13.10 Schrödinger–ekvationen

Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3
13.10
–
14
Schrödinger–ekvationen
de Broglies hypotes visar att en partikel, vars rörelsemängd är p = h̄k
och energi E = h̄ω kan beskrivas av en framåtskridande våg, som
också kan representeras av en periodisk funktion av kx − ωt.
En fri partikel kan representeras av ett vågpaket, som är en superposition av framåtskridande vågor. Då systemets vågfunktion
är en känd funktion av positionen och tiden, så kan man räkna
ut vad som kommer att hända med partikeln i framtiden (givetvis
med beaktande av osäkerhetsprincipen). Ett sätt att göra detta är
att ställa upp Schrödingers ekvation för systemet. Dess lösning är
vågfunktionen Ψ(x, y, z, t), som i allmänhet är en funktion av alla
tre rumskoordinaterna (och tiden), även om vi här för enkelhetens
skull endast behandlar endimensionella rörelser.
Vi börjar med att skriva upp Hamiltons funktion för partikeln eller
systemet (se s. 92):
H(p, x) =
p2
+ U (x) = E
2m
(E betecknar systemets totala energi). Sedan multiplicerar vi vartdera membrum av denna ekvation med vågfunktionen Ψ(x, t):
p2
Ψ(x, t) + U (x)Ψ(x, t) = EΨ(x, t)
2m
och ersätter storheterna p och E med sina ekvivalenta operatorer:
pop = −ih̄
Eop = ih̄
∂
∂x
∂
∂t
(i det endimensionella fallet; beteckningarna p̂ och Ê används även).
∂
Då en operator, såsom t.ex. −ih̄ ∂x
, tillämpas på vågfunktionen
Ψ(x, t) innebär detta, att funktionen först deriveras i avseende på x,
och att resultatet därpå multipliceras med (konstanten) −ih̄.
Då partikeln är en foton, är det lätt att förstå operatorekvationen, om vi jämför sambandet mellan den relativistiska energin och
Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3
rörelsemängden för en foton, som kan skrivas p2 =
ekvationen:
1
2
c2 E
–
15
med våg-
1 ∂2y
∂2y
= 2 2,
∂x2
c ∂t
där y(x, t) är funktionen som beskriver vågrörelsen (jfr s. 344).
Jämförelse mellan de båda ekvationerna visar, att sambandet mellan
p och ∂/∂x samt mellan E och ∂/∂t är analogt med uttrycken, som
definierar de ekvivalenta operatorerna pop och Eop .
Om p och E ersätts med motsvarande ekvivalenta operatorer i den
allmänna ekvationen fås
ih̄
∂
1
∂
∂
Ψ(x, t) =
(−ih̄ )(−ih̄ )Ψ(x, t) + U (x)Ψ(x, t)
∂t
2m
∂x
∂x
som kan skrivas i formen
−h̄2 ∂ 2 Ψ(x, t)
∂Ψ(x, t)
+ U (x)Ψ(x, t) = ih̄
.
2
2m
∂x
∂t
Detta är den tidsberoende Schrödinger–ekvationen. Då potentialenergifunktionen U (x) är känd, så kan Schrödinger–ekvationen (i
princip) lösas, och vågfunktionen Ψ(x, t) bestämmas. Vi skall se hur
detta går till i några enklare specialfall.
13.11
Den fria partikeln.
En fri partikel utsätts inte för några yttre krafter. Därför är F =
− ∂U
∂x = 0, och U (x) är således konstant. Eftersom potentialenergins
nollpunkt är godtycklig, kan vi sätta U = 0. Schrödinger-ekvationen
för en fri partikel är därför
h̄2 ∂ 2 Ψ(x, t)
∂Ψ(x, t)
−
= ih̄
.
2
2m ∂x
∂t
Denna ekvation försöker vi lösa med ansatsen
Ψ(x, t) = A sin(kx − ωt)
Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3
–
16
(en framåtskridande våg, jfr s. 312). Genom att substituera den i
Schrödinger–ekvationen fås
h̄2
−
[−k 2 A sin(kx − ωt)] = −ih̄ωA cos(kx − ωt),
2m
eller alltså
tan(kx − ωt) = −
2imω
.
h̄k 2
Denna lösning kan emellertid inte vara ekvationens allmänna lösning,
utan den gäller bara för ett speciellt värde av (kx − ωt). En allmän
lösning till denna differentialekvation av andra ordningen kan vi finna
medels substitutionen Ψ(x, t) = A0 sin(kx−ωt)+B 0 cos(kx−ωt). (jfr
avsn. 12.2 i boken, s. 311). Om A0 = iA och B 0 = A så kan ansatsen
uttryckas Ψ(x, t) = A cos(kx − ωt) + iA sin(kx − ωt) ≡ Aei(kx−ωt) .
Då denna funktion substitueras i Schrödinger–ekvationen för den fria
partikeln fås
h̄2
[−k 2 Aei(kx−ωt) ] = h̄ωAei(kx−ωt) ,
−
2m
2 2
k
= h̄ω. Om denna ekvation gäller, är Ψ(x, t) =
varav följer h̄2m
i(kx−ωt)
Ae
en allmän lösning till den fria partikelns Schrödinger–
ekvation. Att så är fallet, är en direkt följd av de Broglies hypotes. Genom att att substituera de Broglies ekvationer i uttrycket
p2
för den kinetiska energin: E = 2m
ser vi nämligen omedelbart, att
ekvationen gäller. Observera, att i detta fall k, och således även
E = (h̄k)2 /2m, kan anta vilket värde som helst.
Vågfunktionen Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) representerar en våg, som fortskrider med en amplitud A som inte beror av x. Partikeln kan därför
befinna sig var som helst på x–axeln, den är inte alls lokaliserad.
För att beskriva en lokaliserad partikel behöver vi ett vågpaket, vars
amplitud skiljer sig från noll endast inom ett litet område av x. Ett
vågpaket kan konstrueras genom att man adderar framåtskridande
vågor med olika värden av amplitud och vågtal (t.ex. med hjälp
av Fourier–analys). Ett sådant vågpaket kommer också att vara en
lösning till Schrödinger–ekvationen för den fria partikeln. Enklast är
det dock att använda den icke lokaliserade lösningen. Observerbara
storheter är alltid reella då Ψ(x, t) har en imaginär komponent, eftersom de innehåller den kvadratiska modulen: |Ψ|2 = Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t) =
A∗ e−i(kx−ωt) Aei(kx−ωt) = A∗ A = |A|2 .
Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3
–
17
Om vi önskar beräkna väntevärdet av rörelsemängden, så måste vi
∂
använda den ekvivalenta operatorn −ih̄ ∂x
:
Z
Z
+∞
∗
hpi =
+∞
Ψ (x, t)pop Ψ(x, t)dx =
−∞
−∞
µ
¶
∂
Ψ (x, t) −ih̄
Ψ(x, t)dx.
∂x
∗
Vi skall nu tillämpa denna operator på den fria partikelns vågfunktion, och konstaterar till en början att
−ih̄
∂
∂
Ψ(x, t) = −ih̄ [Aei(kx−ωt) ] = h̄k[Aei(kx−ωt) ] = h̄kΨ(x, t),
∂x
∂x
∂
som visar, att operatorn −ih̄ ∂x
för den fria partikeln har samma
effekt som multiplikation med p.
Väntevärdet av pop blir alltså
Z
+∞
hpi =
−∞
Z +∞
=
µ
∂
Ψ∗ (x, t) −ih̄
∂x
¶
Ψ(x, t)dx
A∗ e−i(kx−ωt) h̄kAei(kx−ωt) dx
−∞
Z
+∞
= h̄k
A∗ Adx = h̄k,
−∞
eftersom sannolikheten att finna partikeln var som helst på x–axeln
är 1.
Det är dock inte möjligt att normalisera Ψ(x, t) genom att beräkna
R +∞
A ur ekvationen −∞ A∗ Adx = 1, om partikeln inte är lokaliserad,
ochR sålunda har konstant
R amplitud överallt på x–axeln. I detta fall
+∞ ∗
2 +∞
är −∞ A Adx = |A| −∞ dx, denna integral är oändlig. Vågfunktionen kan inte normaliseras över hela x–axeln, men det går om man
väljer stora, men ändliga integrationsgränser.* Detta problem uppträder inte för en lokaliserad partikel, där vågfunktionens amplitud
skiljer sig från noll endast inom ett begränsat intervall.
Som vi ser, stämmer väntevärdet för rörelsemängden av en fri partikel överens med de Broglies hypotes, men vi har inte visat, att
* Normaliseringen kan också göras med Diracs δ-funktion, se t.ex.
Merzbacher, kap. 6
Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3
–
18
p endast kan ha detta värde. Om vi däremot beräknar hp2 i, dvs
medelvärdet av p2 , och kan visa, att hp2 i = hpi2 , så kan p inte fluktuera (fluktuationen bestäms av variansen h(p − hpi)2 i = hp2 i −
hpi2 ), och hpi kan då bara ha värdet h̄k. Vi beräknar därför
Z
2
+∞
hp i =
−∞
+∞
Ψ∗ (x, t)p2op Ψ(x, t)dx
µ
¶ ·µ
¶
¸
∂
∂
−ih̄
Aei(kx−ωt) dx
=
A∗ e−i(kx−ωt) −ih̄
∂x
∂x
−∞
µ
¶h
Z +∞
i
∂
∗ −i(kx−ωt)
i(kx−ωt)
=
A e
−ih̄
h̄kAe
dx
∂x
−∞
Z +∞
= h̄2 k 2
A∗ Adx = h̄2 k 2 .
Z
−∞
Vi finner alltså, att hp2 i = hpi2 , vilket skulle bevisas.
På samma sätt kan vi också visa, att om energioperatorn ih̄∂/∂t
tillämpas på vågfunktionen Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) , så innebär det multiplikation med h̄ω = E:
ih̄
∂
Ψ(x, t) = h̄ωΨ(x, t) = EΨ(x, t).
∂t
Således stämmer väntevärdet av energin för en fri partikel hEi = h̄ω
överens med de Broglies ekvation. Likaså kan man också visa, att
hE 2 i = hEi2 , och att detta således är det enda värdet.
13.12
Den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen
Den tidsberoende Schrödinger–ekvationen för en fri partikel som rör
sig i en dimension är en partiell differentialekvation i två variabler,
x och t. En sådan ekvation löses i allmänhet genom separation av
variablerna. Lösningsansatsen, en funktion av två variabler, skrivs
därvid som en produkt av två funktioner, som vardera är en funktion
av en enda variabel.
I vårt fall söker vi alltså en lösning av formen
Ψ(x, t) = ψ(x)f (t).
Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3
–
19
Genom att substituera denna ansats i den tidsberoende Schrödinger–
ekvationen fås
h̄2
d2 ψ(x)
df (t)
−
f (t)
+
U
(x)ψ(x)f
(t)
=
ih̄ψ(x)
.
2m
dx2
dt
Genom att dividera varje term i denna ekvation med ψ(x)f (t) så kan
variablerna separeras:
·
¸
¸
·
h̄2
1 d2 ψ(x)
1 df (t)
−
+ U (x) = ih̄
.
2m ψ(x) dx2
f (t) dt
Denna ekvation gäller för alla x, t endast om vartdera membrum är
lika med samma konstant G (separationskonstanten). Ekvationen
kan då skrivas som två ordinära differentialekvationer
h̄2 1 d2 ψ(x)
−
+ U (x) = G
2m ψ(x) dx2
¸
·
1 df (t)
= G.
ih̄
f (t) dt
Den tidsberoende ekvationen, som kan skrivas dfdt(t) = − iG
h̄ f (t) har
lösningen f (t) = e−iGt/h̄ , som lätt inses genom substitution.
∂
Genom att tillämpa operatorn Eop = ih̄ ∂t
på Ψ(x, t) = ψ(x)f (t) får
vi
Eop Ψ(x, t) = Eop ψ(x)f (t) = ih̄
∂
df (t)
[ψ(x)f (t)] = ih̄ψ(x)
,
∂t
dt
och om vi sedan utnyttjar ekvationen
df (t)
dt
= − iG
h̄ f (t), så får vi
·
¸
df (t)
iGf (t)
ih̄ψ(x)
= ih̄ψ(x) −
= Gψ(x)f (t) = GΨ(x, t).
dt
h̄
Genom att jämföra denna ekvation med den vi fick genom att tilllämpa energioperatorn på den fria partikelns vågfunktion (s. 18), så
ser vi att separationskonstanten G = E, och den första av de två
separerade ekvationerna kan då uttryckas
h̄2 d2 ψ(x)
−
+ U (x)ψ(x) = Eψ(x).
2m dx2
Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3
–
20
Detta är den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen, som upptäcktes
av Schrödinger i slutet av år 1925 (Annalen der Physik 79, 361376 (1926)). Då potentialfunktionen U (x) är känd, löses ekvationen
i allmänhet under antagandet av funktionerna ψ(x) är välartade,
vilket leder till att endast vissa av funktionerna är fysikaliskt acceptabla. Schrödinger–ekvationens lösningar brukar kallas egenfunktioner. Mot varje egenfunktion svarar ett värde av den totala energin
E som kallas egenvärde. Kvantiseringen av energin är alltså en direkt
följd av att lösningarna är välartade.
Egenfunktionerna är välartade, ifall de uppfyller följande villkor: För
alla värden av x skall både ψ och dψ/dx vara a)ändliga, b)entydiga,
samt c)kontinuerliga (se bokens figur 13.21). Dessa villkor är nödvändiga för att mätbara storheter, såsom väntevärdena av x och p:
Z
+∞
hxi =
−∞
+∞
Z
hpi =
−∞
ψ ∗ (x)xψ(x)dx
¶
µ
d
ψ(x)dx
ψ ∗ (x) −ih̄
dx
skall vara fysikaliskt acceptabla, dvs vara ändliga, entydiga och kontinuerliga överallt.
Den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen kan också skrivas
h̄2 d2 ψ(x)
−
= [E − U (x)]ψ(x).
2m dx2
Om dψ(x)/dx inte skulle vara ändlig och kontinuerlig överallt, så
kan d2 ψ(x)/dx2 bli oändlig med den påföljden att högra membrum
av ekvationen också blir oändlig, vilket i sin tur betyder att antingen
U (x) eller E är oändlig, vilket är fysikaliskt omöjligt.
I de följande exemplen skall vi använda dessa villkor för att konstruera gränsvillkor som leder till kontinuitetsekvationer för vågfunktionen och dess derivata i sådana fall att potentialfunktionen har
diskontinuiteter.