Математическая перестрелка

Lektion 12. Tangenter och medianer
Tangenter
Definition. En tangent till en cirkel är en rät linje son har exakt en gemensam punkt med cirkeln.
Tangentens längd från punkt M är avståndet från M till tangeringspunkten.
1. Visa att en tangent är vinkelrät mot radien till tangeringspunkten.
2. Visa att
a. det finns exakt två tangenter genom till en cirkel genom en given punkt M utanför cirkeln;
b. tangenternas längder från M är lika stora.
3. Bestäm orten för punkter från vilka är tangenternas längder till en given cirkeln lika med en
given längd.
4. Konstruera en tangent till en given cirkel genom en given punkt.
Medianer
5. а. Visa att en median delar en triangel i två delar med lika stora
areor.
b. Visa att AK:BK=AACK:ABCK (se bilden till höger), dvs att
förhållandena mellan sträckorna och areorna är lika stora.
6. Två medianer delar en triangel i 4 delar med areorna P, Q, R och
S (se bilden till vänster). Visa att a) Q=S; b) P=R.
7. Given en triangel ABC. Bestäm orten för punkter M innanför
triangeln sådana att AACM=ABCM
8. Visa att i vilken som helst triangel skär tre medianer varandra i
en punkt.
9. Visa att a) tre medianer delar en triangel i 6 delar med lika stora areor;
b) medianernas skärningspunkt delar varje av medianerna i förhållandet 2:1 om man startar från
ett hörn.
Kortkort mattedrabning (spelas ut 4 uppgifter av 5)
10. En stege är lutad nästan lodrätt mot en vägg. Exakt i mitten sitter en kattunge. Stegen började
halka så att en kant glider längs väggen och en annan längs golvet. Den fortsätter ända till ett
vågrätt läge. Bestäm kattungens bana.
11. Två par parallella räta linjer bildar en kvadrat. Bestäm orten för punkter sådana att summa av
avstånden till linjer av det första paret är lika med summan av avstånden till det andra paret.
12. Dela med hjälp av passare och linjal en sträcka i tre lika stora delar.
13. Konstruera vinkeln 165.
14. Konstruera en triangeln när det är givna två sidor och en median dragna från samma hörn.
Mattecirkeln http://shap.homedns.org/sks/svenska/ den 3 december 2005 Ledaren Alexandre Chapovalov [email protected]