Aritmetik - tal
De olika indelningarna av tal
• Naturliga talen, alla positiva heltal och 0
• Heltal, de naturliga talen och alla negativa heltal
• Rationella talen, heltalen och bråktal
• Reella tal, de rationella talen och decimaltalen, ex. √7
Positionssystemet
• Ex. 234,56
• 2:an har positionen hundratal, 200
• 3:an har positionen tiotal, 30
• 4: an har positionen ental, 4
• 5: an har positionen tiondel, 0,5
• 6: an har positionen hundradel, 0,06
Aritmetik - tal
Delbarhet
• Ett tal är delbart med ett annat om kvoten blir ett heltal
• Alla jämna tal är delbara med 2
• Alla tal var siffersumman är delbart med 3 är delbara med 3. Ex. 123 är delbart med 3 för att
1+2+3=6 och 6 är delbart med 3.
• Alla tal som slutar på 0 och 5 är delbara med 5
• Alla tal som slutar på 0 är delbara med 10
Sammansatta tal
• Tal som kan skrivas som produkter av andra heltal. Ex. 36 är ett sammansatt tal för att 4*9=36.
Gällande siffror
• Talar om hur noggrant ett värde är angivet.
• Ex. 0,07 har en gällande siffra. 507 har tre gällande siffror
Aritmetik - tal
Prioriteringsregler
• Talar om i vilken ordning vi ska räkna
• Först potenser, sedan parenteser, efter det multiplikation och division. Till sist addition och
subtraktion
Primtal
• Tal som endast är delbara med sig själv och 1, samt är större än 1
Faktorisera
• Är att dela upp tal genom att bryta ut en gemensam nämnare. Ex. 2x+4=2(x+2)
• Man kan primfaktorisera och delar då upp talet i primtal så långt det går. Detta kan man göra med
hjälp av ett faktorträd
Aritmetik - tal
De fyra räknesätten
• Addition, term + term = summa
• Subtraktion, term – term = differens
• Multiplikation, faktor * faktor = produkt
• Division, täljare/nämnare = kvot
Överslagsräkning
• Addition, minska den ena termen och öka den andra termen
• Subtraktion, minska eller öka båda termerna
• Multiplikation, minska den ena faktorn och öka den andra faktorn
• Division, minska eller öka båda täljare och nämnare
Aritmetik - tal
Multiplikation med 10, 100 och 1000
• Flytta decimaltecknet till höger, ett steg för varje nolla
Division med 10, 100 och 1000
• Flytta decimaltecknet ett vänster, ett steg för varje nolla
Avrundning
• Siffran bakom det vi ska avrunda talar om hur vi ska göra. Är den siffran mellan 0-4 avrundar vi
nedåt, siffran ändras inte, är siffran mellan 5-9 avrundar vi uppåt och siffran höjs ett steg.
• Ex. 3476 ska avrundas till hundratal, siffran bakom hundratalet är en 7:a, alltså är talet avrundat
3500.
• Ex. 4427 ska avrundas till tusental, siffran bakom tusentalet är en 4:a, alltså är talet avrundat
4000.
• Man avrundar inte först efter att alla beräkningar är gjorda.
Aritmetik - tal
Decimaltal
• Tal som innehåller decimaler.
• Ex. 37,38 är ett decimaltal och har två decimaler
Negativa tal
• Tal som är mindre än 0
De fyra räknesätten med negativa tal
• Addition, värdet minskar. Ex. 4 + (-3) = 1
• Subtraktion, värdet ökar. Ex. 5 - (-5) = 10
• Multiplikation, udda antal negativa faktorer ger negativ produkt. Jämt antal negativa faktorer ger
positiv produkt. Ex. (-2) * 6 = -12 Ex. (-2) * (-3) = 6
• Division, kvoten är negativ om täljare eller nämnare är negativ. Ex. (-6)/2= -3 Ex. (-6)/(-2) = 3
Aritmetik - tal
Potenser
• Består av en bas
och exponent. Exponenten talar om hur många gånger basen multipliceras med
3
sig själv. Ex. 5 = 5*5*5=125
• När en bas har exponenten 0 är alltid svaret lika med 1, oavsett bas.
Multiplikation och division med potenser
• Multiplikation, addera exponenterna. Ex. 37 ∗ 32 = 37+2 = 39
• Division, subtrahera exponenterna.
38
32
= 38−2 = 36
Kvadratroten
• Kallas tal som är upphöjda till två, det vill säga, har exponenten 2.
Roten ur
• Motsatta räknesättet till kvadratroten. Ex. 72 =49
49=7
Aritmetik - tal
Tiopotenser
• En potens med basen 10. Exponenten motsvarar antalet nollor i talet. Ex. 105 =1000 00
Grundpotensform
• Ett tal skrivet med en faktor och en tiopotens. Ex. 3,65 * 105
Prefix
• Ord som motsvarar siffror som vi använder vid enheter. Ex. kilo betyder 1000. Därför är 1 km =
1000 m. Så k står för kilo som står för tusen.
Bråk
• Tal som är skrivna i hur många bitar av det hela som det finns. Täljaren talar om hur många bitar
3
vi har och nämnaren hur många bitar vi har delat upp det i. Ex.
4
Aritmetik - tal
Förlänga och förkorta bråk
2
• Förlängning är när man multiplicerar täljare och nämnare med samma tal. Ex. Förlänga med 4,
3
2∗4
8
=
3∗4
12
6
9
• Förkorta är när man dividerar täljare och nämnare med samma tal. Ex. Förkorta med 3,
6/3
9/3
Enklaste form av bråk
• Är att förkorta ett bråk så långt det går. Det vill säga att täljare och nämnare inte har någon
gemensam faktor.
Blandad form
9
2
• När man svarar i både hela och delar. Ex. = 4
1
2
=
2
3
Aritmetik - tal
De fyra räknesätten med bråk
• Addition, samma nämnare krävs, sedan adderas täljarna.
3
5
1
5
4
5
3
5
1
5
2
5
• Ex. + =
• Subtraktion, samma nämnare krävs, sedan subtraheras täljarna.
• Ex. - =
3
5
2
4
• Multiplikation, multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Ex. . * =
6
20
• Division, invertera bråken, det vill säga byt plats på täljare och nämnare i ena bråket och utför sedan
en multiplikation
2
4
3
5
2 5
4 3
• Ex. / = * =
10
12
Multiplikation med parenteser
• Multiplicerar talet före med allt som är i parentesen. Ex. 2(3x + 7y + z)=6x+14y+1z
• När man multiplicerar en parentes med en annan multiplicerar man alla siffror i den första
parentesen med alla siffor i den andra parentesen. Ex. (2+x)(2+y)= 4+2y+2x+xy. Gör detta
systematiskt, ta en siffra i taget.
