MA 11
Talteori och logik
•
•
•
•
•
•
•
2 Reella tal
3 Slutledning
4 Logik
5 Mängdlära
6-7 Talteori
8 Diofantiska ekvationer
9 Fördjupning och kryptografi
• propositionssymboler:
bokstäver
• konnektiv
• Paranteser
• konnektiv
•
negation
•
disjunktion
•
konjunktion
•
implikation
•
ekvivalens
Hur starkt de binder
• Negation starkast ...
p, q, ... små
inte
eller
och
om
Uppgifter
•
•
•
•
•
propositionssatser
• propositionssymbolerna är propositionssatser
401
402
403
404
405
• Om A och B är propositionssatser, så är också
¬A, A Λ B, A V B , A → B , A ↔ B
• ¬(p Λ q) → (¬p V ¬q)
sanningstabell
tautologi
¬(p Λ q) → (¬p V ¬q)
• En propositionssats är en tautologi
om den får sanningsvärdet sant för
varje kombination av sanningsvärden
för de symboler som ingår i satsen
Logisk ekvivalens
Uppgifter
• 406
• 407
•
•
•
•
408
409
410
411
•
•
•
•
•
401
402
403
404
405
Räkna
• 412
• 416 a
• 411
Predikatlogik
Formalisering
• Samma symboler som i satslogiken +
• Kvantorer, ∃ ∀
• Likhet
• Hundar är arga
• För varje djur gäller det att om djuret är en hund
så är djuret argt
• Dessutom
• Variabler, konstantsymboler,
relationssymboler, funktionssymboler
• H(x) : x är en hund,
A(x): är arg
• ∀ x H(x) →A(x)
Inga tvetydigheter
Kvantorer
Räkna
• Förekomst eller existenskvantor det existerar
∃x ∈ R : x 2 + 3 x + 2 = 0
• Universalkvantor för alla
∀a ∧ b : ( a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
bundna variabler
•
•
•
•
431
432
433
434
7 Talteori
• Vi arbetar med de hela talen
• Vad händer när man dividerar heltal.
• 9/3 =
Delningsekvation
• Varje positivt heltal n kan skrivas:
• n = d·q+r
• där d, q, r är heltal och 0 ≤ r < d
•
•
•
•
• 10/3 =
d, devisor
q, kvot
r, rest
n, dividend
Delningsrelation
• Vi säger att d delar n om n/d är ett heltal.
• d.v.s. om det finns q så att n = d·q
• Vi använder beteckningen d│n
Talsystem
• 562
•
•
= 500 + 60 + 2
= 5·100 + 6·10 + 2·1
= 5·102 + 60·101 + 2·100
= 1·73 + 4·72 + 3·71 + 2·70
= 14327
vanliga baser: binära, oktala, hexadecimala
Räkna
•
•
•
•
701
703
705
706
• 704
Primtal
• Ett heltal p ≥ 2 som inte är delbart med
andra positiva heltal än sig själv och
talet 1 kallar vi ett primtal.
• p är ett primtal omm
–p≥2
– Om d | p så är d = 1 eller d = p
Aritmetikens grundsats
• Varje heltal n ≥ 2 kan skrivas som en
produkt av primtal.
Denna primtalsuppdelning är entydig
bortsett från faktorernas ordningsföljd
• Det finns oändligt många primtal
Eratosthenes såll
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
31
Skriv upp talen 2 till N
12 Stryk
13 talen
14större
15 än 16
17är delbara
18 19
2, som
med 20
2
Ta det minsta talet som inte är stuket
22 stryk
23alla24
26 är 27
28med29det talet
30
större25
tal som
delbara
Ta nästa tal som inte är struket och gör likadant
32 Fortsätt
33 tills
34 du35
36 till37
38 39 40
kommer
talet √N
41
42
11
21
43
44
45
46
47
48
49
50
Vi slutar när vi kommit till √50 = 11
Räkna
• 716
• 717
•
•
•
•
Kongruens
Anta att a, b och m > 0 är heltal
Vi säger att a och b är kongruenta modulo m om
m | (a-b)
730
731
732
733
siffror
• Vi betecknar detta a ≡ b (mod m)
• 735 (om ni inte kan programmera så gör för hand)
Kongruens
• 11 ≡ 3 mod 4
• 11-3 = 8 = 4·2
• dvs 4 | (11 – 3)
• 25 ≡ 9 mod 8
• 25 - 9 = 16 = 2·8
• dvs 8 | (25 – 9)
• 341 ≡ 5 mod 7
• 7 | (341-5)
• Tolkning
• 11 / 4 ger resten 3
• 25 delat med 8
”kan ge” resten 9
Personnummer
• 141989-151?
• 141989151
• Dividera med 31 och titta vad som blir rest
• 141989151 = (
)·31 + r
• 141989151 ≡ r mod 31,
• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A, B, C, D, E, F, H, J, K, L, M,
N, P, R, S, T, U, V, W, X, Y
• Om en björn går i ide en dag kl 17 och sover i
2557 timmar.
• Om man vill veta vid vilket klockslag den vaknar
dividerar man först 2557 med 24 och får
• 2557 = 106·24 + 13,
dvs.
2557 ≡ 13 (mod 24).
• (17 + 13) = 30 ≡ 6 (mod 24)
• Därför är
(17 + 2557) ≡ (17 + 13) (mod 24) = 6 (mod 24)
• vilket betyder att björnen vaknar kl 6.
Kongruens
Anta att a ≡ b (mod m) och c ≡ d (mod m)
Då gäller
a + c ≡ b + d (mod m)
och
a·c ≡ b·d (mod m)
Exempel stora tal
• Visa att 2342 – 1 är delbart med 7
• 2342 = 23·114 = (23)114 = (8) 114
• 8 ≡ 1 mod 7
• (8) 114 ≡ (1) 114 ≡ 1 mod 7
• dvs (23)114 delat med 7 ger resten 1
• dvs 2342 – 1 är delbart med 7
8 Diofantiska ekvationer
• Förkorta bråket.
2
4
5
15
30
45
• Dela täljare och nämnare med
största gemensamma faktor
84
140
Räkna
•
•
•
•
Sid 124
Kolla eget personnummer
737
738
•
•
•
•
739 b, c
740 a
741
742
största gemensamma faktor
• Heltalet d kallas för den största gemensamma
faktor för heltalen a och b om d är det största
talet som delar både a och b
• sgf(a,b)
gcd(a,b)
• Heltalet m kallas den minsta gemensamma
multipeln för heltalen a och b om m är det minsta
positiva heltalet som är delbart med a och b
• mgm(a,b)
• mgm(2,5)
Anta att a och b är positiva heltal.
Då gäller att:
• sgf(2,5)
mgm(a, b) =
ab
sgf(a, b)
• mgm(6,9)
• sgf(6,9)
Hitta sgf(255,114)
Delningsalgoritmen n = dq + r
Euklides algoritm
Euklides algoritm
255 = 114 * 2 + 27
114 = 27 * 4 + 6
27 = 6 * 4 + 3
6=3*2+0
Hitta sgf(n,d)
Skriv delningsekvationen för n och d
n = dq+r
Skriv upp delningsekvationen för d och
för divisionsresten.
Skriv upp delningsekvationen för
divisorn och för divisionsresten från
föregående delningsekvation.
sgd(n,d) är den sista divisionsresten
som inte är noll.
sgf(255,114) = 3
• hitta sgf(255,114)
• Delningsalgoritmen n = dq + r
• 255 = 114 * 2 + 27
• 114 = 27 * 4 + 6
• 27 = 6 * 4 + 3
• 6=3*2+0
• sgf(255,114) = 3
sgf(n,d) = sgf(d,r)
Räkna
•
•
•
•
•
•
•
•
801
802
803
804
805
806
807
815
Fermat's Last Theorem (1996)
http://video.google.com/videoplay?docid=8269328330690408516#
Diofantiska ekvationer
• 45x + 27y = 9
• Minst två variabler
• Heltalslösningar
ax + by = c
• ax + by = c
• 45x + 27y = 9
• Euklides algoritm
på a och b
• 45 = 1 · 27 + 18
• 27 = 1 · 18 + 9
• 18 = 2 · 9 + 0
• Euklides algoritm
på a och b
• sgf(45, 27) = 9
Baklänges
• 45x + 27y = 9
• 45 = 1 · 27 + 18
• 27 = 1 · 18 + 9
• 18 = 2 · 9 + 0
• sgf(45, 27) = 9
•
•
•
•
•
•
•
•
9 = 27 - 1 · 18
den ovanför
18 = 45 - 1 · 27
Insättning
9 = 27 - 1 · (45 – 1·27)
9 = 2 · 27 – 1 · 45
x = -1 och y = 2
Löser ekvationen
ax + by = c
• 45x + 27y = 9
•
•
•
•
x = -1 och y = 2
Löser ekvationen
x=3m, y =5n
m = -n
• Ekvationen har
lösningarna
• x= -1 + 3m,
• y = 2 + 5n
• y = 2 – 5m
ax + by = c
• 45x + 27y = 9
• Sätt c = 0
• Dela med sgf
45 x 27 y
+
=0
9
9
• 5x + 3y = 0
• 5x = -3y måste ha
gemensam faktor
• x=3m, y =5n
• Dessutom gäller att
• m = -n
Diofantiska ekvationer
• ax + by = c
• Sätt c = 0
• Euklides algoritm
på a och b
• Dividera med sgf
• a´x + b´y = 0
• Följ algoritmen
baklänges ger
1 lösning
• x = b´n
• y = -a´n
7x + 4y = 100
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
7 = 1·4 + 3
4 = 1·3 + 1
3 = 3·1 + 0
Baklänges
1 = 4 - 1·3
1 = 4 – (7- 4)
1 = 2·4 -7
Multiplicera med 100
Partikulärlösning
x0 = -100, y0 = 200
•
•
•
•
•
•
•
•
Sätt c = 0
7x + 4y = 0
sgf = 1
xn = 4n
yn = -7n
Allmän lösning
x = -100 + 4n
y = 200 – 7n
Diofantiska ekvationer
• ax + by = c
• Ekvationen har heltalslösningar om c är
delbar med sgf(a,b)
Räkna
•
•
•
•
•
816
817
818
820
821
Reella tal
• Algebran har sina regler som finns
uppräknade i axiomsystemet
• Axiomen beskriver ”alla” egenskaper för
• addition +
• multiplikation +
• ordning <
• noll 0 och ett 1
Algebraiska axiom
• Kommutativa lagarna
· a+b=b+a
· ab = ba
• associativa lagarna
· a + (b + c) = (a + b) + c
· a(bc) = (ab)c
• distributiva lagen
· a(b + c) = ab + ac
Neutrala element
• 0 är neutralt element för addition
· a+0=a
• 1 är det neutrala elementet för multiplikation
· 1·a=a
motsatta tal
• För varje a existerar ett b så att a + b = 0
Sats (-a)b = - (ab)
• ...
· talet b kallas det motsatta talet till a
· b=-a
• För varje a ≠0 existerar ett b så att a · b = 1
· talet b kallas det inverterade talet till a
· b=1/a
eller b = a-1
201 a
• Visa att:
(a3 - b3) = (a - b)(a2 + ab + b2)
likhet
• x=x
• om x = y så är y = x
• om x = y och y = z, så är x = z
• Substitutionsprincipen (ex.)
• om x = y så f(x) = f(y)
Uppgifter
• 202
• 203
Jämförelse
• 204
• 205
•
•
•
•
•
Exakt en av följande relationer gäller
a < b, a = b eller a > b
om a < b och b < c så är a < c
om a < b så är a + c < b + c
om 0 < a och 0 < b så är 0 < ab
• 201 a
• Fullständighetsaxiomet
Uppgifter
• 212
• 213
• 223
• 224
• 207
• 208
