Optik
Inledning
En stor del av den information som vi får från vår omgivning kommer till oss i form av ljus. I
ögat omformas denna information till bilder som i hjärnan bearbetas och analyseras. Det sätt
vi tolkar och påverkas av de signaler av ljus som når oss är ganska komplicerat, medan steget
från objekt till bild är ganska bra utrett fysikaliskt. Låt oss titta på ett enkelt
avbildningssystem, hålkameran (Fig. 1.).
Fig. 1. Hålkameran
Varje punkt på objektet ger upphov till en ljusfläck i kamerans botten. Man borde vänta sig att
om man minskar hålet i kameran mer och mer så skulle bilden bli skarpare och skarpare. Så är
inte fallet utan man når en gräns då bilden inte längre blir bättre. (Fig. 2.) Den intuitiva
uppfattningen att ljussignalerna går rakt fram stämmer inte längre. Denna modell för ljusets
utbredning är inte tillräcklig om hålet blir för litet.
Stråloptik s 1
Fig. 2. Avbildningen med hålkameran blir optimal för en viss hålstorlek, här 0,35 mm.
Ljuset är ett flöde av partiklar (partikelmodellen) men också en vågrörelse (vågmodellen). Vi
delar därför in optiken i två delar, stråloptik och vågoptik trots att partikel och vågaspekten
blandas då vi betraktar fenomen i den lilla världen dvs. atomernas värld. Allt sedan slutet av
1800-talet har det ansetts uppenbart att ljuset är elektromagnetiskt till sin natur. Dessutom
gäller det för ljuset att det sänds ut (och absorberas) i form av energikvanta, fotoner. Denna
elektromagnetiska modell för ljuset som både tar hänsyn till ljusets våg och
partikelegenskaper kallas fotonmodellen. Denna modell har som upphovsmän Planck och
Einstein. Fotonernas hastighet i vakuum betecknas c. Enligt den senaste definitionen på
längdenheten metern gäller att ljusets hastighet c kan skrivas exakt:
c = 299 792 458 m/s.
För en vågrörelse gäller allmänt att:
λ ⋅υ = !
I denna ekvation betecknar ! våglängden, " frekvensen och v vågutbrednings-hastigheten.
Energin E för en foton ges av
" = # ⋅υ
där h är Plancks konstant med värdet 6,6262#10-34Js.
Stråloptik s 2
I stråloptiken ersätter vi vågfronter med strålar som går vinkelrätt mot vågfronterna. (Fig. 3.)
Det är när ljuset träffar små strukturer som man inte längre kan dra raka strålar utan då bör
ljusets vågnatur istället beaktas.
Vågfronter
Ljusstrålar
Vågfronter
Ljusstrålar
Fig. 3. Ljusstrålarna går vinkelrätt mot vågfronterna.
----------------------------------------------
Stråloptik
Strålknippe
Tre typer av strålknippe finns. Divergent, parallellt och konvergent. (Fig. 4.) Ett strålknippe är
divergent nära en ljuskälla, blir nästan parallellt på stora avstånd från ljuskällan och då
knippet avbildas till en bildpunkt blir det konvergent.
Fig. 4. Divergent, parallellt och konvergent strålknippe.
Hur divergent ett knippe är beror på avståndet till ljuskällan och inte på hur stor del av allt
som når t.ex. en yta. I figuren nedan (fig. 5.) är således knippet mera divergent i A i vänstra
bilden än i B i högra.
A
B
Fig. 5. Strålknippets divergens är bara beroende av avståndet till strålkällan.
Man kan avgöra om objekt eller bild är reell eller virtuell genom att undersöka hur
strålknippena ser ut. En reell bild kan uppfångas på en skärm vilket inte gäller om en virtuell
sådan. I nedanstående figur framgår vilka olika typer av bilder och objekt som kan uppträda
vid en optisk avbildning.
Stråloptik s 3
Optiskt
system
Reelt objekt
Reel bild
Optiskt
system
Virtuellt objekt
Virtuell bild
Fig. 6. Strålknippets egenskaper före och efter ett optiskt system bestämmer vilken typ av
objekt och bild det är.
Det bör observeras att strålar som konvergerar mot en punkt blir divergenta efter punkten (fig.
7).
Fig. 7. Omvandling från konvergent till divergent strålknippe.
Reflexion
Då ljus träffar en yta kommer vanligen en viss del att spridas tillbaka. Denna spridning sker
ofta i många olika riktningar. Om ljuset speciellt träffar en yta som är plan dvs. jämn med
ljusvåglängden som mått sker en reflexion mot ytan. I detta fall gäller reflexionslagen dvs.
reflexionsvinkeln r, blir lika stor som infalls vinkeln i. (Fig. 8.)
i r
Spegel
i
r
Spegel
Fig. 8. Infallsvinkeln och reflexionsvinkeln är lika stora vid reflexion
En yta som uppfyller ovannämnda krav på ytnoggrannhet kallas en spegel. En speglande yta
reflekterar ofta bara en viss del av det infallande ljuset. Kvoten mellan reflekterad intensitet Ir
och infallande intensitet Ii kallas reflektiviteten R dvs.
%
$= &
%'
Stråloptik s 4
För en glasyta eller en vattenyta är denna reflektivitet beroende av infallsvinkeln. För t.ex.
glas är R = 4% vid vinkelrätt infall medan R närmar sig 100% vid strykande infall dvs. då
i =90°. Reflexionslagen kan sägas följa ur en allmän princip nämligen Fermat´s princip som i
sin enklaste version säger att ljusets väg representerar den snabbaste vägen mellan två
punkter. Ljus via spegeln (Fig. 9.) från A till B måste således gå via punkten C.
B
A
i r
C
A´
Fig. 9. Vägen från A till B via C är den kortaste och därmed den snabbaste.
Detta beror på att sträckan A´CB blir den kortaste och därmed den snabbaste. Av detta följer
att vinklarna i och r är lika. Lika väl som en stråle går från A till B via punkten C så kommer
en stråle från B till A också att gå via punkten C. Detta är ett exempel på lagen om
strålgångens omvändbarhet. Mera allmänt innebär denna lag att objekt och bild kan byta plats
i ett optiskt system. Nedan (Fig. 10.) visas ett exempel på hur spegling i en planspegel kan se
ut.
A
B
A
B
Fig. 10. Strålgången är omvändbar
Det divergenta strålknippet från objektpunkten A är fortfarande divergent efter spegling i ytan
och tycks komma från den virtuella bildpunkten B. Omvänt som i högra figuren kommer ett
konvergent knippe mot den virtuella objektpunkten B att efter reflexionen konvergera mot den
reella bildpunkten A.
Stråloptik s 5
Brytning
Ljusets hastighet är som nämnts oerhört stor, ungefär 300 000 km/s eller 3#108 m/s. Detta
motsvarar att ljuset från månen når oss på lite drygt en sekund. Då ljus går in i ett medium
som är genomskinligt sänks hastigheten och i vatten är den i stället 2,3#108 m/s. Kvoten
mellan ljushastigheten c i vakuum och dess hastighet v i ett medium benämns brytningsindex
och betecknas med n, dvs.
)
(=
!
för vatten är värdet på n $ 1,33 och för glas gäller n $ 1,5. Brytningsindex varierar också
något för olika färger. Detta är anledningen till den färguppdelning som sker i regnbågen.
Då en ljusstråle träffar en yta under en sned vinkel erhålls en brytning av strålen. Brytningen
beror på strålens infallsvinkel och brytningsindex. I detta sammanhang gäller brytningslagen:
(! ⋅ #$% ' = (" ⋅ #$% *
Då n2 är större än n1 ser brytningen ut enligt figuren nedan.
i
i
n1
n2
b
b
i n1
n1
n2
n2
b
Fig. 11. Brytning i en yta.
Om en stråle kommer från andra hållet i förhållande till gränsytan kan s.k. totalreflexion
uppträda. (Fig. 12.)
n1
i
n2
n1
i~ g
n2
Fig. 12. Totalreflexion och gränsvinkeln för totalreflexion.
Då strålens infallsvinkel i minskas till en viss vinkel g = gränsvinkeln, kommer en stråle att
erhållas som går ut parallellt med ytan. Totalreflexion används bl.a. i prismor för att man skall
ha hög reflektivitet. Totalreflexion används också i optiska fibrer som kan leda ljus stora
sträckor utan alltför stora förluster av ljus (se fig. 13 nästa sida).
Stråloptik s 6
Mantel
nc
nf
Mantel
Fiberkärna
nc
n c < nf
Fig. 13. Ljusets ledning i en optisk fiber.
Reflexion mot buktig yta
Då en ljusstråle träffar en speglande buktig yta reflekterar den i varje punkt som om ytan där
vore plan. Genom att ytan lutar olika mycket i olika områden kan hela knippen ändra sin form.
Parallella knippen kan omvandlas till konvergenta eller divergenta. Om den buktiga ytan är en
sfär kommer ett divergent ljusknippe från sfärens centrum att återkastas tillbaka på sig själv
(Fig. 14).
M
Sfärens
centrum
M
Optisk
axel
Fig. 14. Reflexion i en sfär och optisk axel.
En stråle som går från sfärens centrum till den buktiga ytans centrum definierar den optiska
axeln. (Fig. 14.) Strålar som träffar den buktiga ytan och som är parallella med den optiska
axeln kommer att konvergera mot eller divergera från den s.k. fokalpunkten F, belägen på
halva radien (Fig. 15).
M
F
F
M
Fig. 15. Fokalpunkt för konkav och konvex spegel.
En förutsättning för att fokalpunkten skall vara väl definierad är att strålknippet ej är för brett.
Strålar som kommer för långt ut från huvudaxeln kommer att skära denna axel något närmare
spegeln. Denna effekt kallas sfärisk aberration (fig. 16 nästa sida).
Stråloptik s 7
M
f
Fig. 16. Sfärisk aberration i en spegel.
Det finns dock en yta som har väldefinierat fokus även för strålar som kommer långt ut från
den optiska axeln. En sådan yta kallas paraboloid.
Avbildning med speglar
Ett föremål i ett optiskt system betraktas som en samling punktformiga ljuskällor vilka var
och en sänder ut ett divergent strålknippe.
Hur avbildas då ett objekt?
Om objektet ligger långt borta från spegeln sker avbildningen nära spegelns fokus. En punkt i
ett oändligt avlägset objekt som ligger på optiska axeln avbildas i fokus, medan en punkt
utanför optiska axeln avbildas i fokalplanet. Detta plan har optiska axeln som normal och går
genom fokus (Fig. 17).
M
F
Optisk
axel
Fokalplan
Fig. 17. Parallella strålar från en avlägsen objektpunkt konvergerar till en bildpunkt i
spegelns fokalplan.
Stråloptik s 8
Vid konstruktion av bilden då objektet ligger nära spegeln kan tre olika strålar dras från
objektet.
1) Strålen som går parallellt med den optiska axeln.
2) En stråle som går genom spegelns medelpunkt.
3) En stråle som går genom fokus.
Den första strålen reflekteras mot fokus, den andra återkastas i motsatt riktning och den sista
går ut parallellt med optiska axeln efter reflexionen.
F
M
Bildpunkt
Fig. 18. Avbildning av pilspetsen.
Andra punkter på objektpilen kommer att avbildas till punkter närmare den optiska axeln och
vi får en hel bildpil.
F
M
Fig. 19. Avbildning av andra punkter på pilen.
Stråloptik s 9
Brytning av buktig yta
Precis som med speglar leder brytning i en sfärisk yta till ett fokus.
n1
n2
Fig. 20. Brytning i en sfärisk yta (n1 = 1 och n2 = 1,5)
Avbildningen är liksom för speglar ej perfekt för randstrålar och den paraboliska spegeln
motsvaras av en ellipsoid. I normala fall kombineras två ytor till en lins. Denna får två
fokalpunkter som för en tunn lins ligger lika långt från linsens centrum. På samma sätt som
för en spegel erhåller man också ett fokalplan vinkelrät ut från fokalpunkten. Hur ser då
strålkonstruktionen ut med en lins?
Liksom för en spegel är tre strålar viktiga:
1) Strålen genom första fokus.
2) Strålen genom linsens centrum.
3) Strålen parallellt med optiska axeln.
Hur dessa strålar bryts framgår av nedanstående figur.
f = +3 cm
F2
F1
Fig. 21. Avbildning i en lins.
Stråloptik s 10
Då ett föremål befinner sig på stort avstånd erhålls en bild alldeles vid fokus
F2
Fig. 22. Avbildning av ett avlägset objekt.
De sneda strålarna representeras t.ex. toppen på ett berg, medan den optiska axeln pekar mot
bergets fot. Den erhållna bilden är i detta fall kraftigt förminskad. Ur figurerna på nästa och
efterföljande sida framgår hur avbildningen blir för olika objektavstånd för en positiv och en
negativ lins. Då objektet befinner sig på avståndet 2f, fås symmetrisk avbildning där bilden
blir lika stor som objektet. (Fig. 23c). Ett liknande fall erhålls för en negativ lins (Fig. 24g). I
figuren är objektet virtuellt och är t.ex. en reell bild från ett tidigare optiskt system. Om
objektet är placerat i linsens fokus (Fig. 23e och Fig. 24f.) hamnar bilden oändligt långt borta.
Stråloptik s 11
Reell bild
F2
a)
F1
2f
F2
b)
F1
2f
F2
c)
F1
2f
d)
F2
F1
2f
F2
e)
F1
f)
F2
F1
g)
F2
F1
Fig. 23. Avbildningen i en positiv lins vid olika föremålsavstånd. Observera att det minsta
avståndet mellan ett reellt föremål och dess reella bild är 4f. Detta erhålls då a = b
= 2f.
Stråloptik s 12
Virtuell bild
F1
a)
F2
F1
b)
F2
c)
d)
e)
f)
g)
2f
Fig. 24. Avbildning i en negativ lins vid olika föremålsavstånd. Här blir liksom på
föregående sida ett symmetrifall då a = b = 2f, (Fig. f.) men f är negativt, dvs. både
föremål och bild är virtuella.
Stråloptik s 13
Linsformeln
Låt oss titta på en speciell strålkonstruktion.
f = + 3 cm
x
y
2
F2
1
F1
x
1
y
f
2
f
5 cm
7,5 cm
Fig. 25. Likformiga trianglar vid avbildning.
De två trianglarna vid F1 innehåller samma vinklar (de är likformiga). Samma gäller de två vid
F2 . Ur detta följer:
+! " ,!
+
&
= = )*+) ! =
= )⇒
+" & +" ',( ,"
⇒
,!
= )) ⇒ )),! ," = - "
,"
Denna formel kallas Newtons formel och gäller allmänt i alla avbildningar. De teckenregler
som gäller är att x1 och x2 är positiva om de ligger utanför sina respektive fokus.
Om vi inför:
. = ,! + -).*+)* = ," + -))#/)0 /1)2$
3 . 4 - 5 ⋅ 3* 4 - 5 6 - " )) ⇒ ).* 4 *- 4 .- 7 - " + - " ) ⇒
.*
*.⇒
−
−
= -⇒
.*- .*- .*! ! !
⇒ = +
- . *
Stråloptik s 14
Denna formel kallas linsformeln och ger oss möjlighet att räkna ut endera av bildens läge,
brännvidden för linsen eller objektets läge, då de andra två är kända. Den ovan härledda
Newtons formel kan ibland vara lättare att använda.
I linsformeln räknas a positiv till vänster om linsen medan b räknas positiv till höger om
linsen. Brännvidden f räknas positiv om parallella strålar konvergerar till ett fokus till höger
om linsen.
Förstoring
Kvoten mellan bildens storlek och objektets storlek kallas förstoringen. För att vara strikt ger
man denna ett negativt tecken då bilden blir upp och ner i förhållande till objektet.
Förstoringen kan då skrivas.
*
/0 % &
.
På samma sätt kan man definiera en djupförstoring som innebär hur bilden förskjutits längs
optiska axeln då objektet flyttas längs denna. För denna förstoring gäller:
∆a
2
ML =
= −MT
∆b
∆a betyder liten ändring av a osv
Den sista likheten går att visa med hjälp av Newtons formel. Eftersom denna förstoring (den
kallas longitudinell) alltid är negativ innebär detta att om ett objekt flyttas närmre linsen, ökar
bildens avstånd till linsen.
Ljusstyrka
Hur ljus den bild blir som en lins ger av ett objekt beror på linsens storlek och hur stor bilden
är. Om t.ex. solen avbildas av en lins, fördelas ljuset på en yta som är direkt proportionell mot
brännvidden i kvadrat, och den mängd ljus som går igenom linsen är proportionell mot
linsöppningens area (Fig. 26.).
Strålar från solens kant
f
Solbild
f
Fig. 26. Solbildens area är proportionell mot kvadraten på brännviddsavståndet.
Stråloptik s 15
Om linsöppningen har diametern D så blir bildens belysning proportionell mot
(D/f)
Talet D/f kallas den relativa aperturen eller linsens ljusstyrka och den antar för ett
kameraobjektiv vissa speciella värden nämligen:
1:1,4, 1:2, 1:2,8, 1:4, 1:5,6 osv.
Mellan talen finns en faktor ! 8 " för att belysningen skall halveras då relativa aperturen
ändras till nästa.
Avbildningsfel
Vid avbildning önskar man att varje punkt på objektet ger en väldefinierad punkt i bilden.
Ofta blir det ingen bildpunkt utan ljuset sprids ut över en yta. Eftersom sfäriska ytor är så
enkla och billiga att göra, använder man sådana i optiska sammanhang trots att t.ex.
paraboloidytor eller andra asfäriska ytor ibland skulle ge mycket bättre punktavbildning. Nu är
emellertid sådana ytor inte bra för snett infallande strålar då de ofta är sämre än sfäriska. De
avbildningsfel som uppträder är beroende av hur stor del av linsytan som belyses, om
ljusstrålarna kommer in asymmetriskt eller om vi har flera olika våglängder hos ljuset.
Avbildningsfelen är ofta blandade men trots detta gör man en indelning i sfärisk aberration,
koma, astigmatism, bildfältskrökning, distorsion och kromatisk aberration.
I figurerna (fig. 27. a-f) på nästa sida är de olika avbildingsfelen schematiskt åskådliggjorda.
Stråloptik s 16
a) Spherisk aberration
d) Bildfältskrökning
Krökt fokalyta
Gauss fokalplan
3 21
F
---------------------------------------------------
b) Koma
Optisk axel
---------------------------------------------------
e) Distortion
Tunnform
Odistorderad Kuddform
bild
-----------------------------------------------
f) Kromatisk aberration
grönt
-----------------------------------------------c)
Astigmatism
Minsta bildpunkt
Lins
blått rött
-----------------------------------------------
1
2
1: Primärt linjefokus
2: Sekundärt linjefokus
Objektpunkt
----------------------------------------------Fig 27 a-f. De olika avbildningsfelen hos en lins.
Sfäriska aberration (Fig. 27a) ger upphov till olika fokus för strålar som träffar olika långt ut
från huvudaxeln. Detta är den enda enfärgade (monokromatiska) aberration som uppträder
för objektpunkter på huvudaxeln eller för strålar parallella med denna.
Koma (Fig. 27b) uppträder då linsöppningen är stor och strålar kommer in snett mot linsen.
En punkt avbildas till en yta som liknar en komet.
Astigmatismen (Fig. 27c.) dominerar över koman om objektet ligger långt ifrån huvudaxeln
Stråloptik s 17
och linsöppningen är liten. Denna ger upphov till två vinkelräta linjer på olika avstånd från
linsen och mellan dessa lägen är bilden en ellips eller en cirkel.
Bildfältskrökning (Fig. 27d.) kan erhållas även om linsen ger en punktavbildning och
innebär att ett plant objekt avbildas på ett krökt bildplan. På samma sätt är fokalplanet krökt.
Distorsion (Fig. 27e.) är en effekt som uppträder då ljuset kommer mycket snett in mot
linsen och är t.ex. ett vanligt problem i vidvinkelobjektiv. Beroende på bländarens placering
i det optiska systemet blir avbildningen kuddformad eller tunnformad.
Kromatisk aberration (Fig. 27f.) är ett avbildningsfel som beror på att brytningsindex beror
av våglängden, vilket gör att brännvidden för en positiv lins blir längre i rött än i blått.
(kraftigt överdrivet i figuren)
Optiska instrument
Ögat
För länge sedan trodde man att ljuset utgick från människans inre. När vi öppnade ögonen
sändes vårt inre ljus ut och med detta avsökte vi vår omgivning. När vi sedan blundade blev
allt omedelbart svart och därför ansåg man att ljusets hastighet var oändlig, ty även ljuset
från den mest avlägsna stjärna dog ut omedelbart. Denna subjektiva uppfattning av ljuset och
seendet lever kvar i vårt språkbruk. Man säger t.ex. hur långt ser Du i stället för hur långt
ifrån ser du, kasta en blick på det här, betrakta, bestrålning osv.
I ögat sker den huvudsakliga brytningen vid övergången från luften till hornhinnan (Fig.
28.), medan vi med ögonlinsen korrigerar brytningen så att både avlägsna och närbelägna
objekt kan avbildas skarpt på näthinnan. Kring ögonlinsen finns en ringformad ciliarmuskel
som ger denna variation av ögats brytningsförmåga. Detta kallas ackommodation och då
muskeln är avslappnad är ett vanligt öga inställt på seende på långt avstånd.
Hornhinna
Främre ögonkammare
Pupill
Iris
Ögonlins
Näthinna Glaskroppen
Blinda
fläcken
Gula
fläcken
Synnerv
Visuell
axel
Optisk
axel
Fig. 28. Ögats uppbyggnad.
Stråloptik s 18
Mängden ljus som kommer in i ögat regleras med iris eller regnbågshinnan. Ögats öppna del
kallas pupillen, vilken kan variera från 2 mm i starkt ljus till 8 mm i mörker. Denna
egenskap kallas adaption. På näthinnan finns ljuskänsliga celler, tappar och stavar. Tapparna
fungerar som en finkornig lågkänslig färgfilm vilken fungerar i starkt ljus. Stavarna är
däremot enbart svart-vitt-känsliga och fungerar bara i svagare ljus.
Där synnerven går in i ögat finns en blind fläck medan det i näthinnans centrum finns en
fläck fri från stavar, den gula fläcken. I denna är tapparna tätare packade och på denna fläck
hamnar bilden när vi fixerar något. Från olika delar av näthinnan går ett nätverk av nervbanor som alla är förbundna med synnerven.
Kameran
Kameran liknar ögat i sin funktion. Filmen i nedanstående figur (Fig. 29.) motsvarar
näthinnan, linssystemet som avbildar objektet i film- planet går att förskjuta (motsvarar
ackommodationen) och i linssystemet finns en variabel bländare (motsvarar iris). I den
spegelreflexkamera som är avbildad finns en spegel som före exponeringen speglar upp
kamerabilden på en mattglasskiva, vilken betraktas med ett optiskt system bestående av
fältlins, pentaprisma och okular.
Pentaprisma
Fältlins
Mattglas
Okular
Film
Linssystem
Spegel
Ridåslutare
Fig. 29. Principbild av kamerans uppbyggnad.
Då den ljuskänsliga filmen skall exponeras fälls spegeln upp och en ridåslutare bestämmer
exponeringstiden (vanligen mellan 1 sekund och 1/1000:dels sekund). Denna exponeringstid
väljs så att mängden ljus på filmen motsvarar filmens känslighet. Känsligheten anges i ASA
eller DIN (numera ISO-enheter). En ökning med 3 enheter (DIN eller ISO) motsvarar en
fördubbling av ASA-talet.
Trots att linssystemet i en kamera kan innehålla många enskilda linser kan det ofta betraktas
som en tunn lins. Detta betyder att trots att många brytningar sker i de olika linsytorna kan
linssystemet ersättas med en tunn lins med en viss brännvidd och som är placerad på ett visst
avstånd från filmplanet. På detta sätt kan man lättare behandla systemet matematiskt.
Strålgången blir därmed också kraftigt förenklad (Fig. 30.).
Stråloptik s 19
Fig. 30. Ett komplicerat linssytem kan ersättas med en enda tunn lins.
Linssystemets brännnvidd och filmstorleken bestämmer kamerans bildvinkel (Fig. 31.). För
ett vanligt 50 mm normalobjektiv till en 24x36-kamera är bildvinkeln ungefär 45°. För
vidvinkelobjektiv kan bildvinkeln bli så stor som 220° (fiskögonlins) medan ett teleobjektiv
har en bildvinkel på några få grader.
φ
φ
f
Fig. 31. Bildvinkeln hos ett kameraobjektiv.
Stråloptik s 20
Luppen
En enda lins kan användas som hjälpmedel då man vill närmre betrakta något. I detta fall
används linsen som förstoringsglas eller som lupp. Det är inte uppenbart vad som innebär
förstoring i detta fall men man utgår från att föremålets normala storlek bestäms av hur stort
det ser ut från avståndet 250 mm eller avståndet för tydligt seende (Fig. 32.).
Näthinnebildens storlek är beroende av den synvinkel ett objekt upptar. Man definierar
vinkelförstoringen G för ett optiskt instrument som kvoten mellan synvinkeln ß med
instrument och synvinkeln α då objektet är på avståndet för tydligt seende:
'
1%
(
α
h
250 mm
Fig. 32. Objekt och bild på avståndet för tydligt seende.
För en lupp med objektet placerat i fokus (Fig. 33.) hamnar bilden oändligt långt borta. Då
är:
#
#
"($ ().*+) 9:% ' % $ ' ) 1 $
9:% ( %
"(-
h
β
β
f
Fig. 33. Objektet i fokus till luppen med bilden i oändligheten.
Vinkelförstoringen ökar således om man minskar f. Man kan emellertid inte göra
brännvidden för kort för enkla linser utan att få stora avbildningsfel. Med sammansatta och
ofta korrigerade linser (ofta kombinationer som är akromatiska) kan man nå från 2 gångers
till ungefär 20 gångers förstoring för en lupp.
Stråloptik s 21
Mikroskopet
Man anser att den holländske optikern Zacharias Janssen först uppfann mikroskopet omkring
1590. Galileo konstruerade sitt första 1610. Ett mikroskop består av ett objektiv med kort
brännvidd och ett okular (en typ av lupp) med vilket man betraktar den förstorade bild som
objektivet ger (Fig. 34 på nästa sida). Figuren är kraftigt förenklad i förhållande till ett modernt mikroskop ty både objektivet och luppen är normalt sammansatta linssystem som är
korrigerade för avbildningsfel. Ur figuren framgår att objektivets (transversella) förstoring
är:
2 -3*
%
);<%),' ,3 % -3* " )
#
,3
,'
4
) /03* %
%
))))))))
-3* -3*
(här bortser vi från tecken!)
/03* %
Avståndet L är standardiserat för mikroskop till 160 mm. Av denna anledning är
mikroskopobjektiv märkta t.ex. 5x ( om f = 32 mm).
Eftersom okularet är en lupp inställd på oändligheten blir dess vinkelförstoring
"(135 %
-35
Stråloptik s 22
Utträdespupill
f ok
β
Okular
f ok
Bild i
oändligheten
H
Fältbländare
L = xi
f ob
h
h
a)
Fig. 34. Förenklad
mikroskop
α
Objektiv
f ob
x0
250 mm
bild
b)
av
ett
Fig. 35. Synvinkeln utan mikroskop.
Stråloptik s 23
Mikroskopets förstoring är som för luppen kvoten mellan synvinkeln med och utan
instrument.
Om objektet har storleken h så gäller ur fig. 35:
($
#
)))3+)$);;5
"(-
Objektivet ger en bild med storleken 2 % /03* # #
2
Synvinkeln i okularet β blir då:
'%
-35
Då kan vi skriva mikroskopets förstoring:
16'5& %
' 2 "(- 2 "(%
#
% #
% /03* # 135
( -35 #
# -35
Mikroskopets förstoring är således produkten av objektivets transversella förstoring och
okularets vinkelförstoring.
I mikroskopet är det objektivets öppning som bestämmer mängden ljus in i systemet. Med ett
kondensorsystem belyses objektet så att ljus fyller hela objektivet. Ljusflödet ut från
mikroskopet koncentreras till systemets utträdespupill. Detta är ett ljust cirkulärt område som
befinner sig strax ovanför okularet. Om man placerar ögat i utträdespupillen får man så ljus
bild som möjligt medan bildfältet begränsas vinkelmässigt av ett utträdesfönster som är bilden
av fältbländaren som är placerad i okularet (Fig. 34).
Kikaren
Det är ganska troligt att kikaren uppfanns långt tidigare än mikroskopet. Det fanns redan
under 1300-talet slipade linser för glasögon och någon borde ha kombinerat två lämpliga
linser till en kikare innan år 1608 då Lippershey sökte patent för sin uppfinning. Redan året
efter konstruerade Galileo en egen kikare av linser och en orgelpipa. Det var med förbättrade
versioner av denna hans första kikare som Galileo gjorde sina berömda astronomiska
upptäckter.
En kikare (Fig. 36.) består av ett objektiv med lång brännvidd kombinerad med ett okular. Om
objektet är på oändligt avstånd hamnar den kraftigt förminskade bilden i objektivets fokus där
den betraktas i fokus till ett okular.
Stråloptik s 24
f ob
f ok
d
Fig. 36. Förenklad bild av en kikare inställd för ett oändligt avlägset objekt.
Kikarens förstoring definieras som synvinkeln till objektet med och utan instrument (avlägset
objekt). I den enklare figuren nedan (Fig.37.) blir vinkelförstoringen:
'
# -3* -3*
1% $
#
%
( -35 #
-35
Objektiv
Okular
β
α
h
f ob
f ok
Fig. 37. Förenklad bild av en kikare.
Liksom för mikroskopet har kikaren en utträdespupill. Denna är okularets bild av objektivet
och kan konstrueras som om objektivet vore ett objekt (Fig. 38.).
Dip
Dup
Objektivet
som objekt
Utträdespupill
f ob
f ok
Fig. 38. Konstruktion av utträdespupill i en kikare.
I den ovan beskrivna kikaren blir den resulterande bilden upp och ner. I en prismakikare
utnyttjas totalreflexion i två prismor för att vända på bilden (Fig. 39).
Stråloptik s 25
Fig. 39. Prismakikare.
På detta sätt får man dessutom en relativt kort kikare.
En omvänd kikare används ofta för att expandera ett parallellt knippe
från en laser (Fig. 40.).
Då gäller:
789 -3*
%
%1
7'( -35
Fig. 40. Expansion av ett parallellt knippe av laserljus.
Teleskopet
Newton som felaktigt trodde att den kromatiska aberrationen orsakades av ljusets inneboende
egenskap och inte på glassorten valde att använda speglade ytor i stället för linser för att
avbilda avlägsna objekt. Han konstruerade sitt första teleskop 1668 strax efter att skotten
James Greorgy uppfunnit det. Genom denna uppfinning kunde stora instrument byggas utan
problem med genomskinlighet, upphängning och bubblor i glaset. Problemet med färgfel i
linser löstes först 1733 då de första akromatiska linserna tillverkades.
I dag har den största refraktorn en diameter på 1 m (Yerkes teleskop) medan den största
reflektorn har diametern 10 m (Keke-teleskopet på Hawaii). Den senare består dock av 36
separata spegelsegment som är kopplade ihop. I figuren nedan (Fig. 41.) finns avbildat
principen för Newtonreflektorn. I denna avbildar en konkav spegel via en snedställd liten
spegel det avlägsna objektet så att bilden hamnar utanför teleskoptuben.
Stråloptik s 26
Okular
Konkav spegel
Plan spegel
Fig. 41. Newtonteleskopet.
Teleskopets förstoring är liksom för kikaren:
1%
-:; 7'; 7:;
%
%
-35 78; 78;
Här är Dsp spegelns diameter och fsp spegelns brännvidd.
Arbetsprojektorn
I en arbetsprojektor (Fig. 42.) placeras ett stordia på en asfärisk fresnellins. Fresnellinsen
består av ett stort antal slipade trapetsformade ringar i acrylplast så att onödigt linsmaterial
tagits bort (Fig. 43.).
Spegel
Avbildande
lins
Fresnellins
Halogenlampa
Fig. 42. Principen för arbetsprojektorn.
Stråloptik s 27
Bild på
skärmen
Fig. 43. Asfärisk fresnellins med motsvarande asfäriska yta.
Fresnellinsen koncentrerar ljuset från en intensiv halogenlampa på den avbildade linsen.
Fresnellinsen är alltså bara till för att göra den resulterande bilden ljus. Genom att
fresnellinser kan göras med stor ljusstyrka (stort D/f) är de bättre än vanliga kondensorlinser
som används i projektorer.
Spektroskopet
Den färguppdelning som man får i ett prisma utnyttjas i ett spektroskop till att undersöka olika
ljuskällors spektra.
Spektroskopet (Fig. 44) består av tre huvuddelar: en kollimator, ett prisma eller ett gitter och
en kikare. Ofta låter man en kondensorlins avbilda ljuskällan på spalten, men man kan också
placera ljuskällan strax intill spalten. I kollimatorn skapas ett parallellt strålknippe som i
prismat eller gittret delas upp i flera enfärgade strålknippe med olika utgångsriktning.
Ljuskälla
Spalt
Lins
Prisma
Objektiv
r
Kollimator
v
r
v
Ki
ka
re
r
v
Spektrum
Okular
Fig. 44. Spektroskopets uppbyggnad. Rött och violett ljus fokuseras på olika ställen i
okularets fokalplan.
Stråloptik s 28
I kikaren konvergerar knippena till ett antal enfärgade linjer (bilder av spalten) som betraktas
med kikarens okular.
Om man använder spektroskopet till att direkt mäta upp brytningsindex för prismaglaset eller
till att bestämma våglängder, kallas instrumentet för en spektrometer.
Ett sätt att mäta upp brytningsindex för prismat är att ställa in spektrometern på
minimidevitation. Detta innebär att en linje i lampans spektrum har ett vändläge i kikaren då
prismat roteras. Vid minimideviation går ljuset symmetriskt genom prismat enligt figuren
nedan (Fig. 45.).
δmin + α
2
n1
α
δmin
α/2
n2
Fig. 45. Minimideviation i ett prisma.
Då är vinkeln mellan ingående och utgående stråle minimal.
Ur figuren fås:
δ +α
sin min
δ min + α
α
2
1 ⋅ sin
= n ⋅ sin ⇒ n =
α
2
2
sin
2
Genom att mäta upp minimideviationsvinkeln δmin och prismats brytande vinkel α får man
brytningsindex n för glassorten vid den aktuella våglängden.
Då man tittar i ett spektroskop på olika ljuskällor finner man att dess spektrum varierar
mycket i utseende. För upphettade gaser erhålls större eller mindre antal väldefinierade linjer
medan för varma kroppar eller vätskor flyter linjerna ihop och vi får ett kontinuerligt
spektrum.
Spektrallampor är exempelvis av den första typen medan himmelsljuset eller ljuset från en
vanlig glödlampa är av den senare typen. Ett spektrum kan sägas vara atomernas fingeravtryck
och det ger värdefull information om elektron banorna i atomernas yttre delar.
Stråloptik s 29
Regnbågen
Samma färguppdelning som man får i ett prisma får man då solljuset träffar små regndroppar
vid regn. Den primära regnbågen uppkommer genom två brytningar och en reflexion i de
sfäriska regndropparna (fig. 46.).
j
h gi
f
e
d
c
b
a
a
b
c j
d i
eh
gf
Fig. 46. Strålgång genom en regndroppe. Primära regnbågen.
Anledningen till att man får en regnbåge är att ljus i en viss våglängd kommer i huvudsakligen
ut i en bestämd riktning (strålarna d, e och f i figuren). Detta gör att regndroppar i en viss
synriktning i förhållande till solriktningen har samma färg (Fig. 47.).
Solljus
röd blå
~43°
~41°
Fig. 47. Regndroppar lyser i olika färg i bestämda riktningar i förhållande till solen.
Stråloptik s 30
Regnbågen är egentligen en cirkel (Fig. 48.). Hur stor del av denna som syns beror på var det
regnar.
Ljus från solen
röd
grön
blå
Fig. 48. Regnbågen är en del av en hel cirkel med centrum i motsatt riktning i förhållande
till solen.
Hela cirkeln kan observeras om man vattnar trädgården vid solsken. Man ser ofta också en
sekundär regnbåge utanför den primära vid ungefär 51°. I denna ligger det röda ljuset innerst
dvs. omvänt mot hur det ser ut i den primära. Om man belyser en enda regndroppe kan man
observera upp till tjugo olika regnbågar i olika riktningar. Detta ser man normalt inte i naturen
eftersom reflexer i regndropparna överlagras dessa svagare regnbågar.
Stråloptik s 31
