Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3 13.10 – 14 Schrödinger–ekvationen de Broglies hypotes visar att en partikel, vars rörelsemängd är p = h̄k och energi E = h̄ω kan beskrivas av en framåtskridande våg, som också kan representeras av en periodisk funktion av kx − ωt. En fri partikel kan representeras av ett vågpaket, som är en superposition av framåtskridande vågor. Då systemets vågfunktion är en känd funktion av positionen och tiden, så kan man räkna ut vad som kommer att hända med partikeln i framtiden (givetvis med beaktande av osäkerhetsprincipen). Ett sätt att göra detta är att ställa upp Schrödingers ekvation för systemet. Dess lösning är vågfunktionen Ψ(x, y, z, t), som i allmänhet är en funktion av alla tre rumskoordinaterna (och tiden), även om vi här för enkelhetens skull endast behandlar endimensionella rörelser. Vi börjar med att skriva upp Hamiltons funktion för partikeln eller systemet (se s. 92): H(p, x) = p2 + U (x) = E 2m (E betecknar systemets totala energi). Sedan multiplicerar vi vartdera membrum av denna ekvation med vågfunktionen Ψ(x, t): p2 Ψ(x, t) + U (x)Ψ(x, t) = EΨ(x, t) 2m och ersätter storheterna p och E med sina ekvivalenta operatorer: pop = −ih̄ Eop = ih̄ ∂ ∂x ∂ ∂t (i det endimensionella fallet; beteckningarna p̂ och Ê används även). ∂ Då en operator, såsom t.ex. −ih̄ ∂x , tillämpas på vågfunktionen Ψ(x, t) innebär detta, att funktionen först deriveras i avseende på x, och att resultatet därpå multipliceras med (konstanten) −ih̄. Då partikeln är en foton, är det lätt att förstå operatorekvationen, om vi jämför sambandet mellan den relativistiska energin och Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3 rörelsemängden för en foton, som kan skrivas p2 = ekvationen: 1 2 c2 E – 15 med våg- 1 ∂2y ∂2y = 2 2, ∂x2 c ∂t där y(x, t) är funktionen som beskriver vågrörelsen (jfr s. 344). Jämförelse mellan de båda ekvationerna visar, att sambandet mellan p och ∂/∂x samt mellan E och ∂/∂t är analogt med uttrycken, som definierar de ekvivalenta operatorerna pop och Eop . Om p och E ersätts med motsvarande ekvivalenta operatorer i den allmänna ekvationen fås ih̄ ∂ 1 ∂ ∂ Ψ(x, t) = (−ih̄ )(−ih̄ )Ψ(x, t) + U (x)Ψ(x, t) ∂t 2m ∂x ∂x som kan skrivas i formen −h̄2 ∂ 2 Ψ(x, t) ∂Ψ(x, t) + U (x)Ψ(x, t) = ih̄ . 2 2m ∂x ∂t Detta är den tidsberoende Schrödinger–ekvationen. Då potentialenergifunktionen U (x) är känd, så kan Schrödinger–ekvationen (i princip) lösas, och vågfunktionen Ψ(x, t) bestämmas. Vi skall se hur detta går till i några enklare specialfall. 13.11 Den fria partikeln. En fri partikel utsätts inte för några yttre krafter. Därför är F = − ∂U ∂x = 0, och U (x) är således konstant. Eftersom potentialenergins nollpunkt är godtycklig, kan vi sätta U = 0. Schrödinger-ekvationen för en fri partikel är därför h̄2 ∂ 2 Ψ(x, t) ∂Ψ(x, t) − = ih̄ . 2 2m ∂x ∂t Denna ekvation försöker vi lösa med ansatsen Ψ(x, t) = A sin(kx − ωt) Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3 – 16 (en framåtskridande våg, jfr s. 312). Genom att substituera den i Schrödinger–ekvationen fås h̄2 − [−k 2 A sin(kx − ωt)] = −ih̄ωA cos(kx − ωt), 2m eller alltså tan(kx − ωt) = − 2imω . h̄k 2 Denna lösning kan emellertid inte vara ekvationens allmänna lösning, utan den gäller bara för ett speciellt värde av (kx − ωt). En allmän lösning till denna differentialekvation av andra ordningen kan vi finna medels substitutionen Ψ(x, t) = A0 sin(kx−ωt)+B 0 cos(kx−ωt). (jfr avsn. 12.2 i boken, s. 311). Om A0 = iA och B 0 = A så kan ansatsen uttryckas Ψ(x, t) = A cos(kx − ωt) + iA sin(kx − ωt) ≡ Aei(kx−ωt) . Då denna funktion substitueras i Schrödinger–ekvationen för den fria partikeln fås h̄2 [−k 2 Aei(kx−ωt) ] = h̄ωAei(kx−ωt) , − 2m 2 2 k = h̄ω. Om denna ekvation gäller, är Ψ(x, t) = varav följer h̄2m i(kx−ωt) Ae en allmän lösning till den fria partikelns Schrödinger– ekvation. Att så är fallet, är en direkt följd av de Broglies hypotes. Genom att att substituera de Broglies ekvationer i uttrycket p2 för den kinetiska energin: E = 2m ser vi nämligen omedelbart, att ekvationen gäller. Observera, att i detta fall k, och således även E = (h̄k)2 /2m, kan anta vilket värde som helst. Vågfunktionen Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) representerar en våg, som fortskrider med en amplitud A som inte beror av x. Partikeln kan därför befinna sig var som helst på x–axeln, den är inte alls lokaliserad. För att beskriva en lokaliserad partikel behöver vi ett vågpaket, vars amplitud skiljer sig från noll endast inom ett litet område av x. Ett vågpaket kan konstrueras genom att man adderar framåtskridande vågor med olika värden av amplitud och vågtal (t.ex. med hjälp av Fourier–analys). Ett sådant vågpaket kommer också att vara en lösning till Schrödinger–ekvationen för den fria partikeln. Enklast är det dock att använda den icke lokaliserade lösningen. Observerbara storheter är alltid reella då Ψ(x, t) har en imaginär komponent, eftersom de innehåller den kvadratiska modulen: |Ψ|2 = Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t) = A∗ e−i(kx−ωt) Aei(kx−ωt) = A∗ A = |A|2 . Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3 – 17 Om vi önskar beräkna väntevärdet av rörelsemängden, så måste vi ∂ använda den ekvivalenta operatorn −ih̄ ∂x : Z Z +∞ ∗ hpi = +∞ Ψ (x, t)pop Ψ(x, t)dx = −∞ −∞ µ ¶ ∂ Ψ (x, t) −ih̄ Ψ(x, t)dx. ∂x ∗ Vi skall nu tillämpa denna operator på den fria partikelns vågfunktion, och konstaterar till en början att −ih̄ ∂ ∂ Ψ(x, t) = −ih̄ [Aei(kx−ωt) ] = h̄k[Aei(kx−ωt) ] = h̄kΨ(x, t), ∂x ∂x ∂ som visar, att operatorn −ih̄ ∂x för den fria partikeln har samma effekt som multiplikation med p. Väntevärdet av pop blir alltså Z +∞ hpi = −∞ Z +∞ = µ ∂ Ψ∗ (x, t) −ih̄ ∂x ¶ Ψ(x, t)dx A∗ e−i(kx−ωt) h̄kAei(kx−ωt) dx −∞ Z +∞ = h̄k A∗ Adx = h̄k, −∞ eftersom sannolikheten att finna partikeln var som helst på x–axeln är 1. Det är dock inte möjligt att normalisera Ψ(x, t) genom att beräkna R +∞ A ur ekvationen −∞ A∗ Adx = 1, om partikeln inte är lokaliserad, ochR sålunda har konstant R amplitud överallt på x–axeln. I detta fall +∞ ∗ 2 +∞ är −∞ A Adx = |A| −∞ dx, denna integral är oändlig. Vågfunktionen kan inte normaliseras över hela x–axeln, men det går om man väljer stora, men ändliga integrationsgränser.* Detta problem uppträder inte för en lokaliserad partikel, där vågfunktionens amplitud skiljer sig från noll endast inom ett begränsat intervall. Som vi ser, stämmer väntevärdet för rörelsemängden av en fri partikel överens med de Broglies hypotes, men vi har inte visat, att * Normaliseringen kan också göras med Diracs δ-funktion, se t.ex. Merzbacher, kap. 6 Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3 – 18 p endast kan ha detta värde. Om vi däremot beräknar hp2 i, dvs medelvärdet av p2 , och kan visa, att hp2 i = hpi2 , så kan p inte fluktuera (fluktuationen bestäms av variansen h(p − hpi)2 i = hp2 i − hpi2 ), och hpi kan då bara ha värdet h̄k. Vi beräknar därför Z 2 +∞ hp i = −∞ +∞ Ψ∗ (x, t)p2op Ψ(x, t)dx µ ¶ ·µ ¶ ¸ ∂ ∂ −ih̄ Aei(kx−ωt) dx = A∗ e−i(kx−ωt) −ih̄ ∂x ∂x −∞ µ ¶h Z +∞ i ∂ ∗ −i(kx−ωt) i(kx−ωt) = A e −ih̄ h̄kAe dx ∂x −∞ Z +∞ = h̄2 k 2 A∗ Adx = h̄2 k 2 . Z −∞ Vi finner alltså, att hp2 i = hpi2 , vilket skulle bevisas. På samma sätt kan vi också visa, att om energioperatorn ih̄∂/∂t tillämpas på vågfunktionen Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) , så innebär det multiplikation med h̄ω = E: ih̄ ∂ Ψ(x, t) = h̄ωΨ(x, t) = EΨ(x, t). ∂t Således stämmer väntevärdet av energin för en fri partikel hEi = h̄ω överens med de Broglies ekvation. Likaså kan man också visa, att hE 2 i = hEi2 , och att detta således är det enda värdet. 13.12 Den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen Den tidsberoende Schrödinger–ekvationen för en fri partikel som rör sig i en dimension är en partiell differentialekvation i två variabler, x och t. En sådan ekvation löses i allmänhet genom separation av variablerna. Lösningsansatsen, en funktion av två variabler, skrivs därvid som en produkt av två funktioner, som vardera är en funktion av en enda variabel. I vårt fall söker vi alltså en lösning av formen Ψ(x, t) = ψ(x)f (t). Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3 – 19 Genom att substituera denna ansats i den tidsberoende Schrödinger– ekvationen fås h̄2 d2 ψ(x) df (t) − f (t) + U (x)ψ(x)f (t) = ih̄ψ(x) . 2m dx2 dt Genom att dividera varje term i denna ekvation med ψ(x)f (t) så kan variablerna separeras: · ¸ ¸ · h̄2 1 d2 ψ(x) 1 df (t) − + U (x) = ih̄ . 2m ψ(x) dx2 f (t) dt Denna ekvation gäller för alla x, t endast om vartdera membrum är lika med samma konstant G (separationskonstanten). Ekvationen kan då skrivas som två ordinära differentialekvationer h̄2 1 d2 ψ(x) − + U (x) = G 2m ψ(x) dx2 ¸ · 1 df (t) = G. ih̄ f (t) dt Den tidsberoende ekvationen, som kan skrivas dfdt(t) = − iG h̄ f (t) har lösningen f (t) = e−iGt/h̄ , som lätt inses genom substitution. ∂ Genom att tillämpa operatorn Eop = ih̄ ∂t på Ψ(x, t) = ψ(x)f (t) får vi Eop Ψ(x, t) = Eop ψ(x)f (t) = ih̄ ∂ df (t) [ψ(x)f (t)] = ih̄ψ(x) , ∂t dt och om vi sedan utnyttjar ekvationen df (t) dt = − iG h̄ f (t), så får vi · ¸ df (t) iGf (t) ih̄ψ(x) = ih̄ψ(x) − = Gψ(x)f (t) = GΨ(x, t). dt h̄ Genom att jämföra denna ekvation med den vi fick genom att tilllämpa energioperatorn på den fria partikelns vågfunktion (s. 18), så ser vi att separationskonstanten G = E, och den första av de två separerade ekvationerna kan då uttryckas h̄2 d2 ψ(x) − + U (x)ψ(x) = Eψ(x). 2m dx2 Den moderna fysikens grunder - Föreläsning 3 – 20 Detta är den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen, som upptäcktes av Schrödinger i slutet av år 1925 (Annalen der Physik 79, 361376 (1926)). Då potentialfunktionen U (x) är känd, löses ekvationen i allmänhet under antagandet av funktionerna ψ(x) är välartade, vilket leder till att endast vissa av funktionerna är fysikaliskt acceptabla. Schrödinger–ekvationens lösningar brukar kallas egenfunktioner. Mot varje egenfunktion svarar ett värde av den totala energin E som kallas egenvärde. Kvantiseringen av energin är alltså en direkt följd av att lösningarna är välartade. Egenfunktionerna är välartade, ifall de uppfyller följande villkor: För alla värden av x skall både ψ och dψ/dx vara a)ändliga, b)entydiga, samt c)kontinuerliga (se bokens figur 13.21). Dessa villkor är nödvändiga för att mätbara storheter, såsom väntevärdena av x och p: Z +∞ hxi = −∞ +∞ Z hpi = −∞ ψ ∗ (x)xψ(x)dx ¶ µ d ψ(x)dx ψ ∗ (x) −ih̄ dx skall vara fysikaliskt acceptabla, dvs vara ändliga, entydiga och kontinuerliga överallt. Den tidsoberoende Schrödinger–ekvationen kan också skrivas h̄2 d2 ψ(x) − = [E − U (x)]ψ(x). 2m dx2 Om dψ(x)/dx inte skulle vara ändlig och kontinuerlig överallt, så kan d2 ψ(x)/dx2 bli oändlig med den påföljden att högra membrum av ekvationen också blir oändlig, vilket i sin tur betyder att antingen U (x) eller E är oändlig, vilket är fysikaliskt omöjligt. I de följande exemplen skall vi använda dessa villkor för att konstruera gränsvillkor som leder till kontinuitetsekvationer för vågfunktionen och dess derivata i sådana fall att potentialfunktionen har diskontinuiteter.