1.7. Tolkning av v˚ag–partikeldualiteten

1.7. Tolkning av våg–partikeldualiteten
[Understanding Physics: 13.7-13.12]
En egenskap som är gemensam för både vågor och partiklar är förmågan att överföra energi. I vartdera fallet
kan man representera energins överföringshastighet med intensiteten I , som är den effekt som passerar
genom en enhetsyta, som står vinkelrätt mot vågens eller partikelstrålens rörelseriktning. För en transversell
våg på en sträng gäller att den effekt P som vågen för med sig, är proportionell mot vA2 (s. 313),
där A är vågens amplitud och v dess hastighet. Om detta tillämpas på elektromagnetiska vågor fås
I ∝ c · amplituden2, och för fotoner gäller då I = cn · hf , där c är fotonernas hastighet, n
fotontätheten (dvs antalet fotoner i en enhetsvolym), och hf är fotonernas energi. En ökning av intensiteten
i vågmodellen, dvs en förstorad amplitud, motsvaras då av en ökning av fotontätheten i partikelmodellen.
Kvadraten på amplituden är alltså ett mått på sannolikheten för att det finns en foton i en enhetsvolym.
Vi skall nu studera hastigheten för en materievåg både enligt partikel– och vågmodellen. Genom att differentiera den relativistiska energiformeln E 2 = m2c4 + p2c2 får vi 2EdE = 2pc2dp, varav följer att
pc2
pc2
dE
dp = E . Detta är den relativistiska partikelhastigheten, eftersom u = E (s. 219).
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
1
Grupphastigheten för ett vågpaket definierades på s. 352 som vg =
följer att grupphastigheten kan uttryckas som vg =
sålunda tolkas som partikelns relativistiska hastighet.
dE
dp
=
pc2
E .
dω
dk
=
d(~ω)
d(~k) .
Av de Broglies ekvationer
Grupphastigheten för en materievåg kan
Av de Broglies ekvationer följer också, att fashastigheten v = f λ (s. 348) också kan skrivas v = f λ =
2
ω
~ω
E
k = ~k = p . Som vi ser, är alltså vg v = c . För en masslös partikel (såsom fotonen) är E = pc,
varav följer att v = vg = c. Om vilomassan är olika noll, så kan grupphastigheten uttryckas
pc2
vg =
=
E
p
pc
m2c4
+
p2c2
c=
p
1
1+
(m2c2/p2)
c.
Vi ser alltså, att grupphastigheten, dvs den hastighet varmed energi överföres, för en massiv partikel inte
kan överskrida ljushastigheten.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
2
1.8. Heisenbergs osäkerhetsrelation
Trafikpolisen: Har ni en aning om hur fort ni kör?
Heisenberg: Nej, men jag vet exakt var jag är!
Eftersom kvadraten på amplituden av en materievåg i en viss punkt kan tolkas som ett mått på sannolikheten
för att en enhetsvolym i denna punkt innehåller en partikel, så kan vågpaketen i en materievåg tolkas som
”partikelsannolikhetspaket”. Partikeln kan befinna sig var som helst i paketet, där amplituden är olika noll.
Om man beskriver en partikel som en materievåg leder detta omedelbart till osäkerhet i partikelns läge.
Osäkerheten i position bestäms av vågpaketets storlek.
Ett vågpaket byggs upp genom superposition av sinusvågor med olika amplitud, eller frekvens (se s. 347352, samt fig. 13.19, som visas nedan). de Broglies relation p = ~k visar, att om vågtalet k har en
spridning ∆k, så kommer detta att leda till motsvarande spridning i rörelsemängden, t.ex. ∆px = ~∆k.
Genom att jämföra olika fall finner vi, att om ∆k (och således även ∆px = ~∆k) växer, så minskar
∆x (vågpaketets längd). Om vi känner k, och således även px exakt, så kan partikeln befinna sig var som
helst på x–axeln, dvs den är inte lokaliserad. Om vi å andra sidan känner dess position mycket noga (dvs
den är lokaliserad), så är vågtalet mycket osäkert, och likaså dess rörelsemängd.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
3
Detta visar, att om vågtalet, och således också om rörelsemängden för en partikel blir osäkrare, så kommer
dess position samtidigt att blir säkrare, och tvärtom. På sidan 349 härleddes formeln ∆k∆x = 2π för
två vågor som skiljer sig endast obetydligt i frekvens, och på sidan 352 härleddes formeln ∆k∆x ≥ 12 för
ett vågpaket. För materievågor kan formeln skrivas
∆px∆x ≥
~
.
2
Denna ekvation kallas Heisenbergs osäkerhetsprincip efter Werner Heisenberg, som upptäckte den.∗
∗ W. Heisenberg: Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Z.f.Physik 43 (1927) 172-198.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
4
Den visar, att man inte samtidigt kan bestämma positionen och rörelsemängden för en partikel med samma
noggrannhet (observera dock att detta inte har något att göra med experimentell osäkerhet).
Heisenbergs osäkerhetsprincip följer av partiklarnas vågnatur, men eftersom Plancks konstant är så liten,
kan följderna av den inte observeras för makroskopiska föremål. Betrakta t.ex. en person på 75 kg som rör
sig längs x–axeln med hastigheten 1.33 m/s. Av osäkerhetsrelationen följer då ∆x ≥ ∆p~ x ≈ 10−36m,
som är en helt försumbar osäkerhet (i jämförelse med den experimentella osäkerheten). För en elektron
som rör sig med hastigheten 2.2 · 106m/s är osäkerheten i position ∆x ≥ ∆p~ x ≈ 10−10m, vilket kan
jämföras med storleken av en atom.
Osäkerhetsprincipen kan också uttryckas med hjälp av energin och tiden. Betrakta två superponerade
vågor med vågtalen k och k + ∆k (fig. 13.20, se nedan). Då vågpaketen passerar en given punkt, så kan
osäkerheten i tid ∆t uttryckas som Tb/2 = 1/(2fb).
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
5
Här betecknar Tb svävningsperioden och fb svävningsfrekvensen (ωb = 2πfb).
Tidigare har visats (sid. 348) att ωb = ∆ω/2, så att ∆t = Tb/2 = π/ωb = 2π/∆ω . Genom att
tillämpa de Broglies ekvation ∆E = ~∆ω på denna ekvation, finner vi ∆t = 2π ~/∆E , och således
∆E∆t = 2π ~ = h. Då man tillämpar detta resultat på ett kontinuerligt spektrum, måste en faktor
4π insättas, och ekvationen antar då formen
∆E∆t ≥
~
.
2
Liksom rörelsemängd och position, kan man inte heller bestämma energi och tid samtidigt med lika stor
precision.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
6
1.9. Vågfunktionen; väntevärden
Vi har tidigare observerat (avsn. 1.7), att intensiteten för en elektromagnetisk våg, som är proportionell
mot kvadraten på amplituden i vågmodellen, också är proportionell mot fotontätheten i partikelmodellen.
Därför är det berättigat att uppfatta amplituden för en materievåg, som kallas för vågfunktionen Ψ(x, t),
som en storhet, vars kvadrat (eg. kvadraten på absolutvärdet) är ett mått på sannolikheten att finna en
partikel i en enhetsvolym.
Vågfunktionen är något som inte kan mätas direkt, däremot kan man mäta dess kvadrat, som kallas för
sannolikhetstätheten. Om vi begränsar oss till rörelse i en dimension, så är sannolikheten för att man skall
finna en partikel mellan x och x + dx vid tidpunkten t
2
P (x, t)dx = |Ψ(x, t)| dx,
där P (x, t) uttrycker sannolikhetstätheten i det endimensionella fallet.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
7
Om vi bara har att göra med en partikel, så måste sannolikheten att finna den någonstans i rummet vara
lika med 1, dvs villkoret
Z +∞
2
|Ψ(x, t)| dx = 1
−∞
bör gälla.
Vanligen används komplexa funktioner för att beskriva vågfunktionerna, som t.ex. Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt)
(observera, att också amplituden A kan vara ett komplext tal). Därför kan sannolikhetstätheten uttryckas
allmännare som
2
∗
P (x, t) = |Ψ(x, t)| = Ψ (x, t)Ψ(x, t),
där Ψ∗(x, t) är den komplexa konjugaten av Ψ(x, t). En följd av denna sannolikhetsbeskrivning är att
man endast kan bestämma medelvärden (eller väntevärden) av observerbara storheter.
Väntevärden beräknas på följande sätt. Sannolikhetstätheten P (x, t) beskriver sannolikheten att finna en
partikel inom intervallet (x, x + dx) vid tiden t. Medelvärdet av en (mätbar) storhet kan man bestämma
genom att integrera produkten av storheten och sannolikhetstätheten över hela rymden. Väntevärdet för
en partikels position kan därför beräknas på följande sätt:
Z +∞
hxi =
xP (x, t)dx,
−∞
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
8
R +∞
där −∞ P (x, t)dx = 1 (normalisering). Med hjälp av definitionen för sannolikhetstätheten kan vi
skriva väntevärdet i formen
Z +∞
hxi =
2
x|Ψ(x, t)| dx,
−∞
Z +∞
eller hellre
hxi =
∗
Ψ (x, t)xΨ(x, t)dx
−∞
om vågfunktionen är komplex. Väntevärdet av en godtycklig storhet Q(x, t) definieras på motsvarande
sätt:
Z +∞
hQi :=
∗
Ψ (x, t)Q(x, t)Ψ(x, t)dx.
−∞
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
9
1.10. Schrödingers ekvation
de Broglies hypotes visar att en partikel, vars rörelsemängd är p = ~k och energi E = ~ω kan beskrivas
av en framåtskridande våg, som också kan representeras av en periodisk funktion av kx − ωt.
En fri partikel kan representeras av ett vågpaket, som är en superposition av framåtskridande vågor. Då
systemets vågfunktion är en känd funktion av positionen och tiden, så kan man räkna ut vad som kommer
att hända med partikeln i framtiden (givetvis med beaktande av osäkerhetsprincipen). Ett sätt att göra
detta är att ställa upp Schrödingers ekvation för systemet. Dess lösning är vågfunktionen Ψ(x, y, z, t),
som i allmänhet är en funktion av alla tre rumskoordinaterna (och tiden), även om vi här för enkelhetens
skull endast behandlar endimensionella rörelser.
Vi börjar med att skriva upp Hamiltons funktion för partikeln eller systemet (se s. 92):
p2
H(p, x) =
+ U (x) = E
2m
(E betecknar systemets totala energi).
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
10
Sedan multiplicerar vi vartdera membrum av denna ekvation med vågfunktionen Ψ(x, t):
p2
Ψ(x, t) + U (x)Ψ(x, t) = EΨ(x, t)
2m
och ersätter storheterna p och E med sina ekvivalenta operatorer:
pop = −i~
Eop = i~
∂
∂x
∂
∂t
∂
(i det endimensionella fallet; beteckningarna p̂ och Ê används även). Då en operator, såsom t.ex. −i~ ∂x
,
tillämpas på vågfunktionen Ψ(x, t) innebär detta, att funktionen först deriveras i avseende på x, och att
resultatet därpå multipliceras med (konstanten) −i~.
Då partikeln är en foton, är det lättare att förstå operatorekvationen, om vi jämför sambandet mellan den
relativistiska energin och rörelsemängden för en foton, som kan skrivas p2 = c12 E 2 med vågekvationen:
∂ 2y
1 ∂ 2y
= 2 2,
∂x2
c ∂t
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
11
där y(x, t) är funktionen som beskriver vågrörelsen (jfr s. 344). Jämförelsen visar, att vi får vågekvationen
om vi sätter in de ekvivalenta operatorerna pop och Eop i ekvationen p2 = c12 E 2, och tillämpar den på
en godtycklig funktion y .
Om p och E ersätts med motsvarande ekvivalenta operatorer i den allmänna ekvationen fås
i~
∂
1
∂
∂
Ψ(x, t) =
(−i~ )(−i~ )Ψ(x, t) + U (x)Ψ(x, t)
∂t
2m
∂x
∂x
som kan skrivas i formen
∂Ψ(x, t)
−~2 ∂ 2Ψ(x, t)
+
U
(x)Ψ(x,
t)
=
i
~
2m
∂x2
∂t
Detta är den tidsberoende Schrödinger–ekvationen. Då potentialenergifunktionen U (x) är känd, så kan
Schrödinger–ekvationen (i princip) lösas, och vågfunktionen Ψ(x, t) bestämmas. Vi skall se hur detta går
till i några enklare specialfall.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
12
1.11. Den fria partikeln
En fri partikel utsätts inte för några yttre krafter. Därför är F = − ∂U
∂x = 0, och U (x) är således
konstant. Eftersom potentialenergins nollpunkt är godtycklig, kan vi sätta U = 0. Schrödinger-ekvationen
för en fri partikel är därför
∂Ψ(x, t)
~2 ∂ 2Ψ(x, t)
=
i
~
.
−
2m
∂x2
∂t
Denna ekvation försöker vi först lösa med ansatsen
Ψ(x, t) = A sin(kx − ωt)
(en framåtskridande våg, jfr s. 312). Genom att substituera den i Schrödinger–ekvationen fås
~2
2
−
[−k A sin(kx − ωt)] = −i~ωA cos(kx − ωt),
2m
eller alltså
tan(kx − ωt) = −
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
2imω
.
~k 2
JJ J I II ×
13
Denna lösning kan emellertid inte vara ekvationens allmänna lösning, utan den gäller bara för ett speciellt
värde av (kx − ωt). En allmän lösning till denna differentialekvation av andra ordningen finner vi genom
substitutionen Ψ(x, t) = A0 sin(kx − ωt) + B 0 cos(kx − ωt). (jfr avsn. 12.2 i boken, s. 311). Om
A0 = iA och B 0 = A så kan ansatsen uttryckas enklare (med Eulers formel):
Ψ(x, t) = A cos(kx − ωt) + iA sin(kx − ωt) ≡ Aei(kx−ωt).
Då funktionen substitueras i Schrödinger–ekvationen fås
~2
2
i(kx−ωt)
i(kx−ωt)
[−k Ae
] = ~ωAe
,
−
2m
2 2
k
varav följer ~2m
= ~ω . Om denna ekvation gäller, är Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) en allmän lösning till
den fria partikelns Schrödinger–ekvation. Att så är fallet är en direkt följd av de Broglies hypotes. Genom
p2
att att substituera de Broglies ekvationer i uttrycket för den kinetiska energin: E = 2m
ser vi nämligen
omedelbart, att ekvationen gäller. Observera, att i detta fall k, och således även E = (~k)2/2m, kan
anta vilket värde som helst.
Vågfunktionen Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) representerar en våg, som fortskrider med konstant amplitud A
som inte beror av x (plan våg). Partikeln kan därför befinna sig var som helst på x–axeln, den är inte alls
lokaliserad. För att beskriva en lokaliserad partikel behöver vi ett vågpaket, vars amplitud skiljer sig från
noll endast inom ett litet område av x.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
14
Ett vågpaket kan konstrueras genom att man adderar framåtskridande vågor med olika värden av amplitud och vågtal (t.ex. med hjälp av Fourier–analys). Ett sådant vågpaket kommer också att vara en
lösning till Schrödinger–ekvationen för den fria partikeln. Enklast är det dock att använda den icke
lokaliserade lösningen (den plana vågen). Observerbara storheter är alltid reella fastän Ψ(x, t) har en
imaginär komponent, ty de innehåller vågfunktionens kvadratiska modul: |Ψ|2 = Ψ∗(x, t)Ψ(x, t) =
A∗e−i(kx−ωt)Aei(kx−ωt) = A∗A = |A|2 ≥ 0.
Om vi önskar beräkna väntevärdet av rörelsemängden, så måste vi använda den ekvivalenta operatorn
∂
:
−i~ ∂x
Z +∞
hpi =
∗
Z +∞
Ψ (x, t)popΨ(x, t)dx =
−∞
∗
Ψ (x, t)
−∞
∂
−i~
∂x
Ψ(x, t)dx.
Om denna operator tillämpas på den fria partikelns vågfunktion, finner vi till en början att
−i~
∂
∂
i(kx−ωt)
i(kx−ωt)
Ψ(x, t) = −i~ [Ae
] = ~k[Ae
] = ~kΨ(x, t),
∂x
∂x
∂
som visar, att operatorn −i~ ∂x
för den fria partikeln har samma effekt som multiplikation med p.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
15
Väntevärdet av pop blir alltså
Z +∞
hpi =
∗
Ψ (x, t)
Z +∞
−∞
=
∂
−i~
∂x
∗ −i(kx−ωt)
A e
Z +∞
Ψ(x, t)dx
i(kx−ωt)
~kAe
dx
−∞
= ~k
∗
A Adx = ~k,
−∞
eftersom sannolikheten att finna partikeln var som helst på x–axeln bör vara 1.
R +∞
Det är dock inte möjligt att normalisera Ψ(x, t) genom att beräkna A ur ekvationen −∞ A∗Adx = 1,
om partikeln inte är lokaliserad, och sålunda har konstant amplitud överallt på x–axeln. I detta fall är
+∞
∗
2 +∞
A
Adx
=
|A|
dx, denna integral är oändlig. Vågfunktionen kan inte normaliseras över
−∞
−∞
hela x–axeln, men det går om man väljer stora, men ändliga integrationsgränser.∗ Detta problem uppträder inte för en lokaliserad partikel (vågpaket), där vågfunktionens amplitud skiljer sig från noll endast
inom ett begränsat intervall.
R
R
1
∗ T. ex. 1 = R +L |A|2 dx = 2L|A|2 , dvs A = (2L)− 2 (lådnormalisering). Normaliseringen kan också göras med Diracs δ -funktion, se
−L
t.ex. Merzbacher, kap. 6, § 3.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
16
Som vi ser, stämmer väntevärdet för rörelsemängden av en fri partikel överens med de Broglies hypotes,
men vi har inte visat, att p endast kan ha detta värde. Om vi däremot beräknar hp2i, dvs medelvärdet av
p2, och kan visa, att hp2i = hpi2, så kan p inte fluktuera (fluktuationen bestäms nämligen av variansen
h(p − hpi)2i = hp2i − hpi2), och hpi kan då bara ha värdet ~k. Vi beräknar därför
Z +∞
2
hp i =
Z +∞
−∞
=
∗
2
Ψ (x, t)popΨ(x, t)dx
∗ −i(kx−ωt)
A e
Z +∞
−∞
=
∗ −i(kx−ωt)
A e
−∞
2 2
Z +∞
=~ k
∗
∂
−i~
∂x
∂
−i~
∂x
h
∂
−i~
∂x
Ae
i(kx−ωt)
~kAe
i
i(kx−ωt)
dx
dx
2 2
A Adx = ~ k .
−∞
Vi finner alltså, att hp2i = hpi2, vilket skulle bevisas.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
17
På samma sätt kan vi också visa, att om energioperatorn i~∂/∂t tillämpas på vågfunktionen Ψ(x, t) =
Aei(kx−ωt), så innebär det multiplikation med ~ω = E :
i~
∂
Ψ(x, t) = ~ωΨ(x, t) = EΨ(x, t).
∂t
Således stämmer väntevärdet av energin för en fri partikel hEi = ~ω överens med de Broglies ekvation.
Likaså kan man också visa, att hE 2i = hEi2, och detta är således det enda värde som E kan anta.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
18
1.12. Den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen
Den tidsberoende Schrödinger–ekvationen för en fri partikel som rör sig i en dimension är en partiell
differentialekvation i två variabler, x och t. En sådan ekvation löses i allmänhet genom separation av
variablerna. Lösningsansatsen, en funktion av två variabler, skrivs därvid som en produkt av två funktioner,
som vardera är en funktion av en enda variabel.
I vårt fall söker vi alltså en lösning av formen Ψ(x, t) = ψ(x)f (t). Genom att substituera denna ansats
i den tidsberoende Schrödinger–ekvationen fås
df (t)
~2
d2ψ(x)
+ U (x)ψ(x)f (t) = i~ψ(x)
−
f (t)
.
2m
dx2
dt
Genom att dividera varje term i denna ekvation med ψ(x)f (t) så kan variablerna separeras:
2
~
−
2m
"
2
1 d ψ(x)
ψ(x) dx2
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
#
1 df (t)
.
+ U (x) = i~
f (t) dt
JJ J I II ×
19
Denna ekvation gäller för alla x, t endast om vartdera membrum är lika med samma konstant G (separationskonstanten). Ekvationen kan då skrivas som två ordinära differentialekvationer
~2 1 d2ψ(x)
−
+ U (x) = G
2m ψ(x) dx2
1 df (t)
i~
f (t) dt
Den tidsberoende ekvationen, som kan skrivas
lätt inses genom substitution.
df (t)
dt
= G.
−iGt/~
= − iG
, vilket
~ f (t) har lösningen f (t) = e
∂
Genom att tillämpa operatorn Eop = i~ ∂t
på Ψ(x, t) = ψ(x)f (t) får vi därpå
EopΨ(x, t) = Eopψ(x)f (t) = i~
Om vi sedan utnyttjar ekvationen
df (t)
dt
∂
df (t)
[ψ(x)f (t)] = i~ψ(x)
.
∂t
dt
= − iG
~ f (t), så får vi
df (t)
iGf (t)
i~ψ(x)
= i~ψ(x) −
dt
~
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
= Gψ(x)f (t) = GΨ(x, t).
JJ J I II ×
20
Genom att jämföra denna ekvation med den vi fick genom att tilllämpa energioperatorn på den fria partikelns
vågfunktion (se sid. 18), så ser vi att separationskonstanten G = E , och den första av de två separerade
ekvationerna kan då uttryckas
~2 d2ψ(x)
−
+ U (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
Detta är den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen, som upptäcktes av Schrödinger i slutet av år 1925
(Annalen der Physik 79, 361-376 (1926)). Då potentialfunktionen U (x) är känd, kan man i allmänhet
lösa ekvationen under antagandet att funktionerna ψ(x) är välartade, vilket leder till att endast vissa av
funktionerna är fysikaliskt acceptabla. Schrödinger–ekvationens lösningar brukar kallas egenfunktioner. Mot
varje egenfunktion svarar endast ett värde av den totala energin E som kallas egenvärde. Kvantiseringen
av energin är alltså en direkt följd av att lösningarna är välartade.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
21
Egenfunktionerna är välartade, ifall de uppfyller följande villkor: För alla värden av x skall både ψ och
dψ/dx vara a)ändliga, b)entydiga, samt c)kontinuerliga, se figuren ovan (13.21 i boken).
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
22
Dessa villkor är nödvändiga för att mätbara storheter, såsom väntevärdena av x och p:
Z +∞
hxi =
∗
ψ (x)xψ(x)dx
Z +∞
−∞
hpi =
∗
ψ (x)
−∞
d
−i~
dx
ψ(x)dx
skall vara fysikaliskt acceptabla, dvs vara ändliga, entydiga och kontinuerliga överallt.
Den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen kan också skrivas
~2 d2ψ(x)
−
= [E − U (x)]ψ(x).
2
2m dx
Om dψ(x)/dx inte skulle vara ändlig och kontinuerlig överallt, så kan d2ψ(x)/dx2 bli oändlig med den
påföljd att högra membrum av ekvationen också blir oändlig, vilket i sin tur betyder att antingen U (x)
eller E är oändlig, vilket är fysikaliskt omöjligt.
I det följande skall vi studera några exempel. Vi kommer där att utnyttja villkoren för att uppställa gränsvillkor, varav kontinuitetsekvationer för vågfunktionen och dess derivata kan härledas ifall potentialfunktionen
har diskontinuiteter.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2009
JJ J I II ×
23