Linjär algebra - MAI - Linköpings universitet

Linjär algebra
Kompletterande kompendium
Ulf Janfalk
Matematiska institutionen
Linköpings universitet
Innehåll
1 Analytisk geometri i planet och rummet
1.1 Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Multiplikation av vektor med reellt tal och vektoraddition .
1.2 Bas och koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ortsvektorer, punkter och koordinatsystem . . . . . . . . . . . . .
1.4 Skalär- och vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Skalärprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Ortogonal projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 ON-baser och beräkning av skalär- och vektorprodukt . . . . . . .
1.6 Area och volym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Linjer och plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Linjer i planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
3
5
11
13
14
15
20
23
27
29
29
32
35
Kapitel 1
Analytisk geometri i planet och
rummet
Det från författarens synvinkel svåraste med att skriva ett kapitel som detta är att komma
igång. Hur skall man börja? Hur grundligt skall de inledande begreppen beskrivas och definieras? Hur mycket hänsyn skall tas till läsarens geometriska intuition, eller brist på densamma,
i de grundläggande definitionerna?
Vissa grundläggande geometriska egenskaper kommer att tas för givna, t ex att vi kan
mäta längden av sträckan mellan två punkter samt vinkeln mellan två sträckor, d v s sådana
saker som du skulle acceptera utan invändning om inte jag hade börjat skriva om dem. Några
geometriska objekt tas också för givna, exempelvis kommer linjer i planet/rummet och plan
i rummet inte att definieras strikt. I dessa fall litar vi till intuitionen.
Vad menas då med planet respektive rummet. Dessa kommer ej att definieras strikt i
matematisk mening. Tänk på planet som bestående av alla punkter som ligger i en obegränsad
plan yta och att denna plana yta är det enda som finns! Någon höjd ovanför denna plana
yta finns inte då vi diskuterar plana problem. Även rummet skall ses som en obegränsad
punktmängd. Tänk på din omgivande verklighet.
Det visar sig olämpligt att försöka definiera räknesätt för punkter. Vad skulle man i så
fall mena med att två punkter adderas? Vilken punkt skulle vara nollpunkt? Vi skall istället
räkna med objekt som har riktning och längd, så kallade vektorer. Dessa behövs i de flesta
tillämpningar. Exempelvis är kraft, hastighet, acceleration, elektriska fält, etc... begrepp som
behöver både storlek och riktning för att kunna beskrivas ordentligt.
1.1
Vektorer
Vad är då en vektor? Låt P och Q vara två punkter i planet eller rummet. Sträckan mellan
P och Q, riktad från P mot Q betecknas P Q och representeras med en pil utgående från P
och med spetsen i Q (se figur 1.1(a) nedan).
Tag en tredje punkt P1 och låt pilen som representerar P Q glida längs linjen genom P och
P1 utan att ändra på vare sig pilens längd eller riktning. Pilen utgår nu från P1 och slutar i Q1
(se figur 1.1(b)) och representerar nu istället den riktade sträckan P1 Q1 . Vi använder alltså
samma pil att representera två olika riktade sträckor. Vi kan därmed se sträckorna P Q och
P1 Q1 ekvivalenta i den meningen att de representeras av samma pil. Det är denna egenskap
vi tar fasta på vid nedanstående definition av begreppet vektor.
1
2
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
(a)
Q1
(b)
P1 Q 1
Q
Q
PQ
PQ
P1
P
P
Figur 1.1: (a) Riktade sträckan från P till Q. (b) Parallellförflyttning av pilen mellan P och
Q.
Vi kommer också att behöva en ”vektornolla”. För att kunna definiera en sådan kan vi
tänka på en sträcka som börjar och slutar i samma punkt, P P , kallad nollsträcka. En sådan
har längd 0 och obestämd riktning.
För de kommande definitionerna spelar det mestadels inte någon roll om vi är i planet
eller rummet. I fortsättningen påpekas detta endast då det är av betydelse för sammanhanget.
Definition 1.1.1 Nollvektorn definieras som mängden av alla nollsträckor. En (nollskild)
vektor är mängden av alla riktade sträckor med samma (nollskilda) längd och riktning.
Med längden av en vektor menas längden av ett av dess element.
De riktade sträckorna P Q och P1 Q1 ovan är alltså element i samma vektor.
Figur 1.2: Riktade sträckor tillhörande samma vektor.
Ur tidigare resonemang framgår också att man med fördel kan tänka på vektorn som själva
pilen, d v s som en riktad sträcka som får parallellförflyttas (figur 1.2).
Vi kommer att använda två typer av beteckningar för vektorer:
(a) små latinska bokstäver i fetstil, t ex u, kommer att vara den vanligast förekommande,
(b) den tidigare beteckningen för riktad sträcka, t ex P Q.
3
1.1. VEKTORER
I vissa situationer är det mer praktiskt att utnyttja ett visst element i vektorn u, en representant för u. Det är i sådana lägen vi använder skrivsättet i (b). Observera att P Q, formellt sett,
inte är en vektor (se definition 1.1.1), den är ju en specifik riktad sträcka. Detta bör dock inte
vålla några problem. Enda skillnaden mellan P Q och den vektor den är representant för är
ju att P Q inte får parallellförflyttas. Det är ju också denna egenskap som gör att vi använder
oss av beteckningen P Q. Vi kommer därför att tillåta oss att skriva ”vektorn P Q” och med
detta mena den vektor som har P Q som representant.
Längden eller (absolut)beloppet av u skrivs |u| i analogi med den geometriska tolkningen
av absolutbeloppet av ett reellt tal.
Vi skall nu införa räkneoperationer på mängden av vektorer i planet/rummet.
1.1.1
Multiplikation av vektor med reellt tal och vektoraddition .
Definition 1.1.2 Låt u vara en vektor och λ ett reellt tal. Vi definierar först 0u = 0 och
λ0 = 0. För λ 6= 0 och u 6= 0 definierar vi vektorn λu att vara den vektor för vilket följande
gäller:
u
(a) längden av λu är |λu| = |λ| · |u|,
(b)
(i) om λ > 0 så har u och λu samma riktning,
(ii) om λ < 0 så har u och λu motsatt riktning.
−u
−2u
1
u
2
2u
Figur 1.3:
Multiplikation med tal påverkar alltså endast längden och pilspetsens placering. Av notationstekniska skäl sätter vi (−1)u = −u.
I grundläggande euklidisk plangeometri är parallellitet en egenskap hos linjer; två linjer
i planet är parallella om de aldrig skär varann. Vi överför detta till vektorer enligt följande:
låt u och v vara två vektorer skilda från 0. Tänk dig att du utsträcker var och en av dem till
en linje. Det blir då rimligt att säga att u och v är parallella om de två linjerna är parallella.
Vi formaliserar detta med hjälp av multiplikation med tal.
Definition 1.1.3 Två nollskilda vektorer u och v är parallella om det finns ett tal λ ∈ R så
att v = λu.
Den ovanstående liknelsen stämmer väl in i denna definition. Då 0 inte täcks av definition
1.1.3 och då 0 = 0u oavsett vilken vektor u som används har vi som konvention att 0 är
parallell med alla vektorer. Vidare är alla vektorerna i figur 1.3 parallella.
Vi övergår nu till addition av två vektorer.
Definition 1.1.4 Låt u och v vara två vektorer och låt AB vara en representant för u och
BC en representant för v. Vektorn u + v, summan av u och v, är den vektor som har sträckan
AC som representant.
4
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
C
Lite förenklat kan man säga att u + v är den vektor
som fås då man placerar (representanter för) u och v
spets mot ända och förbinder ledig ända med ledig spets,
spetsen på u + v hamnar vid den lediga spetsen.
u+v
v
A
u B
Figur 1.4: Vektoraddition
Som en omedelbar konsekvens av definitionerna ovan får vi ett antal räknelagar.
Sats 1.1.5 Låt u, v och w vara vektorer och låt λ och µ vara reella tal. Då gäller:
ADD 1. u + v = v + u
(Kommutativa lagen)
ADD 2. u + (v + w) = (u + v) + w
(Associativa lagen)
ADD 3. u + 0 = u
ADD 4. u + v = 0
⇐⇒
v = −u
MULT 1. 1u = u
MULT 2. λ(µu) = (λµ)u
MULT 3. (λ + µ)u = λu + µu
(Distributiv lag)
MULT 4. λ(u + v) = λu + λv
(Distributiv lag)
Bevis: Reglerna ADD 3, ADD 4, MULT 1, MULT 2 och MULT 3 följer direkt ur respektive
definitioner. Om någon av de inblandade vektorerna är 0 så blir alla räknereglerna triviala.
Vi antar därför att samtliga inblandade vektorer är 6= 0.
Nedanstående figurer torde förklara ADD 1 och ADD 2 då de angivna additionerna i respektive figur resulterar i samma vektor.
b
u
v
a
w
v
v+w
u+v
v
u
Figur 1.5: a = u + v = v + u
u
Figur 1.6: b = (u + v) + w = u + (v + w)
Figur 1.6 fungerar både i planet och rummet. I rumsfallet kan du tänka dig att u pekar ut ur
medan v pekar in i papperets plan och w ligger i det.
5
1.2. BAS OCH KOORDINATER
Återstår att visa MULT 4. Studera figur 1.7 och 1.8 nedan. Hur ser man att figur 1.8 är
felaktig?
FEL!!
λ(u + v)
u+v
λ(u + v)
u+v
λv
v
u
v
λu
u
Figur 1.7: λ(u + v) = λu + λv
λu
λv
λu + λv
Figur 1.8:
Vi skall visa det genom att utnyttja likformiga trianglar. Låt u och v respektive λu och λv
vara sidor i var sin triangel. Då u och λu respektive v och λv är parallella och
|λu|
|λ|·|u|
|u|
=
=
|λv|
|λ|·|v|
|v|
följer det att trianglarna är likformiga. Följaktligen är de återstående kantvektorerna, u + v
och λu + λv, parallella, d v s λu + λv = k(u + v). Likformigheten ger att k = λ så att
λu + λv = λ(u + v). Figur 1.8 är alltså felaktig.
Figur 1.9 illustrerar konstruktionen av differensen u − v som summan u + (−v). Differensvektorn u − v täpper till luckan mellan spetsarna på u och v. Var spetsen hamnar framgår av
figur 1.10.
−v
u + (−v)
u
u−v
−v
u = v + (u − v)
v
Figur 1.9: Konstruktion av u − v = u + (−v)
1.2
u−v
v
Figur 1.10: u − v
Bas och koordinater
Det säger sig själv att vi måste hitta på ett sätt att representera vektorer för att kunna räkna
med dem i praktiska sammanhang. Ett sätt är att välja ut ett fåtal vektorer och sedan försöka
uttrycka alla andra med hjälp av den utvalda skaran. Om u1 , u2 , u3 är de utvalda och v en
vektor,
hitta tal x1 , x2 , x3 så att v = x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 .
Ett uttryck av formen x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 kallas en linjärkombination av u1 , u2 och u3 . Vi
har härmed indirekt ställt ett antal frågor som måste besvaras:
6
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
I. Går det att uttrycka alla vektorer i planet respektive rummet som linjärkombinationer
av ett fåtal givna?
Om svaret på fråga I är ja:
II. Vad måste vi ställa för krav på de utvalda för att det skall gå?
III. Vad måste vi ställa för krav på de utvalda för att det skall gå att göra detta på precis
ett sätt?
v2 v
u2
P
v1
O
u1
Figur 1.11: v = v1 + v2 = x1 u1 + x2 u2
Vi behandlar fråga I och II samtidigt och börjar med planet. Klart är att vi måste välja minst
två vektorer som inte är parallella. Låt u1 och u2 vara två sådana icke-parallella vektorer och
låt v vara vilken som helst vektor i planet. Placera dessa tre vektorer ända mot ända i någon
punkt O i planet (se figur 1.11). Drag en linje genom spetsen på v parallell med u 2 och en
linje genom u1 , d v s genom O och parallell med u1 . Då u1 och u2 inte är parallella följer att
linjerna skär varann i en punkt P . Låt v1 vara vektorn från O till P och v2 vektorn från P
till spetsen på v. Härmed fås att v kan skrivas v = v1 + v2 där v1 är parallell med u1 och
v2 med u2 (se figur 1.11). Därmed finns, enligt definition av parallellitet, tal x1 och x2 så att
v1 = x1 u1 och v2 = x2 u2 , d v s v = x1 u1 + x2 u2 . Det räcker alltså med två icke-parallella
vektorer för att varje annan vektor i planet skall kunna skrivas som linjärkombination av
dessa.
Över till rumsfallet. Lägg två pennor på golvet och låt dessa representera två icke-parallella
vektorer i rummet. Enligt vad som visats ovan kan alla vektorer (som har representanter)
som kan läggas på golvet skrivas som linjärkombinationer av dessa två. När vi säger att en
vektor ligger i ett plan menas alltså att vektorn har en representant som kan läggas i det
aktuella planet. Vi säger därför att att två icke-parallella vektorer i rummet med gemensam
utgångspunkt spänner upp ett plan genom den gemensamma utgångspunkten.
För att på samma sätt som i det plana fallet representera en vektor i rummet, gör enligt
följande: låt u1 , u2 och u3 vara tre vektorer som inte ligger i samma plan och låt v vara
vilken som helst vektor i rummet. Placera dessa fyra vektorer ända mot ända i någon punkt
7
1.2. BAS OCH KOORDINATER
O i rummet (se figur 1.12). Drag sedan, genom spetsen på v, en linje parallell med u 3 . Denna
skär då planet som spänns upp av u1 och u2 i en punkt P . Låt v0 vara vektorn från O till P
och v3 vektorn från P till spetsen på v (se figur 1.12).
v
v3
v0
u3
P
x2 u 2
u2
O
u1
x1 u 1
Figur 1.12: v = v0 + v3 = x1 u1 + x2 u2 + x3 u3
Då v0 ligger i planet som spänns upp av u1 och u2 finns enligt tidigare resonemang tal x1
och x2 så att v0 = x1 u1 + x2 u2 . Vidare, eftersom v3 och u3 är parallella finns ett tal x3 så
att v3 = x3 u3 och följaktligen är
v = v 0 + v 3 = x 1 u1 + x 2 u2 + x 3 u3
Därmed är svaret på fråga I ja och på fråga II att det i planet räcker med två icke-parallella
vektorer och i rummet med tre som ej ligger i samma plan.
Återstår fråga III. Låt, som tidigare, u1 och u2 vara två icke-parallella vektorer i planet
och antag att vektorn v kan skrivas på två sätt som linjärkombination av u1 och u2 , d v s
v = x 1 u1 + x 2 u2 = y 1 u1 + y 2 u2
⇐⇒
(1.2.1)
(x1 − y1 )u1 + (x2 − y2 )u2 = 0 ⇐⇒ (x1 − y1 )u1 = −(x2 − y2 )u2 .
Av detta följer att x1 − y1 = x2 − y2 = 0, d v s x1 = y1 och x2 = y2 ty annars skulle u1
vara parallell med u2 vilket inte är fallet. Följaktligen, om u1 och u2 är två icke-parallella
vektorer i planet så kan varje annan vektor i planet skrivas som linjärkombination av dessa
på precis ett sätt.
8
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
I rumsfallet, låt u1 , u2 och u3 vara tre vektorer som inte ligger i samma plan och antag
att v = x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 = y1 u1 + y2 u2 + y3 u3 . Då fås
(x1 − y1 )u1 + (x2 − y2 )u2 + (x3 − y3 )u3 = 0
⇐⇒
(1.2.2)
(x1 − y1 )u1 + (x2 − y2 )u2 = −(x3 − y3 )u3 .
Även här följer att x1 − y1 = x2 − y2 = x3 − y3 = 0 ty om inte skulle u3 ligga i samma plan
som u1 och u2 .
Nästföljande definition kan verka onödig när vi just utrett precis vad som krävs för att på
ett entydigt sätt skriva vektorer som linjärkombinationer av ett fåtal givna. Anledningen är
att denna formulering passar bättre för kommande mer abstrakta situationer.
Definition 1.2.1 En ordnad uppsättning vektorer i planet (rummet) kallas en bas om varje
vektor i planet (rummet) kan skrivas som linjärkombination av de givna på precis ett sätt.
Anmärkning: Ordet “ordnad” i definitionen ovan innebär att hänsyn skall tas till den ordning i vilken vi skriver upp basvektorerna, t ex är u1 , u2 och u2 , u1 olika som baser trots att
de består av samma vektorer.
Vi har i princip också visat följande sats:
Sats 1.2.2 (a) Varje bas i planet består av två icke-parallella vektorer.
(b) Varje bas i rummet består av tre vektorer som ej ligger i samma plan.
Bevis: Den tidigare diskussionen visar att två icke-parallella vektorer i planet respektive tre
vektorer som ej ligger i samma plan är en bas för planet respektive rummet. Det återstår
endast att förtydliga att dessa är de enda alternativen. Låt u1 , u2 och u3 vara tre ickeparallella vektorer i planet. Varje vektor i planet kan förstås skrivas som linjärkombination
av dessa, det som går förlorat är entydigheten. Då u1 och u2 är icke-parallella finns tal a och
b så att u3 = au1 + bu2 ⇐⇒ au1 + bu2 − u3 = 0. Följaktligen, om v = x1 u1 + x2 u2 och t
ett tal så är även
v = x1 u1 + x2 u2 = x1 u1 + x2 u2 + t0 = x1 u1 + x2 u2 + t(au1 + bu2 − u3 ) =
= (x1 + at)u1 + (x2 + bt)u2 − tu3 ,
(1.2.3)
d v s genom att variera t kan v uttryckas på ett oändligt antal olika sätt som linjärkombination
av u1 , u2 och u3 .
Resonemanget i rumsfallet är identiskt.
Det som gör att entydigheten går förlorad då vi har “för många” vektorer är termen
t0 = t(au1 +bu2 −u3 ) som läggs till i (1.2.3) utan att summan ändras. Entydig representation
har vi därför om och endast om 0u1 + 0u2 respektive 0u1 + 0u2 + 0u3 är det enda sättet att
skriva 0 i planet respektive rummet som linjärkombination av de givna.
Definition 1.2.3 (a) Låt u1 , u2 vara en bas för planet och v = x1 u1 + x2 u2 . Då kallas
talparet x1 , x2 för v:s koordinater i basen u1 , u2 .
9
1.2. BAS OCH KOORDINATER
(b) Låt u1 , u2 , u3 vara en bas för rummet och v = x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 . Då kallas taltrippeln
x1 , x2 , x3 för v:s koordinater i basen u1 , u2 , u3 .
För att underlätta kalkylen med vektorer inför vi följande beteckningar:
u1 , u2 (, u3 ) kommer fortsättningsvis att vara en bas i planet (rummet). u = radmatrisen av
basvektorer, d v s
u = (u1 u2 ) i planet, u = (u1 u2 u3 ) i rummet.
Koordinaterskrivs
alltid som kolonnmatriser, d v s om v = x1 u1 + x2 u2 så kallas kolonnmax1
för koordinaterna till v i basen u1 , u2 . Slutligen definierar vi (i enlighet
trisen X =
x2
med definitionen av matrisprodukt som kommer senare) produkten mellan en radmatris av
vektorer och en kolonnmatris av reella tal som


x1
(u1 u2 u3 ) x2  = x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 .
x3
För att överensstämma med kommande definitioner måste radmatrisen stå till vänster om
kolonnmatrisen. Detta ger oss nu ett kompakt skrivsätt att utnyttja vid vektorkalkyl, ty om
v = x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 kan vi enligt ovan skriva


x1
v = x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 = (u1 u2 u3 )  x2  = u X.
x3
Vi kommer också att utnyttja beteckningen u som förkortning och skriva ”... basen u ...”
istället för ”... basen u1 , u2 ...”.
v
u2
4e2
u2
2u1
e2
u1
5e1
e1
Figur 1.13:
Exempel 1.2.4 Betrakta figur 1.13. Där har vi två olika baser, u1 , u2 och e1 , e2 . I figuren
ser vi att v kan skrivas
2
2
v = 2u1 + u2 = (u1 u2 )
=u
1
1
10
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
och v = 5e1 + 4e2 = (e1 e2 )
d v s v har koordinaterna
2
1
i basen u och
5
4
5
4
=e
5
4
,
i basen e.
Exempel 1.2.5 I praktiken är det förstås enklast att använda sig av basvektorer som är av
samma längd och vinkelräta mot varann, t ex som basen e i figur 1.13. Ur den är det lätt att
se att
1
3
u1 = 3e1 + e2 = e
.
och u2 = −e1 + 2e2 = e
2
1
Det är inte så lätt att se att
1
2
e1 = u 1 − u 2 = e
7
7
2/7
1/7
1
3
och e2 = u1 + u2 = e
7
7
1/7
3/7
.
Övning 1.2.6 Tag fram linjalen och mät dig fram till koordinaterna för v i figur 1.11 i den
utritade basen u1 , u2 .
Med det aktuella beteckningssystemet blir det både
enkelt
och naturligt
x1
y1
vektorer. Låt e = (e1 e2 ) vara en bas för planet, u = e
och v = e
x2
y2
λ ett reellt tal. Då gäller
x1
y1
+e
= (x1 e1 + x2 e2 ) + (y1 e1 + y2 e2 ) =
u+v =e
x2
y2
ADD 1, ADD 2,
x1 + y 1
=
= (x1 + y1 )e1 + (x2 + y2 )e2 = e
,
x2 + y 2
M U LT 3
x1
= λ(x1 e1 + x2 e2 ) = M U LT 4 = λx1 e1 + λx2 e2 = e
λu = λ e
x2
att räkna med
vektorer och
(1.2.4)
λx1
λx2
, (1.2.5)
d v s vi adderar två vektorer genom att addera deras koordinater och vi multiplicerar med tal
genom att multiplicera koordinaterna med talet. Detta gäller naturligtvis också för vektorer
i rummet.
I ljuset av (1.2.4) och (1.2.5) blir det naturligt att för kolonnmatriser definiera addition
och multiplikation med tal enligt nedan:
x1 + y 1
y1
x1
(1.2.6)
=
+
x2 + y 2
y2
x2
λx1
x1
.
(1.2.7)
=
λ
λx2
x2
Exempel 1.2.7 Vi exemplifierar genom att återanvända vektorerna i figur 1.13. Från exempel 1.2.4 och 1.2.5 har vi
2
3
1 (1.2.5)
6
1 (1.2.4)
6−1
v=u
= 2u1 + u2 = 2 e
+e
+e
=
= e
= e
1
1
2
2
2
2+2
5
=e
= 5e1 + 4e2
4
vilket är precis det som sades i exempel 1.2.4.
11
1.3. ORTSVEKTORER, PUNKTER OCH KOORDINATSYSTEM
Exempel 1.2.8 I exempel 1.2.5 tog vi fram koordinaterna för u1 och u2 i basen e1 , e2 och
omvänt. Men vad får, t ex e1 och e2 för koordinater i basen e1 , e2 ? Då varje vektor bara kan
ha en uppsättning koordinater följer det att
1
0
e1 = 1 · e 1 + 0 · e 2 = e
, e2 = 0 · e 1 + 1 · e 2 = e
,
0
1
0
1
. Detta
och e2 koordinaterna
d v s med sig själva som bas har e1 koordinaterna
1
0
gäller förståsföralla plana
d v s med sig själva som bas blir koordinaterna för den första
baser,
0
1
för den andra.
och
basvektorn
1
0
Hur blir det för en bas i rummet?
2
1
Exempel 1.2.9 I exempel 1.2.5 påstods att e1 = u1 − u2 . Vi kan nu via koordinaterna
7
7
verifiera att detta stämmer. Med u1 och u2 i koordinatform i basen e fås
MULT 2,
1
2
2
1
1
(1.2.5) 1
1
1
3
6
=
u1 − u2 = e
e
− e
− e
2
2
1
2
7
7
7
7
7
7
1
1
6 − (−1)
7 (1.2.5)
1
= e
= e
= e
= e1
2−2
0
0
7
7
MULT 4,
1.2.4, 1.2.5
=
vilket förstås överensstämmer med vad som just visades i exempel 1.2.8.
Genomför själv motsvarande kalkyl för e2 .
1.3
Ortsvektorer, punkter och koordinatsystem
Även om vi inte infört några räkneoperationer för punkter så behöver vi ett smidigt och
entydigt sätt att representera dem. Anledningen är att många geometriska problem formuleras
i termer av punkter och inte med vektorer. Problemlösaren får då själv införa lämpliga vektorer
för att lösa problemet. Ett problem med att representera punkter är att det inte finns någon
självklar nollpunkt. Vi får därför själva välja en referenspunkt. Den punkt som väljs kallas
origo och betecknas O.
Hur skall då en punkt representeras? Vi börjar med att införa ett koordinatsystem. Processen är densamma i både planet och rummet. Till detta behöver vi referenspunkten O och
en bas e. Fäst basvektorerna med ändan i origo och drag en linje genom respektive basvektor. Dessa linjer kallas koordinataxlar och graderas med längden av respektive basvektor som
längdenhet. Ett koordinatsystem bestäms alltså av referenspunkt och bas, O och e. Det i
särklass vanligaste är ett rätvinkligt koordinatsystem med samma gradering på koordinataxlarna, d v s basvektorerna är vinkelräta mot varann och lika långa.
I stället för att säga att två vektorer är vinkelräta mot varann kommer vi i fortsättningen
säga att de är ortogonala och i stället för rätvinkligt koordinatsystem säger vi ortogonalsystem.
Låt P vara en punkt i planet (eller rummet) och O, e ett koordinatsystem. Betrakta den
vektor som går från O till P , OP . Denna vektor OP kallas P :s ortsvektor. Eftersom OP är
en vektor har den koordinater i basen e och vi gör följande definition:
Definition 1.3.1 Koordinaterna för en punkt P i koordinatsystemet O, e är de samma som
koordinaterna för dess ortsvektor OP i den givna basen e.
12
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
När vi sedan räknar är det viktigt att skilja på punkt och vektor. Detta görs genom att vi
använder olika beteckningar. Vektorer skrivs antingen på formen basmatris·koordinatmatris
eller som en linjärkombination x1 e1 +... . Punkter i planet skrivs alltid som talpar och punkter
i rummet alltid som taltrippler. Så om vektorn OP i planet har koordinaterna x 1 och x2 i
basen e så har även P koordinaterna x1 och x2 men vi skriver
x1
OP = e
eller x1 e1 + x2 e2 och P = (x1 , x2 ).
x2
Sättet att skriva punkter är troligen det sätt på vilket du från tidigare studier är van att
skriva punkter i ett rätvinkligt koordinatsystem.
Exempel 1.3.2 Låt O, e vara ett rätvinkligt koordinatsystem i planet med |e1 | = |e2 | = 1.
Låt P = (2, 3) och Q = (4, 2). Bestäm kordinaterna för P Q samt avståndet mellan P och Q.
Lösning: Av figuren framgår att
OQ = OP + P Q
(1.3.1)
⇐⇒
4
2
2
−e
=e
.
P Q = OQ − OP = e
2
3
1
Pythagoras
sats
p
√ ger att avståndet är
2
2
1 + 2 = 5 = |P Q|.
Se (1.3.1) ovan som alternativa resvägar till samma mål, punkten Q; åk antingen raka spåret från
O till Q, d v s längs OQ eller först från O till P ,
sedan från P till Q. Båda vägarna ger samma
slutmål Q, d v s resulterar i samma vektor.
4
3
P =(2, 3)
OP
1
2
PQ
2
Q=(4, 2)
OQ
1
e2
O
e1 1
2
3
4
Figur 1.14:
Exempel 1.3.3 Låt O, u vara ett koordinatsystem i rummet, ej nödvändigtvis rätvinkligt.
Låt P = (2, 3, 2) och Q = (4, 2, 1). Bestäm koordinaterna för P Q samt avståndet mellan P
och Q.
Lösning: Av figuren framgår att
P =(2, 3, 2)
OQ = OP + P Q
OP
⇐⇒
 
 
 
4
2
2
P Q = OQ − OP = u  2 − u  3  = u  1  .
1
2
1
Vi kan ej beräkna avståndet mellan P och Q då vi O
inte vet hur långa basvektorerna är eller vilka vinklar
dessa bildar med varann.
PQ
Q=(4, 2, 1)
OQ
Figur 1.15:
Observera likheterna mellan exempel 1.3.2 och 1.3.3. Inte bara kalkylen är så gott som identisk. Om vi tar bort koordinataxlarna och basvektorerna ur figur 1.14 så får vi figur 1.15. Dessa
två exempel får också illustrera en användbar princip när det gäller figurer: i planet, rita alltid
figurer i så god överensstämmelse som möjligt med de aktuella koordinaterna. I rummet, bry
dig aldrig om koordinaterna när du ritar din figur. Skall du lyckas illustrera en situation i
13
1.4. SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT
rummet i enlighet med de givna koordinaterna genom att rita i planet (ritpapperets plan)
måste du vara konstnärligt lagd. Illustrera istället den geometriska situationen utan att ta
hänsyn till koordinaterna.
v
x3 e3
e3
x2 e2
e2
v0
e1
x1 e1
Figur 1.16: |v|2 = x21 |e1 |2 + x22 |e2 |2 + x23 |e3 |2
Av exempel 1.3.2 framgår att det är enkelt att beräkna längden av en vektor i planet
då basvektorerna är en längdenhet långa och ortogonala. Det blir inte direkt svårare, bara
opraktiskt, att använda ortogonala basvektorer av olika längd. Detta illustreras i figur 1.16.
Där skrivs vektorn v först som v = v0 + x3 e3 och vi kan tänka på v som hypotenusa och v0
respektive x3 e3 som kateter i en rätvinklig triangel. Pythagoras sats ger då att
|v|2 = |v0 |2 + |x3 e3 |2 = |v0 |2 + x23 |e3 |2 .
Därefter kan vi se v0 som hypotenusa och x1 e1 respektive x2 e2 som kateter i en annan
rätvinklig triangel (se figur 1.16) varvid
|v0 |2 = |x1 e1 |2 + |x2 e2 |2 = x21 |e1 |2 + x22 |e2 |2 .
Följaktligen blir
|v|2 = |v0 |2 + x23 |e3 |2 = x21 |e1 |2 + x22 |e2 |2 + x23 |e3 |2 .
1.4
Skalär- och vektorprodukt
Vi skall nu införa två nya räkneoperationer på vektorer, skalärprodukt och vektorprodukt.
De benämns produkt då de räknelagar som visar sig gälla för dem för tankarna till ”vanlig”
produkt mellan tal. Ordet skalär är synonymt med tal. Operationen skalärprodukt heter så
därför att resultatet av en skalärprodukt mellan två vektorer är just en skalär, ett tal. Namnet
14
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
vektorprodukt kommer av samma skäl då resultatet av en vektorprodukt mellan två vektorer
är en vektor.
Det finns flera anledningar till att vi inför skalärprodukten. Via skalärprodukten kan vi enkelt beskriva begrepp som ortogonalitet, vinkel (indirekt) och längd på ett beräkningsmässigt
användbart sätt och utan koppling till en specifik bas. Detta är en stor fördel när vi skall
bevisa satser och lösa konkreta problem.
Vektorprodukten är mer ett verktyg och den är endast definierad i rummet.
1.4.1
Skalärprodukt
Vad är då en skalärprodukt?
Definition 1.4.1 Låt u och v vara två nollskilda vektorer i planet eller rummet.
Skalärprodukten mellan u och v definieras som
( u| v) = |u| · |v| · cos θ
där θ är vinkeln mellan u och v. Om u = 0 eller v = 0 definieras ( u| v) som 0.
Hur vinkeln θ mellan u och v definieras framgår av figur 1.17 nedan. Härav följer att 0 ≤ θ ≤ π.
π
Av definitionen följer att om θ är trubbig, d v s < θ ≤ π så är ( u| v) < 0 ty cos θ < 0. På
2
samma sätt fås att ( u| v) > 0 om θ är spetsig. Det följer också att ( u| v) = 0 om och endast
π
om θ = eller u = 0 eller v = 0.
2
(a)
(b)
v
v
(c)
v
(u| v) = 0
( u| v) < 0
( u| v) > 0
θ
θ
u
u
u
Figur 1.17: Skalärproduktens tecken.
Notera också att
( u| u) = |u| · |u| · cos 0 = |u|2 .
2π
så är
3
2π
1
= −3.
( u| v) = 2 · 3 · cos
=2·3· −
3
2
Exempel 1.4.2 Om |u| = 2, |v| = 3 och θ =
Tanken är inte att vi skall rita och mäta för att beräkna skalärprodukter. Lite senare skall
vi se hur man kan beräkna skalärprodukten med hjälp av vektorernas koordinater. När detta är gjort ger ovanstående diskussion att skalärprodukten blir både linjal, vinkelhake och
gradskiva, allt i ett.
Vi avslutar med räknelagarna för skalärprodukt.
15
1.4. SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT
Sats 1.4.3 För alla vektorer u, v och w och skalärer λ gäller
( u| v) = ( v| u)
( u| v + w) = ( u| v) + ( u| w)
(Kommutativa lagen)
(1.4.1)
(Distributiva lagen)
(1.4.2)
( λu| v) = λ ( u| v)
( u| u) = |u|
(1.4.3)
2
(1.4.4)
( u| u) = 0 ⇐⇒ u = 0
(1.4.5)
Alla utom (1.4.2) följer direkt ur definitionen. Vi skjuter på beviset av (1.4.2) till nästa avsnitt.
1.4.2
Ortogonal projektion
Vi skall här beskriva vad skalärprodukten egentligen mäter. Detta blir också ett av de för
fortsättningen viktigaste användningsområdena för skalärprodukt, ortogonal projektion.
Låt u och v vara två vektorer. Hur stor del av v pekar i u:s riktning? Denna fråga är lite
vagt ställd och behöver preciseras. Det vi skall göra är en så kallad komposantuppdelning av
v i två ortogonala komposanter, d v s uttrycka v som
v = vku + v⊥u
där vku är parallell med u och v⊥u ortogonal mot u. Då det endast är u:s riktning som är
av betydelse för vku använder vi en enhetsvektor û med samma riktning som u. En sådan är
enkelt ordnad då den tidigare definitionen av multiplikation med tal (se definition 1.1.2 (a),
s. 3) ger
1 u = 1 |u| = 1 =⇒ û = 1 u.
|u| |u|
|u|
Att på detta sätt skapa en enhetsvektor med samma riktning som en given kallas att normera
vektorn. Symbolen ˆ ovanför en vektor kommer i fortsättningen betyda att vektorn är en
enhetsvektor.
Antag att ( v| u) > 0 (som i figur 1.17 (c)). Studera figur 1.18 nedan. Definitionen av
cosinus ger att
(1.4.6)
vku = |v| cos θ = |û| = 1 = |v| |û| cos θ = ( v| û) .
Då vku och û har samma riktning finns ett tal λ > 0 så att vku = λû (se definition 1.1.3,
s. 3). Då |û| = 1 och λ > 0 följer det att
(1.4.6)
(1.4.7)
vku = |λû| = |λ| |û| = λ = ( v| û)
så att
1
1
1 (1.4.3) 1
1 MULT 2
vku = λû = ( v| û) û = û =
u = v|
u
u =
( v| u)
u =
|u|
|u|
|u|
|u|
|u|
( v| u)
u
=
|u|2
(1.4.8)
16
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
v
v⊥u
θ
û
vku
u
Figur 1.18: Ortogonalprojektion
Övning 1.4.4 Bevisa att vku =
nedanstående:
.
( v| u)
u då ( v| u) < 0 och ( v| u) = 0. Genom att följa
|u|2
(a) Vad har cos θ för tecken?
(b) Hur ändras (1.4.6)?
(c) Hur ändras (1.4.7)?
(d) Sätt in dina resultat i (1.4.8).
Vektorn vku kallas den ortogonala projektionen av v på u.
Sats 1.4.5 (Projektionsformeln)
Den ortogonala projektionen av v på u, vku ges av
vku =
( v| u)
u.
|u|2
(1.4.9)
Anmärkning: Det kan synas märkligt att den ortogonala projektionen av v på u är parallell
med u. Det beror på att ordet ”ortogonal” inte syftar på vektorn som är resultatet av operationen utan på projektionsriktningen. Enligt Nationalencyklopedin har ordet projektion” flera
olika betydelser varav två är av intresse och citeras nedan.
projektion [-So´n] subst. ˜en ˜er
ORDLED: pro-jekt-ion-en
1. (geometrisk) återgivning i ett plan (eller på en linje) av tredimensionell (eller tvådimensionell) företeelse varvid avbildningen ger en ganska god uppfattning om förlagans utseende:
projektionsritning; projektionsyta; parallellprojektion
KONSTR.: ˜ (av ngt) (på ngt)
HIST.: sedan 1782; av lat. projectio ’framkastande’; till projicera
17
1.4. SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT
2. återgivning och förstoring av diabilder på en duk e.d., med hjälp av projektor:
projektionsduk
KONSTR.: (av ngt) (på ngt)
HIST.: sedan 1927; se projektion 1
Tänk på ortogonalprojektionen som en kombination av båda fast där projektorn inte
förstorar. Den utsänder parallella ljusstrålar och strålarna är ortogonala mot projektionslinjen (duken). Det är detta som åsyftas i ortogonal projektion. Den ortogonala projektionen
vku kan ses som skuggan av v på projektionslinjen/duken (se figur 1.19 respektive figur 1.20).
v
û
vku
Figur 1.19: Ortogonalprojektion på vektor (linje).
Figur 1.20: Ortogonalprojektion på plan.
Med ledning av projektionstanken kan vi nu bevisa distributiva lagen för skalärprodukt
18
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
((1.4.2) i sats 1.4.3, s. 15). Antag att u 6= 0 (annars är påståendet trivialt). Ur figur 1.21
ser vi att
(v + w)ku = vku + wku ⇐⇒ (v + w)ku − (vku + wku) = 0
Projektionsformeln ger då
(v + w)ku =







( v + w| u)
u
|u|2


( v| u)
( w| u)
( v| u) + ( w| u) 



vku + wku =
u
+
u
=
u
2
2
2
|u|
|u|
|u|
⇐⇒
( v + w| u)
( v| u) + ( w| u)
⇐⇒ 0 = (v + w)ku − vku + wku =
u−
u=
2
|u|
|u|2
1
(( v + w| u) − ( v| u) − ( w| u))u ⇐⇒ ( v + w| u) = ( v| u) + ( w| u)
=
|u|2
där den sista ekvivalensen följer ur definitionen av multiplikation med tal, s 3, eftersom u 6= 0.
v+w
w
v
u
vku
vku
wku
wku
(v + w)ku
Figur 1.21: Distributiva lagen för skalärprodukt
.
Exempel 1.4.6 Låt u, v och w vara tre vektorer i planet sådana att |u| = 5, |v| = 7,
2π
π
|w| = 11 och där u ⊥ v, vinkeln mellan u och w är
och vinkeln mellan v och w är .
3
6
Bestäm koordinaterna för w i basen u, v.
Lösning: Beräkna orogonalprojektionen av w på u respektive v.
19
1.4. SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT
w = wku + wkv
( w| u)
|w| |u| cos θ
wku =
u=
2 u=
|u|
|u|2
2π
11
1
= 2 11 · 5 cos u = − u
5
3
10
wkv
wkv
v
( w| v)
|w| |v| cos θ
v=
2 v =
|v|
|v|2
√
π
11 3
1
v
= 2 11 · 7 cos v =
7
6
14
wkv =
wku
u
Figur 1.22:
Följaktligen är
√
√
11
11
11 3
11
7
√
w =− u+
v = (−7u + 5 3v) = (u v)
10
14
70
70 5 3
11
7
√
i basen u, v.
d v s w har koordinaterna
50 5 3
(1.4.10)
Koordinaterna kan förstås skrivas på oändligt många olika sätt (se (1.2.7)). Här valdes att
bryta ut minsta gemensam nämnare och så många gemensamma faktorer som möjligt. Vilket
som är bäst bestäms av vad de skall användas till.
Exempel 1.4.7 Samma förutsättningar som föregående exempel men bestäm istället koordinaterna för u i basen v, w.
Lösning: Enligt (1.4.10) ovan är
√
√
√
√
5 3
10
11
70
5 3/7
v − w = (v w)
,
w = (−7u + 5 3v) ⇐⇒ 7u = 5 3v − w ⇐⇒ u =
10/11
70
11
7
11
√
5 3/7
d v s u har koordinaterna
i basen v, w.
10/11
Exempel 1.4.8 Ett välkänt resultat från triangelgeometrin är cosinus-satsen. Den säger att
om en triangel har sidlängderna a, b, c och den mot vinkeln θ stående sidan är den med längd
c så gäller
c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ.
Denna kan enkelt bevisas med hjälp av vektorräkning. Inför vektorer som figur 1.23 visar. Då
är c = |u − v| och, t ex a = |u| och b = |v|. Från räknelagarna för skalärprodukt fås
2
c = |u − v|
2 (1.4.4)
v
(1.4.2)
= ( u − v| u − v) =
= ( u| u) + ( u| −v) + ( −v| u) + ( −v| −v)
(1.4.1),(1.4.3)
=
= |u|2 + |v|2 − 2 ( u| v) = |u|2 + |v|2 − 2 |u| |v| cos θ =
= a2 + b2 − 2ab cos θ
vilket skulle visas.
|v|
|u − v|
θ
|u|
Figur 1.23:
u
u−v
20
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
Exempel 1.4.9 Avslutningsvis skall vi titta på triangelolikheten. Den säger att längden av
en sida i en triangel alltid är kortare än den sammanlagda längden av de andra två sidorna.
Att så är fallet är intuitivt självklart (raka vägen är alltid närmast) men måste likväl bevisas
inom de ramar som ställts av de definitioner som gjorts. I vektortermer är påståendet följande:
för alla vektorer u och v gäller
|u + v| ≤ |u| + |v| .
Vi kan återanvända figur 1.23 om vi där byter ut u − v mot u så att den vektor som i figuren
är u blir u + v. Observera att ( u| v) = |u| |v| cos θ ≤ |u| |v|. Då kan också kalkylen i exempel
1.4.8 återanvändas och vi får på exakt samma sätt
|u + v|2 = |u|2 + |v|2 + 2 ( u| v) ≤ |u|2 + |v|2 + 2 |u| |v| = (|u| + |v|)2 ⇐⇒
⇐⇒ |u + v| ≤ |u| + |v| .
1.4.3
Vektorprodukt
Som sades i inledningen är vektorprodukten endast definierad i rummet och resultatet av den
är en ny vektor. Det är alltså tre vektorer inblandade, de två som vi beräknar vektorprodukten
av samt den vektor som blir resultatet. Innan vi går in på definitionen av vektorprodukt måste
vi göra ytterligare en definition.
w
w
v
u
u
Figur 1.24: u, v och w är ett högersystem.
v
Figur 1.25: u, v och w är ett vänstersystem.
Definition 1.4.10 Låt u, v och w vara tre vektorer i rummet som ej ligger i samma plan.
Vi säger att u, v och w (ordningen är viktig!) är ett högersystem (positivt orienterade) om
den minsta vridning som överför u till v:s riktning ses moturs från spetsen av w. Om den
minsta vridningen sker medurs säger vi att u, v och w är ett vänstersystem.
Definitionen är enklare att förstå om vi ser på nedanstående figurer. Tänk att du står på
spetsen av w och tittar nedåt. En mer handfast illustration av ett högersystem kan du göra
själv: låt högerhandens tumme representera u och högerhandens pekfinger v. Då skall du
kunna representera w (på ett ungefär) med långfingret utan att bryta av det. Prova.
Definition 1.4.11 Låt u och v vara två icke-parallella vektorer i rummet och θ vinkeln
mellan dem. Vektorprodukten av u×v av u och v är en ny vektor sådan att
(a) u×v är ortogonal mot både u och v,
(b) |u×v| = |u|·|v|· sin θ,
(c) u, v och u×v är ett högersystem.
Om u och v är parallella definierar vi u×v = 0.
21
1.4. SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT
Då tecknet för vektorprodukt är ”×” kallas vektorprodukt också för kryssprodukt.
Vi skall nu gå igenom definitionen, punkt för punkt, och visa att det alltid finns exakt en
vektor som uppfyller kraven. Antag alltså att u och v är två icke-parallella vektorer i rummet.
Betrakta figur 1.26. I samtliga figurer nedan har vi antagit att |u| > 1. Det mörkare planet
kallas u:s normalplan och karakteriseras av att varje vektor i detta plan är ortogonal mot u.
Det ljusare planet är det som spänns upp av u och v. Vi söker nu först och främst en riktning
ortogonal mot u och v (villkor (a) i definitionen), d v s en riktning ortogonal mot det ljusare
planet i figur 1.26. En sådan finns alltid eftersom det till varje plan hör en normalriktning.
Därmed finns det två vektorer med rätt riktning som har den i villkor (b) specificerade
längden. Dels den vektor som är u×v samt den som är lika lång men motsatt riktad.
Slutligen ger villkor (c) att u×v är den vektor som visas i figur 1.26. Tittar du från spetsen
av denna vektor sker den minsta vridning som överför u i v moturs. Till varje par av vektorer
i rummet finns alltså precis en vektor som uppfyller kraven i definition 1.4.11.
u
v
−u×v
u×v
Figur 1.26: Illustration av vektorprodukt.
Sats 1.4.12 För alla vektorer u, v och w och skalärer λ gäller
u×v = −v×u
u×(v + w) = u×v + u×w
(λu)×v = λ(u×v)
(Anti-kommutativa lagen)
(1.4.11)
(Distributiva lagen)
(1.4.12)
(1.4.13)
För att bevisa dessa räknelagar behöver vi stycka upp vektorprodukten i ett antal enklare
operationer. Betrakta figur 1.27. I princip är det figur 1.26 som gjorts lite mer detaljerad.
Vi börjar med att projicera v ortogonalt i u:s normalplan. Då fås vektorn v⊥u (titta på
figur 1.18, s 16 och vrid papperet 90◦ moturs så ser du det). Vektorerna v⊥u och vku kan ses
som kateter
i en rätvinklig triangel där v är hypotenusa. Följaktligen ger definitionen av sin θ
att v⊥u = |v| sin θ. Låt w vara den vektor som fås då v⊥u vrids 90◦ moturs sett från spetsen
22
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
av u. Då en vridning inte ändrar längden av vektorn följer det att |w| = v⊥u = |v| sin θ.
Vidare, w uppfyller villkor (a) och (c) i definitionen av vektorprodukt. Det enda som återstår
är att justera längden vilket vi gör genom att multiplicera w med |u|.
u
v
vku
θ
θ
v⊥u
w
u×v
Figur 1.27: Konstruktion av u×v som projektion följt av vridning och sist sträckning.
Vi kan alltså konstruera vektorprodukten i tre steg: projektion på u:s normalplan följt av
vridning 90◦ moturs i detta plan och slutligen en sträckning faktorn |u|.
u
w
v+w
v
v⊥u
w⊥u(v + w)⊥u
Figur 1.28:
u×v
1.5. ON-BASER OCH BERÄKNING AV SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT
23
Bevis av räknelagarna för vektorprodukt: (1.4.11): Ur definitionen av vektorprodukt
tillsammans med tidigare illustrationer framgår att u×v och v×u är lika långa och parallella
Eftersom u, v, u×v och v, u, v×u är högersystem enligt definitionen av vektorprodukt
medan v, u, u×v är ett vänstersystem (se figur 1.24 och 1.25) följer det att u×v = −v×u.
(1.4.12): Betrakta figur 1.28 och tänk dig att w, och därmed också v + w, pekar ut från
planet som spänns upp av u och v. I figur 1.28 har vi gjort det första av de tre stegen
(ortogonalprojektionen) på de inblandade vektorerna v, w och v + w. Byt sedan utsiktspunkt
och tänk dig att du ser på figuren från toppen av u. Då ser du den mindre triangeln till höger
i figur 1.29. I figuren antas |u| > 1. Därefter gör vi vridningen 90◦ moturs och får den mindre
av de två likformiga trianglarna. Därefter görs sträckningen med faktorn |u| och vi får den
större av de två likformiga trianglarna. (se också figur 1.7). Hur hade figur 1.29 sett ut om
|u| < 1?
u×v
u×w
u×(v + w)
(v + w)⊥u
w⊥u
v⊥u
Figur 1.29:
(1.4.13): Rita först själv en kopia av figur 1.27 och rita in λ(u×v) för något λ > 0. Rita
sedan in λu och gå igenom de tre stegen för konstruktion av (λu)×v. Vilket λ > 0 som
valts spelar ingen roll för de första två stegen, projektionen och vridningen, där får du samma
vektor w som i den ursprungliga figuren, 1.27. Endast det sista steget, sträckningen, påverkas.
Då det för λ > 0 gäller att |λu| = λ |u| följer det att w skall sträckas med denna faktor för
att (λu)×v skall erhållas. Om vi först sträcker w faktorn |u| och sedan faktorn λ fås först
u×v och därefter λ(u×v). Totalt sett har w sträckts med samma faktor i båda fallen varför
(λu)×v = λ(u×v).
Om λ < 0 blir u och λu motsatt riktade. Projektionen blir densamma men vridningen
går åt motsatt håll. De vektorer vi får efter vridning och projektion blir därför motsatt
riktade (se figur 1.26) men fortfarande lika långa. Påståendet följer då det för λ < 0 gäller att
|λu| = −λ |u|.
1.5
ON-baser och beräkning av skalär- och vektorprodukt
I några av de tidigare exemplen såg vi att det var förhållandevis enkelt att bestämma koordinaterna för en vektor med avseende på en bas där basvektorerna var lika långa och parvis
ortogonala. Även längden av en vektor blev lätt att beräkna utifrån koordinaterna i en sådan
bas. För att befästa dessa egenskaper gör vi följande definition.
Definition 1.5.1 En bas i planet/rummet kallas OrtoNormerad (ON) om
24
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
(a) basvektorerna är parvis ortogonala,
(Orto)
(b) basvektorerna är enhetsvektorer, d v s har längd 1.
(Normerad )
I fortsättningen kommer vi, om inget annat sägs, att använda oss av en ON-bas som också
är ett högersystem. För planet innbär detta att om första basvektorn pekar som timvisaren
klockan 3 så pekar den andra som timvisaren klockan 12, d v s koordinatsystemet O, e 1 , e2
blir det som du är van vid.
Vi skall nu demonstrera hur skalärprodukten kan beräknas med hjälp av vektorernas
koordinater i en ON-bas e. Vi börjar med planet. Då e1 , e2 är en ON-bas gäller
|e1 |2 = ( e1 | e1 ) = 1,
|e2 |2 = ( e2 | e2 ) = 1,
( e 1 | e2 ) = 0
x1
y1
Låt u = e
och v = e
. Då gäller att
x2
y2
(1.4.2),(1.4.3)
x1 y1
( u| v) = e
e
= ( x 1 e 1 + x 2 e 2 | y1 e 1 + y 2 e 2 )
=
x2
y2
= x1 y1 ( e1 | e1 ) +x1 y2 ( e1 | e2 ) +
| {z }
| {z }
=1
(1.5.1)
=0
+ x2 y1 ( e2 | e1 ) +x2 y2 ( e2 | e2 ) = x1 y1 + x2 y2 .
| {z }
| {z }
=0
=1
I rumsfallet blir kalkylen densamma sånär som på att vi får fler termer. Då e1 , e2 , e3 är en
ON-bas gäller
|e1 |2 = ( e1 | e1 ) = 1,
|e2 |2 = ( e2 | e2 ) = 1,
|e3 |2 = ( e3 | e3 ) = 1,
( e 1 | e2 ) = ( e 1 | e3 ) = ( e 2 | e3 ) = 0


x1
y1
Låt u = e  x2  och v = e  y2 . Då gäller att
x3
y3
 
 

x1 y1
( u| v) =  e  x2  e  y2  = ( x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 | y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) =
x3 y3


= x1 y1 ( e1 | e1 ) +x1 y2 ( e1 | e2 ) +x1 y3 ( e1 | e3 ) +
| {z }
| {z }
| {z }
=1
=0
=0
+ x2 y1 ( e2 | e1 ) +x2 y2 ( e2 | e2 ) +x2 y3 ( e2 | e3 ) +
| {z }
| {z }
| {z }
=0
=1
(1.5.2)
=0
+ x3 y1 ( e3 | e1 ) +x3 y2 ( e3 | e2 ) +x3 y3 ( e3 | e3 ) =
| {z }
| {z }
| {z }
=0
=0
=1
= x 1 y1 + x 2 y2 + x 3 y3 .
För att få en bild av hur vi räknar ut skalärprodukten kan vi sammanfatta (1.5.1) och (1.5.2)
som
 

 
x 1 y1 +
x1 y1
x1 y1
x 1 y1 +
 e  x2  e  y2  = + x2 y2 +
e
=
e
respektive
x2 y2
+ x 2 y2
+ x 3 y3 .
x3 y3
1.5. ON-BASER OCH BERÄKNING AV SKALÄR- OCH VEKTORPRODUKT
25


 
1
2



Exempel 1.5.2 Låt u = e 2 och v = e 1 . Vi skall räkna ut vinkeln mellan u och v
1
1
genom att beräkna ( u| v) på två sätt, dels via koordinaterna och dels direkt via definitionen.
På detta sätt får vi en ekvation för cos θ. Först beräknar vi längden av u respektive v.
   

1 −1
√
|u|2 = ( u| u) =  e  2  e  −2  = (−1)2 + (−2)2 + 12 = 6 ⇐⇒ |u| = 6,
1 1
    
2 2
√
|v|2 = ( v| v) =  e  1  e  1  = 22 + 12 + 12 = 6 ⇐⇒ |v| = 6,
1 1
√ √

|u| · |v| · cos θ = 6 6 cos θ = 6 cos θ



     
−3
1
1 2
( u| v) =
⇐⇒ cos θ =
=− ,

6
2
  e  2  e  1  = (−1)·2 + (−2)·1 + 1·1 = −3


1
1
dvs θ =
2π
eftersom 0 ≤ θ ≤ π.
3
Kravet att ON-basen är ett högersystem spelar ingen roll för beräkning av skalärprodukten. Vad gäller vektorprodukten är det väsentligt att vi vet att vi har ett högersystem. Vi
börjar med att undersöka vektorprodukterna mellan basvektorerna. Från definitionen av vektorprodukt och det faktum att e1 , e2 , e3 är en höger ON-bas följer det att e1 ×e2 = e3 . Håll
med vänsterhanden tre pennor som ett ungefärligt ON-system. Använd sedan högerhandsregeln (tumme × pek = lång) för att illustrera de andra vektorprodukterna mellan basvektorerna så inser du att e2 ×e3 = e1 och att e3 ×e1 = e2 . Vad gäller vinklar så är moturs = positiv
riktning och nedanstående figur är användbar för att komma ihåg dessa samband. Figuren
håller också reda på vad som händer om vi går medurs, d v s i negativ riktning. Exempelvis är
(1.4.11)
e2 ×e1 = −e1 ×e2 = −e3 . Sammanfattningsvis har vi följande vad gäller vektorprodukter
mellan basvektorerna i en högerorienterad ON-bas:
e1
=⇒
e2
e3
 Moturs
 e1 × e 2 = e 3 ,
e2 × e 3 = e 1 ,

e3 × e 1 = e 2 ,
Medurs
e2 × e1 = −e3
e3 × e2 = −e1
e1 × e3 = −e2
e1 × e 1 = e 2 × e 2 = e 3 × e 3 = 0
Vi kan nu göra precis som för skalärprodukten (jämför (1.5.2))




x1
y1
u × v = e  x2  × e  y2  = (x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ) × (y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) =
x3
y3
= x1 y1 (e1 × e1 ) +x1 y2 (e1 × e2 ) +x1 y3 (e1 × e3 ) +
| {z }
| {z }
| {z }
=0
=e3
=−e2
26
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
+ x2 y1 (e2 × e1 ) +x2 y2 (e2 × e2 ) +x2 y3 (e2 × e3 ) +
| {z }
| {z }
| {z }
=−e3
=0
=e1
+ x3 y1 (e3 × e1 ) +x3 y2 (e3 × e2 ) +x3 y3 (e3 × e3 ) =
| {z }
| {z }
| {z }
=e2
=−e1
=0


x 2 y3 − x 3 y2
= (x2 y3 − x3 y2 )e1 + (x3 y1 − x1 y3 )e2 + (x1 y2 − x2 y1 )e3 = e  x3 y1 − x1 y3 
x 1 y2 − x 2 y1
Denna formel är lite väl komplicerad för att försöka lära sig utantill. Här behövs en minnesregel för att komma ihåg strukturen. Nedan illustreras en (av många), se (1.5.3): skriv upp
vektorerna på koordinatform, skriv 1:a och 2:a koordinaten under respektive koordinatmatris,
börja på mitten och betrakta det första korsande pilparet, multiplicera ihop elementen som
förbinds av pilen riktad snett nedåt höger, gör detsamma med elementen som förbinds av
pilen riktad snett uppåt höger, beräkna skillnaden mellan dessa produkter (tänk att pilen
snett uppåt höger ger ett minustecken) och vi har fått första koordinaten i vektorprodukten.
Gör likadant med de andra två pilparen.



x1
e  x2  × e 
x3
x1
x2



x2 y3 − x 3 y2
y1
y2  = e  x3 y1 − x 1 y3 
x1 y2 − x 2 y1
y3
y1
y2
(1.5.3)


 
1
4



Exempel 1.5.3 Låt u = e 2
och v = e 5 . För att illustrera några av de grund3
6
läggande egenskaperna hos skalär- och vektorprodukten samt hur vektorprodukten beräknas
skall vi först räkna ut u×v och sedan via skalärprodukterna visa att u×v är ortogonal mot
u och v.
 
 


 
1
4
2·6 − 3·5
3
u×v = e  2  × e  5  = e  3·4 − 1·6  = e  6 ,
3
6
1·5 − 2·4
3
1
4
2
5
    
1 3
( u| u×v) =  e  2  e  6  = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = −3 + 12 − 9 = 0,
3 3
    
4 3
( v| u×v) =  e  5  e  6  = 4·(−3) + 5·6 + 6·(−3) = −12 + 30 − 18 = 0.
6 3
Då bägge skalärprodukterna är 0 följer det att u×v ⊥ u, v.
Exempel 1.5.4 Vi fortsätter med samma vektorer som i exempel 1.5.3 och verifierar att
u×v har den längd som anges i definitionen. Vinkeln θ mellan u och v går i detta fall ej
att ange exakt. Det behövs heller inte, det räcker att vi kan bestämma sin θ. Vi gör som i
27
1.6. AREA OCH VOLYM
exempel 1.5.2 och beräknar cos θ. Då 0 ≤ θ ≤ π kan vi sedan med hjälp av trigonometriska
ettan beräkna sin θ. Allra först räknar vi ut längden av u, v respektive u×v.
    
1 1
√
2
|u| = ( u| u) =  e  2  e  2  = 12 + 22 + 32 = 14 ⇐⇒ |u| = 14,
3 3
    
4 4
√
2
|v| = ( v| v) =  e  5  e  5  = 42 + 52 + 62 = 77 ⇐⇒ |v| = 77,
6 6
    
3 3
2
|u×v| = ( u×v| u×v) =  e  6  e  6  = (−3)2 + 62 + (−3)2 = 54 = 9·6 ⇐⇒
3 3
√
(1.5.4)
⇐⇒ |u×v| = 3 6,
√
√ √

|u| · |v| · cos θ = 14 77 cos θ = 7 22 cos θ



     
32
1 4
⇐⇒ cos θ = √ .
( u| v) =

 e  2  e  5  = 4 + 10 + 18 = 32
7 22



3
6
r
r
r
p
3 3
54
322
2
=
=
vilket ger
Då 0 ≤ θ ≤ π är 0 ≤ sin θ = 1 − cos θ = 1 − 2
7 ·22
72 ·22
7 11
r
r
r
√
√
√
√
22 · 3
3 3
3 3
|u×v| = |u| · |v| · sin θ = 14 · 77 ·
= 7 22 ·
=3
=3 6
7 11
7 11
11
vilket var precis vad vi räknade fram i (1.5.4).
1.6
Area och volym
Via vektor- och skalärprodukt får vi enkla metoder att räkna ut arean av parallellogrammer,
trianglar och parallellepipeder. På köpet får vi också ett enkelt kriterium för att avgöra om
tre givna vektorer i rummet är ett högersystem.
Studera figur 1.30. Där har vi en parallellov
gram med kantvektorer u, v och höjd h. Från
definitionen av sin θ följer det att h = |v| sin θ.
|v|
Arean av en parallellogram är bas·höjd och bah
sen är i detta fall |u|. Därav följer det att arean
θ
A av parallellogrammen blir
A = |u| · |v| sin θ = |u×v| .
|u|
u
Figur 1.30:
Trots att vektorprodukten endast är definierad
i
rummet går det att använda detta även i planet. Vi kan ju flytta över problemet till rummet
genom att lägga till en tredje koordinat som sätts till 0.
Exempel 1.6.1 Vi skall beräkna arean av den parallellogram som har hörn i origo, (7, 0),
(9, 4) och (2, 4). Figur 1.30 stämmer väl överens. Från koordinaterna ser vi att basen är 7 och
28
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
höjden 4 så arean är 28. Vi skall visa att detta är vad som fås då vi använder kryssprodukten.
Vi lyfter över problemet till rummet. Hörnen får då koordinater (0, 0, 0), (7, 0, 0), (9, 4, 0) och
(2, 4, 0) så att
 
 
 
 


7
2
7
2
0
u = e  0 , v = e  4  =⇒ u×v = e  0  × e  4  = e  0 ,
0
0
0
0
7·4
7
2
0
4


0 
0  = 28.
d v s |u×v| = e
28 En parallellepiped är en kropp uppbyggd av tre parvis lika parallellogrammer, se figur 1.31.
Välj och namnge kantvektorer enligt figur 1.31. Som det är gjort i figuren är u, v, w ett
högersystem.
w
u×v
α
α
h
v
u
Figur 1.31:
Volymen av en parallellepiped ges av basyta · höjd. Ur den tidigare diskussionen följer att
basytan = |u×v| och ur definitionen av cosinus följer att höjden h = |w| cos α. Följaktligen
fås volymen som
V = |u×v| · |w| cos α = ( u×v| w) .
Härledningen ovan är starkt beroende av att vi vet att u, v, w är ett högersystem. Givet tre
vektorer så är det inte så lätt att se hur de skall ordnas för att bli ett högersystem. För att
se hur härledningen påverkas, byt plats på u och v i figur 1.31. Då skulle u×v få motsatt
riktning och vinkeln α mellan u×v och w skulle bli trubbig och därmed cos α < 0. |cos α| är
dock fortfarande detsamma så att
V = |( u×v| w)| .
(1.6.1)
Ur ovanstående resonemang får vi det kriterium som nämndes i inledningen:
Sats 1.6.2 Om u, v, w är tre vektorer som ej ligger i samma plan så gäller:
( u×v| w) > 0
( u×v| w) < 0
⇐⇒
⇐⇒
u, v, w
är ett högersystem
u, v, w
är ett vänstersystem
Exempel 1.6.3 (a) Beräkna arean av den parallellogram som har ett hörn i (1, −1, 1) och
de två närliggande hörnen i (2, 1, 3) och (4, 2, 3).
29
1.7. LINJER OCH PLAN
(b) Beräkna volymen av en parallellepiped som har parallellogrammen i (a) som en sidoyta
och ett av de andra hörnen i (3, −2, 1).
Lösning:
(a) Sätt P1 = (1, −1, 1), P2 = (2, 1, 3) och P3 = (3, −2, 1). Då fås

 
 
2
1
1
P1 P 2 = OP 2 − OP 1 = e  1  − e  1  = e  2 ,
3
2
1
 
 
 
4
1
3
P1 P 3 = OP 3 − OP 1 = e  2  − e  1  = e  3 
3
1
2
 
 
 
1
3
2
P1 P 2 × P1 P 3 = e  2  × e  3  = e  4  =⇒
2
2
3
1
3
2
3
√
p
=⇒ A = P1 P 2 × P1 P 3 = (−2)2 + 42 + (−3)2 = 29

(b) Flera olika parallellepipeder passar in i förutsättningarna. Även om de är olika så har de
alla samma volym. För att se detta, välj w i figur 1.31 som rymddiagonalen eller en av
sidoytediagonalerna (dock ej basytans diagonal) istället för den återstående kantvektorn.
Vinkeln α ändras men höjden är oförändrad, d v s |w| sin α blir samma tal oavsett vilken
av de nämnda vektorerna som tas som w. Sätt P4 = (3, −2, 1). Vi får

 

3
1
2
P1 P 4 = OP 4 − OP 1 = e  2  − e  1  = e  1
1
1
0
   
2 =⇒ V = P1 P 2 × P1 P 3 P1 P 4 =  e  4  e 
3 
1.7
Linjer och plan

 =⇒

2
1  = |−4 − 4| = 8
0
Så gott som alla människor i vårt land vet vad en rät linje är. De allra flesta vet också
vad en plan yta är. Den matematiska beskrivningen av en linje eller ett plan skiljer sig inte
nämnvärt från den vardagliga. Man brukar dock slopa ordet ”rät” i samband med linjer. Hur
ser en linje ut som inte är rät? Vi skall här ägna oss åt att matematiskt beskriva linjer i planet
och rummet samt plan i rummet. Vi börjar med linjer och det som är gemensamt för linjer i
både planet och rummet.
1.7.1
Linjer
Vad behöver vi veta för att en linje skall vara entydigt bestämd?
Givet två punkter i planet eller rummet så finns en och endast en linje som går genom dessa
punkter. Det blir dock inte så enkelt att hitta andra punkter på linjen om vi bara beskriver
30
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
linjen via dessa två punkter. Däremot ger vektorn mellan dessa två punkter en riktning
som linjen följer. För att veta vilken linje som avses räcker det inte med bara riktningen,
vi måste också känna till en punkt på linjen. Annars får vi en hel skara av parallella linjer.
Följaktligen, givet en punkt på linjen och en vektor som beskriver vilken riktning linjen följer,
linjens riktningsvektor, så finns en och endast en linje som går genom den givna punkten och
följer den givna riktningen. Detta skall vi nu utnyttja till att, via vektorräkning, beskriva
ortsvektorn för en punkt på linjen.
L
P
tv
P0
OP = OP 0 + tv
v
OP 0
O
Figur 1.32:
Studera figur 1.32. Låt P0 vara den kända punkten på linjen och v linjens riktningsvektor. Vi
tänker oss att vi står i origo och vi skall ta oss till en punkt P på linjen. Om vi först går till
punkten P0 kan vi sedan fortsätta längs linjen till P . Då P0 P och v är parallella finns ett tal
t ∈ R så att P0 P = tv. Vad vi gjort kan på vektorform beskrivas som att en punkt P tillhör
linjen om dess ortsvektor OP = OP 0 + tv för något reellt tal t. Talet t kallas parameter.
4v
L
2v
3
− v
2
OP 0 + 4v
OP 0 + 2v
P0
v
OP 0
3
OP 0 − v
2
O
Figur 1.33: Ortsvektorer för punkter på linjen då t = −3/2, 0, 2, 4.
31
1.7. LINJER OCH PLAN
När koordinaterna för P0 och v är kända skriver vi
L: e
x
y
=e
x0
y0
+ te
a
b
respektive



 

x
x0
a





= e y0
e y
+ te b 
z
c
z0
i planet respektive rummet. Detta sätt att skriva linjen kallas parameterform alternativt vektorform. I figur 1.33 illustreras ovanstående genom insättning av några konkreta t-värden.
Observera att riktningsvektorns längd saknar betydelse. Vill man gå långt med en kort riktningsvektor är det bara att ta ett stort t-värde. Vilken startpunkt som används spelar heller
ingen roll, det enda som betyder något är att den ligger på linjen.
Exempel 1.7.1 Linjen L går genom punkterna (10, −4, 26) och (4, −1, 5). Ange en ekvation
på parameterform för L.
Lösning: Sätt P1 = (10, −4, 26) och P2 = (4, −1, 5). Då är linjens riktningsvektor v k P1 P 2 .
 




 
6
4
10
2







3 = −3 e 1 
4 =e
P1 P 2 = OP 2 − OP 1 = e 1 − e
5
26
21
7
Det spelar ingen roll vilken av P1 och P2 vi tar som startpunkt ej heller längden av riktnings1
vektorn. Vi väljer P2 som startpunkt och v = − P1 P 2 . Då kan linjen skrivas
3
 
 
 
x
4
2





L: e y
= e 1 +t e 1  .
(1.7.1)
z
5
7
Insättning av t = −1 ger att punkten (2, 0, −2) ligger på linjen och vi kan, om vi vill, välja den
som utgångspunkt. En praktisk tumregel är att alltid välja riktningsvektor och startpunkt så
att deras koordinater är så små heltal (om möjligt) som möjligt.
Exempel 1.7.2 Låt L vara linjen i exempel 1.7.1. Bestäm den punkt Q på L som ligger
närmast P = (2, −1, 21) samt avståndet mellan P och Q.
Lösning: Figur 1.34 beskriver situationen. Vi ser där att Q måste vara sådan att QP ⊥ v.
Detta följer av att triangeln med hörn i P0 , Q och P är rätvinklig, sidan med hörn i Q och
P är en katet medan sidan med hörn i P0 och P är hypotenusa och hypotenusan är alltid
längre än en katet. Samma sak gäller
om vi byter ut P0 mot vilken som helst annan punkt
på linjen. Följaktligen är QP = P0 P⊥v det sökta avståndet och OQ = OP 0 + P0 P kv men
också OP − P0 P⊥v, välj själv vilken du använder. Observera också att vi inte behöver räkna
ut Q för att bestämma avståndet.
Låt P0 = (2, 0, −2). Då fås


 


2
2
0
P0 P = OP − OP 0 = e  1  − e  0  = e  1  =⇒
21
2
23






 
 
 
0 2
2
2
2
P0 P v
162
1  
 e  1  e  1  =
 1  = 3e 1 .
1
=⇒ P0 P kv =
e
e
v
=
54
54
|v|2
23 7
7
7
7
32
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
P
P0 P
P0 P⊥v
OP
L
P0 P kv
Q
OQ = OP 0 + P0 P kv
= OP − P0 P⊥v
P0
v
OP 0
O
Figur 1.34:
Därmed kan vi bestämma Q och avståndet till linjen:

 
 

2
2
8
OQ = OP 0 + P0 P kv = e  0  +3 e  1  = e  1  ⇐⇒ Q = (8, −1, 19),
2
7
19

 
 

0
2
6
P0 P = P0 P kv + P0 P⊥v ⇐⇒ P0 P⊥v = P0 P − P0 P kv = e  1 −3 e  1  = e  2  =⇒
23
7
2
   
6 3 √
=⇒ Avståndet = P0 P⊥v = e  2  = 2 e  1  = 2 11.
2 1 Som kontroll räknar vi ut


 


2
6
8
OP − P0 P⊥v = e  1  − e  2  = e  1  = OQ.
21
2
19
1.7.2
Linjer i planet
I planet finns det flera användbara sätt att beskriva en linje utöver den ovan beskrivna
parameterformen. Det som du troligen är mest van vid är via linjens riktningskoefficient.
Beskrivningen får då formen y = kx + m där k är riktningskoefficienten och m är y-värdet
för linjens skärningspunkt med y-axeln. På detta sätt kan alla linjer i planet, utom lodräta,
33
1.7. LINJER OCH PLAN
beskrivas. Vi kan enkelt byta från denna form till parameterform genom att sätta in ett
godtyckligt värde x = t. Vi får då
x
t
0
1
x=t
=e
=e
+ te
.
(1.7.2)
⇐⇒ e
y
kt + m
m
k
y = kx + m
Exempel 1.7.3 Vi kan nu via parameterformen hitta ett enkelt kriterium för att på riktningskoefficienterna se om två linjer är ortogonala. Låt L1 och L2 vara två linjer
i planet
1
med riktningskoefficient k1 respektive k2 . Från (1.7.2) ovan fås då att v1 = e
och
k1
1
v2 = e
är riktningsvektorer till L1 respektive L2 . Om L1 ⊥ L2 så gäller förstås att
k2
v1 ⊥ v 2 , d v s
1 1
0 = ( v 1 | v2 ) = e
= 1 + k1 k2 ⇐⇒ k1 k2 = −1.
e
k1 k2
En annan egenskap som vi kan utnyttja är att, bortsett från längden och i vilken ända vi
sätter spetsen, så finns till varje linje i planet en vektor ortogonal mot linjen, en normalvektor.
Inför beteckningar enligt figur 1.35. Då n ⊥ P0 P fås
A x − x0
e
0 = n| P0 P = e
= A(x − x0 ) + B(y − y0 ) =
B y − y0
= Ax + By − (Ax0 + By0 ) ⇐⇒ Ax + By = D.
{z
}
|
D
Detta sätt att beskriva linjen kallas linjens ekvation på normalform eftersom vi kan avläsa
linjens normalvektor ur ekvationens vänsterled.
n=e
A
B
P0 P = e
P0
OP 0 = e
x0
y0
x x0
y y0
OP = e
L
x
y
O
Figur 1.35:
Exempel 1.7.4 Bestäm ekvationen för linjen L genom punkterna (5, 3) och (−2, 7) på parameter-, riktningskoefficient- och normalform. Ange ocks en normalvektor till L.
34
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
Lösning: Sätt P = (5, 3) och Q = (−2, 7). Vi börjar med parameterformen.
P Q = OQ − OP = e
2
7
−e
5
3
=e
7
4
=⇒ L: e
x
y
=e
5
3
+ te
7
4
.
För att komma till riktningskoefficient- och normalform från parameterformen löser vi ut
t-värdet ur x respektive y.
y−3
5−x
x = 5 − 7t
⇐⇒ t =
=
⇐⇒ 20 − 4x = 7y − 21 ⇐⇒
y = 3 + 4t
7
4
41
4
⇐⇒ 4x + 7y = 41 ⇐⇒
y =− x+
.
|
{z
}
7
7}
|
{z
normalform
riktningskoefficientform
4
är en normalvektor till L. Detta kan man se
Ur normalformen ovan ser vi att n = e
7
redan ur parameterformen. Det enda kravet på n är ju att n ⊥ v = L:s riktningsvektor, d v s
( n| v) = 0.
Exempel 1.7.5 Låt L vara linjen i exempel 1.7.4 ovan. Bestäm den punkt på L som ligger
närmast punkten (2, 1). Ange också avståndet mellan (2, 1) och L.
Lösning: Frågeställningen är identisk med exempel 1.7.2 och kan lösas på exakt samma sätt.
Då vi nu är i planet finns en annan lösningsgång som vi nu skall följa. Den bygger på att en
linje L i planet har en normalriktning. Därmed kan vi också bestämma en linje genom vilken
som helst annan punkt och som är ortogonal mot L. En sådan linje kallas en normal till L.
Studera figur 1.36. Vi bestämmer först L:s normal N genom (2, 1). Normalvektorn beräknades i föregående exempel och vi får
N: e
x
y
=e
2
1
+ te
4
7
.
(1.7.3)
Skärningspunkten Q mellan L och N är den punkt på L som ligger närmast (2, 1). Då Q
ligger på N kan OQ skrivas på formen (1.7.3) för något t. Då Q också ligger på L kan vi
beräkna t genom insättning i L:s normalform. Vi får
4x + 7y = 4(2 + 4t) + 7(1 + 7t) = 15 + 65t = 41 ⇐⇒ t =
Insättning av t =
26
2
= .
65
5
2
i (1.7.3) ger
5
OQ = e
2
1
2
+ e
5
4
7
1
=
5
1
10
8
18
e
+e
= e
,
5
14
19
5
2 2p
2√
d v s Q = (18/5, 19/5). Slutligen, fås att avståndet är n =
42 + 72 =
65.
5
5
5
35
1.7. LINJER OCH PLAN
y
n
L
(2, 1)
x
N
Figur 1.36:
1.7.3
Plan
Vad behöver vi veta för att ett plan skall vara entydigt bestämt?
För en linje räcker det med två punkter. Om vi tar ytterligare en punkt som ej ligger på
linjen genom de två första så finns ett entydigt bestämt plan som går genom de tre punkterna.
Ett mera handfast argument får du på följande sätt: spreta med tumme, pek- och långfinger.
Då kan du enkelt balansera en bok med hårda pärmar på de tre fingertopparna.
Precis som för en linje så får vi svårt att hitta fler punkter i planet om bara tre nödvändiga
punkter är givna. Vi skall här ge två sätt att beskriva plan, parameterform och normalform.
Bägge visar självfallet upp stora likheter med motsvarande beskrivning av en linje.
Vi börjar med parameterformen. Låt P0 , P1 och P2 vara tre punkter i rummet som ej
ligger i linje. Dessa definierar då ett plan Π. Låt u och v vara vektorer sådana att u k P 0 P 1
och v k P0 P 2 . Precis som i fallet med linjens riktningsvektor är längden av u respektive v
ointressant. Låt P vara en godtycklig punkt i planet. Då gäller att P0 P ligger i planet. Om
vi för ett ögonblick begränsar oss till planet Π och glömmer allt utanför detta så kan vi se u
och v som en bas för planet (se sid 5 ff). Då kan P0 P skrivas som en linjärkombination av u
och v, d v s det finns reella tal s, t så att P0 P = su + tv, se figur 1.37. Med hjälp av detta kan
vi skriva ortsvektorn för vilken som helst punkt P ∈ Π på formen
OP
=
OP0
+
su
+
tv







x
x0
a1
a2
e  y  = e  y0  + s e  b1  + t e  b2 .
z0
c1
c2
z

Följaktligen, vet vi en punkt och två vektorer i planet så är planet entydigt bestämt av dessa.
36
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
P0 P
v
OP 0
OP
u
tv
su
Π
O
Figur 1.37:
Till varje linje i planet hör en normalriktning. På samma sätt kan vi koppla en normalriktning till ett plan i rummet. Vi har redan utnyttjat detta vid beskrivningen av vektorprodukten
(se sid 20 ff). En vardaglig illustration fås genom att, t ex en penna med platt ända kan fås
att stå på en bordsyta. Då denna penna kan fås att stå på andra bord med annan höjd inses
att man måste känna till även en punkt i planet för att ”låsa fast” dess läge i rummet.

x − x0
P0 P = e  y − y 0 
z − z0


A
n = e B 
C

OP
OP 0
Π
O
Figur 1.38:
Låt Π vara ett plan med normalvektor n och som innehåller punkten P0 = (x0 , y0 , z0 ).
Låt P = (x, y, z) vara en godtycklig punkt i Π och studera figur 1.38. Då P 0 P ⊥ n fås

   
A x − x0
0 = n| P0 P =  e  B  e  y − y0  = A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) =
C z − z0
= Ax + By + Cz − (Ax0 + By0 + Cz0 ) ⇐⇒ Ax + By + Cz = D.
{z
}
|
D
Detta sätt att representera planet kallas planets ekvation på normalform. Observera att
härledningen ovan är identisk med härledningen av normalformen för en linje i planet, sånär
som på att vi här har en komponent till i vektorerna. Det beror på att det är samma geometriska egenskap som ligger till grund för båda fallen. Nämligen, det finns en normalriktning till
en linje i planet respektive ett plan i rummet.
37
1.7. LINJER OCH PLAN
Exempel 1.7.6 Ange ekvationen för planet Π genom punkterna (1, −1, 1), (4, 2, 4) och
(−1, 3, −3) på parameterform respektive normalform.
Lösning: Sätt P0 = (1, −1, 1), P1 = (4, 2, 4) och P2 = (−1, 3, −3). Då fås


 
 
 
4
1
3
1
P0 P 1 = e  2  − e  1  = e  3  = 3 e  1 
4
1
3
1


 
 
 
1
1
2
1







P0 P 2 = e 3 − e 1 = e 4 = −2 e 2  .
1
2
3
4
1
1
P0 P 1 och v = − P0 P 2 så får vi parameterformen
3
2
 
 
 
 
x
1
1
1
Π: e  y  = e  1  +s e  1  + t e  2 , s, t ∈ R.
1
2
z
1
Om vi väljer u =
(1.7.4)
För att komma till normalformen utnyttjar vi u och v ovan. Det är klart att normalriktningen
är ortogonal mot dessa och därmed kan vi välja en normalvektor n k u×v.

 
 
 
1
1
4
4







u×v = e 1 × e 2 = e 1 = − e 1 
2
3
3
1

och vi väljer i detta fall n = −u×v. Därmed har vi vänsterledet i ekvationen på normalform
klart, −4x+y+3z = D och det återstår endast att bestämma D. Då de givna punkterna ligger
i planet skall deras koordinater uppfylla planets ekvation. Insättning av, t ex P0 = (1, −1, 1)
ger −4·1 + (−1) + 3·1 = −2 = D. Π:s ekvation på normalform blir alltså
−4x + y + 3z = −2.
(1.7.5)
Kontrollera själv att P1 och P2 uppfyller (1.7.5).
Normal- och parameterform är olika till sin karaktär och har därmed olika användningsområden. Med normalformen kontrollerar man om en punkt tillhör planet medan man med
parameterformen genererar en punkt i planet.
Att byta representation från parameter- till normalform och tvärtom görs på samma
sätt som för linjer. Det kan dock i början upplevas som lite mer komplicerat då man måste
eliminera respektive införa två parameterar. Vi utgår från planet i exempel 1.7.6. Låt (x, y, z)
vara en punkt i planet och sök de motsvarande värdena på parametrarna s och t i (1.7.4). Då
fås ett lösbart ekvationssystem (olösbart om (x, y, z) är en punkt som inte ligger i planet). Vi
får



x−1
 x = 1 + s + t (a)  s + t = x − 1 (b)  s + t =
(c)
s − 2t = y + 1 ⇐⇒
− 3t = −x + y + 2 ⇐⇒
y = −1 + s − 2t ⇐⇒



z = 1 + s + 2t
s + 2t = z − 1
t=
z−x
38
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET

2x − z − 1
s =
0 = −4x + y + 3z + 2 ,
⇐⇒

t=
z−x
d v s ekvationssystemet är lösbart omm −4x + y + 3z = −2 vilket är precis normalformen
(1.7.5) och lösningen är då s = 2x − z − 1, t = z − x. De operationer som utförts är:
(a) samla variablerna på en sida,
(b) eliminera s genom att subtrahera första sambandet från de andra två,
(c) eliminera t genom att addera 3· sista sambandet till det andra och subtrahera sista från
första.
För att komma från normalform till parameterform inför vi två parametrar. Med, t ex
x = s och z = t fås y = −2 + 4s − 3t vilket på vektorform blir



 
 
 

x
s
0
1
0
Π: e  y  = e  2 + 4s 3t  = e  2  +s e  4  +t e  3  .
z
0
t
0
1
Detta skiljer sig markant från (1.7.4) vilket är helt i sin ordning. Allt man behöver för att
skriva ett plan på parameterform är en punkt och två icke-parallella vektorer i planet.
Π2
n2
n1
L
v
Π1
Figur 1.39:
Exempel 1.7.7 Låt Π1 : x + 3y − 2z = 5 och Π2 : 2x + y + 4z = 2. Bestäm och beskriv
geometriskt den punktmängd som tillhör båda planen.
Lösning: Man inser snabbt att två plan antingen är parallella eller skär varann längs en linje.
Vidare, parallella är de endast om deras respektive normalvektorer är parallella. Avläsning
av koefficienterna ger att Π1 och Π2 ej är parallella.
39
1.7. LINJER OCH PLAN
Vi söker de punkter som tillhör båda planen, d v s de punkter vars koordinater uppfyller
bägge planens ekvationer. Vi får då ekvationssystemet
(
x = 5 − 3y + 2z y=8t
x + 3y − 2z = 5 −2·1:a+2:a x + 3y − 2z = 5
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
5
− 5y + 8z = −8
2x + y + 4z = 2
z = y−1
8 


 





x
5 − 3·8t + 2(5t − 1)
3 − 14t
3
14
 = e  8t  = e  0  +t e  8 
8t
⇐⇒ e  y  = e 
z
5t − 1
5t − 1
1
5
Då skärningslinjen ligger i båda planen är dess riktningsvektor ortogonal mot de båda planens
normalvektorer (se figur 1.39). Därmed gäller att v k n1 ×n2 . Vi kan då förenkla kontrollen
genom att räkna ut denna kryssprodukt och sedan sätta in endast den startpunkt vi får ur
parameterformen för skärningslinjen i de båda planens ekvationer.
Exempel 1.7.8 Låt Π: 3x − 4y + z = 6 och P = (1, 1, 1). Bestäm avståndet mellan P och
Π. Bestäm också den punkt Pp i Π som ligger närmast P samt P :s spegelpunkt Ps i Π.
Lösning: Problemet är i princip detsamma som exempel
1.7.2och 1.7.5. Figur 1.40 illustrerar
situationen. Klart är att avståndet mellan P och Π är P0 P kn där P0 är en punkt i Π, vilken
spelar ingen som helst roll. Drag den normal N till Π som går genom P . Dess skärningspunkt
med Π är den sökta punkten Pp och kallas P :s ortogonala projektion i Π. Betrakta Π som en
helt vanlig plan spegel. Spegelpunkten Ps är då spegelbilden av P i Π. Tänk på var din egen
spegelbild synes vara då du ser dig själv i en spegel. Den är alltid lika långt bakom spegeln som
du själv är framför och om du ser din spegelbild i ögonen så är din blick ortogonal mot spegelns
plan, d v s vi går från punkten P i riktning ortogonalt mot spegeln, träffar spegeln i Pp och
fortsätter lika långt i samma riktning för att komma fram till Ps . Av figur 1.40 framgår att
OP p = OP − P0 P kn och att OP s = OP − 2P0 P kn . Svaren på frågorna får vi alltså genom att
bestämma P0 P kn . Detta görs enkelt genom att beräkna P0 P kn med projektionsformeln (som
i exempel 1.7.2) alternativt ange normalen på parameterform och bestämma parametervärdet
genom insättning av N i Π:s ekvation (som i exempel 1.7.5).
Välj en punkt i Π , t ex P0 = (2, 0, 0). Då fås


 
 
1
2
1
P0 P = e  1  − e  0  = e  1  =⇒
1
0
1
    
 
1 3
3
P0 P n
1     
3  
1
4
4 =⇒
=⇒P0 P kn =
n
=
e
n
=
−
e
e
26
13
|n|2
1
1
1
 
 



1
3
22


3  
1 


1 
e 4 =
e
OP p = OP − P0 P kn = e  1  +


13
13

1 
1 
16  ,
=⇒
1
3
31


6  
1 





OP s = OP − 2P0 P kn = e 1 +
e 4 =
e 11 


13
13
1
19
1
3√
d v s avståndet blir P0 P kn =
26, Pp =
13
22 1 16
, ,
13 13 13
och Ps =
31 11 19
,− ,
.
13 13 13
(1.7.6)
40
KAPITEL 1. ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET
N
P0 P
P0 P kn
OP
n
n
OP 0
OP p
−P0 P kn
−2P0 P kn
OP s
O
Figur 1.40:
Om vi gör som i exempel 1.7.5 får vi
 
 
 
x
1
3
N: e  y  = e  1  + t e  4 
z
1
1
som insatt i Π: 3x − 4y + z = 6
3(1 + 3t) − 4(1 − 4t) + (1 + t) = 26t = 6 ⇐⇒ t =
ger
3
6
= .
26
13
6
3
i N ger Pp och t =
ger Ps . Notera att den kalkyl som då utförs är
13
13
exakt den samma som den i (1.7.6).
Insättning av t =