+ R

Ellära och Elektronik
Moment DC-nät
Föreläsning 2
Spänning och ström i en elektrisk krets
Kirchhoffs lagar
Tvåpolsatsen
1
© Copyright 2008 Börje Norlin
Elektrisk
l k i k krets
k
2
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
S i k
Seriekoppling
li
•
•
•
T.ex Adventsljusstakar
T
Ad t lj t k och
h
julgransslingor.
Om en lampa går sönder
bryts kretsen.
kretsen
Strömmen kan bara gå en
väg som leder genom alla
komponenterna.
3
© Copyright 2008 Börje Norlin
Ki hh ff
Kirchhoffs
spänningslag
ä i l
(2:a lag)
•
KII ger E - IR1 - IR2 = 0
4
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
S
Spänningen
i
Uab är en potentialskillnad
i l kill d
5
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
S
Spänningsdelning
i d l i
E = IR1 + IR2 + ⋅ ⋅ ⋅IRn
Spänningsdelning
Spänningsdelning
S
ä i d l i
Endast 2 resistorer
S i k
Seriekoppling
li
Rx
Vx = E
RT
R1
V1 = E
R1 + R2
R2
V2 = E
R1 + R2
6
© Copyright 2008 Börje Norlin
Mätning av ström
• Amperemeter kopplas
alltid i serie med lasten.
7
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
Mätning
i av spänning
i
• Voltmeter
V lt t kopplas
k
l alltid
lltid parallellt
ll llt medd lasten.
l t
8
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
Parallellkoppling
ll llk
li
9
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
Ki hh ff strömlag
Kirchhoffs
tö l
(1:a
(1 lag)
l )
10
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
Ersättningsresistans
i
i
parallell
ll ll
11
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
S
Strömdelning
d l i
12
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
S
Strömdelning
d l i
V = I1 R1 = I 2 R2 = ⋅ ⋅ ⋅ = I x R x ⇔ V = I T RT
Strömdelning
RT
Ix =
IT
Rx
Strömdelning
St
ö d l i
Bara 2 resistorer
R2
I1 =
IT
R1 + R2
Parallella resistorer
R1
I2 =
IT
R1 + R2
13
© Copyright 2008 Börje Norlin
Tvåpolsatsen
– Tomgångspänning
U0 (UTh)
– Inre resistans
Ri (RTh)
• E
En tvåpol
t å l kan
k medd avseende på sin inverkan på
anslutna
l t kretsar
k t ersättas
ätt
med en ekvivalent krets
b tå d av en spänbestående
ä
ningskälla i serie med en
resistans.
it
14
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
Förfarande
f
d
• Förenkling av enkel krets med en spänningskälla
och 3 resistorer. RL upplever samma IL och Uab.
15
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
Belastad
l
d tvåpol
å l
– När ingen
g last är ansluten
är Uab = U0
– Kortslutningströmmen för
tvåpolen är Ik = U0 / Ri
U0
Uab
b
• Spänningen över en
tvåpol minskar linjärt vid
strömutag.
• Sambandet Uab = U0 - IRi
gäller för tvåpolen
I
Ik
16
© Copyright 2008 Börje Norlin
Exempell från
f å tentamen 2000-10-26
2000 10 26
7. Beräkna strömmen I genom resistorn R i figuren här intill med två olika metoder.
Komponenterna och källornas värden är:
E = 12 V
I0 = 0,5 A
R1 = 4 Ω
R2 = 2 Ω
R3 = 5 Ω
R4 = 3 Ω
R=5Ω
I
I0
+
E
U
R1
R3
R
R2
I
R4
a) Beräkna strömmen I, välj mellan att använda antingen slinganalys eller nodanalys.
b) Beräkna strömmen I med hjälp av tvåpolsatsen.
c) Beräkna effekten som utvecklas i resistorn R. Ändra värdet på R så att
effektutvecklingen blir maximal, beräkna den nya effekten i R.
(OBS. Uppgift a och b bedöms oberoende av varandra. Uppgift c kan ge full poäng även
om den bygger på felaktiga resultat i a och b.)
(6 p)
17
© Copyright 2008 Börje Norlin
Lösning
i medd tvåpolsatsen
å l
• Komponenten R tas bort,
g för en
istället söks lösningen
tvåpol med avseende på
punkterna a och b.
b
• När U0 och Ri är kända kan
strömmen I genom R
beräknas med Ohms lag.
g
I = U0 / (Ri + R)
I0
I
+
E
R1
U
R3
a
b
R2
R4
Ekvivalent
Tvåpol Ri
a
I
+
U0
U
R
b
18
© Copyright 2008 Börje Norlin
Beräkning
k i av tomgångspänning
å
i
• Tomgångspänningen beräknas med KII och
Ohms lag.
19
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
Lösning,
i onödiga
di R
• Man kan förenkla bort onödiga resistanser
– En resistans i serie med en strömkälla påverkar inte strömmen ut ur strömkällan,
resistansen
it
kan
k tas
t bort
b t ur kretsen
k t
R
I0
I
I0
I
– En resistans parallellt med en spänningskälla påverkar inte spänningen över
spänningskällan,
p
g
, resistansen kan tas bort ur kretsen
R
+
+
E U
E U
– Ska t.ex. kretsens totala effektförbrukning beräknas måste man naturligtvis ta med
resistorerna ovan, men de strömmar och spänningar vi nu söker påverkas inte.
20
© Copyright 2008 Börje Norlin
Lösning,
i U0
E
I0
I
+
U
R1
a
b
• Resistansen R3 kan tas bort
• Vi jordar minuspolen på E.
E
• Potentialen Va beräknas med spänningsdelning
till
ill ER2/(R1+R
R2) = 12*2/6 = 4 V.
V
• Potentialen
oe
e Vb be
beräknass med
ed Ohms
O s lag
g till I0R4
= 0,5*3= 1,5 V.
• Tomgångsspänningen
T
å
ä i
blir
bli U0 = 4 – 1,5=
1 5 2,5
25V
R2
R4
21
© Copyright 2008 Börje Norlin
Beräkning
k i av inre
i
resistans
i
• Spänningskällor kortsluts och strömkällor blir avbrott,
sen utnyttjas
t ttj parallellkoppling
ll llk li ochh seriekoppling.
i k
li
22
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
Lösning,
i Rii
R1
a
• I0 bryts och E kortsluts.
• Om kretsen verkar svår: Rita om
kretsen. Vilka vägar kan strömmen
välja?
a
b
R2
R4
R1
R4
R2
b
• Ri = R1||R2 + R4 = 2*4/6 +3 = 4,3333... Ω
23
© Copyright 2008 Börje Norlin
Lösning,
i beräkning
b k i av I
• Till slut kan den sökta strömmen genom R
beräknas med Ohms lag.
g
I = U0 / (Ri + R) = 2,5 / 9,333 ≈ 0,27 A
Ekvivalent
Tvåpol Ri
a
I
+
U0
U
R
b
24
© Copyright 2008 Börje Norlin
Nortonekvivalent
k i l
• En strömkälla parallellt med en resistor ger också
ett linjärt ström/spänningsberoende.
25
© Copyright 2001
2008 Börje Norlin
O
Omvandling
dli Norton - Thévenin
hé i
• Exempel
Uppgift 2. Kretsteori (Fullständig lösning krävs.)
Beräkna strömen I med hjälp av tre olika metoder:
a.
Slinganalys
(0,3 p)
b
b.
Nodanalys
(0 3 p)
(0,3
c.
Förenkla kretsen genom att applicera Nortons teorem och tvåpolsatsen.
Beräkna strömmen med hjälp av Ohms lag.
(0,3 p)
E1 = 5 V
E2 = 10 V
I0 = 5 A
R1 = 10 Ω
R2 = 10 Ω
R3 = 2 Ω
R4 = 3 Ω
R5 = 5 Ω
R6 = 5 Ω
I0
I
R3
+
E1
E2 U
U
+
R2
R5
R6
R1
R4
I
26
© Copyright 2008 Börje Norlin
Lösning omvandling Norton - Thévenin
I0
I
– O
Omvandla
dl E1 ochh E2 till
ill Nortonekvivalenter
N
k i l
• I01 = E1 /R1 = 0,5 A
I02 = E2 /R6 = 2,0 A
– Inkludera R2 i Nortonekvivalenterna
• R01 = R1||R2= 5,0 Ω
R02 = R5||R6= 2,5 Ω
R3
I01 I
R1
R5
R2
R6
I02
I
R4
I
– Omvandla tillbaka till Théveninekvivalenter
• E01 = I01 *R01 = 2,5 V
E02 = I02 *R
* 02 = 5,0 V
E0 = I0 *R3 = 10,0 V
– Beräkna strömmen I
• I = (-E0 - E01 - E02 )/ (R01 +R3 + R02 + R4)
= (-10 – 2,5 – 5) / (5 + 2 + 2,5 + 3)
=-17,5 / 12,5 = -1,4 A
E0
U
R3
+
+
E02 U
E01 U
R01
+
R4
I
R02
27
© Copyright 2008 Börje Norlin