Document

Ellära och Elektronik
Moment AC-nät
Föreläsning 4
Kapacitans och Induktans
Uppladdning av en kondensator
Medelvärde och Effektivvärde
Sinusvåg över kondensator och spole
1
© Copyright 2008 Börje Norlin
Kondensatorer
• För att lagra elektrisk laddning
• Tillverkas i många olika varianter
2
© Copyright 2008 Börje Norlin
1
Kondensatorer och kapacitans
• Plattor med isolerande
material emellan, sk
dielektrikum.
• Kapacitans C = Q / U
Där Q laddning och U
spänning (C mäts i Farad
F)
• Geometriskt gäller
C = εrε0A/d där
ε0=8,85·10-12 F/m
3
© Copyright 2008 Börje Norlin
Kapacitans
dq
• Ström är laddningsrörelse, dvs i =
dt
• Sambandet Q = CU ger för i
i=
dq d
du
= Cu = C
dt dt
dt
• Spänningen u över kondensatorn erhålls
genom att integrera strömmen
q(0 ) 1
u (t ) =
+
i(t ′)dt ′
C
C
t
∫
0
4
© Copyright 2008 Börje Norlin
2
Kapacitans
• Kondensatorn är spänningströg
– Oladdad kondensator leder ström ”obehindrat”.
– Laddningen lagras i form av ett elektriskt fält som ger en spänning
för att motverka strömmen.
• Uppladdning av kondensator
– När brytaren slås till så börjar ström flyta ”mot” kondensatorn
– Elektroner ”trängs” på nedre plattan, på övre finns ”hål”
– Spänningen över kondensatorn ökar, kondensatorn ”laddas upp”.
5
© Copyright 2008 Börje Norlin
Uppladdning av kondensator
• Kondensatorn laddas
upp
XSC1
G
A
J1
V1
2V
T
– När brytaren slås till
övre läget
• Kondensatorn laddas ur
R1
Key = Space
B
4.7kohm
C1
6.8uF
– När brytaren slås i
nedre läget
• Oscilloskopet mäter
– Spänningen över
kondensatorn och
spänningen efter
brytaren
6
© Copyright 2008 Börje Norlin
3
Uppladdningskurva
• Spänningen 2 V slås till
• Kondensatorn börjar att
laddas upp
• Uppladdningen följer
ekvationen
−t RC
C
U (t ) = E ⋅ (1 − e
)
• E: batterispänningen
t: tiden, R: resistans,
C: kapacitansen
– På miniräknare kan ex
ibland heta INV ln,
eftersom det är motsatsen
till naturlig logaritm ln
7
© Copyright 2008 Börje Norlin
Urladdningskurva
• Kondensatorn kopplas till
jord
• Kondensatorn börjar att
laddas ur
• Urladdningen följer
ekvationen
−t RC
C
U (t ) = E ⋅ e
• E: batterispänningen
t: tiden, R: resistans,
C: kapacitansen
8
© Copyright 2008 Börje Norlin
4
Beräkning av tidskonstant
• Kondensatorn har INGEN egen tidskonstant
– Uppladdningstiden beror på BÅDE kondensatorn och resistorn
•
•
•
•
•
τ = R⋅C
Tidskonstanten
Ex τ = RC = 6.8⋅E-6 ⋅ 4.7⋅E3 = 32 ms
När t = τ blir exponenten i uppl.ekv. -t/RC = -τ/τ = -1
I ekvationen UC = 2 ⋅ (1-e-1) = 2 ⋅ 0.63 = 1.26 V
MAN KAN MÄTA TIDSKONSTANTEN τ
– Mät tiden tills spänningen når 63 % av batteriets spänning
9
© Copyright 2008 Börje Norlin
Mätning av tidskonstant
• Tidkonstant
τ = t(63%)
– Mät tiden till 63 %
90 %
• Lättare mätning
10 %
63 %
– Mät tiden till 10 % och 90 %
τ=
t(90%) − t(10%)
32 ms
2,2
10
© Copyright 2008 Börje Norlin
5
Spolar
11
© Copyright 2008 Börje Norlin
Induktans
• Spänningen över en spole blir
u (t ) = N
dΦ
dt
Där N = antal varv och
Φ = magnetiskt flöde prop mot i
• Inför induktansen L (Henry H) för att få ett
uttryck för spänningen som funktion av
strömmen
u (t ) = Nk
di
di
=L
dt
dt
12
© Copyright 2008 Börje Norlin
6
Induktans
• Strömmen genom spolen erhålls genom att
integrera spänningen
t
1
i (t ) = i (0 ) +
u (t ′)dt ′
L
∫
0
• Slutsats: Spolen är strömtrög
– Ström genom en spole bygger upp ett magnetfält
som inducerar spänning för att motverka
strömändringen.
13
© Copyright 2008 Börje Norlin
Induktion i spole ”urladdning”
• Ström & magnetfält
XSC1
G
A
J1
R1
Key = Space
V1
2V
4.7kohm
L1
150H
B
T
– Brytaren i övre läget
• Spolen skapar spänning
– För att bevara
strömmen och
magnetfältet
– När brytaren slås i
nedre läget
• Oscilloskopet mäter
– Spänningen över
spolen och spänningen
efter brytaren
14
© Copyright 2008 Börje Norlin
7
Urladdningskurva
• Spolen kopplas till jord
• Spolen ”behåller”
strömmen genom att
”bums” ändra sin
spänningen
• Spänningsfallet över
resistorn behålls
15
© Copyright 2008 Börje Norlin
Induktion utan att jorda
XSC1
G
A
B
T
J1
R1
Key = Space
V1
2V
R2
100kohm
4.7kohm
L1
150H
• Avbrott – resistor mot jord
• Spolen måste ge betydligt
mycket mer spänning
• Kan överbrygga brott i kretsen
– I tändstiftet och i fördelardosan
16
© Copyright 2008 Börje Norlin
8
Växelström/spänning
• Tidsberoende variabler skrivs med gemener,
t.ex u(t) och i(t)
17
© Copyright 2008 Börje Norlin
Sinusvågens period
• Avläsning av en period
18
© Copyright 2008 Börje Norlin
9
Sinusvåg
•
•
•
•
Toppvärde û
Period T
frekvens f=T-1
vinkelfrekvens
ω=2πf
• fasvinkel ϕ
19
© Copyright 2008 Börje Norlin
Sinusvåg över resistor
• Spänning u(t ) = uˆ sin(ωt + ϕ )
• Strömmen genom resistans bestäms av Ohms
lag även för växelspänning, dvs
i(t ) =
u(t ) uˆ
= sin(ωt + ϕ )
R R
• Det kan vi skriva som
i(t ) = iˆ sin(ωt + ϕ )
• Strömmen i fas med spänningen då ϕu = ϕi
20
© Copyright 2008 Börje Norlin
10
Medelvärde
• Medelvärdet av en växelspänning beräknas
genom integrering över en hel period.
um =
1
T
∫ u(t )dt
T
0
– Resultatet divideras med periodtiden T för att
erhålla ett normaliserat värde.
• Medelvärde kan mätas med en voltmeter
inställd på DC.
21
© Copyright 2008 Börje Norlin
Exempel medelvärde
u (V)
• Medelvärde av en
fyrkantsvåg
– Amplitud 2 V och
period 2 s
– 1:a halvan av kurvan
ger plus 2 till ytan
– 2:a halvan av kurvan
ger minus 2 till ytan
• Spänningens
medelvärde är 0 V
2
0
Tid (s)
2
T
Um =
1
u (t )dt =
T ∫0
1
2
⎞
1⎛
⎜ ∫ 2dt + ∫ − 2dt ⎟ =
⎜
⎟
2⎝0
1
⎠
1
(2 − 2) = 0
2
22
© Copyright 2008 Börje Norlin
11
Effektivvärde
• Frågeställning:
En likspänning U ger upphov till en effekt P
i en resistor R. Vilken växelspänning u(t)
över samma resistor ger samma effekt?
• För växelspänningen gäller momentant att
p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = uˆ sin(ωt + ϕ ) ⋅ iˆ sin(ωt + ϕ )
• Eftersom strömmen och spänningen är i fas
kan vi sätta ϕ=0.
23
© Copyright 2008 Börje Norlin
Effektivvärde
• Den momentana effekten är
p(t ) = uˆ sin(ωt ) ⋅ iˆ sin(ωt ) = uˆ ⋅ iˆ sin2 (ωt )
• Den energi som utvecklas under en period blir
W = ∫ p(t )dt
T
0
• Effekten definieras som P=W/t
P=
1 T
1 T ˆ 2
(
)
p
t
dt
=
uˆ ⋅ i sin (ωt )dt
T ∫0
T ∫0
24
© Copyright 2008 Börje Norlin
12
Effektivvärde
• Men trigonometri kan vi ändra uttrycket för P
P=
uˆ ⋅ iˆ T 2
uˆ ⋅ iˆ T 1
(
)
(1− cos2ωt )dt
ω
t
dt
=
sin
T ∫0
T ∫0 2
• Om vi räknar fram värdet på integralen
T
T
uˆ ⋅ iˆ ⎛⎜ T ⎡ sin 2ωt ⎤ ⎞⎟
uˆ ⋅ iˆ ⎛ T
⎞
[t ] −
=
P=
⎜ 1dt − ∫0 cos 2ωtdt ⎟ =
⎠ 2T ⎜⎝ 0 ⎢⎣ 2ω ⎥⎦ 0 ⎟⎠
2T ⎝ ∫0
uˆ ⋅ iˆ ⎛
⎛ sin 2ωT sin 2ω 0 ⎞ ⎞ uˆ ⋅ iˆ
((T − 0) − (0 − 0))
⎜⎜ (T − 0 ) − ⎜
−
⎟⎟ =
2ω ⎠ ⎟⎠ 2T
2T ⎝
⎝ 2ω
25
© Copyright 2008 Börje Norlin
Effektivvärde
• Effekten av en växelspänning blir
P=
uˆ ⋅ iˆ
2
• Effektivvärde är en storhet som för en given
växelspänning ger en viss effekt. P=UeIe
• För sinusvåg gäller att
Ue =
uˆ
iˆ
och I e =
2
2
26
© Copyright 2008 Börje Norlin
13
Effektivvärde
• Generellt; utgå från uttrycket för effekt
P=
1 T
1 T
p(t )dt = ∫ uˆ ⋅ iˆ sin2 (ωt )dt
∫
T 0
T 0
• Kan integralen delas upp i u- och i-faktorer?
1
T
P=
iˆ
T
∫
T
0
∫
T
0
1
T
uˆ ⋅ iˆ sin 2 (ωt )dt ⋅
uˆ sin 2 (ωt )dt ⋅
uˆ
T
∫
T
0
∫
T
0
uˆ ⋅ iˆ sin 2 (ωt )dt =
iˆ sin 2 (ωt )dt
27
© Copyright 2008 Börje Norlin
Effektivvärde
• Skriv effekten som två faktorer som beror av
en enda storhet vardera.
iˆ
T
P=
1
T
∫
T
0
∫
T
0
uˆ sin 2 (ωt )dt ⋅
uˆ 2 sin 2 (ωt )dt ⋅
1
T
uˆ
T
∫
T
0
∫
T
0
iˆ sin 2 (ωt )dt =
iˆ 2 sin 2 (ωt )dt
• Dessa faktorer kallas effektivvärden.
28
© Copyright 2008 Börje Norlin
14
Effektivvärde
• Effektivvärdet för en godtycklig växelstorhet
av godtycklig vågform definieras:
Ue =
1
T
∫
Ie =
1
T
∫ i (t )dt
T
0
T
u 2 (t )dt
2
0
• Effektivvärde kan mätas med en voltmeter
inställd på AC. (förenklat påstående)
29
© Copyright 2008 Börje Norlin
Exempel effektivvärde
• Effektivvärde av en
fyrkantvåg
– Amplitud 2 V och
period 2 s
– Både negativ och
positiv spänning ger
samma positiva bidrag.
• Spänningens effektivvärde är 2 V
4
u2 (V)
2
u (V)
0
Tid (s)
2
T
U RMS
1 2
=
u (t )dt =
T ∫0
2
1 2
1
2 dt =
4⋅2 = 2
∫
20
2
30
© Copyright 2008 Börje Norlin
15
Sinusvåg över kondensator
• Strömmen genom kondensatorn ges av
i (t ) = C
du
d
= C uˆ sin (ωt + ϕ ) = Cuˆω cos(ωt + ϕ ) =
dt
dt
π⎞
⎛
uˆCω sin ⎜ ωt + ϕ + ⎟
2⎠
⎝
• Strömmen är fasförskjuten 90° före spänningen.
• Vi ser att iˆ = uˆ ⋅ Cω för kondensatorn.
• Inför reaktans XC = 1/ωC
31
© Copyright 2008 Börje Norlin
Sinusvåg över kondensator
32
© Copyright 2008 Börje Norlin
16
Sinusvåg över kondensator
• Med reaktansen kan Ohms lag användas.
uˆ
iˆ =
XC
• Enheten för reaktans är ohm.
1
V
⎡ 1 ⎤
=
=
=Ω
⎢⎣ωC ⎥⎦
A
−1 As
s
V
33
© Copyright 2008 Börje Norlin
Ersättningskapacitans
X T = X1 + X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + X N =
1
1
1
1
=
+
+ ⋅⋅⋅ +
ωCT ωC1 ωC 2
ωC N
1
1
1
1
=
+
+ ⋅⋅⋅ +
CT C1 C 2
CN
1
1
1
1
=
+
+ ⋅⋅⋅ +
=
X T X1 X 2
XN
ωCT = ωC1 + ωC 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ωC N
CT = C1 + C 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + C N
Tvärt om jämfört med resistorer
34
© Copyright 2008 Börje Norlin
17
Sinusvåg över spole
• Strömmen genom spolen ges av
1 t
1 t
′
′
(
)
=
u
t
d
t
uˆ sin (ωt + ϕ )dt ′ =
L ∫0
L ∫0
uˆ
uˆ
π⎞
⎛
−
cos(ωt + ϕ ) =
sin ⎜ ωt + ϕ − ⎟
2⎠
ωL
ωL ⎝
i (t ) =
• Strömmen är fasförskjuten 90° efter spänningen.
uˆ
• Vi ser att iˆ =
för spolen.
ωL
• Inför reaktans XL = ωL
35
© Copyright 2008 Börje Norlin
Sinusvåg över spole
36
© Copyright 2008 Börje Norlin
18
Ersättningsinduktans
X T = X1 + X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + X N =
ωLT = ωL1 + ωL2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ωLN
LT = L1 + L2 + L3 + ⋅ ⋅ ⋅ + LN
1
1
1
1
=
+
+ ⋅⋅⋅ +
=
X T X1 X 2
XN
1
1
1
1
=
+
+ ⋅⋅⋅ +
ωLT ωL1 ωL2
ωL N
1
1 1 1
1
= + + + ⋅⋅⋅ +
LT L1 L2 L3
LN
Samma sak som för resistorer
37
© Copyright 2008 Börje Norlin
19