydde det 0.
eller
1
2
3
4
5
6
7
8
20
9
1 · 20 = 20
1 · 20 = 20
0·1=0
2·1=2
22
2 · 20 = 40
Exempel
50
Lägg talen med bambustavar.
a) 583
R
6
a)
b)
a)
b)
c)
123
2
120
d)
12
13
3·1=3
14
7 12
240 40
Skriv med vårt talsystem.
1
Hur skriver vi talet? Välj i rutan.
a)
274
b)
472
3 304
7
234 8 037
7 308
8
Skriv med vårt sätt att skriva tal med siffror.
2
3
a)
b)
a)
9
c)
5
42
a) 12
10
b)
a) 1 456
b) 423
b) 12 678
c) 632
c) 7 043
d) 509
11
d) 450 689
a)
b)
c)
c)
d)
1 a)7 308
b)274
3 a)198 617 b)270 063
Skriv med Mayafolkets talsystem.
b) 67
c) 141
d) 144
a)
Jämför med tiosystemet och beskriv för- och nackdelar med
a) det egyptiska talsystemet
b) det romerska talsystemet
c) det kinesiska
d) Mayafolkets talsystem.
Vilket av de historiska talsystemen tycker du verkar enklast
att använda? Förklara.
b)6
c)11
d)18
e) 21 (1 ∙ 20 + 1)
c)
8 a) 41 (2 ∙ 20 + 1 ∙ 1)
b)86 (4 ∙ 20 + 6 ∙ 1)
d)
c) 180 (9 ∙ 20 + 0 ∙ 1)
5
T.ex.
a)
b)
d)143
9 a)
b)
c)
d)
e)
c)
1 tal
e)127
2
3
4
5
Exempel
6
a) Dela upp talet 30 i primtalsfaktorer.
7
8
9
2
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Hitta alla primtal som är mindre än 100. Börja med
att skriva alla heltal mellan 2 och 100. Stryk sedan i
tur och ordning alla tal som är delbara med 2, 3, 5
och så vidare. Ringa slutligen in de tal som är
primtal. Ta hjälp av delbarhetsreglerna och
multiplikationstabellerna.
2 33
3 34
4 35
5 36
6 37
7 38
8 39
9 10
31 32
40
21
51 22
52 23
53 24
54 25
55 26
56 27
57 28
58 29
59 30
60
61
70
91 62
92 63
93 64
94 65
95 66
96 67
97 68
98 69
99 100
Fråga om likheter och skillnader mellan det kinesiska skrivsättet och vårt talsystem.
10
Uppgiften kan användas som underlag till en vidare
diskussion om hur ett talsystem kan vara uppbyggt,
beroende på vad det ska användas till. Ska det
beskriva tal eller ska det användas för att utföra
skriftliga beräkningar med?
91 92
94 95
Till 93
exempel
är 96 97 98 99 100
talen 11 och 13
primtalstvillingar.
19
20
t.ex. skriva siffersymbolerna i vilken ordning man vill. Nackdelar: Det är t.ex. mycket
svårt att räkna med.
21
d) 101
Bestäm de tre olika primtalen som har följande egenskaper:
22
b)Fördelar: Det är t.ex.
lätt att hugga symbolerna i sten. Nackdelar: Det är t.ex. svårt
att räkna med dem.
c) Fördelar: T.ex att man
bara använder en symbol för att sätta samman tecknen för siffrorna och att det är lätt
att använda på ett
d)Fördelar: T.ex. att man
bara använder bara tre
symboler för att
beteckna alla tal.
Nackdelar: Det är t.ex.
svårt att räkna med
symbolerna.
11T.ex. det kinesiska tal-
systemet eftersom det är
uppbyggt på samma sätt
som vårt, dvs. med tio
som bas och är därför
lättast att använda.
Svar: Talet 30 är delbart med 1, 2, 3, 6,
9, 15 och 30.
2 D ∙ F = 95
3 A – B – C = 10
3 D–E=2
d) 75
b) 35 och 28
e) 280
f) 621
c) 15 och 39
d) 32 och 48
b) 2 och 8
c) 6 och 8
d) 15 och 4
Ett perfekt tal är ett tal som är summan av alla sina faktorer
förutom talet självt. Talet 6 är ett perfekt tal. Faktorerna är
1, 2, 3 och 6. Summan av faktorerna (utom talet 6) är 1 + 2 + 3 = 6.
Undersök om följande tal är perfekta:
b) 28
c) 45
Fram till år 2013 har
man hittat 48 perfekta
tal. Det största
innehåller mer än
34 miljoner siffror.
d) 496
Vilket är talet?
a)
b) 1 D + E + F = 41
2 A + B + C = 36
b)
●●Talet är jämnt.
●●Talet är jämnt och delbart med 3 och 5.
●●Talet är tvåsiffrigt.
●●Alla siffror i talet är olika.
●●Siffersumman är 7.
●●Hundratalssiffran är större än tiotalssiffran.
●●Talet är en produkt av
●●Talet är mindre än 400 och endast en siffra
två olika primtal.
är udda.
1 tal
1 tal
Kommentarer till uppgifter
12
14
Lyft frågeställningar som exempelvis: Varför behöver man inte pröva division med 4, 6, 8 eller 9? Vad
har alla överstrukna tal gemensamt?
Goldbachs hypotes har ännu ingen lyckats bevisa
och den hör till ett av de mest kända olösta matematiska problemen.
18 a) 12 är delbart med
621
12
2
·
6
2
·
9
3
3
b)44 är delbart med
2, 4, 11 och 22.
2
Faktorisering
●
12235711
13
17
19232931374143
47535961677173
79838997
11 och 13
29 och 31
59 och 61
22
2
·
b)7
c) 84 är delbart med 2, 3,
4, 6,7, 12, 14, 21, 28
och 42.
●
5 och 7
17 och 19
41 och 43
71 och 73
14 a) 3 + 11
b)5 + 23
c) 3 + 37
d)7 + 73
15 a) 3 + 3 + 5 b)3 + 5 + 11
2
16T.ex. är jämna tal alltid
delbara med 2 och är
därför inte primtal (förutom talet 2).
17 a) A = 23, B = 11, C = 2
b)D = 19, E = 17, F = 5
2
3
·
7
d)75 är delbart med 3, 5,
15 och 25.
75
5
c) 3 + 5 + 47
d)7 + 47 + 47
·
·
15
3
·
5
e) 280 är delbart med 2,
4, 5, 7,8, 10, 14, 20,
28, 40, 56, 70 och 140.
280
14
2
·
20
·
7
5
3
·
23
c) 3
20 a)6
c)24
b)8
d)60
21 a) Ej perfekt. (Delbart
med 1, 2, 4, 5 och 10.
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22)
21
·
3
d)2, 4, 8 och 16. (Även
talet 1 är en faktor i
alla tal)
11
4
Facit och lösningar
133 och 5
·
·
69
·
19 a) 2 och 4
84
Erathostenes såll
45
f) 621 är delbart med 3,
9, 23, 27, 69 och 207.
2, 3, 4 och 6.
44
1:3
Talet 30 är också delbart med 1 och 30.
Vilket är det minsta talet som innehåller de två faktorerna
a) 20
Varför är alla primtal förutom talet 2 ett udda tal?
17
Arbetsblad
räknebräde. Nackdelar:
Det kan t.ex. vara svårt
att skilja tecknen åt.
c) 84
a) 2 och 3
d) 80
16
44
1:28
och 6, 10 och 15 (eftersom 6 = 2 ∙ 3,
10 = 2 ∙ 5 och 15 = 3 ∙ 5)
Rita faktorträd och undersök vilken eller vilka faktorer som finns både i
Aktiviteter
10 a) Fördelar: Man kan
b) 44
a) 12 och 28
Extramaterial
●
5
Undersök vilka tal som följande tal är delbara med.
Börja med att rita ett faktorträd.
a) 12
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
Det påstås att alla udda tal större än 5 kan skrivas som summan av tre
primtal. Pröva om följande tal kan skrivas som summan av tre primtal.
c) 55
18
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
Den tyske matematikern Christian Goldbach påstod
år 1742 att alla jämna tal större än 2 kan skrivas som
en summa av två primtal. Till exempel är talet 12
summan av 5 och 7, talet 24 är summan av 17 och 7.
Visa att påståendet gäller även för talen
b) 19
·
41
71 42
72 43
73 44
74 45
75 46
76 47
77 48
78 49
79 50
80
51
81 52
82 53
83 54
84 55
85 56
86 57
87 58
88 59
89 60
90
c) 40
15
3
30 är delbart med talen 2, 3 och 5
(eftersom 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5)
31
61 32
62 33
63 34
64 35
65 36
66 37
67 38
68 39
69 40
70
Två primtal som har ett enda heltal mellan sig
kallas för primtalstvillingar. Vilka primtalstvillingar
hittar du bland talen upp till 100?
b) 28
30 har primtalsfaktorerna 2, 3 och 5.
·
Svar: Talet 30 har primtalsfaktorerna
2, 3 och 5.
11
41 12
42 13
43 14
44 15
45 16
46 17
47 18
48 19
49 20
50
R
b) Vilka tal är 30 delbart med?
30
10
ArbetsblAd
1:28
43
4
Mer om olika talsystem
7
__
1 = 7 och 7 = 1
ArbetsblAd
1:27
c) 40 (2 ∙ 20 + 0 ∙ 1)
d)240 (12 ∙ 20 + 0 ∙ 1)
6 = 2 ∙ 3 och 15 = 3 ∙ 5
a) 1 A är störst och C är minst
Kommentarer till uppgifter
1:27
b)12
7 a)3
b)
e) 203
Arbetsblad
6 a)7
Alla tal som inte är primtal är sammansatta tal.
De talen kan faktoriseras i andra tal än 1 och sig självt.
a) 11
Extramaterial
d)
2 a)165 b)632 c)774
4
T.ex.
15
e)
1 tal
Facit och lösningar
7∙1=7
a) 14
e)
d)
1 tal
Kinesernas system att räkna med stavar finns dokumenterat från åtminstone 100-talet f.Kr., men det är fullt möjligt att det är äldre. Deras system påminner om vårt system med basen 10.
Mayaindianerna använde ett s.k. vigesimalt system, med
basen 20 i stället för 10 som i vårt decimalsystem. De skrev
nedifrån och upp, alltså från lägre till högre platsvärde.
36
b)
a) 24
Skriv med det kinesiska talsystemet.
4
a)
7
__
●● endast kan faktoriseras i talen 1 och talet självt.
6 · 20 = 120
2 · 5 = 10
Hur skriver vi talet? Välj i rutan.
●● är större än 1 och endast delbart med 1 och sig självt,
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
b) 6 704
Svar:
För att ta reda på vilka tal som ett sammansatt tal är delbart med,
kan man utgå från talets primtalsfaktorer.
Ett primtal är ett heltal större än noll som
Från talet 20 använde man olika
positioner som i vårt tiosystem. Men man
skrev symbolerna nerifrån och upp.
Tecknen för 1–19.
Talen 1–9 lades så här:
Det går att definiera ett primtal på flera sätt:
R
R
Faktorisering
b)Perfekt. (Delbart med
1, 2, 4, 7 och 14.
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28)
c) Ej perfekt. (Delbart
med 1, 3, 5, 9 och 15.
1 + 3 + 5 + 9 + 15 = 33)
d)Perfekt. (Delbart med
1, 2, 4, 8, 16, 31, 62,
124 och 248.
1 + 2 + 4 + 8 + 16 +
+ 31 + 62 + 124 +
+ 248 = 496)
22 a)34
·
4
2
·
b)210
2
1 tal
37
R
Huvudräkning på olika sätt
Med hjälp av några enkla knep kan man ibland lösa uppgifter med
huvudräkning som man annars skulle beräknat med uppställning.
R
Klädköp: dunjacka 595 kr, skor 895 kr, byxor 310 kr. Vad kostar
kläderna tillsammans?
Vid addition och multiplikation
Dela upp i lättare additioner och subtraktioner:
Avrunda det ena talet uppåt och det andra nedåt.
Det vill säga avrunda talen åt olika håll.
595 + 895 + 310 = 600 + 900 + 300 – 5 – 5 + 10 = 1 800 kr
a) 939 + 663 ≈ 900 + 700 = 1 600
Exempel
23
Dela upp i lättare multiplikationer:
Alternativ 1 5 ∙ 189 = 5 ∙ 200 – 5 ∙ 11 = 1 000 – 55 = 945 kr
Exempel
Att multiplicera med 5 är
detsamma som att multiplicera
med 10 och dividera med 2.
25
37
29
a) 47 ∙ 52
b) 84 ∙ 620
c) 68 ∙ 36
d) 12 ∙ 189
a) 895 kr
30
208
a) ____
42
413
b) ____
65
352
c) ____
82
167
d) ___
43
c) Stämmer det att ditt hjärta slår mer än
1 000 gånger på en lektion som är
40 minuter lång?
b) 240 kr
c) 135 kr
31
d) 119 kr
Fem kompisar ska göra något roligt efter skolan.
Vad kostar det för var och en om det totalt kostar
3 600
b) 340 kr att äta hamburgare
32
Räkna den här uppgiften på flera olika sätt. Ta hjälp av exemplen i rutan.
Ett fotbollslag ska köpa nya tröjor. En tröja kostar 150 kr. Hur mycket kostar
b) 25 tröjor
c) 32 tröjor
Vilket resultat ligger närmast? Välj bland talen i rutan.
a) 2 762 + 1 187
3 700
3 900
4 000
b) 45 ∙ 65
1 tal
84 381
d) _______
21
c) 58 ∙ 61
200 + 200 – 5 – 11
b)1 104
T.ex. 400 + 700 + 9 – 5
c) 1 881. T.ex.
1 400 + 500 – 11 – 8
d)4 360. T.ex.
1 500 + 3 000 –
– 30 – 100 – 10
24 a) 3 580 kr
T.ex. 4 ∙ (900 – 5) =
= 4 ∙ 900 – 4 ∙ 5
b)19 580 kr. T.ex.
4 ∙ (5000 – 100 – 5) =
= 4 ∙ 5 000 – 4 ∙ 100 –
– 4∙5
c) 8 700 kr. T.ex.
4 ∙ (2000 + 200 – 25) =
= 4 ∙ 2 000 + 4 ∙ 200 –
– 4 ∙ 25
d)14 600 kr. T.ex.
4 ∙ (3 000 + 600 + 50) =
= 4 ∙ 3 000 + 4 ∙ 600 +
+ 4 ∙ 50
25 a) 425 kr
85 ∙ 10
T.ex. ______
​ 
 ​
 
 
2
b)1 200 kr
240 ∙ 10
T.ex. _______
​ 
 ​
 
 
2
38
1 tal
124 611
76 611
Fågel
94 332
43 010
Hamster
38 991
25 263
a) ett så stort tal som möjligt
Marsvin
24 298
14 181
b) ett tal så nära noll som möjligt
c) 853 – 746
425 ∙ 2
26 a) 85 kr. T.ex. ______
​ 
 ​
 
 
10
47
b)68 kr
340 ∙ 2
T.ex. ______
​ 
 ​
 
 
10
/
100 ∙ 150
T.ex. _________
​ 
 ​ 
 2
2
c) 4 800 kr
T.ex. 30 ∙ 150 + 2 ∙ 150
d)7 350 kr
T.ex. 50 ∙ 150 – 150
28 a) T.ex. 376 + 645 ≈
≈ 400 + 600 = 1 000
b)T.ex. 129 + 457 ≈
≈ 100 + 500 = 600
c) T.ex. 1328 – 417 ≈
≈ 1 300 – 400 = 900
d)T.ex. 1 738 – 527 ≈
≈ 1 700 – 500 = 1 200
29 a) T.ex. 47 ∙ 52 ≈ 50 ∙ 50 =
= 2 500
23–27
c) T.ex. 68 ∙ 36 ≈ 70 ∙ 35 =
= 70 ∙ 30 + 70 ∙ 5 =
= 2 100 + 350 = 2 450
45 ∙ 65 ≈ 50 ∙ 60 =
= 3 000
37
d)T.ex. 12 ∙ 189 ≈
≈ 10 ∙ 200 = 2 000
Avrunda åt samma
håll ger 578 ifrån det
exakta värdet och åt
olika håll ger 78 ifrån
det exakta värdet.
40
413 420
b)​ ____ ​ ≈ ____
​ 
 ​ = 6
65
70
10 ∙ 150
27 a) 750 kr. T.ex. _______
​ 
 ​
 
 
2
b)3 750 kr
b)45 ∙ 65 ≈ 50 ∙ 70 =
= 3 500
42
352 320
c)​ ____ ​ ≈ ____
​ 
 ​ = 4
82
80
167 180
d)​ ____ ​ ≈ ____
​ 
 ​ = 4
43
45
31 a)3 900
b)4 100
c)3 600
d)4 000
B
C
32T.ex.
a) 237 + 456 ≈
≈ 200 + 500 = 700
237 + 456 ≈
≈ 300 + 500 = 800
237 + 456 = 693
Avrunda åt olika håll
ger 6 från det exakta
och avrunda åt samma
håll ger 94 från det
exakta värdet.
Använd alla talen 0–9 och ett eller flera räknesätt och försök att få talen
1–10. Du ska alltså använda alla tal för att göra 1, alla tal för att göra 2 osv.
a) Beräkna 1 – 3 + 5 – 7 + … – 19 + 21
b) Beräkna 1 – 3 + 5 – 7 + … – 99 + 101
c) Vilken lösningsstrategi använde du när du löste uppgift a och b?
Beskriv hur du löste uppgifterna.
d) Förklara hur man kan beräkna liknande typ av uttryck när
sista talet är 1 000 001.
D I kryptaritmer har siffrorna bytts ut mot bokstäver. Ersätt varje bokstav
med en siffra så att beräkningen stämmer. Det kan finnas flera lösningar.
a)
b)
c)
d)
1 tal
48
b)T.ex. 84 ∙ 620 ≈
≈ 90 ∙ 600 = 54 000
208 200
30 a)​ ____ ​ ≈ ____
​ 
 ​ = 5
R
c) ett tal så nära 100 som möjligt
1 tal
Kommentarer till uppgifter
d)595 kr. T.ex.
5 ∙ (100 + 20 – 1) =
= 5 ∙ 100 + 5 ∙ 20 – 5 ∙ 1
Skriv talen 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 i ditt räknehäfte. Placera ut en eller
flera symboler för något eller några av de fyra räknesätten så att du får
2 658
d) _____
42
1 tal
c) 675 kr
135 ∙ 10
T.ex. _______
​ 
 ​
 
 
2
A
e) Enligt sagan klättrade prinsen upp till
prinsessans Rapunzel med hjälp av hennes
långa hår. Normalt hår växer med
ca 0,32 mm per dag. Är det troligt att
Rapunzels hår var längre än 10 meter?
4 100
Facit och lösningar
23 a) 384. T.ex.
Kanin
d) När du spolar i toaletten gör du av med
mellan 3 och 6 liter vatten. Blir det mer
eller mindre än 5 000 l på ett år?
Avrunda först båda talen åt samma håll och gör ett överslag. Avrunda
sedan båda talen åt olika håll och gör ett överslag. Räkna till sist ut hur
långt överslagsvärdena är från det exakta värdet.
a) 237 + 456
d) 49 tröjor
b) 5 342 – 1 251
3 800
575 000
a) Du har 54 kr i plånboken. Har du råd att
köpa 7 hekto lösgodis för 7,90 kr/hekto?
b) Sover du mer eller mindre än 3 000 timmar
på ett år?
Vad kostar fem chokladaskar om en ask kostar
745 000
783 952
Motivera dina svar med överslagsräkning.
d) 1 738 – 527
d) 3 650 kr
Problemlösning, resonemang och kommunikation
1 158 822
Hund
Lasse är på långresa och har 22 liter bensin
i tanken. Han vet att bilen drar 0,7 liter bensin
per mil. Vägskyltarna visar även avstånden till
de tre närmaste bensinmackarna. Hinner han
köra till Hudiksvall innan bensinen tar slut?
c) 1 328 – 417
c) 2 175 kr
Hushåll
Malika löptränar under hela året. Varje vecka springer hon mellan 5 och
7 kilometer. Springer hon mer än 40 mil på ett år?
b) 129 + 457
b) 4 895 kr
Antal
Kajsas pappa samlar tändsticksaskar med olika motiv. Han har 500 st. Varje
ask har måtten 5,8 cm x 3,9 cm x 1,8 cm. Får de plats i en skrivbordslåda
med måtten 6 dm x 4 dm x 1 dm?
a) 376 + 645
a) 5 tröjor
46
a) Antalet hundar och katter är tillsammans mer än
2 miljoner.
28
a) 425 kr att gå på bio
27
36
Beräkna med överslagsräkning.
d) 1 470 + 2 890
Katt
Fyra personer ska göra en resa. Hur mycket kostar resan
för dem tillsammans om det för en person kostar
a) 85 kr
26
c) 1 389 + 492
År 2012 gjordes en undersökning om vilka de populäraste
sällskapsdjuren var i Sverige. Tabellen visar till exempel
att det år 2012 fanns 1 158 822 katter fördelade på
745 000 hushåll. Stämmer fäljande påståenden?
b) Fåglar är det sällskapsdjur man har flest av per
hushåll.
35
a) 859 – 347 ≈ 900 – 400 = 500 eller 869 – 347 ≈ 800 – 300 = 500
1 865 2 000
1 865 1 600
b) _____ ≈ _____ = 40 eller _____ ≈ _____ = 40
45
40
45
50
Lös följande utan att göra en uppställning. Beskriv hur du har tänkt.
b) 409 + 695
R
34
b) 570 ∙ 43 ≈ 600 ∙ 40 = 24 000
Avrunda båda talen uppåt eller nedåt.
Det vill säga avrunda talen åt samma håll.
a) 195 + 189
24
R
Vid subtraktion och division
En familjepizza kostar 189 kr. Vad kostar 5 familjepizzor?
189 1 890
Alternativ 2 5 ∙ 189 = 10 ∙ ____ = _____ = 945
2
2
33
Exempel
Svar: Kläderna kostar 1 800 kr tillsammans.
Svar: 5 familjepizzor kostar 945 kr.
Lös följande uppgifter med hjälp av överslagsräkning.
Att göra en överslagsräkning innebär att man avrundar talen så att
beräkningarna enkelt kan göras med huvudräkning. För att få ett svar
som ligger så nära det exakta värdet som möjligt finns det några regler
som kan vara bra att känna till.
Exempel
R
Uppslaget
Beräkna med överslagsräkning
45 ∙ 65 = 2 925
c) 853 – 746 ≈
≈ 900 – 800 = 100
853 – 746 ≈
≈ 900 – 700 = 200
853 – 746 = 107
Avrunda åt samma
håll ger 7 ifrån det
exakta värdet och åt
olika håll ger 93 ifrån
det exakta värdet.
2 658 2 400
d)​  _____
 ​ 
≈ ​  _____
 ​ 
= 60
42
40
2 800
​  _____
 ​ 
= 70
40
2 658
​  _____
 ​ 
≈ 63
42
Avrunda åt samma
håll ger 3 ifrån det
exakta värdet och
avrunda åt olika håll
ger 7 ifrån det exakta
värdet.
Facit anger exempel på huvudräkningsstrategier. Be
gärna eleverna att tänka ut andra varianter.
Uppgifterna ger exempel på hur man kan utnyttja
överslagsräkning för att snabbt kunna bilda sig en
uppfattning om storleksordningen på ett tal.
49
Lösningsförslag uppslaget
A a) T.ex. 0 + 12345678 ∙ 9 = 111 111 102
b)T.ex. 0 ∙ 1 – 2 + 3 + 4 – 5 – 6 + 7 + 8 – 9 = 0
c) T.ex. 0 + 1 + 2 + 3 – 4 ∙ 5 + 6 ∙ 7 + 8 ∙ 9 = 100
0 + 123 – 4 – 5 – 6 – 7 + 8 – 9 = 100
0 + 123 – 45 – 67 + 89 = 100
0 + 1 ∙ 2 ∙ 3 – 4 ∙ 5 + 6 ∙ 7 + 8 ∙ 9 = 100
B T.ex. 0 – 1 – 2 + 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 = 1
Facit och lösningar
33 a) Falskt. Om båda talen
avrundas uppåt till
hundratusental får
man
1 200 000 + 800 000 =
= 2 000 000.
b)Sant. Endast fåglar är
fler än 2 per hushåll.
34Ja. Avrunda askens mått
till 6 cm × 4 cm × 2 cm.
Då får man plats med
10 · 10 askar i varje lager.
På höjden rymmer lådan
5 lager.
35Nej, 7 · 52 ≈ 7 · 50 =
= 350 km = 35 mil.
22
21
36Ja, ___
​    ​ ≈ ___
​    ​ = 30 mil =
0,7 0,7
= 300 km.
37 a) Nej, 7 · 8 = 56.
b)Mer. Anta att du sover
8 h/dygn
8 · 365 ≈ 8 · 400 =
= 3 200.
c) Nej. Vilopulsen för en
tonåring varierar mellan 60 och 100 slag/
min. Det ger mellan
2 400 – 4 000 slag på
40 minuter.
d)Mer. Om du spolar
5 gånger per dag blir
det ungefär
5 · 3 · 400 = 6 000 liter.
e) Troligtvis inte, men
det beror på hur gammal prinsessan var.
0,32 mm per dag ger
ungefär 0,3 · 400 =
= 120 mm på ett år,
alltså ca 10 m på 80 år.
0∙1+2–3–4+5–6+7–8+9=2
0+1–2+3–4+5+6–7–8+9=3
0∙1–2+3–4+5–6+7–8+9=4
0+1–2+3–4+5–6+7–8+9=5
0∙1∙2+3–4+5–6+7–8+9=6
0+1–2–3+4+5–6+7–8+9=7
0∙1∙2+3–4–5+6+7–8+9=8
0+1+2+3–4+5–6+7–8+9=9
0 ∙ 1 ∙ 2 – 3 + 4 – 5 + 6 + 7 – 8 + 9 = 10
C a)11
b)51
c) I a) finns 1 + 10 termer som kan grupperas som
1 – 3 + 5 – 7 + 9 – … – 19 + 21 = 1 + 5 ∙ 2 = 11.
I b) finns på motsvarande sätt 1 + 50 termer vilket ger
summan = 1 + 25 ∙ 2 = 51.
d)Om sista talet är 1 000 001 blir uppdelningen
1 + 500 000 termer som ger summan 1 + 250 000 ∙ 2 =
= 500 001.
D a)
C
C
C
D C
c) L E A
L EA
E D L
5
5
+ 5
1 5
2 4 1
2 4 1
4 8 2
b) J A
+A
A J
d)
1
8 9
+ 9
9 8
HA L F
HA L F
WH O L E
1
97 0 3
97 0 3
1 94 0 6
1 tal
39
S
Svarta sidorna
Extrauppgifter
Svarta sidorna
De svarta sidorna är avsedda för de elever som är klara
med röd kurs och som behöver mer utmaningar. Här
möter eleverna uppgifter som kan ligga utanför kapitlets
egentliga innehåll. För att underlätta för dig som lärare
finns här facit med lösningsförslag till alla uppgifter.
5
Mer om mayafolkets talsystem
1 · 20 = 20
Om mayafolkets talsystem hade varit helt
baserat på talet 20, så skulle talen från och med
400 skrivas med hjälp av en tredje position.
20
0·1=0
22
2 · 20 = 40
I sådana fall skulle talet 700 skrivas
55
1 · 20 · 20 = 400
1 · 20 = 20
2·1=2
6 · 20 = 120
2 · 5 = 15
123
3·1=3
6
15 · 20 = 300
0·1=0
S
Kommentarer och lösningar
till uppgifter
Talet 399 skrivs på detta sätt som
7
(1 · 360 + 1 · 20 + 19).
1
b)2 000 = 5 ∙ 360 + 10 ∙ 20 + 0 ∙ 1 ·
+
·
S
= 131
a) Summan av tre olika positiva heltal är 9. Vilka ska talen
vara för att deras produkt ska bli så stor som möjligt?
c) Dra en slutsats från dina svar i a) och b). Beskriv vilka tal
Skriv med vårt talsystem
b)
c)
du ska välja för att produkten ska bli så stor möjligt.
d)
8
2
c) 5 ∙ 360 + 10 ∙ 20 + 16 ∙ 1 = 2016
2 a) 700 = 1 ∙ 360 + 340 = 1 ∙ 360 + 17 ∙ 20 + 0 ∙ 1
+
b)tresiffriga
vara för att deras produkt ska bli så stor som möjligt?
1 a) 1 ∙ 360 + 2 ∙ 20 + 0 ∙ 1 = 400
d)16 ∙ 360 + 12 ∙ 20 + 0 ∙1 = 6 000
a)tvåsiffriga
b) Summan av tre olika positiva heltal är 12. Vilka ska talen
a)
b)2 ∙ 360 + 14 ∙ 20 + 0 ∙ 1 = 720 + 280 = 1 000
samma tal om vi läser det baklänges. Hur många
palindromtal finns det som är
I kvadraterna ska det stå ett heltal, i trianglarna ett annat heltal
och i cirklarna ett tredje heltal. Ge exempel på vilka talen kan
vara
·
Men i stället multiplicerade man alla tecken i den tredje positionen med 360 (18 · 20).
1 Talet 434 är ett palindromtal. Det betyder att det blir
Välj ett av talen 54, 87, 32 eller 76. Byt plats på tiotalssiffran
och entalssiffran i det tal du valde. Beräkna differensen av det
ursprungliga talet och det nya talet. Multiplicera sedan
resultatet med två och dividera med sex. Vilket tal får du nu?
Gör om samma sak med ett av de andra talen. Kan du se
mönstret? Finns det fler sådana tal?
Skriv med mayafolkets talsystem
a) 700
3
4
b) 2 000
c) 4 567
d) 7 100
Skriv mayasystemet största tal som kan skrivas med tre positioner i vårt
talsystem.
9
10
2
9 137
983
3
9 217
983
3 Vilket är det minsta naturliga talet som gör att
Ta två av talen 1, 3, 5, 7 och 9 och lägg ihop dem. Hur många
olika summor kan du få, om du gör det på alla möjliga sätt.
produkten av talet och 99, inte innehåller siffran 9?
Vilket tal uppfyller alla villkoren här nedanför? Motivera ditt svar.
Lösningar till extrauppgifter
b) Addera 4 074 0ch 512 med hjälp av samma metod.
●● Talet är en produkt av tre primtal
●● Talet är udda
●● Talets siffersumma är delbart med 4
11
1 a) 9 st. (11, 22, …, 99)
I ett solsystem långt borta har man upptäckt tre planeter som
kretsar runt stjärnan. Deras omloppstider är 20 veckor, 30
veckor och 35 veckor. En dag ligger de alla på samma linje från
stjärnan sett. Hur många veckor dröjer det tills de ligger på
samma linje igen?
19 ∙ 360 + 19 ∙ 20 + 19 ∙ 1 = 7 239
4 a) Först byter man entalssiffran i det övre talet mot sum-
b)
1
2
3
MONEY
storleksordning från det minsta till det största.
4
10 117
983
a) Beskriv så noggrant du kan hur metoden fungerar.
50
+ MORE
________
●● Ett av talets primtalsfaktorer är ett tvåsiffrigt tal som
3 Det största talet som kan skrivas med tre positioner är
man av entalssiffrorna i de två talen. Sedan byter man ut
tiotalssiffran mot summan av de två talens tiotalssiffror.
Slutligen byter man ut hundratalssiffran efter samma
mönster. Om summan av t.ex. tiotalssiffrorna blir 10
eller större, så ökar man hundratalssiffran med 1.
SEND
Produkten av tre olika positiva heltal är 24. Vilka ska talen
vara för att deras summa ska vara så liten som möjligt?
består av två på varandra följande siffror
d)7 100 = 19 ∙ 360 + 8 ∙ 20 + 0 ∙ 1
resa och behövde pengar. Han
skickade ett telegram till sina
föräldrar. Hur mycket pengar
behövde han?
●● Talet består av tre på varandra följande siffror i
Så här kunde en uppställning för addition se ut på 1300-talet.
1
9 134
983
c) 4 567 = 12 ∙ 360 + 12 ∙ 20 + 7 ∙ 1
2 En ung engelsman var på en
1 tal
1 tal
51
3 Talet 12 (12 · 99 = 1 188).
b)90 st. Det finns 9 olika
siffror ett tresiffrigt tal
kan börja på. För siffran i mitten kan man
sedan välja mellan alla
10 siffror. Alltså finns
det 9 · 10 = 90 tresiffriga palindromtal.
2 Här adderar man två fyrsiffriga tal. Den femsiffriga summan måste vara
mindre än 20 000, eftersom S ocah M inte är
större än 9 eller 8. Det
ger att M = 1. Genom
prövning kommer man
sedan fram till att S = 9,
E = 5, N = 6, D = 7, M = 1,
O = 0, R = 8 och Y = 2.
4
4 074 4 076 4 086 4 586
512
512
512
512
5 Uppgiften kan bevisas med algebra, t.ex. som nedan:
Tiotalssiffran är ett mer än entalssiffran. Kalla entalssiffran
för a. Då kan tiotalssiffran skrivas som 10(a + 1). Talet kan
skrivas som 10a + 10 + a = 11a +10. Kastas siffrorna om blir
talet istället 10a + (a + 1) = 11a + 1. Differensen mellan
talen (11a +10) och (11a + 1) är 9, vilket kan troliggöras
utan att man behöver införa ”minus framför parentes”. Om
man multiplicerar svaret med 2 och sedan dividerar med
sex får man alltid talet 3.
6 Prövning är enda möjligheten. Talen kan vara 1, 3 och 11
eller 1, 7 och 9.
7 Uppgiften kan relateras till geometri. Om man t.ex. vill
inhägna ett rektangelområde med ett snöre, dvs. med en
given omkrets – hur ska jag då göra för att få så stor area
som möjligt? Ju mer lika sidorna är desto större område.
a) 2, 3 och 4
b) 3, 4 och 5
c) Talen ska vara så lika i storlek som möjligt.
10 Det första påståendet ger 123, 234, 345, 456, 567, 678, och 789.
Det fjärde ger 123, 345, 567 och 789. Det femte ger 345 eller
789. Uppdelning i primtalsfaktorer ger
345 = 5 ∙ 69 = 5 ∙ 3 ∙ 23 samt 789 = 3 ∙ 263. Talet 345 är det tal
som uppfyller alla villkor.
11 Uppgiften är att finna den första gemensamma multipeln till
8 Talet 24 kan delas upp i tre faktorer på två olika sätt:
talen 20, 30 och 35, dvs. vilket tal som först finns respektive multiplikationstabell. Talen kan skrivas som
9 Skriv t.ex. upp alla tänkbara summor och stryk de som är
20 = 2 ∙ 2 ∙ 5
30 = 2 ∙ 3 ∙ 5
35 = 3 ∙ 7
24 = 2 ∙ 3 ∙ 4 = 2 ∙ 2 ∙ 6. Talen 2, 3 och 4 ger den minsta summan.
lika: 1 + 3 = 4; 1 + 5 = 6; 1 + 7 = 8; 1 + 9 = 10; 3 + 9 = 12;
5 + 9 = 14; 7 + 9 = 16. Man kan alltså få 7 olika summor.
40
1 tal
Det första talet som innehåller faktorer från alla tre talen är
420 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7. Det tar 420 veckor.
1 tal
41
S
Sammanfattning
●● Primtal och sammansatta tal
0,8
0
Begreppskarta 1:2
Behandlar begreppen tal, siffra, tiosystemet, platsvärde, delbarhet, siffersumma, primtal, sammansatta tal,
jämna tal, udda tal, multipel, decimalform, bråkform.
Med dessa siffror kan vi skriva alla tal.
1 tal
Platsvärde
I talet 702 har siffran 7 platsvärdet hundratal.
Siffran 7 är värd 7 hundratal.
En siffras platsvärde beror på vilken
plats det har i talet.
Decimaltalet 4,208 består av 4 ental,
2 tiondelar, 0 hundradelar och 8 tusendelar
Ett sammansatt tal kan delas upp i fler
faktorer än talet själv och 1. När det inte
går att dela upp talet mer, är talet uppdelat
i primtalsfaktorer.
1,5
6 och 8 är exempel på sammansatta tal:
6 = 3 ∙ 2 och 8 = 2 ∙ 2 ∙ 2
7 0
7 0 2
I talet 70 har siffran 7 platsvärdet tiotal.
Siffran 7 är värd 7 tiotal.
ental tiondel
hundradel
tusendel
4 , 2 0 8
Decimaltecken
Decimaler
●●Delbarhetsregler
Tal delbara med
 2 är alla jämna tal
 3 är tal vars siffersumma är delbar med 3
 5 är tal som slutar med 0 eller 5
10 är tal som slutar på 0
Exempel
De första sammansatta talen är:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …
Talet 48 är ett jämnt tal.
Faktorträd
Med hjälp av ett
faktorträd kan du
bestämma ett tals
primtalsfaktorer.
36 har primtalsfaktorerna 2, 2, 3
och 3.
Talets siffersumma är 4 + 8 = 12
Alltså är 48 delbart med 2.
12 är delbart med 3.
36
4
2
·
Alltså är 48 delbart med 3.
9
·
2
S
Delbarhetsregler
3
·
3
Eftersom 48 inte slutar på 0 eller 5 är talet
inte delbart med 5, inte heller med 10.
●●Avrundning
●●De fyra räknesätten
Addition
12 + 3 = 15
Term
Subtraktion
12 – 3 = 9
Summa
Term
Differens
●●Multiplikation och division
●●Överslagsräkning
Avrundningsregler
10 ∙ 3,65 = 36,5
När man gör en överslagsräkning avrundar
man först talen så att man sedan lätt kan
använda huvudräkning.
●●0, 1, 2, 3 eller 4 avrundas talet nedåt,
med 10, 100 och 1 000
100 ∙ 3,65 = 365
1 000 ∙ 3,65 = 3 650
Division
Täljare
Nämnare
Behandlar begreppen addition, subtraktion, division, multiplikation,
summa, differens, produkt, kvot, term,
faktor, produkt, täljare, nämnare, udda
tal, jämna tal.
3, 6 5
3 6, 5
Multiplikation
12
___
=4
3
Kvot
12 ∙ 3 = 36
Faktor
Produkt
365
____
= 36,5
10
365
____
= 3,65
100
365
______
= 0,365
1 000
3 6 5
3 6, 5
Exempel
Patrik köper ett par byxor för 495 kr en
t-shirt för 120 kr och en tröja för 279 kr.
495 kr + 120 kr + 279 kr ≈
≈ 500 kr + 100 kr + 300 kr = 900 kr
Klädesplaggen kostar ungefär 900 kr
tillsammans.
Stella köper 21 strumpor för 39 kr styck.
21 ∙ 39 ≈ 20 ∙ 40 = 800 kr
Strumporna kostar ungefär 800 kr
tillsammans.
Om siffran efter avrundningssiffran är
man behåller avrundningssiffran.
●●5, 6, 7, 8 eller 9 avrundas talet uppåt.
Exempel
Efter ett kapitel kan det vara lämpligt att utvärdera hur
väl eleverna har tillgodogjort sig undervisningen. Det är
önskvärt att eleverna får visa sina kunskaper på olika
sätt.
I materialet Arbetsblad, prov och aktiviteter finns förslag till kapitelprov på E- till A-nivå, kapitelprov på
E-nivå och även förslag till ett muntligt prov. Till proven
finns dessutom bedömningsmallar och bedömningsmatriser.
Till varje kapitel finns en självskattningsmatris där
eleven själv får bedöma sina kunskaper mot kapitlets
lärandemål. Den kan hjälpa eleven att reflektera över sitt
eget lärande men kan också ge dig som lärare en bild av
elevens kunskapsnivå.
Att låta eleverna arbeta med begreppskartor kan, förutom att ge eleverna insikt om sitt eget lärande, även
fungera som ett sätt för eleverna att visa sina kunskaper.
Mer om bedömning, prov och hur de kan användas
finns att läsa om i lärarguidens inledande text.
Avrunda till heltal: 43,|76 ≈ 44
Avrundningssiffra
Avrunda till tiotal: 3 42|7 ≈ 3 430
Avrunda till hundratal: 5 8|29 ≈ 5 800
Avrunda till tusental: 47|256 ≈ 47 000
Avrunda till två decimaler:
Är tredje decimalen 5 eller större,
avrunda uppåt: 7,26|5 ≈ 7,27
Är tredje decimalen mindre än 5,
avrunda nedåt: 7,26|4 ≈ 7,26
52
42
1
lar
Begreppskarta 1:1
0,5
I vårt talsystem använder vi siffrorna
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, och 9.
tio
ta
l
en
ta
l
tio
nd
e
hu lar
nd
ra
de
Ett bra sätt att repetera de begrepp och metoder som presenterats i kapitlet och samtidigt utveckla elevernas resonemangsförmåga, är att låta eleverna arbeta med
begreppskartor. Att arbeta med begreppskartor gör att
eleverna blir uppmärksammade på sina egna kunskaper.
I materialet Arbetsblad, prov och sktiviteter finns ett
arbetsmaterial som underlättar elevernas arbete med
begreppskartor.
1,25
nd
ra
ta
tio
l
ta
l
en
ta
l
tio
nd
el
Begreppskartor
Ett primtal är ett heltal som är större än 1
och endast delbart med sig självt och 1. De
första primtalen är
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ...
Man kan placera alla tal på en tallinje. Ju större talet är
desto längre till höger på tallinjen ligger talet.
hu
S
●●Tiosystemet





Sammanfattningen tar upp viktiga begrepp och metoder
som behandlas i kapitlet. Den ger en bra överblick av
kapitlet och är därför en god hjälp för eleverna när de ska
repetera.
Bedömning
Sammanfattning
tio
tu
s
tu ent
al
se
n
hu tal
nd
r
tio ata
ta l
l
en
ta
l
S
1 tal
1 tal
53
1 tal
43
S
Download
Random flashcards
Svenska

105 Cards Anton Piter

Create flashcards