MALMÖ HÖGSKOLA
Lärarutbildningen
Uppsats inom 5p projektkurs i matematik
Ht 2001
ANPASSAD UNDERVISNING
I MATEMATIK
Författare: Catalina Drobny
Handledare: Karl-Bertil Hake
2
Sammanfattning
”Lärares samhällsuppdrag formuleras i skolans styrdokument, som skollag och läroplaner.
Och lärare arbetar i enlighet med det samhällsuppdrag de fått, där det fastlagts genom
demokratiska beslut och om det inte strider mot dess yrkesetiska principer”( Skolvärlden nr
4/02.2002).
Detta är kanske ett av de viktigaste fundamenten i yrkesetiken som alltid sätter eleven i
centrum och det har varit syftet med mitt examensarbete i matematik.
I dag är klasserna för stora, oftast över 25 elever, vilket gör att elever med eller utan
svårigheter inte kan dra nytta av de kunskaper som läroplaner rekommenderar.
Och matematik behövs i vårt vardagsliv på ett mer systematisk och omfattande sätt inom
teknik, naturvetenskap och andra områden.
Med tanke på att alla involverade aktörer (politiker, föräldrar, skola och samhälle) oroar sig
över de ökade problemen i grundskolan och när de diskuterar skolfrågor hänvisar de till
läroplanens intentioner och dess krav på lärarna har jag tänkt följa vägen från läroplanens
intentioner till verkligheten.
Som utgångspunkt i min undersökning har jag använt Goodlads modell ”Läroplanens fem
sidor” reflekterad i B. Grevholms bok ”Matematikdidaktik- ett nordiskt perspektiv”, samt
annan ämneslitteratur som jag har lyckats bekanta mig med under en relativt kort tid.
Förutom allmänna förutsättningar hade jag också som stöd av mina teoretiska och praktiska
erfarenheter som lärarkandidat och mattelärare.
Mina formulerade problem vilka jag ansåg få besvarade, var följande:
Läroplaner är inte identiska med skolans verklighet.
Individualisering eller anpassad undervisning i matematik, lärarens metodfrihet.
Ämnets område är väldigt stort och jag valde alltså att göra textundersökningar (beskriva och
analysera) från olika böcker och artiklar vars innehåll besvarade mina problem. Jag tänkte
alltid på stoffets karaktär och försökte inte tappa greppet.
Mina observationer som ”inifrånkunskap” kompletterade undersökningen.
Resultatet kommer en gång till att visa att det är svårt att fullfölja läroplanens och politikernas
intentioner och en anpassad undervisning är den enda metoden som kan hjälpa många elever.
3
Innehållsförteckning
Sammanfattning
1 Syfte och problemformulering
1.1 Metod
1.2 Resultat
2 Läroplaner och skolmatematik i nordiskt perspektiv
2.1 Den ideologiska läroplanens sida
2.2 Den formella
2.3 Den uppfattade
2.4 Den genomförda
2.5 Den upplevda
3 Reflektioner/Observationer över mina textundersökningar kopplade till praktisk
undervisning
4 Individualisering eller anpassad undervisning, lärarens metodfrihet
5 Diskussion och slutsatser
6 Litteratur och källförteckning
4
1.1 Syfte och problemformulering
Jag har försökt undersöka och presentera förhållandet mellan teori och praktik samt mellan
läroplaner och undervisningen i matematik med avsikten att visa att lärare måste hitta på nya
och effektiva undervisningsformer.
Undervisningssättet i matematik är ett komplicerat och mycket diskuterat område inom
pedagogiken Centrala läroplaner, skolans lokala läroplan, lärarnas planer för sin undervisning
som intuition och egna erfarenheter kräver en anpassad metod till individen.
Med detta som backgrund vill jag fokusera mitt examensarbete kring följande formulerade
problem:
Läroplaner är inte identiska med skolans verklighet.
En anpassad undervisning i matematik, lärarens metodfrihet.
1.2 Metod
Som vi har kunnat konstatera har debatten om kompetensutvecklingens roll och
undervisningskvalitet har pågått länge och mycket ambition har lagts ner. För att få en bild
av det aktuella läget i skolor och att analysera mina formulerade problem, angående
läroplaner, skolans verklighet, individualisering eller anpassad undervisning har jag valt som
undersökningsmetoder följande textundersökningar och mina iakttagelser under
mattelektioner.
Syftet eller grundtanken med textundersökningarna har varit att analysera läroplaner utifrån
regeln att eleven är i centrum för skolans verksamhet och på sådant sätt skolans
”pluralistiska” karaktär. Utgångspunkten är alltså det som står i texten (ämneslitteraturen) och
jag har försökt analysera det ur olika perspektiv genom att förklara och ifrågasätta. Jag tror att
det är den bästa metoden som kan användas.
Individualisering eller anpassad undervisning är en gammal princip som har utvecklas
hela tiden och med hjälp av mina observationer av det som sker i klassrummet under
mattetimmarna har jag försökt visa hur det funkar med Mursells fjärde princip (G. Imsen,
1999, s279).
Som lärarkandidat (2000/2001-Sjöbo, Landskrona), har jag haft möjlighet att ta del av
verksamheten och studera den inifrån..
1.3 Resultat
Genom mitt arbete har jag inte fått diagram, tabeller eller siffror som besvarar mina
frågeställningar. För att besvara mina frågor har jag valt ett kvalitativt synsätt som innebär att
jag har samlat fakta och analyserat dem i syfte att finna lösningar till en undervisning som kan
hjälpa eleverna.
5
Vad har jag nått för kunskap genom mitt arbete?
Jag har fått kontakt med duktiga pedagoger samtidigt som deras böcker och teorier har
bekräftat allt som jag har upplevt som mattelärare.
2 Läroplaner och skolmatematik i ett nordiskt perspektiv
Den sociala, ekonomiska och tekniska utvecklingen i alla samhällets sektorer har ändrat
människornas kunskap.
Från ett jordbrukssamhälle med en folkskola i mitten av 1800-talet skedde en omvandling till
ett industrisamhälle och nu lever vi i ett kunskapssamhälle.
”Kunniga människor skaffar mer kunskap”, ”individer med kunskap blir kunnigare” och
”lärande ger upphov till mera lärande”. Men att använda nya kunskaper i skolan är en form av
förändring som ställer eleven inför nya situationer som hjälper honom/henne att mera tänka
och undersöka sin omgivning.
Om man upplever en matematiklektion i dag och jämför med hur situationen var för femtio år
sedan kommer man förmodligen att kunna notera en rad olika skillnader.
Matematiklektionens karaktär har förändrats och utveckling av informationsteknologin och
tekniska hjälpmedel som räknare och datorer ställer nya krav på den nya mångkulturella och
internationella skolan.
I en sådan situation är det nödvändigt att finna ett övergripande styrdokument för den
praktiska verksamheten.
Styrdokumenten är representerade genom läroplaner, kursplaner, verksamhetsplaner,
pedagogiska program. Med hjälp av dem som riktlinjer kan man styra allt som ska ske i
skolan, både när det gäller ämnesinnehåll och arbetsmetoder (skolan och undervisningen).
En kort beskrivning av vad en läroplan innehåller och som egentligen stämmer för många
olika länders skolsystem hittar man hos Skolöverstyrelsen, 1980.
”I läroplan för grundskolan anges mål och riktlinjer för skolans arbete. Läroplanen
innefattar i övrigt kursplaner, timplaner och föreskrifter för timplaner samt olika slag av
kommentarmaterial”.
Man kan påstå att läroplanerna är bland de viktigaste och kanske mest självklara faktorerna
som påverkar livet i klassrummet. Läroplaner kan variera från land till land och backgrunden
till dem är decennier av diskussioner, delvis med konflikter mellan grundläggande ideologiska
och delvis filosofiska föreställningar om hur skolans verksamhet bör vara.
Men läroplaner påverkar aldrig undervisningen direkt och det är ett bekant fenomen att det
kan vara stort avstånd mellan ideal och verklighet i skolan eller mellan teori och praktik.
Detta har jag upptäckt som mattelärare på mina lektioner när jag har försökt tolka och sätta
läroplanen i praktik..
Politiska intressen, plus lärarprofessionens och föräldrarnas intresse speglas i grundläggande
idéer om pedagogik, skola och samhälle i läroplaner. Men det är ett stort misstag om man tror
att två lärare kan uppfatta en läroplan likadan.
Det finns alltid tolkningsmöjligheter för två lärare och till slut finns det många andra
styrfaktorer som gör att läroplaner inte är identiska med skolans verklighet. En läroplan ska
aldrig bli så konkret att den ska täcka allt som sker i ett klassrum. Undervisning är dialog och
samspel och det kommer alltid att finnas element som inte kan förutses av läraren.
6
Men vad händer i själva verket med en läroplan på vägen från de övergripande idéerna till de
elever som sitter som passiva eller aktiva mottagare?
Förloppet från den övergripande läroplansidén i början till den genomförda läroplanen i
klassrummet har studerats av den amerikanske pedagogen John I. Goodlad (1979) som skiljer
mellan fem typer av läroplaner eller ”läroplanens fem ansikten” enligt B. Gundem (1990,
1993).
Den ideologiska läroplanen
Den formella
läroplanen
Den uppfattade
läroplanen
Den genomförda
läroplanen
Den upplevda
läroplanen
2.1 Den ideologiska läroplanen
I skolan har den ”politiska makten” alltid varit en huvudaktör vars styrande politiska ambition
och idéer har reflekterats i läroplaner, kursplaner, verksamhetsplaner samt pedagogiska
program.
Detta bekräftar Ulf P. Lundgren, generaldirektör från Skolverket, i sitt förord till dokumenten
”Särtryck ur läroplanskommitténs betänkande skola för bildning (SOU 1992:94)”.
Han förklarar att ” Riksdag och regering har beslutat om nya läroplaner för både den
obligatoriska skolan och den frivilliga skolan…Syftet är att texterna skall kunna vara
utgångspunkt för en diskussion i skolan om kunskap och lärande, om bildning och
skolansuppgifter. De utgör underlag för reflektion och diskussion. Att svara på frågan om vad
som är viktig kunskap idag och i framtiden och hur skolans arbete skall utformas är en
ständigt pågående process där alla som arbetar i skolan deltar”.
Samma sak påstår Gunn Imsen också i sin bok, ”Lärarens värld”,s177:
” Bakom läroplanen finns det alltid ett antal ideal för hur en läroplan ska vara, antingen den
lägger tyngdpunkten på vissa typer av lärostoff, särskilda arbetsmetoder eller andra
grundläggande perspektiv. Den ideologiska läroplanen genomförs aldrig i ”ren” form-den
7
måste alltid vägas mot en rad sociopolitiska överväganden och mot vad som är praktiskt
genomförbart”.
I styrdokument, läromedel och skrifter man kan urskilja ett antal mer eller mindre explicit
formulerade motiv och mål och kanske dolda, planerade eller icke planerade
(B. Grevholm, s 91). De är myndigheternas styrningsmöjligheter och en spegelbild av olika
pedagogiska idéer.
En grupp av experter, forskare och lärare har försökt ge en inblick i matematikämnets
”mängdfasetterade karaktär” som har speglas hela tiden i våra läroplaner. Det är en
fullständig genomgång av ämnets stoff som kärnämne och heter ”Kunskapsöversikt och
bibliografi i matematik” (rapport/expertgruppen;02-01-15).
Materialet ersätter kap. ”Läroplaner och läroplansutveckling i matematik” i B. Grevholms
bok, s.91.
Det är ett väldigt komplex material som försöker förklara allt från matematikens
baskunnande/basfärdigheter idag och i ett tidperspektiv.
Där hitar vi exempel på motiv och mål som är underlag för matteundervisningen:
– förbereder ungdomarna för ett medborgarskap i en demokrati, -för vardagslivet, -för det
praktiska yrkeslivet, -för vidare studier i skolämnet matematik, -för studier i andra ämnen,
-för meningsfull delaktighet i det ”matematiserade” samhället…
Matematiken är en teoretisk grund för den vetenskapliga disciplinen, för att förbereda och
utgöra en del av ett bildningsprojekt, för att förbereda eleverna för i dag och i morgon.
Alla de ovanstående olika syften och mål som kan relateras till ”basfärdigheter” och
”baskunskaper” återfinns direkt eller indirekt i alla styrdokument och i skoldebatten
(”Matematikkunskaper enligt läro- och kursplaner”, rapport,expertgrupp,s11).
Det är dock svårt att få reda på vad som egentligen är den ideologiska utgångspunkten för en
läroplan, eftersom vi i allmänhet bara blir bekanta med läroplanen efter det att den redan är
utformad, påstår många lärare.
2.2 Den formella läroplanen
”Den formella läroplanen är ett offentligt styrdokument som innehåller element som
signalerar vilka idéer som står bakom, men vi måste komma ihåg att det är många intressen
som vill hävda sig i en öppen och demokratisk läroplansprocess, och att många andra
inflytanden kan bli aktuella under processens gång fram till lärarens undervisning”(G.Imsen,
1999,s177).
På sådant sätt definierar den norske professorn i pedagogik, G. Imsen, andra läroplaners
ansikte inom det didaktiska området samlade i en omfattade bok.
Det är inte bara B Grevholms- och hennes medarbetares utgångspunkter som understödjer
lärandes och undervisnings processen i matematik. Det finns många andra och bland de
experter som följer skolan i ett tidsperspektiv är Wiggo Kilborn.
Här tänker jag följa kortfattat W. Kilborns viktigaste synpunkter över den formella
läroplanens viktigaste moment i ett tidsperspektiv som skolreformen och det nya uppdraget
8
som Utbildningsdepartementet har gett till Skolverket för att ”åstadkomma reell
skoldemokrati, dvs. en rimlig och meningsfull undervisning även åt de elever som av olika
skäll har problem med att tillgodogöra sig undervisningen i matematik”.
(”Kunskapsöversikt och bibliografi i matematik, kap.2”).
Kilborn, lärare och forskare, ägnar sig åt skolans värld angående matematiken reflekterad i
olika statistiker i skolreformer under de senaste 50 åren.
När han påstår att ”för den lärare som inte känner sina rötter är det svårt att förstå och leva
upp till kraven i dagens läroplaner” är det sant. Detta yttrar sig många lärare om.
Generationernas erfarenhet framförs vidare till de som kommer och en generation lär den
nästkommande.
Att följa skolans utveckling hos Kilborn från den tid när skolan bestod i huvudsak av
katederundervisning och när för de som hade problem med matematiken fanns det inga extra
resurser att tillgå är intressant och värdefullt.
Själv började han sin skolgång med att gå i folkskolan innan han fortsatte i en femåring
realskola.
Folkskola/realskola karaktäriserades då av:
en auktoritär skola med katederundervisning,
ingen individualisering, inga extra resurser för de som behövde det
lågpresterande elever fick gå om skolåret.
Tiden mellan Lgr 62 och Lgr 69 och vidare är präglad av en rad viktiga utbildningsreformer
och bland andra den ”nya matematiken” efter andra världskrigets slut. Den ”nya
matematiken” hade sin fokus på kursplanefrågor som rörde ”vad” , ”hur” och ”varför”.
Utredningar visade att en importerad matematik fungerade inte så bra i Sverige och att
förändra och demokratisera ett skolsystem var inte lätt. Många elever saknade nödvändiga
förkunskaper och detta reflekterades mer eller mindre i olika internationella undersökningar
(1964, 1980).
Senare Lgr 80 (Skolöverstyrelsen, 1980) och Lpo 94 strävade efter att ge ett mål för de
grundläggande kunskaper som alla elever behöver. ”Nödvändiga kunskaper” i Lgr 80 kallas
”uppnåendemål” i Lpo 94.
Det är inte lätt att visa vägen för elever men det är skolans och skolhuvudmannens ansvar att
eleverna får möjligheter att uppnå dessa mål som är bestämda.
Klasstorlek, tid för matematik i skolan och hemma, lärares undervisningstid och arbete under
lektioner, elevers attityd till matematik, basfärdighetsbegreppet var orsaker till utredning
i läroplaner hela tiden.
”Basfärdighetsfrågan har påverkat kursplanarbetet i alla länder. I första hand gäller detta
följande:
Den har skapat större medvetenhet hos lärare om behov av repetition och träning av
basfärdigheter,
Den har skapat en tendens hos lärare att reducera kursinnehållet för de
svagpresterande eleverna,
Det finns ett ökande medvetenhet hos samhälle och lärare om det stora gapet mellan
förväntningar och verklighet (diskrepans mellan kursplan och faktisk undervisning
i årskurs 7 i Sverige). Basfärdighetsbegreppet har vidgats. Man talar inte bara om det
icke-nödvändiga som ingår i undervisningen utan också om det nödvändiga som inte
ingår i undervisningen” (W. Kilborn, s36) .
9
Läroplaner som medel för ”statlig styrning” tillsammans med läraren, skolan och samhället
har alltid bildat en enhet, beroende av varandra. Även om en läroplan aldrig styr direkt, utan
att först ta vägen via lärarnas tolkningar och malas och slipas i skolans ramar, så är införandet
av nya läroplaner troligen en av de mest kraftfulla förändringsstrategierna i skolan. Dessa
planer fyller vid olika tider och i olika länder skilda funktioner och många menar att
läroplansdokumentens funktion som styrmedel har överskattas. Lärarnas backgrund,
läroböckerna spelar förmodligen en viktigare roll för arbetet i skolan tillsammans med
läroplaner som styr.
Många tidigare mål i läroplaner finns fortfarande men har absorberats i mer generella mål. De
följande generella mål som majoriteten av världens lärare önskar eftersträva enligt Mogens
Niss, professor i matematik vid Roskilde Universitetcenter i Danmark (kapitel ”Mål och
kursplaner” / boken ”Matematikdidaktik - ett nordiskt perspektiv” av
B. Grevholm, s74) delas i externa och interna mål:
Externa mål:
Att tillhandahålla en ordentlig matematikundervisning för alla,
Att ge möjligheter till en differentierad undervisning,
Att lägga tyngden på delaktighet och samarbete bland eleverna,
Att bedöma elevernas matematiska potential, prestationsnivå och resultat på ett sätt
som stämmer överens med de högre liggande målen för undervisning i och inlärning
av matematik.
Interna mål:
Att fokusera på den enskilde elevens behov och intressen,
Att utveckla elevernas personlighet,
Att betona att elevernas matematiska aktiviteter är något mer,
Att lägga tyngden på matematiska processer,
Att befrämja matematiskt tänkande och kreativitet,
Att göra eleverna i stånd att identifiera, ställa, formulera och lösa matematiska
problem, både teoretiska och tillämpade, både slutna och öppna,
Att tillse att eleverna tillägnar sig en uppfattning och förståelse av matematikens
särart,
Att förmå eleverna att med hjälp av modeller och modellering tillämpa matematiken
på situationer som ligger utanför matematiken i sig,
Att göra eleverna i stånd att kritiskt analysera och bedöma matematisk tillämpning i
situationer som ligger utanför matematiken själv,
Att förse eleverna med bilder av och insikter om vilken roll matematiken har i
samhället och kulturen,
Att låta eleverna bli bekanta med den moderna informationsteknologins kopplingar till
matematiken.
10
Tolkningen och konkretiseringen av målen kommer naturligtvis att materialiseras på skilda
sätt och läroplaner blir inte identiska med skolans verklighet till slut. Det är slutsatsen som
man drar om man läser M. Niss följande kommentar att:
”Det är emellertid en sak att föreslå och slå fast generella mål och en helt annan att
implementera dem. Detta kan vara en av anledningarna till att man i vissa länder har återgått
till mer klassiska ståndpunkter och lagt större tyngd på att beskriva vilka prestationer och
kunskaper som kan förväntas eller krävas av eleverna (se Brown, 1993). På andra platser har
man snarare fokuserat på de innehållsliga kategorier eller dimensioner som eleverna ska
bekanta sig med eller på de aktiviteter och studieformer som lärarna kan arrangera i
klassrummet i helgrupp eller i mindre grupper). I många sammanhang finns det dessutom en
klyfta mellan samhällets etablerade mål för matematikundervisningen och den verklighet som
undervisning och lärande utgör i samma samhälle”(B.Grevholm,s75).
2.3 Den uppfattade läroplanen
Matematik i livets förlopp har alltid varit ett ämne med hög status och svårt att bli omtyckt.
Det övergripande syftet med detta kapitel är att undersöka hur de olika aktörerna begriper och
använder sig av idéer, metoder och resultat med stöd av läroplaner eller hur läroplanen
uppfattas av olika aktörer, speciellt lärare och föräldrar.
Nu kommer begreppet ”den uppfattade läroplanen” som tolkas hur lärarna läser och tolkar den
”formella läroplanen”.
”Eftersom den formella läroplanen ofta är en produkt av olika intressen och kan vara
präglad av att vara en kompromiss mellan olika ståndpunkter, kan den också ge ett betydande
tolkningsutrymme, där man kan läsa in olika perspektiv i läroplanen…Föräldrar är också en
betydande grupp som hävdar sig med sina uppfattningar”(G.Imsen, 1999, s177).
Kan eleverna nå uppställda mål inom de ramar som nu bjuds? Om inte, vad är det som hindrar
dem och hur skall vi göra för att lyckas?
Det finns en stor mängd litteratur som kommer med synpunkter på området genom att
undersöka samspelet mellan undervisning, inlärningsprocesser och resultat. Detta kan man
formulera: att utveckla konkreta mål för elever.
Målen är gemensamma men det finns varierande lösningar på grund av tolkningsutrymmet
eller den ”uppfattade läroplanen”. Samma mål kan tolkas på olika sätt av olika lärare, och en
lärare kan ha många alternativ för att uppnå ett visst mål på grund av erfarenhet, praktisk
yrkesteori, hur han tolkar möjligheterna att genomföra läroplanen i praktiken, traditioner,
elevernas förmåga, intresse, kunskaper, kulturell inlevelse med mera.
Detta kan illustreras som ett divergent system (G.Imsen, 1999, s235).
MÅL
Lärare A
Lärare B
Lärare C
11
Alter-
nativ
1
Alternativ
2
Alternativ
3
Vad kan man säga mer om den uppfattade läroplanen eller om den tolkade läroplanen?
Att alla mattelärare borde ha en önskvärd flexibilitet som ger dem möjlighet att genomföra en
icke traditionell uppläggning av undervisningen.
En ny utarbetad plan för den fortsätta verksamheten med reflektion och nya funderingar
hjälper eleverna i utvecklingsprocessen.
En genomgång av situationen i klassen, diskussion, både med kollegor och elever underlättar
värderingen av möjligheterna som finns för en icke traditionell undervisning. Med hjälp av
sina erfarenheter som lärare, med andras erfarenheter, med initiativ och många andra faktorer
kan man komma till en relevant och kvalitativ undervisning (socialt engagemang, ideellt
arbete, initiativ, med mera).
I lärarnas tidning ”I tiden/nr.4-2000” ställs frågan:
”Vem vill bli naturvetare? Naturkunskap +matematik +skolan- en ekvation som inte går
ihop”. I samma tidning en enkät bland elever upplyser att ”skolans tyngdpunkt på rätt och fel
har gjort matematiken till ett mycket starkt utslagningsinstrument bland unga och
åstadkommit en sortering av ungdomar som mer eller mindre intelligenta som inte stämmer
med verkligheten” (Ch. Isaksson, ITidens redaktör).
På enkätens frågor:
1
2
Vad tycker du om skolans undervisning i matematik och naturvetenskap?
Varför minskar ungdomars intresse för naturvetenskap och teknik, tror du?
Svarar eleverna:
1.
Den är väl OK, speciellt matten där vi har en lärare som lär ut på ett bra sätt.
Matematiken är svårt.
Man lämnas att klara sig själv vilket gör att alla inte förstår vad de håller på med.
Formler och annat i den vägen förklaras lätt med att ”det bara är så, och det får du
acceptera”; undervisningen sker i för stora grupper och vi förstår inte helt vad vi läser,
flera orkar inte engagera sig.
Matematik och natur är ganska roligt, men man får kämpa hårt för att förstå. Mycket
beror på hur läraren är och på vilket sätt man lär sig. Det ska vara varierande lektioner
för att eleverna inte ska tappa intresset. Om man inte har en lärare man trivs med, blir
man nog mindre intresserad.
Undervisningen i ett visst ämne beror alltid mycket på vilken lärare man har.
Matematik blir väldigt tråkigt om man varje lektion bara sitter och räknar i en bok,
men om man har en lärare som engagerar sig och gör annorlunda saker ibland, blir
lektionerna roligare.
12
2.
Jag tycker att undervisningen borde ha färre föreläsningar och mer praktiskt arbete. Så
fort vi ska göra ett experiment blir man mer aktiv och använder hjärnan mer, annars
tycker jag de flesta i klassen mest sitter och tittar ut genom fönstret.
Jag tror att det finns många fördomar kring matematik, naturvetenskap och teknik. Det
ska liksom vara svårt och jobbigt. Och jag tror att vissa elever inte ens försöker för att
de har hört att det är svårt, och de tror att de inte klarar det.
…..Jag tror inte att natur och matte kommer att bli intressant igen, det är för krångligt,
det finns lättare sätt att klara sig i livet.
Det verkar som om samhället var mer inrutat förr och att de flesta hade sin bestämda
plats. Men nu tror jag att ungdomar mer funderar på vad de verkligen vill ägna sig åt i
framtiden. Eftersom att det finns så många områden att välja mellan, är det färre som
fastnar för just naturvetenskap och teknik.
Matematiken utgör ingen större lockelse för ungdomar och tyngden ligger på matteläraren
som måste utarbeta och testa egna modeller för att dels attrahera ungdomar som tappat sugen
och dels för att ämnet ska bli ett roligt ämne.
Föräldrar som viktig aktör upptäcker ibland att de inte längre kan hjälpa sina barn med
matematiken och lärare med svag grund i matematik kan inte ge information om reformen.
2.4 Den genomförda läroplanen
Den genomförda läroplanen är det som sker i klassrummet timme efter timme, varje dag.
Vad en lärare planerar utifrån gällande läroplaner är en sak, vad som sker i klassrummet kan
vara något helt annat. Undervisningen går aldrig precis som planerat, helt enkelt på grund av
att det är så många faktorer som påverkar det som sker, när man står inför en aktiv och
levande grupp.
Goodlad påstår att en lärare relativt tidigt skaffar sig ”en begränsad repertoar av
undervisningsmetoder och håller sig till dem. Den genomförda läroplanen är en uppfattad
läroplan, ty den existerar endast som en tolkning eller en erfarenhet hos den som har
observerat undervisningsförloppet” (Goodlad m.fl., s63).
Men vad innebär yttrandet erfarenhet när det gäller läraryrket?
Ingvild M. Holdens artikel ”Matematiken blir rolig-genom ett viktigt samspel mellan inre och
yttre motivation” ger en god bild av erfarenhet och engagemang i matematikundervisningen.
Erfarenhet betyder ”att kunna utveckla ett eget arbetssätt, att bli påverkat av andra lärare, att
läsa böcker, extra utvecklingsinitiativ (B.Grevholm, 2001, s160”.
13
Fröken Flink, en amerikansk mattelärare, entusiastisk, initiativrik, engagerad, som har format
under lång tid en undervisningsstil är ett exempel på hur de tre centrala didaktiska frågorna
”varför”, ”vad” och ”hur” är besvarade.
Hennes övergripande mål är ”att alla ska tycka om matematik och ha roligt medan de arbetar
med ämnet”. Holden träffar henne på besök i USA och tar henne som exempel i sin artikel.
Angående matteämnet svarar de amerikanska eleverna på en intervju: ”Om det är tråkigt,
tappar man lusten att arbeta med matematik. Men om det är roligt, som då vi spelar ett spel
där man verkligen har användning för matematiken, då lär man sig mer” (I. Holden, s.162).
Det är samma svar men med andra ord hos de amerikanska eleverna som hos de svenska
eleverna (”Vad tycker du om matte och naturvetenskap?”).
Fröken Flinks sätt att arbeta liknar många svenska lärares sätt som följer läroplanerna
kombinerad med egen stil. I klassrummet skapar hon en stimulerande miljö med matematiska
frågor, idéer och lösningar, eleverna får stöd och uppmuntran till att samarbeta och dela med
sig av idéer, de hjälper varandra arbeta i par och grupper samtidigt som de arbetar på egen
hand.
Hennes ”klasskonstanter”, preciserar Holden, handlar om några principer och mål för
undervisningen:
en äkta entusiasm inför elevernas förslag och ansträngningar,
entusiasm och glädje över matematikens fantastiska värld,
uppskattning av respekt, omsorg, nyfikenhet och kreativitet,
värdesättande av att våga ta risker och kasta sig in i okända saker,
förståelsen står högt i kurs men inte ”facitsvar”,
vikten av att ha det roligt tillsammans med eleverna,
värdesättande av elevernas stolthet och upplevelsen att det är de som ”äger” sitt arbete,
höga förväntningar på alla elever.
Dessutom finns det skillnader som karakteriserar hennes undervisning i matematik och
hennes pedagogiska grundsyn:
hon använder sig inte av någon lärobok(?),
hon tillämpar olika typer av belöningar,
hon har ett avtal med eleverna som innebär att de ska arbeta 30 minuter med
hemarbete varje dag”,
hon lyckats går runt och signerar hemuppgifterna,
lektionen avslutas med en diskussion om vad de har kommit fram till, nya samband
som eleverna har utforskat och nya resultat.
Flinks klass är årskurs 6. Hon skapar en balans mellan å en sidan experimenterande och
utforskande arbetssätt och å andra sidan med träning av nödvändiga kunskaper.
2.5 Den upplevda läroplanen
Läroplanens ”fem ansikten” handlar om ”hur eleverna upplever allt som sker i klassrummet”.
Hur uppfattar de undervisningen?
14
Vad lär de sig som inte var avsikten enligt lärarens intentioner?
Man kan få lika många svar som det finns elever i klssrummet. ”Erfarenheter från
klassrumsforskning visar emellertid, att det både finns likheter och skillnader i vad eleverna
uppfattar. Likheterna har samband med att undervisningen har en struktur, eller ett mönster,
som alla inordnas i. Olikheterna har samband med att eleverna har olika
erfarenhetsbackgrund och olika förutsättningar” (Imsen, s178).
Enligt Goodlad, begreppet, ”den upplevda läroplanen” omfattar inte bara de sidor av den
formella läroplan som är genomförd i praktiken. Den upplevda läroplanen omfattar också det
som inte var planerat och som mer har karaktären av ”dolda budskap” till eleverna.
Exempel på detta är olika typer av disciplinering, att lära sig att underordna sig, att lära sig att
det gäller att vara bättre än andra, att lära sig de speciella former av reproduktion av kunskap
som innebär att man får bra betyg, o.s.v.
Detta kallats den” dolda läroplanen” av G.Imsen på s179.
Begreppet ”dold läroplan” är en beteckning som har används för de värden, attityder och
handlingsmönster som indirekt förmedlas av skolan. Latenta eller dolda uppgifter som sällan
uppmärksammas av skolans planerare kommer också spela en viktig roll.
På en lite plats med så få lärare och så många elever träffar man andra faktorer i skolans
organisation som kommer att fostra barnen.
Som ett supplement till hemmet lär sig eleverna att hantera punktlighet, uthållighet,
koncentration, lydighet och förmåga att samarbeta.
3 Reflektioner/Observationer över mina teoretiska
undersökningar kopplade till praktisk undervisning
Skolverkets analys 2001 (rapport-expert/www.läroplaner.se, s21) av betyg och
utbildningsresultat visar sig att:
20% av de elever som lämnade grundskolan saknade betyg i något ämne och att 10%
av eleverna saknade behörighet till gymnasieskolan,
6,8% av eleverna inte hade nått målen i skolår 9 och att samtidigt 16% av dem inte
hade nått målen på det nationella ämnesprovet,
6,7% av eleverna på gymnasieskolan fick betyget IG på A-kursen i matematik,
samtidigt kan man konstatera att mer än 20% av de elever som följde programmen
Barn och fritid, Bygg, Fordon, Industri och Livsmedel fick IG på A-kursen i
matematik.
Nu dyker det upp en besvärlig fråga: Varför saknar många elever baskunskaper i matematik?
G.Imsen , pedagog med lång erfarenhet i lärarens värld med anknytning till läroplanens
funktion ställer frågor som öppnar nya vägar för forskning om klassrumsundervisning:
15
”Om det är på det sättet att det kan vara ett stort avstånd mellan läroplanen och den
praktiska verksamheten i klassrummet - vilken mening är det då med läroplaner?
Varför har vi läroplaner?
Kan en lärare klara sig utan läroplaner? Kunde det inte tänkas att lärare har fria händer och
kan klara sig genom att planera undervisningen förutsättningslöst? ”(Imsen,1999,s179).
Jag undrar också om inte resultatet skulle bli mer spännande och mindre trist?
Angående matematiken som kärnämne finns det anledning att analysera motiven till detta
fenomen och öppna möjligheter till jämförelse och förklaringar.
Hur kan en lärare förändra elevernas uppfattningar om matematikkunskaper så att
99% av dem ska klara grundskolan med G eller mer?
”Om en lärare vill ändra på några av elevernas uppfattningar (till exempel att man bör arbeta
sig igenom läroboken sida för sida och utföra alla de uppgifter som finns beskrivna), måste
han/hon vara beredd på att detta tar lång tid” skriver Erkki Pehkonen, professor i
matematikens och naturvetenskapens didaktik vid universitet o Åbo, Finland (B.Grevholm,
2001,s246).
Jag undervisade i matematik i årskurs 6 ( hösttermin, 2001) som vikarie. När jag började som
ny mattelärare tänkte jag inte i början på kursboken, eftersom jag insåg att de behövde
repetera tidigare inlärt material. Jag behövde dessutom en bild av mina elevers kunskapsnivå
som jag fick genom att använda mig av olika grundläggande uppgifter.
Tabellmultiplikationen, språkförståelse, träningsprogram, textförståelse var deras bristande
matematiska färdigheter. Utan sådana kunskaper kunde matematiken förbli oanvändbar och
obegriplig även om bland eleverna var många som var skickliga algoritmiskt.
I deras ålder,11-15, enligt läro- och kursplaner, basfärdigheter och baskunskaper skulle
identifieras med konsten att utöva de fyra räknesätten och de algoritmer och procedurer som
hör till dessa.
Manipulation av symboler och automatisering av beräkningar kunde ha uppfattats som en
viktig del av ett ”fundamentalt” kunnande. Matteboken började med ett repetitionskapitel och
detta passade dem perfekt.
En viktig aspekt var att fundera över vilken typ av undervisning som skulle passa dem?
”Vad säger matematikläro- och kursplaner om baskunskaper?” är en essentiell fråga som
kan hjälpa en lärare att skapa en inlärningsmiljö som är fördelaktig för eleverna.
Men ”Vilka baskunskaper i matematik har sådan karaktär att de är både inspirerande och
utvecklingsbara, så att individen får lust och reell möjlighet till fortlöpande matematiklärande
hela livet”? (Baskunnande i matematik - en lägesbestämning”, rapport av L. Mouwitz, G.
Emanuelsson, B. Johansson, s8/www.skolverket.se).
Med hjälp av baskunskaper kan man framföra matematik muntligt och skriftligt, man kan lösa
matematiska problem, man kan hantera en vardaglig situation genom att konstruera en
matematisk modell. Men detta betyder förståelse och memorering av begrepp och teorier,
träning och automatisering av beräkningar, algoritmer och formelhantering.
En negativ sida av matteboken var att uppgifterna var ibland så krångliga att jag som lärare
behövde lång tid att förklara för dem. Så småningom började eleverna, svaga som duktiga,
bilda uppfattningar om inlärningsprocessen och konstruera egna kunskaper.
Eleverna arbetade i små grupper, 3-4 i klassrummet, men många valde biblioteket.
16
Andra satte och gungade på stolen eller ville leka. Några arbetade på egen hand.
Nivågrupperig och självverksamhet var inte något nytt för dem och vi fortsatte att använda
samma metod som med andra ord kallas individualisering.
Nivågruppering: Klassen var uppdelad, under elevernas självständiga arbete, i grupper på
olika skicklighets- och framstegsnivåer. Här nedan följer de observationer som jag gjorde:
OBS1. Eleverna trivs med en sån metod trots att det stoppar flera till att göra framsteg.
Nivågrupperingen underlättar för läraren att ge utförligare instruktioner för dem som ligger på
samma nivån men bland dem finns också undantag som kan mer. Individuella olikheter inom
gruppen påverkar de som kan mer än gruppens nivå negativt.
OBS 2. Elever som väljer att jobba på egen hand under lärarens överinseende och ledning
fostras samtidigt till självständighet och har obegränsat utrymme för samarbete.
OBS 3. Det är lättare för läraren att ta hänsyn till individuella olikheter eller att nå elevernas
individuella olikheter.
OBS 4. En permanent nivågruppering med samma elever i samma grupp kan leda till vissa
långsiktiga problem. Att elever med helt olika förutsättningar ska accepteras som likvärdiga
deltagare i en gruppgemenskap, ställer speciella krav på den sociala miljön. Den måste vara
accepterande och inkluderande i förhållande till de som behöver speciell hjälp och speciellt
stöd.
OBS 5. Genom att variera arbetsuppgifterna kunde jag formulera olika krav på
svårighetsgrad, fördjupning och arbetsmängd under grupparbetet.
OBS 6. Deras matteböcker hade ett system med märkning av uppgifter så att eleverna kunde
välja mellan grundnivå, mellannivå eller högnivå. En tempodifferentiering innebär att
eleverna arbetar fram mot samma mål, men i sitt eget tempo och att de snabbaste och
duktigaste får extrauppgifter av samma typ.
Självverksamhet/OBS 1. : Bland dem 24 stycken, flickor och pojkar hade jag några som
ville vara själva eller arbeta på egen hand under min ledning. De var svaga och behövde
särskild undervisning i smågrupper eller enskilt. Det fanns en sorts blyghet hos dem som
gjorde att de trivdes tillsammans och då vågade de att gå fram och räkna på tavlan.
OBS Det visar sig att flickor och pojkar kan utforma en uppgift på ganska olika sätt, på grund
att de har olika intressen och olika känslor för hur uppgiften ska utformas
i presentation, t.ex. pojkarna i åk.6 var ibland mer aktiva och säkrare än flickorna.
OBS Det fanns alltid oplanerade företeelser som inte ingick i den vanliga, öppna diskussionen
om läroplaner (oordning, bråk, stökighet, mobbing, konflikter).
OBS Det finns alltid personer i elevernas omgivning, föräldrar, vänner, klasskamrater,
släktingar, som har egna uppfattningar och påverkar eleverna.
17
4 Individualisering eller anpassad undervisning, lärarens
metodfrihet
Individualisering är ett begrepp som alltid har varit i våra läroplaner men som inte så ofta
återspeglas läroplanerna Lpo 94 och Lpf 94, där lärarens ansvar har blivit större och tydligare.
Det ökande flödet av information och beslutprocesser i samhället förmedlar nya kunskaper i
matematik för elever och individualiseringsprincipen har blivit en av de mest centrala
principerna i våra läroplane.
Våra barn, våra elever behöver matematik.
Olika bedömningar på nationell och internationell nivå har varit goda tillfällen för att studera
olika faktorer som är förklaringen till olika prestationer. Elevens backgrund, erfarenheter,
förkunskaper, motivation, inställningar, prestationer, brister hos de med svaga resultat eller
kunnande hos de duktiga har samlats och har bildat underlag för olika utvärderingar.
Frågor som:
Har eleven försökt förstå uppgiften?
På vilket sätt har eleven förstått uppgiften?
Har eleven försökt lösa uppgiften? Har en lösningsmetod?
På vilket sätt har eleven löst uppgiften?
Har eleven klarat av de numeriska beräkningarna?
Har eleven analyserat, värderat och dragit slutsatser av resultatet?
Vilket svar ger eleven på uppgiften?
har används för att bestämma vägar till individualisering.
Men vad är individualisering eller anpassad undervisning i G. Imsens tolkning ?:_
”Den enskilde eleven skall inte på någon nivå och inte på något område hämmas i sin
utveckling och sin inlärning, och han skall inte heller på någon nivå eller på något område
ställas inför krav på tempo och insats som inte motsvarar hans förutsättningar”(s140).
I hela individualiseringsprocessen spelar de fyra pedagogiska ”F”,
Förståelse, Färdighet, Fakta och Förtroende en stor roll.
Debatten om de fyra ”F” s viktiga roll i matematikundervisningen i form av rapport har
utarbetats som en lärarhandledning med tips, idéer och förslag av kunniga skolkonsulenter
från Sverige, Danmark, Norge och Finland (”Individualisering av matematikundervisningen”,
1991).
Eleverna, speciellt de svaga, har flera möjligheter, med hjälp av lärarens metod och strategier,
att välja arbeta med uppgifter på olika sätt. Det finns de som kommer till korrekta resultat
men det finns de som kommit fram till felaktiga resultat, mer eller mindre tillfälliga
(systematisk eller slumpmässig) till slut.
De som i större utsträckning brister i begreppsförståelse, använder sig av felaktiga
lösningsstrategier, brister i taluppfattning och har svårigheter att hantera ovidkommande
information har betydligt fler missuppfattningar.
18
De använder ”regler och metoder” mekaniskt och har svårigheter att bestämma vilket
räknesätt ska användas. Elever med goda resultat bli nöjda med sina prestationer till slut
medan de med svaga prestationer känner sig fortfarande osäkra och anser att de fått svåra
uppgifter. Detta är situationen som en lärare ställs inför i klassen.
Karin Hörberg i ”Inget nytt under solen” och Martin Knutsson i boken ”Vägar till
individualisering”(1970, s15) kommer med praktiska råd för de som är nya som lärare.
På samma sätt som fröken ”F” arbetar för att locka sina elever kan alla våra lärare göra det
roligt för eleverna i matte:
Rita en kvadratcentimeter. Rita 5 kvadratcentimeter…på olika sätt!!
Konstruera med hjälp av papper, sax, penna och linjal…
Använd ”kuben”, använd pengar eller vad du kan hitta på, använd konkret material,
gör skolorna attraktiva, gör undervisningen mer attraktiv.
19
5 Diskussion och slutsatser
När nu mitt avhandlingsarbete har förts till slut är det naturligt att lämna utrymme
för retrospektiva tankar och frågor som jag själv har undrat över.
Mina frågeställningar eller formulerade problem om läroplanernas väg har haft som bas
Goodlads model, ”Läroplanens fem sidor”, som jag har hittat i Gunn Imsens bok
”Lärarens värld”.
Utifrån de två problem formulerade - Läroplaner är inte identiska med skolans verklighet
och en anpassad undervisning i matematik, lärarens metodfrihet - har jag förstått att
mina frågor har varit kunskapsfält för många författare.
Barbro Grevholm samt övriga författare, skolexperter och pedagoger som följer hela
skolprocessen från matematikdidaktik som forskningsfält, mål och kursplaner med utveckling
i matematik, rolig matematik, teknologi i undervisningen till interaktion i klassrummet, har
visat att för att svara på ämnesfrågor måste vi satsa på ökade möjligheter för individen till ett
livslångt lärande.
Som skolämne har matematiken alltid orsakat förvirring och svårigheter för eleverna pga.
matematiska abstraktioner och ”Riksdagspolitikerna oroar sig över de ökade problemen i
grundskolan och när de diskuterar skolfrågor hänvisar de till läroplanens intentioner och dess
krav på lärarna…….Grundskola ska bli en plats för alla elever bortsett från backgrund och
svårigheter/behov” (Skolvärlden/lärarnas riksförbunds tidning/14.03.2002).
Läroplanerna och kursplanerna i enlighet med Utbildningsdepartementet kräver att skolan
skall i sin undervisning i matematik sträva efter bl.a. ”att eleverna ska utveckla sin förmåga att
bl.a. tolka en problemsituation, att formulera den med matematiska begrepp och symboler, att
förklara och använda matematikens språk mm”. Men från alla dessa mål och till verkligheten
finns en lång väg. Många elever kan inte i åk.6 och 7 grundläggande matematisktbegrepp eller
att tänka matematiskt och att använda matematik i olika situationer.
Vad ska vi göra? Ska vi sänka ribban? Med hjälp av mina observationer ”inifrån” och
”utifrån” har jag kommit till följande slutsats:
Nej, vi ska inte sänka ribban. En anpassad undervisning med nivågruppering (heterogena
grupper), med arbete på egen hand eller i grupp, kan utveckla elevernas kunskaper. Att
reflektera över sina erfarenheter av begrepp och metoder i matematiken, att arbeta i projekt
och gruppdiskussioner med sin begreppsbildning samt formulera och motivera olika metoder
för problemlösning kan lösa elevernas svårigheter.
Matematiska utmaningar, konkreta saker, repetitionsuppgifter med dagliga genomgångar på
tavlan hjälper eleverna att få grundläggande färdigheter och till slut kan man ge dem svårare
uppgifter.
Matematiska modeller som kan konstrueras med hjälp av papper, sax, penna och linjal
utvecklar också elevernas förmåga att utforma, förfina samt att kritiskt bedöma modellernas
förutsättningar, möjligheter och begränsningar.
20
Litteratur och källförteckning
Böcker:
Brusling, C. & Strömqvist G. (1991). Reflextion och praktik i läraryrket.
Lund:Studentlitteratur.
Engström, A. (1998). Matematik och reflextion.
Lund:Studentlitteratur
Grevholm, B. (2001). Matematikdidaktik-ett nordiskt perspektiv.
Lund:Studentlitteratur.
Hellström, L. (1985). Undervisningsmetodisk förändring i matematikVillkor och möjligheter.CWK Gleerup.
Hörberg, K. & Knutsson, M. (1970). Vägar till individualisering.
Stockholm: Sveriges lärarförbunds litteraturkommitté
Imsen, G. (1997). Lärarens värld.Introduktion till allmän didaktik.
Lund: Studentlitteratur.
Linde, G. (2000). Det ska ni veta.
Lund:Studentlitteratur.
Olof, M. (1999). Den nya specialpedagogiken i matematik.
Malmö högskola,Institutionen för pedagogik.
Unenge, J. (1999). Skolmatematiken i går, i dag och i morgon.
Stockholm: Natur och kultur.
Yden, B. & Ejeman, G. (1966). Individualisering i undervisningen.
Skolöverstyrelsen.
Artiklar i tidskrifter och Internet:
Gode, S.E. (1991). Individualisering av matematikundervisningen.
Nu-serien,Nordiska ministerrådet.Rapport.
Expertgruppen (02-01-15). Kunskapsöversikt i bibliografi i matematik.
Internets adress: http://www.skolverket/läroplaner.se.
Isaksson, C. (2000). Det krävs entusiastiska lärare som utvecklar intresset
genom hela skolsystemet. ITiden.Ett magasin om IT och pedagogik, nr.4
Läroplaner föe det obligatoriska Skolväsendet och de Friviliga Skolformerna.
(Lpo 94 & Lpf 94). Utbildningsdepartament.
21
22
