Vektorer och kinematik 1 1.1 VEKTORER OCH KINEMATIK Inledning 1–1 För atomen som helhet eller för molekyler kan man däremot ibland med fördel använda Newtons mekanik. På längdskalan har Newtons mekanik det enormt stora tillämpningsområdet från 10−9 m upp till universums radie. På masskalan finns i ena änden en molekyl med massan 10−25 kg och i den andra änden en galax med massan 1040 kg. Andra begränsningar följer ur relativitetsteorin på hastighet och temperatur. Mekaniken är, i högre grad än andra delar av fysiken teorin för fenomen som vi kan iaktta direkt med våra sinnen. Detta är också orsaken till att mekaniken utvecklades först av alla naturvetenskapliga teorier. Den blev sedan stilbildande med sina begrepp, både för att förstå vardagens fysik och fenomen på atomistisk och kosmisk skala. Mekanikens begrepp Mekaniken är en gammal vetenskap. Ordet mekanik kommer från grekiskans ord mekané (µηχανη) som betyder apparat, maskin eller ordagrant medel för att övervinna. Under antiken utgjordes mekaniken av det vi idag skulle kalla statiken, alltså läran om krafter och deras verkan. Arkimedes studerade t ex hävstången, lutande planet, kilen, skruven och hjulet. Mekaniken är en del av fysiken, och en av hörnstenarna för grundläggande och tillämpad vetenskap. Mekaniken tillämpas på materiella kroppars rörelse. Man trodde länge att det var en övergripande teori, men på 1920-talet • kraft övertogs den rollen av kvantfysiken. Vad som inträffade när kvantmekaniken utvecklades • rörelsemängd - impuls (momentum) var att man fann gränser för den klassiska mekanikens eller Newtons mekaniks giltighet • rörelsemängdsmoment (angular momennär det gäller bl a storleken på de materiella tum) kroppar den kan tillämpas på . • energi Den fundamentala konstanten i kvantfysiken, Plancks konstant h, har dimensionen spelar en framträdande roll i praktiskt taget massa×längd×hastighet dvs ML2 T−1 . En varje område inom fysiken. gräns för Newtons mekanik ges därför av En naturvetenskaplig teori består av tre delar MLV h = 6.626 × 10−34 kgm2 /s (Js) • en mängd fenomen som man vill beskriva I atomerna är det elektronerna som ger • en matematisk modell dessa deras egenskaper. Elektronernas massa är ca 10−30 kg och deras hastighet är • samt en avbildning mellan dessa begränsad av 3 × 108 m/s, ljusets hastighet. Om vi vill beskriva elektronerna inom atomen Matematiken används eftersom den låter oss med rimlig noggrannhet måste längdskalan uttrycka komplicerade ideer. Fysikaliska samband får formen av lagar vilka ges av matemvara 10−12 m. Dvs atiska relationer. Dessa lagar leder ofta till 8 −30 −12 MLV = 3 × 10 × 10 × 10 nya insikter. Samspelet mellan teori och ex2 −34 periment är också baserad på kvantitativa = 3 × 10 kgm /s ≈ h förutsägelser och mätningar. När överensstämmelsen är mycket god t ex Olikheten ovan är alltså inte uppfylld i detta fall, och elektronen måste därför behandlas 1 på 106 känner vi oss övertygade att teorin kvantmekaniskt. är sann. Vektorer och kinematik 1–2 vektor kallas dess belopp. Beloppet av vektorn A skrivs Inom fysiken skiljer vi mellan skalära och |A| = A vektoriella storheter. Till de förra räknas Om längden på en vektor är ett kallas den storheter som en enhetsvektor, och betecknas med en ‘hatt’. • volym För en vektor A har vi 1.2 Vektorer • täthet  = A/|A| eller A = A • temperatur 1.2.1 vilka utmärks av ett mätetal vilket anger deras storlek. Vektorer är storheter vilka både har storlek och riktning. Vektor kommer från det latinska ordet ‘dragare’ eller ‘to carry’. Det enklaste exemplet på en vektor är en förflyttning från en punkt i rummet till en annan. En förflyttning har storlek, avståndet från P1 till P2 , och riktning. Vektoralgebra Om vi multiplicerar en vektor A med en skalär b > 0 resulterar det i en ny vektor C = bA Vektorn C är parallell med A och dess längd är b gånger större dvs Ĉ =  och C = bA P Om vi multiplicerar en vektor med -1 får vi d en ny vektor med motsatt riktning till den ursprungliga, dvs om b < 0 ovan blir Ĉ motriktad Â. P1 Eftersom en förflyttning representeras av en vektor kan vi illustrera de flesta räknelagar Vektorstorheter är storheter som geometriskt. Addition definieras enligt nedan likt förflyttningar har storlek och riktning t ex 2 *B C • kraft • rörelsemängd C =A+B A • hastighet På motsvarande sätt får vi subtraktion av två vektorer som • acceleration För att beskriva en vektor måste vi ange C = A − B eller C + B = A. både dess längd och riktning. Vi antar att en parallellförflyttning inte ändrar en vektor. Multiplikation av en vektor med en annan vektor kan definieras på olika sätt. B C 1.2.2 B=C Om två vektorer har samma längd och riktning är de lika. Längden eller storleken på en Skalär produkt I en skalär produkt kombinerar man två vektorer till en skalär. Skalärprodukten betecknas A · B och definieras som A · B = |A||B| cos θ Vektorer och kinematik 1–3 1.3 B * θ A där θ är vinkeln mellan A och B . Om A · B = 0 så är |A| = 0 eller |B | = 0 eller θ = π/2 . Vi ser också att A · A = |A|2 cos(0) = |A|2 Skalärprodukten uppträder t ex vid beräkning av arbete. Om en kraft F förorsakar en förflyttning d av en kropp, så är det arbete W vilket kraften uträttar på kroppen W =F ·d 1.2.3 Komponenter Vektoroperationer är definierade utan referens till ett koordinatsystem, men för att erhålla konkreta resultat måste vi välja ett lämpligt koordinatsystem. Låt oss betrakta ett två-dimensionellt system i xy-planet y Ay 6 A Ax - x Projektionen av A på axlarna kallas för A’s komponenter, och är Ax och Ay respektive. Vi kan specificera en vektor genom dess komponenter dvs Vektorprodukt (Kryssprodukt) A = (Ax , Ay ) Den andra typen av multiplikation av vektorer vilken uppträder i mekaniken är vek- eller i tre dimensioner torprodukten. I detta fall kombineras två A = (Ax , Ay , Az ) vektorer A och B till en tredje vektor C C 6 @@θ A@ R Alla vektorekvationer kan skrivas som ekvationer för komponenter t ex C = A×B - |C | = |A||B| sin θ cA = (cAx , cAy ) och för addition B A + B = (Ax + Bx , Ay + By , Az + Bz ) Eftersom C är en vektor måste vi specificera både storlek och riktning. Storleken 1.4 Basvektorer definieras som Basvektorer är ett system av ortogonala |C | = |A||B| sin θ (vinkelräta) enhetsvektorer, en för varje dimension. För en vektor har vi i två dimendär θ åter är vinkeln mellan A och B . Vi sioner ser att |C | = 0 om θ = 0 dvs om A och B är parallella. Riktningen av C bestäms enligt A = (Ax , Ay ) = (Ax , 0) + (0, Ay ) den s k skruvregeln, dvs C är riktad längs den = Ax (1, 0) + Ay (0, 1) = Ax î + Ay ĵ riktning en högergängad skruv vrider sig då A vrides mot B . Från definitionen av vektor- En vektor kan alltså delas upp i komposanter produkten följer att längs koordinataxlarna. Här är B × A = −A × B ⇒ A×A = 0 î = (1, 0) ; ĵ = (0, 1) Vektorer och kinematik 1–4 enhetsvektorer längs x- och y-axeln respek- P ges av de tre koordinaterna (x, y, z). En tive. Varje vektor kan i allmänhet skrivas som förflyttning från en punkt P1 till en punkt P2 ges av vektorn A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂ d = (x2 , y2 , z2 ) − (x1 , y1 , z1 ) = där k̂ är enhetsvektorn längs z-axeln k̂ = = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) (0, 0, 1). Nu är î · ĵ = cos(π/2) = 0, î · k̂ = 0 etc, dvs vi får av detta skalärprodukten av vi ser att d bara beror på skillnaden i slut och två vektorer begynnelselägena. Det är möjligt att beskriva läget av A · B = (Ax î + Ay ĵ + Az k̂) · (Bx î + punkten P med hjälp av en vektor från + By ĵ + Bz k̂) = Ax Bx + Ay By + Az Bz origo till P enligt figuren nedan, dvs Med hjälp av basvektorer kan vi också beräkna vektorprodukten. Vi har î × ĵ = k̂ ĵ × k̂ = î k̂ × î = ĵ z x och î × î = 0 etc, dvs r = (x, y, z) = xî + y ĵ + z k̂ A × B = (Axî + Ay ĵ + Az k̂) × (Bx î + + By ĵ + Bz k̂) = (Ay Bz − Az By )î + + (Az Bx − Ax Bz )ĵ + (Ax By − Ay Bx )k̂ där r är lägevektorn för punkten. Observera att r beror på valet av koordinatsystem. För två olika koordinatsystem har vi sambandet r0 = r − R Detta kan även skrivas som en determinant î A × B = Ax Bx 6 P3(x(t), y(t), z(t)) r(t) -y ĵ Ay By k̂ Az Bz där r0 = (x0 , y 0 , z 0 ), och R är vektorn från origo för det oprimade till origo för det primade systemet. En förflyttning d påverkas inte av valet av koordinatsystem ty Några andra räkneregler för vektorer vilka d = r2 − r 1 = (r02 + R) − (r01 + R) = r02 − r01 man enkelt kan härleda är A · (B + C ) = A × (B + C ) = A·B+A·C A×B+A×C (A × B ) · C = A · (B × C ) = (C × A) · B 1.5 Lägevektor 1.6 Hastighet och (Kinematik) acceleration För att beskriva rörelsen av en partikel inför vi ett koordinatsystem och en lägevektor r från origo till partikeln enligt ovan, där Anledningen till att vi inför vektorer är att r(t) = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)k̂ dessa är medlen för att beskriva rörelselagar. Med hjälp av vektorer kan vi beskriva 1.6.1 Rörelse i en dimension läget och rörelsen för en partikel i det tredimensionella rummet. Låt oss först betrakta rörelse i en dimension För att beskriva läget av en punkt i rummet dvs inför vi ett koordinatsystem. Läget av pukten r(t) = x(t)î Vektorer och kinematik 1–5 Medelhastigheten för rörelsen mellan två Detta generaliseras lätt till tre dimensioner tider t1 och t2 definieras som så att v= x(t2 ) − x(t1 ) t2 − t1 Den instantana hastigheten v(t) är gränsvärdet av medelhastigheten när tidsintervallet t2 − t1 går mot noll x(t + ∆t) − x(t) ∆t→0 ∆t v (t) = (vx (t), vy (t), vz (t)) = dr = (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)) = dt På liknande sätt definieras accelerationen a som v(t) = lim a= dvs dv dvy dvz d2 r dvx î + ĵ + k̂ = 2 = dt dt dt dt dt dx(t) = ẋ(t) dt Härifrån skulle vi kunna bilda nya vektorer och hastighetsvektorn blir i detta fall v (t) = genom att ta högre derivator av r , men vi v(t)î . Med fart (speed) menar vi hastighetens skall se att r, v, och a räcker för att beskriva rörelsen. belopp s = |v(t)| v(t) = På samma sätt får vi den instantana accelerationen v(t + ∆t) − v(t) dv(t) a(t) = lim = = v̇(t) ∆t→0 ∆t dt 1.6.2 Rörelse i flera dimensioner Betrakta en partikel vilken rör sig i ett plan. Vi har då att r(t) = x(t)î + y(t)ĵ Förflyttningen mellan två tider t1 och t2 blir då ∆r(t) = r (t2 ) − r(t1 ) = (x(t2 ) − x(t1 ))î + (y(t2 ) − y(t1 ))ĵ För ett infinitesimalt tidsintervall får vi alltså ∆r(t) = r(t + ∆t) − r(t) = = (x(t + ∆t) − x(t))î + (y(t + ∆t) − y(t))ĵ = ∆x(t)î + ∆y(t)ĵ Hastigheten för partikeln definieras som ∆r(t) ∆t→0 ∆t ∆x(t) ∆y(t) = lim î + ĵ = ∆t→0 ∆t ∆t dx dy = î + ĵ = vx î + vy ĵ dt dt v (t) = lim Det kan vara värt att påpeka att detta är svåra begrepp, som varit föremål för många skarpsinniga funderingar innan de fick sin nuvarande form av bl a Newton. Redan under medeltiden diskuterade man dessa begrepp. Skolastikerna talade t ex om likformig hastighet (=konstant hastighet). Men de var också medvetna om att hastigheten kunde ändras, och det vi kallar rörelse med konstant acceleration kallade de för likformigt olikformig hastighet. Skulle de ha gått vidare till fallet rörelse med varierande acceleration så skulle de väl ha varit tvungna att införa begreppet olikformigt olikformig hastighet. Trots att vi idag talar om hastighet och acceleration som självklara begrepp, så handlar det om begrepp som vunnits genom mycken möda och skarpsinne hos tidigare generationer. På motsvarande sätt har vektorbegreppet vuxit fram. Medeltidens skolastiker hade t ex stora svårigheter eftersom de inte kunde acceptera att ett föremål, t ex en projektil, kan samtidigt ha två hastighetskomponenter med en komponent vx längs x-axeln och en komponent vy längs y-axeln vilka adderas till en resultant v. Detta menade skolastikerna skulle leda till att projektilen slets i stycken. Vektorer och kinematik 1.7 1–6 Integration av vektorer. Vi utgår från cylindriska koordinater. z-axeln i det cylindriska systemet samAntag att vi känner accelerationen för en parmanfaller med den i det cartesiska systikel. Vi kan då finna hastighet och läge temet. Läget i xy-planet beskrivs med genom att formellt integrera a. Från definavståndet r från z-axeln och vinkeln θ itionen av acceleration har vi som r bildar med x-axeln. Vi får att dv (t) = a(t) dt z eller Z v (t) = v (t0 ) + dvs t t0 Z vx (t) = vx (t0 ) + t 6 a(t0 )dt0 ax (t0 )dt0 x @θ @r r= -y p x2 + y 2 θ = arctan xy För rörelse i ett plan kan vi försumma z-axeln, och begränsa diskussionen till två etc. Läget för en partikel finner vi genom en dimensioner. Koordinaterna kallas planandra integration där polära koordinater. För det cartesiska Z t systemet är de konstanta koordinatytorna r(t) = r(t0 ) + v (t0 )dt0 räta linjer vinkelräta mot varandra. Linjer t0 med konstant θ är också räta linjer medan Ett viktigt specialfall är exemplet med lik- r =konstant ger cirklar. Fortfarande skär de formig eller konstant acceleration. För a = varandra under rät vinkel. konstant och t0 = 0 får vi Vi inför enhetsvektorer r̂ och θ̂ vilka pekar Z t i växande r-och θ-riktningar v (t) = v 0 + a dt0 = v 0 + at y t0 0 där v 0 = v (t = 0). Detta ger för partikelns läge Z r(t) = r0 + 0 t r̂ @ I r θ 1 [v 0 + at ]dt = r0 + v 0 t + at2 2 0 0 I en dimension har vi x(t) = x0 + v0 t + at2 /2 1.8 6θ̂ Rörelse i planpolära koordinater. -x Vi noterar att r̂ och θ̂ varierar med r medan î och ĵ är fixa riktningar.Vi kan uttrycka de förra i de senare som = cos θ î + sin θ ĵ θ̂ = − sin θ î + cos θ ĵ r̂ Rektangulära, eller cartesiska, koordinater är vidare är lämpliga för att beskriva rörelse längs en rät r̂ · θ̂ = 0 linje. Rektangulära koordinater är emellertid inte så lämpliga för att beskriva cirkelrörelse, I den cartesiska representationen har vi och eftersom cirkelrörelse spelar en viktig roll r (t) = x(t)î + y(t)ĵ = inom fysiken är det lämpligt att introduc= r(t) cos θ(t)î + r(t) sin θ(t)ĵ = era ett koordinatsystem anpassat för denna rörelse. = r(t)[cos θ(t)î + sin θ(t)ĵ ] = Vektorer och kinematik = r(t)r̂(t) 1.8.1 Derivator av en vektor För en allmän vektor har vi sambandet 1–7 Detta resultat kan vi också få fram om vi deriverar uttrycket för enhetsvektorn längs r uttryckt i cartesiska koordinater dr̂ dt A(t) = A(t)Â(t) Deriverar vi A m a p t får vi alltså d cos θî + sin θĵ = dt = θ̇ − sin θî + cos θĵ = θ̇ θ̂ = På motsvarande sätt får vi att dθ̂ = θ̇r̂ dt För hastigheten i planpolära koordinater får För att beräkna tidsderivatan av enhetsvek- vi alltså torn längs A kan vi observera att d v= (rr̂) = ṙr̂ + r θ̇θ̂ = vr r̂ + vθ θ̂ dt |∆Â| = |Â|∆θ = ∆θ 1.8.3 Acceleration i planpolära koordvs dinater d dθ = θ̇ = dt Från derivatan av hastigheten får vi dt dA d dA  + A = dt dt dt och ändringen av enhetsvektorn är vinkelrät mot vektorn själv. Alltså är dA = Ȧ + Aθ̇Â⊥ dt där Â⊥ är en enhetsvektor vinkelrät mot Â. dv d = [ṙr̂ + r θ̇θ̂] = dt dt ˙ = r̈r̂ + ṙ r̂˙ + ṙθ̇ θ̂ + r θ̈θ̂ + r θ̇θ̂ = a = = r̈r̂ + 2ṙθ̇ θ̂ + r θ̈ θ̂ − r θ̇2 r̂ = = (r̈ − r θ̇2 )r̂ + (2ṙθ̇ + r θ̈)θ̂ Termen r̈r̂ är en linjär acceleration i den radiella riktningen p g a ändringen i den 1.8.2 Hastighet i planpolära koordiradiella hastigheten. r θ̈θ̂ är på liknande nater sätt en linjär acceleration i den tangenLåt oss betrakta hastigheten i planpolära ko- tiella riktningen p g a ändring i storleken ordinater där vi har av vinkelhastigheten. Termen −r θ̇2 r̂ är centripetalaccelerationen och 2ṙθ̇ θ̂ är Coriolisd dr̂ v= (rr̂) = ṙr̂ + r accelerationen. dt dt Uppg 1. En partikel rör sig längs en rät Här representerar den första termen hastig- linje och dess acceleration a kan skrivas hetens komponent längs r. För den andra a = −cv 2 komponenten har vi som i det allmänna fallet ovan Bestäm sambandet mellan partikelns läge och |∆r̂| = |r̂|∆θ = ∆θ dess hastighet. Uppg 2. Vid varje tidpunkt är sambandvs dr̂ det mellan en viss partikels acceleration, = θ̇ dt hastighet och läge givet av Riktningen för ∆r̂ är längs θ̂, dvs dr̂ dt = θ̇θ̂ a = −cv 2 (1 − d cos(αx)) Vid t = 0 befinner sig partikeln i origo och har hastigheten v0 . Vektorer och kinematik 1. Finn hastighetens beroende av läget 2. Låt d = 0. Finn hastighetens beroende av läget och tiden samt lägets tidsberoende. Uppg 3. En partikel rör sig på en cirkel så att farten v avtar enligt formeln v = v0 e−αt där v0 och α är konstanter. Beräkna accelerationen uttryckt i komposanter längs r̂ och θ̂. Uppg 4. På en fix vertikal cirkel med radien R kan en liten ring A glida. I ringen är fäst ett otänjbart snöre, som löper över ett glatt stift och som i sin andra ända uppbär en annan partikel B. Stiftet befinner sig vertikalt över cirkelns medelpunkt påavståndet αR från denna. En radie till A bildar vinkeln θ med lodlinjen. Beräkna hastighet och acceleration för B uttryckt i vinkeln θ och dess derivator. 1–8