1.13. Den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen

1.13. Den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen
[Understanding Physics: 13.12-13.14]
Den tidsberoende Schrödinger–ekvationen för en fri partikel som rör sig i en dimension är en partiell
differentialekvation i två variabler, x och t. En sådan ekvation löses i allmänhet genom separation av
variablerna. Lösningsansatsen, en funktion av två variabler, skrivs därvid som en produkt av två funktioner,
som vardera är en funktion av en enda variabel.
I vårt fall söker vi alltså en lösning av formen Ψ(x, t) = ψ(x)f (t). Genom att substituera denna ansats
i den tidsberoende Schrödinger–ekvationen fås
~2
d2ψ(x)
df (t)
−
f (t)
+
U
(x)ψ(x)f
(t)
=
i
~
ψ(x)
.
2m
dx2
dt
Genom att dividera varje term i denna ekvation med ψ(x)f (t) så kan variablerna separeras:
"
#
2
2
~
1 d ψ(x)
1 df (t)
.
+ U (x) = i~
−
2
2m ψ(x) dx
f (t) dt
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
1
Denna ekvation gäller för alla x, t endast om vartdera membrum är lika med samma konstant G
(separationskonstanten). Ekvationen kan då skrivas som två ordinära differentialekvationer
~2 1 d2ψ(x)
−
+ U (x) = G
2m ψ(x) dx2
1 df (t)
i~
= G.
f (t) dt
Den tidsberoende ekvationen, som kan skrivas
lätt inses genom substitution.
df (t)
dt
−iGt/~
= − iG
, vilket
~ f (t) har lösningen f (t) = e
∂
Genom att tillämpa operatorn Eop = i~ ∂t
på Ψ(x, t) = ψ(x)f (t) får vi därpå
EopΨ(x, t) = Eopψ(x)f (t) = i~
Om vi sedan utnyttjar ekvationen
df (t)
dt
df (t)
∂
[ψ(x)f (t)] = i~ψ(x)
.
∂t
dt
= − iG
~ f (t), så får vi
df (t)
iGf (t)
i~ψ(x)
= i~ψ(x) −
= Gψ(x)f (t) = GΨ(x, t).
dt
~
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
2
Genom att jämföra denna ekvation med den vi fick genom att tilllämpa energioperatorn på den fria partikelns
vågfunktion (bokens ekvation 13.33), så ser vi att separationskonstanten G = E , och den första av de
två separerade ekvationerna kan då uttryckas
~2 d2ψ(x)
−
+ U (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
Detta är den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen, som upptäcktes av Schrödinger i slutet av år 1925
(Annalen der Physik 79, 361-376 (1926)). Då potentialfunktionen U (x) är känd, kan man i allmänhet
lösa ekvationen under antagandet att funktionerna ψ(x) är välartade, vilket leder till att endast vissa av
funktionerna är fysikaliskt acceptabla. Schrödinger–ekvationens lösningar brukar kallas egenfunktioner. Mot
varje egenfunktion svarar endast ett värde av den totala energin E som kallas egenvärde. Kvantiseringen
av energin är alltså en direkt följd av att lösningarna är välartade.
Egenfunktionerna är välartade, ifall de uppfyller följande villkor: För alla värden av x måste både ψ och
dψ/dx vara a) ändliga, b) entydiga, samt c) kontinuerliga (jfr fig. 13-21):
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
3
Dessa villkor är nödvändiga för att mätbara storheter, såsom väntevärdena av x och p:
Z
+∞
hxi =
∗
ψ (x)xψ(x)dx
−∞
Z
+∞
hpi =
−∞
d
∗
ψ (x) −i~
ψ(x)dx
dx
skall vara fysikaliskt acceptabla, dvs vara ändliga, entydiga och kontinuerliga överallt.
Den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen kan också skrivas
~2 d2ψ(x)
−
= [E − U (x)]ψ(x).
2
2m dx
Om dψ(x)/dx nu inte skulle vara ändlig och kontinuerlig överallt, så kan d2ψ(x)/dx2 bli oändlig med
den påföljd att högra membrum av ekvationen också blir oändlig, vilket i sin tur betyder att antingen U (x)
eller E är oändlig, vilket är fysikaliskt omöjligt. I det följande skall vi studera några exempel. Vi kommer
där att utnyttja villkoren för att uppställa gränsvillkor, varav kontinuitetsekvationer för vågfunktionen och
dess derivata kan härledas ifall potentialfunktionen har diskontinuiteter.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
4
1.14. Den rektangulära potentialbrunnen
Vi betraktar en partikel med massan m som är innesluten i en rektangulär potentialbrunn med oändligt
höga sidor, dvs
U =0
då 0 < x < a och
U → ∞ då x ≤ 0 och x ≥ a
(se fig. 13.22 i boken).
Detta är tydligen ett bundet system. Vilken energi partikeln än har, kan den endast befinna sig inom
intervallet [0, a]. Utanför detta intervall kan partikeln inte existera, varför dess egenfunktion ψ(x) = 0
inom detta område. I ett sådant system kan en partikel enligt den klassiska fysiken ha vilken energi som
helst; ett kontinuerligt energispektrum är då möjligt.
Innanför potentialbrunnen är potentialenergin U = 0 (fri partikel), och den tidsoberoende Schrödinger–
ekvationen för partikeln blir då
~2 d2ψ(x)
−
= Eψ(x), dvs
2m dx2
d2ψ(x)
2mE
+
ψ(x) = 0.
dx2
~2
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
5
Genom att substituera k2 = 2mE/~2 i ekvationen ovan fås ψ 00(x) + k2ψ(x) = 0, som vi skall
lösa. Vi försöker först med ansatsen ψ(x) = eαx, som efter substitution ger α2 + k2 = 0. Denna
ekvation har lösningarna α = ±ik, och egenfunktionerna blir då ψ(x) = eikx och ψ(x) = e−ikx,
som är x–komponenterna av den fria partikelns egenfunktion. Den allmänna lösningen är en godtycklig
lineär kombination av dessa lösningar:
ikx
ψ(x) = ae
+ be
−ikx
,
(a, b konstanter).
Genom substitution av e±ikx = cos kx ± i sin kx (Eulers formler, se A.8 (i) s. 725 i boken) kan den
allmänna lösningen uttryckas ψ(x) = (a + b) cos kx + i(a − b) sin kx ≡ A cos kx + B sin kx,
där A och B är konstanter.
Genom att tillämpa de tidigare omnämnda ändlighets– och entydighetsvillkoren vid intervallgränserna x =
0 och x = a finner vi de tillåtna egenfunktionerna ψ(x). I punkten x = 0 gäller ψ(x) = 0, vilket gäller
endast om A = 0, varför ψ(x) = B sin kx. I punkten x = a gäller därtill ψ(x) = 0, vilket är möjligt
endast om B sin ka = 0, dvs B = 0 eller sin ka = 0. B = 0 skulle betyda, att ψ(x) överallt är
identiskt lika med 0, dvs det finns ingen partikel i brunnen! Av sin ka = 0 följer att k = nπ/a, där
n = 1, 2, . . . (n = 0 utesluts, varför?).
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
6
Egenfunktionen för potentialbrunnen är alltså
ψn(x) = B sin
nπx
,
a
n = 1, 2, . . .
Mot varje värde av n svarar ett bestämt energivärde (egenvärde)
~2 k 2
n2 ~ 2 π 2
En =
=
2m
2ma2
2 2
~
π
Energin är således kvantiserad, den kan endast anta värdena En = n2E0, där E0 =
.
2
2ma
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
7
Egenfunktionerna, som visas i figuren ovan, påminner om stående vågor (se avsn. 12.12). Villkoret
k = nπ/a kan nämligen skrivas k = 2π/λ (enligt sin definition) = nπ/a, varav följer nλ/2 = a,
som just är villkoret för en stående våg med noder i x = 0 och x = a. Gränsvillkoren för ett bundet
system med oändligt höga kanter förutsätter att egenfunktionerna har noder i brunnens kanter, där sannolikhetsfördelningarna också försvinner (se fig. ovan). Detta ger upphov till kvantisering, som är en helt
normal företeelse för de bundna systemen i kvantmekaniken (jfr även figur 13.23 i boken).
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
8
Energin för det lägsta tillståndet, som kallas grundtillståndet, E1 = E0 (svarar mot n = 1), är inte noll,
som man skulle vänta sig klassiskt.
Detta beror på osäkerhetsprincipen, eftersom p skulle vara lika med noll, om energin är noll. Vi skulle då
känna p exakt, dvs ∆p = 0. Detta kan endast gälla, om ∆x = ∞, vilket är orimligt, eftersom ∆x
bestäms av a. Observa även, att n = 0 leder till E = 0, varför vi inte kan medta detta värde av n.
Konstanten B bestäms genom
normalisering av vågfunktionen, som utförs på följande sätt. För n = 1
gäller ψ1(x) = B sin πx
a , så att normaliseringsvillkoret blir
Z
a
Z
∗
Ψ1 (x, t)Ψ1(x, t)dx =
0
a
2
ψ1(x) dx = B
2
0
a
2
sin
0
eller alltså B =
q
πx
a
2
sin
0
Integralen i formeln är lätt att beräkna genom substitution av u =
Z
a
Z
πx
a
dx = 1.
πx
a :
Z π
a
1 − cos 2u
2
sin udu =
du
π
2
0
0
π
a a
a
= −
sin
2u
=
2
4π 0
2
a
dx =
π
Z
π
2
a.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
9
Den normaliserade grundtillståndsfunktionen är alltså
r
ψ1(x) =
πx
2
sin
.
a
a
Då egenfunktionen är känd kan vi beräkna väntevärdet för partikelns position, rörelsemängd och energi i
grundtillståndet. Medelpositionen blir
hxi =
=
=
=
a
Z
2 a
πx
2
ψ1(x)xψ1(x)dx =
sin
xdx
a
a
0
0
Z π
2a
2
u sin udu
ππ 0
Z π
a
(u − u cos 2u)du
π2 0
π
Z π
2 π
a
a
u − u sin 2u +
sin
2udu
=
2π 2 2
Z
0
0
0
Detta är ett resultat, som man kunde vänta sig på grund av grundtillståndsfunktionens symmetri.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
10
På ett liknande sätt kan vi beräkna rörelsemängdens medelvärde:
Z a
d
hpi =
ψ1(x) −i~
ψ1(x)dx
dx
0
Z
πx
2 a
d
πx
sin
=
−i~
sin
dx
a 0
a
dx
a
Z π
2
= (−i~)
sin u cos udu
a
0
π
i~ 2
= − sin u = 0
a
0
Observera, att partikeln kan röra sig hur som helst i brunnen.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
11
Eftersom beräkningen av medelenergin innebär derivering i avseende på tiden, måste vi använda den tidsberoende vågfunktionen:
Z a
∂
∗
hEi =
Ψ1 (x, t)i~ Ψ1(x, t)
∂t
0
Z a
∂
∗
iE t/~
−iE t/~
=
ψ1 (x)e 0 i~ ψ1(x)e 0 dx
∂t
0
Z a
iE
0
∗
iE t/~
−iE t/~
=
ψ1 (x)e 0 i~ψ1(x) −
e 0 dx
~
0
Z a
∗
= E0
ψ1 (x)ψ1(x)dx ≡ E0.
0
Resultatet är vad vi kunde vänta oss.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
12
1.15. Potentialsteget
Vi skall nu betrakta en partikel med energin E , som rör sig längs x–axeln från vänster till höger, och som
stöter mot en vägg (potentialsteg) i punkten x = 0. I detta fall gäller
U =
(
0
då x ≤ 0
U0 då x > 0.
Vi skall särskilja två olika fall: a) E < U0 och b) E > U0. Vi skall först studera problemet klassiskt,
sedan kvantmekaniskt.
Klassisk behandling. a) E < U0. Klassiskt kan partikeln endast röra sig inom regionen x ≤ 0, där dess
√
p2
kinetiska energi är E = 2m . Partikelns rörelsemängd är p = ± 2mE . Den positiva lösningen svarar
mot det fall, då partikeln närmar sig potentialsteget från vänster, och den negativa lösningen det fall, då
partikeln rör sig mot vänster efter att ha reflekterats. Klassiskt är reflektionssannolikheten (exakt) 100%
(transmissionssannolikheten är givetvis 0% ).
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
13
√
b) E > U0. I detta fall är partikelns energi E och dess rörelsemängd p = 2mE
pdå x ≤ 0. Om
x > 0, så minskar partikelns energi till E − U0, och dess rörelsemängd till p =
2m(E − U0).
Reflektionssannolikheten är i detta fall 0% , medan transmissionssannolikheten är 100% .
Kvantmekanisk behandling. a) E < U0. Om x ≤ 0 så är den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen
~2 d2ψ
= Eψ , vilket är ekvationen för en fri partikel. Om x > 0, så blir Schrödinger–ekvationen
−
2m dx2
~2 d2ψ
= (E − U0)ψ . Observera, att E − U0 i detta fall är negativ.
−
2m dx2
Vi skall lösa Schrödingers ekvation för varje region skilt för sig och sedan kräva att lösningen och dess
derivata är kontinuerliga vid barriären, vilket garanterar att lösningen är välartad. Vi skall kalla x ≤ 0 för
region I och x > 0 för region II. I region I kan Schrödinger–ekvationen skrivas
d2ψI
2
=
k
−
ψI
dx2
2mE
,
(k =
~2
2
p
k = ).
~
Efter ansatsen ψI = eαx finner vi att den allmänna lösningen till denna ekvation, som är egenfunktionen
för en fri partikel, är ψI = Aeikx + Be−ikx, och den fullständiga tidsberoende vågfunktionen är
ΨI (x, t) = ψI (x)e
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
−iEt/~
= Ae
i(kx−Et/~)
−i(kx+Et/~)
+ Be
.
JJ J I II ×
14
Tidsberoendet har inkluderats för att vi skall se åt vilket håll materievågen rör sig. Enligt vågrörelseläran
(se s. 310-312 i boken) rör sig vågen i x–axelns positiva riktning, om termerna kx och ωt i exponenten
har motsatta förtecken, men i x–axelns negativa riktning om de har samma förtecken. Således anger
Ψ+(x, t) = Aei(kx−Et/~) en våg som fortskrider i x–axelns positiva riktning med rörelsemängden
p = ~k, medan Ψ−(x, t) = Be−i(kx+Et/~) betecknar en våg som rör sig i x–axelns negativa riktning
med rörelsemängden p = −~k.
I region II kan Schrödinger–ekvationen för partikeln skrivas
d2ψII
2
=
K
ψII ,
dx2
2
(K =
2m(U0 − E)
),
~2
som har lösningen ψII = CeKx + De−Kx. Observera, att K är reellt och positivt, eftersom U0 > E .
Termen CeKx, som växer mot oändligheten, då x växer, är inte fysikaliskt realistisk, och vi sätter därför
C = 0. Vågfunktionen i region II blir alltså ΨII (x, t) = ψII (x)e−iEt/~ = De−Kxe−iEt/~. Genom
att till
på egenfunktionen och dess derivata i punkten x = 0 : ψI (0) = ψII (0)
i kontinuitetsvillkoren
i
h ämpa
h
dψ
dψ
och dxI
= dxII
, får vi ekvationerna
x=0
x=0
A + B = D och
ikA − ikB = −KD.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
15
Genom att kombinera dessa ekvationer kan A och B uttryckas med hjälp av D :
(k + iK)D
och
2k
(k − iK)D
B=
.
2k
A=
Lösningen i fallet a) kan alltså uttryckas:
(
ψI (x) =
ikx
D
[(k
+
iK)e
2k
−Kx
ψII (x) = De
+ (k − iK)e−ikx] om x ≤ 0,
om x > 0.
För att förstå vad lösningarna innebär skall vi studera sannolikhetstätheterna P (x, t) =
ψ ∗(x)eiEt/~ψ(x)e−iEt/~ = ψ ∗(x)ψ(x) i de båda regionerna. I region I är sannolikhetstätheten för
D
den inkommande partikeln (ψ(x) = 2k
(k + iK)eikx)
∗ −ikx
P+(x, t) = A e
Ae
ikx
(k − iK)D (k + iK)D
(k2 + K 2)D 2
=
=
.
2k
2k
4k2
Den inkommande partikeln är därför en våg med konstant sannolikhetstäthet genom hela regionen.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
16
Samma sannolikhetstäthet erhålls för den reflekterade vågen. Detta innebär fysikaliskt, att alla partiklar
som når potentialsteget med E < U0 kommer att reflekteras inklusive dem som tränger in i region II.
Om x > 0, så är PII = (De−Kx)2 = D 2e−2Kx, en exponentiellt avklingande funktion av inträngningsavståndet. Kvalitativt åskådliggörs vågfunktionens förlopp i de båda regionerna i fig. 13.28 (jfr bilden
nedan), som visar vågfunktionens reella del.
Som vi ser, är det möjligt att partikeln tränger in i region II, något som inte är tillåtet enligt den klassiska
fysikens lagar. Detta kan förstås med hjälp av osäkerhetsprincipen. Om partikelns osäkerhet i rörelsemängd
∆p är av samma storleksordning som dess rörelsemängd p = ~k, så kan vi uppskatta osäkerheten i
position, ∆x, ur osäkerhetsrelationen ∆p∆x ∼ ~/2:
∆x ∼
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
~
1
~
=
=
.
2p
2 ~K
2K
JJ J I II ×
17
Om inträngningsdjupet xp betecknar det avstånd, på vilket PII (x, t) har fallit till 1/e av sitt värde i
x = 0, så finner vi att D 2/e = D 2e−2Kxp , eftersom sannolikhetstätheten är D 2 i punkten x = 0.
1
Således är xp = 2K
.
Observera, att detta avstånd är detsamma som den ovan uppskattade osäkerheten i position (∆x). Vi får
alltså en bekräftelse på, att osäkerhetsprincipen
ger förklaringen till partikelns förmåga att tränga igenom
p
barriären. Observera också, att K = 1~ 2m(U0 − E) är mycket stort, då U0 E . I detta fall
tränger partikeln endast obetydligt in i region II, och ∆x är mycket liten. Om U0 å andra sidan är endast
obetydligt större än E , så är K liten, och ∆x följaktligen stor. Inträngningsdjupet är då också stort.
Sannolikheten för reflektion vid barriären kan uttryckas som förhållandet mellan sannolikhetstätheterna av
de reflekterade och inkommande vågorna, dvs med tidigare använda beteckningar:
Ψ∗−Ψ−
B ∗B
(k + iK)(k − iK)
P−(x, t)
R=
= ∗
= ∗ =
= 1.
P+(x, t)
Ψ+Ψ+
A A
(k − iK)(k + iK)
Detta överensstämmer med det klassiska resultatet, men motsäger inte heller det kvantmekaniska resultatet.
Också en partikel som tränger genom barriären måste komma tillbaka, eftersom sannolikheten att partikeln
når x = +∞ är noll.
b) E > U0. I detta fall är den kinetiska energin för partikeln i region I lika med E .
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
18
Den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen är då likadan som i fall a):
2
~2 d ψI
− 2m dx2
= EψI . Detta är åter
ekvationen för en fri partikel. Om vi sätter k12 = 2mE/~2, så får vi ekvationen −
har lösningen ψI (x) = Aeik1x + Be−ik1x. Den fullständiga vågfunktionen är
ΨI (x, t) = ψI (x)e
−iEt/~
= Ae
i(k1 x−Et/~)
d2 ψI
dx2
−i(k1 x+Et/~)
+ Be
= k12ψI som
.
Liksom tidigare, representerar den första termen en partikel som rör sig i x–axelns positiva riktning med
rörelsemängden ~k1 och den andra termen representerar en partikel som rör sig i motsatt riktning med
rörelsemängden −~k1.
I region II (x > 0) är den kinetiska energin E − U0 positiv. Här har
p vi alltså fortfarande att göra med en
fri partikel, även om dess energi är lägre. Om vi definierar k2 =
2m(E − U0)/~, så kan partikelns
Schrödinger–ekvation skrivas
d2ψII
2
−
=
k
2 ψII .
dx2
Den motsvarande vågfunktionen är
ΨII (x, t) = ψII (x)e
−iEt/~
= Ce
i(k2 x−Et/~)
−i(k2 x+Et/~)
+ De
.
Den första termen anger här en partikel som rör sig i x–axelns positiva riktning med rörelsemängden ~k2.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
19
Den andra termen beskriver en partikel, som rör sig i motsatt riktning med rörelsemängden −~k2. Eftersom
vi endast intresserar oss för partiklar som kommer in från vänster, så kan vi sätta D = 0.
Vi skall nu, liksom tidigare, tillämpa gränsvillkoren på ψ(x) och dψ(x)/dx i punkten x = 0. Eftersom
både egenfunktionerna och deras derivator bör vara kontinuerliga i denna punkt, får vi ekvationerna
A+B =C
och
ik1A − ik1B = ik2C.
Genom att kombinera ekvationerna, och uttrycka A och B med hjälp av C , får vi
A=
(k1 + k2)C
2k1
B=
(k1 − k2)C
.
2k1
och
Sannolikheten för att vågen skall reflekteras från potentialsteget är alltså
B ∗B
(k1 − k2)2
R= ∗ =
A A
(k1 + k2)2
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
20
som i allmänhet är olika noll. Detta skiljer sig från det klassiska resultatet, R = 0, om inte k1 = k2
(men i detta fall finns ingen barriär). I allmänhet är 0 < R < 1.
För en partikelstråle som träffar barriären, anger reflektionskoefficienten R förhållandet mellan antalet
partiklar som reflekteras per sekund och antalet partiklar som kommer in per sekund. Egentligen borde
man mäta antalet partiklar per sekund med sannolikhetsflödet, som är sannolikheten för att en partikel
skall passera genom en punkt. Tidigare (s. 313) har visats, att effekten, dvs energiflödet, som medförs av
en våg är proportionell mot produkten av dess hastighet och kvadraten på amplituden.
På motsvarande sätt kan sannolikhetsflödet j av en materievåg beskrivas av produkten av partikelns
hastighet v och kvadraten på materievågens amplitud Ψ∗Ψ, eller alltså Ψ∗Ψv .
Vi kunde försumma partikelhastigheten vid beräkningen av R, eftersom både den inkommande och reflekterade vågen hade samma kinetiska energi och rörde sig med samma hastighet; hastigheten blev därför
eliminerad ur uttrycket för R. När vi beräknar transmissionssannolikheten, T , måste vi däremot beakta det
faktum, att partiklarna rör sig långsammare till höger om barriären, där den kinetiska energin är E − U0,
än till vänster om barriären, där deras kinetiska energi är E . Transmissionssannolikheten blir därför
j2
C ∗Cv2
T =
= ∗
j1
A Av1
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
21
där j1, v1 och j2, v2 betecknar sannolikhetsflödet och partiklarnas hastighet före, resp. efter potentialsteget. Då C/A = 2k1/(k1 + k2) och v2/v1 = p2/p1 = k2/k1 (se ovan), så gäller alltså
T =
2k1
k1 + k2
2
k2
4k1k2
=
k1
(k1 + k2)2
Observera dessutom, att
(k1 − k2)2
4k1k2
k12 − 2k1k2 + k22 + 4k1k2
R+T =
+
=
= 1.
(k1 + k2)2
(k1 + k2)2
(k1 + k2)2
Sannolikheten för att en partikel antingen skall reflekteras eller transmitteras är alltså 100% . Antalet
partiklar kommer alltså att bevaras.
Vi skall ännu se på två fall, som närmare belyser skillnaden mellan de kvantmekaniska och klassiska resultaten.
a) E U0 , steget är mycket litet (E ≈ E − U0), se fig. 13.31. I detta fall är k1 ≈ k2, så att
R ≈ 0 och T ≈ 1. Resultatet påminner mycket om det klassiska fallet. Sannolikheten för reflektion är
ytterst liten.
b) E E − U0, partikelns energi är obetydligt större än steghöjden U0, se fig. 13.32.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
22
I detta fall är k1 k2, så att R ≈ 1 och T ≈ 0, som visar, att partikeln högst sannolikt reflekteras,
fast energin bara är obetydligt större än steghöjden, något som inte kan förklaras klassiskt. Reflektion vid
en diskontinuitet, vilket inte är ett klassiskt fenomen är dock ett välkänt vågfenomen, t.ex. då vågor i en
vattenyta stöter på lågvatten (fig. 13.34).
I fig. 13.33 (se även bilden nedan) har reflektions– och transmissionkoefficienternas värden ritats som
funktion av förhållandet E/U0. Som vi ser, skiljer sig det kvantmekaniska resultatet mest från det klassiska
då förhållandet är något större än 1.
Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010
JJ J I II ×
23