Picks sats
Matematiskt Forum
KTH, 2004-02-12
Idag, ska vi svara till följande fråga:
Kan man rita en liksidig triangel där hörnen har
heltalskoordinater?
Det vill säga:
Är det möjligt att välja
3 gallerspunkter
med samma avstånd
mellan varje två av dem?
Heltalshörn motsvarar
par heltal (n,m).
Vi kan tänka på dem som
punkter på ett galler.
(0,2)
(0,0)
(2,0)
En triangel är en polygon utan hål som begränsas av tre sidor.
En polygon utan hål kallas en enkel polygon.
Vi ska rita polygoner i ett galler.
enkel polygon= polygon utan hål där hörn har heltalskoordinater.
Låt P vara en enkel polygon.Vi ska använda den följande beteckningen:
B(P)= antalet heltalsrandpunkter av P.
Det är ett heltal.
I(P)= antalet inre heltalspunkter av P.
Det är ett heltal.
Y(P)=yta av P
P:
B(P)=9
Y(P)=9/2
I(P)= 1
vi ska titta på mera exempel och skriva en tabell:
A
B
C
B(P)
I(P)
Y(P)
B(P)/2+I(P)-Y(P)
A
12
4
9
6+4-9=1
B
11
1
2+3+1/2
11/2+1-11/2=1
C
8
6
9
8/2+6-9=1
Picks sats (1899)
Låt P vara en enkel polygon. Då gäller
att: B(P)/2+I(P)-Y(P)=1
Det är lätt att visa det för:
Rektanglar ( med sidor på
2 gånger
m
n
galler )
Om en sida har n heltalspunkter
Och andra sidan har m heltalspunkter
B(P)=2(m)+2(n)-4=2(m+n-2)
I(P)=(m-2)(n-2)=(m-1)(n-1)-(m+n-3)
Y(P)=(m-1)(n-1)
B(P)/2+I(P)-Y(P)=(m+n-2)+(m-1)(n-1)-(m+n-3)-(m-1)(n-1)=
=m+n-2-m-n+3=1
Rätvinklig triangel (med sidor på
galler)
2 gånger
B(P)=(m+n+k)-3
k
m
I(P)=1/2[(m-2)(n-2)-(k-2)]
( titta på rektangel)
Y(P)=1/2 (m-1)(n-1)
n
B(P)/2+I(P)-Y(P)=1/2(m+n+k-3)+1/2(mn-2m-2n+4-k+2)-1/2(mn-m-n+1)=
=1/2(-3+6-1)=1
Från detta följer det att satsen gäller för varje triangel.
B
C
A
D
Man kan bygga en rektangel (med sidor på galler) genom
att addera rätvinkliga trianglar (med sidor på galler) .
R=rektangel=A+B+C+D
Notera att:
B
C
I(R)= I(B)+ I(C)+ I(D)+ I(A) + B(A)-3
A
D
+1/2 B(R)= B(B)+ B(C)+ B(D)- B(A)
-
Y(R)= Y(B)+ Y(C)+ Y(D)+ Y(A)
1 =
1 + 1 + 1
+ * + B(A)-3
Det följer att:
1=
3+I(A)-1/2B(A)-Y(A)+B(A)-3= I(A)+1/2B(A)-Y(A)
Key ingredient:
Varje enkel polygon P byggas av trianglar.
3 gånger
P=A+B+C
n
Am
C
B
I(P)= I(A)+ I(B)+ I(C)+ n+m
2 gånger
2 gånger
+1/2 B(P)= B(A)+ B(B)+ B(C)- (2n+2m
(+2+1+1)
-
Y(P)= Y(A)+ Y(B)+ Y(C)
1 = 1 + 1+ 1+
(n+m-n-m-2)
Fråga:
Kan man rita en liksidig triangel T där hörnen har
heltalskoordinater?
r√3
r
Låt T vara en liksidig triangel med
sidlängd r.
Y(T)=1/2r(r√3)
som är ett irrationellt tal.
Enligt Picks sats är ytan av en enkel polygon ett rationellt tal:
Y(P)=B(P)/2+I(P)-1
Svar: Nej
Vad händer för polygoner av dimension 3? Kan man
beräkna volumen av en polygon P från antalet
heltalsinrepunkter och antalet heltalspunkter på sidorna?
Formeln skulle inte se ut som formeln i Picks sats:
För varje k>0
(1,1,k)
B(P)=4
I(P)=0
Volym(P) är
beroande på k
(0,0,0)
(1,0,0)
(0,1,0)
Det finns ingen formel för dimensionen
större än två.
Tack!
