TrIgonomeTrI och formler

1
Trigonometri och
formler
Centralt innehåll
✱ Trigonometriska uttryck.
✱ Bevis och användning av trigonometriska
formler.
✱ Olika bevismetoder inom matematiken.
✱ Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.
✱ Strategier för problemlösning.
I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och
volym, skala och likformighet samt trigonometri.
6

1
TRIANGLAR OCH CIRKLAR
Arbeta tillsammans två och två.
Bestäm, var och en, värdena med hjälp av figurerna. Jämför
era svar och diskutera eventuella skillnader. Kontrollera sedan
svaren till uppgift 1 och 2 med räknare.
y
3
Q (b, a)
60°
1
1/2
P (a, b)
v
30°
v
x
3/2
a) sin 30°
2
c) tan 30°
sin 30°
b)
cos 60° d)
cos 30°
y
P (0,39; 0,92)
67°
x
(1, 0)
a) sin 67°
a)cos v
b) sin (90° – v )
c) sin (v + 360° )
d)cos (v – 360° )
c) sin (180° – 67°)
b)cos 67° d)cos (180° – 67°)

7
482398678567
7547
55
112
777
Inledande aktivitet
1
894789475849
89478947
238876744
15343274
1.1 Trigonometri och trianglar
Enhetscirkeln och trianglar
I kurs 3c arbetade vi i trigonometriavsnittet med enhetscirkeln och olika
triangelsatser. Vi repeterar här några viktiga begrepp och samband innan
vi går vidare.
a
b
motstående katet

 hypotenusan 
C
rätvinkliga trianglarsin A = 
c närliggande katet

cos A = 
b  hypotenusan 
b
a  motstående katet 

tan A = 
c närliggande katet
A
a
B
c
vinkel A = sin –1 (a/b) = cos –1 (c/b) = tan –1 (a/c)
enhetscirkeln
Med enhetscirkeln kan vi utöka de trigonometriska kvoterna till att gälla
även trubbiga vinklar.
y
P (cos v, sin v)
sin v = y-koordinaten för P
(0, 1)
cos v = x-koordinaten för P
v
(–1, 0)
O
x
(1, 0)
I figuren till höger ser vi att
sin v = b och sin (180° – v) = b
cos v = a och cos (180° – v) = – a
Symmetrin i enhetscirkeln ger oss två
viktiga samband för vinklar
sin v = sin (180° – v)
cos v = – cos (180° – v)
8
tan v =
sin v
då cos v ≠ 0
cos v
y
Q (–a, b)
P (a, b)
v
180°–v
v
x
(1, 0)
1.1 Trigonometri och trianglar
C
a b sin C
satser för godtyckliga
Areasatsen: arean =
2
trianglar
sin A sin B sin C
=
=
Sinussatsen:
a
b
c
Cosinussatsen:
1101
b
a2 = b2+ c2 – 2bc cos A
A
a
c
B
y
P
v
x
(1, 0)
Punkten P har koordinaterna (-0,57; 0,82). Bestäm
a)sin v b)cos v c)tan vd)v
a)sin v är punktens y-koordinat, 0,82
sin v = 0,82
b)cos v är punktens x-koordinat, – 0,57
cos v = – 0,57
c)tan v =
sin v
0,82
=
≈ –1,44
cos v
–0,57
d) v = cos –1 (–0,57) ≈ 125°
eller
sin–1 (0,82) ≈ 55°
och v > 90° ger
v = 180° – 55° = 125°
Svar:a)sin v = 0,82
b)
cos v = – 0,57
1102
sin v = sin (180° – v)
c) tan v = –1,44
d) v = 125°
En triangel har två sidor som är 5 cm och 10 cm med
mellanliggande vinkel v. Triangelns area är 20 cm2 . Beräkna
vinkeln v.
Areasatsen ger:
5 · 10 · sin v
2
sin v = 0,8
20 =
v1 = sin –1 (0,8) ≈ 53°
v2 ≈ 180° – 53° = 127°
Svar: Vinkeln v är 53° eller 127°.
1.1 Trigonometri och trianglar 9
1103 Bestäm sin v, cos v och tan v om punkten P
har koordinaterna
1107 Sant eller falskt? Motivera.
”När vi bestämmer en vinkel i en triangel
med sinussatsen så kan vi få två fall medan
cosinussatsen alltid ger ett fall för vinkeln.”
a)(0,559; 0,829) b) (0,34; 0,94)
y
P
B
1108 Beräkna triangelns
a)höjd h
v
b)area
x
c) omkrets.
(1, 0)
(cm)
1104 För vilka vinklar i intervallet
0° ≤ x ≤ 180° är
a)sin x = 0,56 c) sin x = – 0,13
b)cos x = 0,12 d) cos x = – 0,89 ?
A
h
56,4°
18
C
1109 Bestäm utan räknare de vinklar i intervallet
0° ≤ v ≤ 180° som är lösningar till
ekvationen
1105 För att beräkna höjden på Hanö fyr mätte
en grupp elever upp sträckan 19,0 m på
marken enligt figur. Fyrens diameter mättes
till 5,0 m och vinkeln v uppskattades till 37°
med hjälp av en stor gradskiva och en käpp.
Beräkna fyrens höjd h.
24
a) sin v = sin 56°
b) cos v = – cos 40°
c) sin v = – sin 58°
Motivera dina svar.
1110
y
P (a, b)
Q
x
v
C
1106
A = 110,6°
C = 77,6°
6,0
8,5
D
7,0
B
4,0
A
(1, 0)
a)Vilka koordinater har Q, om P = (a, b)?
b)Vilka samband kan du visa med hjälp av
koordinaterna för P och Q?
1111 Visa att sambandet (sin v)2 + (cos v)2 = 1
gäller för alla vinklar i intervallet
0° ≤ v ≤ 180°.
(cm)
a)Gör en enkel uppskattning av
fyrhörningens area.
b)Beräkna fyrhörningens area.
c) Beräkna diagonalen BD.
10
1.1 Trigonometri och trianglar
✽ Undersök
Aktivitet
Enhetscirkeln och symmetrier
1
Q
P
0,5
v = 30°
–0,5
–30°
1
0,5
390°
–0,5
R
S
Materiel: Gradskiva, linjal, räknare
Lös uppgifterna med hjälp av enhetscirkeln ovan.
 1I enhetscirkeln kan vi införa godtyckliga
vinklar. Om v > 360° så är vridningen av
radien större än ett varv och om v < 0° så har
radien vridits i negativ riktning.
Bestäm värdet med din räknare och motivera
resultatet med enhetscirkeln.
a) sin 30°
c) cos 30°
e) sin 750°
b) sin 390°
d) cos –30°
f) sin –330°
 2a)Vilket är det största respektive minsta
värdet sin v kan anta? Vilka vinklar ger
dessa värden?
 3Med hjälp av y-koordinaterna för punkterna
P och Q (eller R och S) kan vi motivera
sambandet sin v = sin (180° – v).
Med hjälp av vilka punkter och koordinater
kan vi motivera sambandet
a)cos v = cos (– v)
b)sin v = – sin (180° + v) ?
 4Studera punkterna P, Q, R och S och deras
symmetrier. Hitta och beskriv så många
trigonometriska samband som möjligt med
hjälp av punkternas koordinater.
b)Vilket är det största respektive minsta
värdet cos v kan anta? Vilka vinklar ger
dessa värden?
1.1 Trigonometri och trianglar 11
1.2 Trigonometriska formler
Enhetscirkeln och formler
Sambanden y = sin v , y = cos v och y = tan v är exempel på
trigonometriska funktioner. Med hjälp av enhetscirkeln kan vi införa
trigonometriska funktioner för godtyckliga vinklar.
y
y
y
P (cos v2, sin v2)
v1
v2
x
O
(1, 0)
O
x
(1, 0)
x
O
v3
(1, 0)
P
(cos v1, sin v1)
P (cos v3, sin v3)
Vinkel i tredje kvadranten
180° < v < 270°
Vinkel större än ett varv
v > 360°
Negativ vinkel
v < 0°
Om radien OP vridits en vinkel v i positiv eller negativ
riktning gäller
Definition
sin v = y - koordinaten för P
cos v = x - koordinaten för P
sin v
tan v = där cos v ≠ 0
cos v Om vi vrider radien OP ett helt varv i positiv eller negativ riktning så
är vi tillbaka i samma läge, vilket t ex ger att
sin 40° = sin (40° + 360°) = sin (40° + 2 ∙ 360°) = . . .
cos 150° = cos (150° – 360°) = cos (150° – 2 ∙ 360°) = . . .
period
Period
sin v, cos v
12
Sinus- och cosinusfunktionerna är periodiska med perioden 360°.
sin (v + n ∙ 360°) = sin vn heltal (0, ±1, ±2, ±3, . . . )
cos (v + n ∙ 360°) = cos v n heltal (0, ±1, ±2, ±3, . . . )
1.2 Trigonometriska formler
Symmetrin i enhetscirkeln ger oss några viktiga samband.
P och R ger sin (180° – v) = sin v
cos (180° – v) = – cos v
y
Q (b, a)
R (–a, b)
x
v
v
P och Q ger sin (90° – v) = cos v
cos (90° – v) = sin v
P (a, b)
v
y
Q (–x, y)
I figuren intill utgår vi ifrån
punkten P = (x, y).
Symmetri ger koordinaterna
för punkterna Q, R och S.
P (x, y)
x
v
v
(1, 0)
R (–x, –y)
P och S ger sin (– v) = – sin v
cos (– v) = cos v
y-koordinaterna har motsatta tecken
x-koordinaterna är lika
P och R ger sin (v + 180°) = – sin v
cos (v + 180°) = – cos v
S (x, –y)
Både y- och x-koordinaterna har
motsatta tecken
Några formler
sin (–v ) = – sin v
sin (v + 180°) = – sin v
cos (–v ) = cos v
cos (v + 180°) = – cos v
Av formlerna får vi följande samband:
tan (v + 180°) =
sin (v + 180°) – sin v
=
= tan v
cos (v + 180°) – cos v
Detta betyder att tangensfunktionen har perioden 180°.
Om cos v = 0, dvs då v = 90° + n ∙ 180°, är tan v inte definierad.
Tangensfunktionen är periodisk med perioden 180°.
Period tan v
1.2 Trigonometriska formler
tan (v + n ∙ 180°) = tan v n heltal (0, ±1, ±2, ±3, . . . )
13
1201
Anta att du vet att sin 20° ≈ 0,34, cos 20° ≈ 0,94 och tan 20° ≈ 0,36.
Bestäm utan räknare värdet av
a) cos 740°
b) tan (–160°)
c) sin (–380°)
a) Vi drar bort 2 perioder.
cos 740° = cos (740° – 2 · 360°) = cos 20° ≈ 0,94
b) Vi lägger till 1 period.
tan (–160°) = tan (–160° + 180°) = tan 20 ° ≈ 0,36
c) sin (–380°) = sin (–380° + 360°) = sin (– 20°) = – sin 20° ≈ – 0,34
sin (–v ) = – sin v
1202 Använd enhetscirkeln för att bestämma
a) sin 90°
c) sin 270°
b) cos 180°
d)cos (–270°)
1207 Undersök påståendet med hjälp av räknare.
Om det är sant, motivera varför.
a)sin 30° är lika med sin 210°
b)cos 70° är lika med cos 290°
1203 Förklara varför sin 50° = sin 410°.
c) tan 270° är ej definierat
sin 550°
är lika med tan 10°
d)
cos 550°
1204 Vad menas med att tangensfunktionens
period är 180°?
a) sin 750° om sin 30° = 0,5
3
1
och cos 60° = 2
2
Beräkna exakt värdet av
b) cos (–302°) om cos 58° ≈ 0,53
a)sin 60° + sin 60°
c) tan 400° om tan 220° ≈ 0,84.
b)sin (– 60°) – cos 30°
c) sin 60° · sin 60° + cos 60° · cos 60°
d)tan 600°
1205 Bestäm utan räknare värdet av
1206
y
(0,91; 0,42)
25°
O
1208 sin 60° = 1209 I figuren har P koordinaterna (a, b).
y
x
x
O
(1, 0)
Bestäm med hjälp av figuren
a)sin 25°
e) sin 155°
b)sin (–25°)
f) cos 205°
c) cos 25°
g)sin (90° – 25°)
d)cos (–25°)
h)cos 65°
(1, 0)
S
14
P (a, b)
Q
a)Bestäm koordinaterna för Q och S.
b)Visa att tan ( – v) = tan (180° – v).
1210 Visa sambanden med hjälp av enhetscirkeln.
a)sin v = cos (v + 270°)
b)cos v = – sin (v + 270°)
1.2 Trigonometriska formler
Trigonometriska identiteter
En cirkel med radie r och medelpunkt i (a, b) har ekvationen
cirkelns ekvation
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
P (cos v, sin v )
1
y
v
x
O (0, 0)
Enhetscirkeln, som har medelpunkten i origo, har ekvationen
(OP)2 = (cos v – 0)2 + (sin v – 0)2
Eftersom OP är 1 får vi att
1 = (cos v)2 + (sin v)2
Istället för (cos v)2 och (sin v)2 brukar man skriva
cos2 v och sin2 v som uttalas ”cosinuskvadrat v”
och ”sinuskvadrat v”.
Vi får en formel som gäller för alla vinklar v:
”Trigonometriska ettan”
sin2 v + cos2 v = 1
Sambandet, som brukar kallas den ”trigonometriska ettan”, kan
också skrivas
sin2 v = 1 – cos2 v
cos2 v = 1 – sin2 v
identitet
Den ”trigonometriska ettan” är ett exempel på en identitet, dvs det är en
ekvation eller formel som gäller för alla värden på variabeln.
”Trigonometriska ettan” kan användas för att
◗◗ bestämma cos v om sin v är givet
◗◗ bestämma sin v om cos v är givet
◗◗ visa nya identiteter (formler)
1.2 Trigonometriska formler
15
1211
Figuren visar en vinkel i
tredje kvadranten.
Bestäm värdet av sin v
24
om cos v = –
25
y
v
Trigonometriska ettan på formen
x
(1, 0)
sin2 v = 1 – cos2 v ger
 24 2
49
sin2 v = 1 – –  =
625
 25
√ sin v = ± 49
7
49
=± √
=±
625
25
6
25
√
I tredje kvadranten är sin v < 0.
Vi väljer därför det negativa värdet.
7
Svar: sin v = –
25
1212
Visa att 1
= 1 + tan2 v
cos 2 v
Bevisteknik:
Förenkla det ena ledet så att det blir lika med det andra ledet.
Börja med det led som ser mest komplicerat ut.
sin v
Ersätt tan v med Trigonometriska ettan
cos v
Högra ledet (HL) = * För denna typ av ”visa
att”-uppgifter används
ofta avslutningstexten
V.S.V. (vilket skulle visas)
för att visa att uppgiften
är klar. Vi har tidigare
infört förkortningen V.S.B.
(vilket skulle bevisas) som
också kan användas
eftersom vi använder
bevistekniker.
1213
= 1 + tan2 v = 1 +
sin2 v cos2 v + sin2 v
1
=
=
=
2
2
cos v
cos v
cos2 v
= vänstra ledet (VL) V.S.V. (vilket skulle visas)*
Visa att 1 – (sin x – cos x)2 = (sin x + cos x)2 – 1
Här kan det vara lämpligt att förenkla VL och HL var för sig
tills vi ser att de är lika.
VL = 1 – (sin x – cos x)2 = 1 – (sin2 x – 2 sin x cos x + cos2 x) =
= 1 – (1 – 2 sin x cos x) = 2 sin x cos x
Trigonometriska ettan
HL = (sin x + cos x)2 – 1 = sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x – 1 =
= 1 + 2 sin x cos x – 1 = 2 sin x cos x
VL = HL V.S.V.
16
1.2 Trigonometriska formler
1214 Beräkna de möjliga värdena för sin v
om cos v = 4/5.
1215 Vi vet att sin v = 6/10 och att
0° < v < 90°.
Bestäm det exakta värdet av cos v
med hjälp av
a)Pythagoras sats och figuren
10
6
v
b)trigonometriska ettan.
1216 Beräkna det exakta värdet av cos v om
5
13
och v ligger i första kvadranten
a)sin v = 9
b)sin v = –
41
och v ligger i fjärde kvadranten.
1217 Visa att  1

sin x 
− sin x  = cos2 x
 sin x

1218 Visa att cos2 v (tan2 v + 1) = 1
1219 Kan både sin v och cos v ha positiva värden
om v är en trubbig vinkel?
1220 Beräkna det exakta värdet av sin v
och tan v om cos v = –1/3 och
90° < v < 180°.
1221 Förenkla uttrycken
1 − sin x
1
– tan2 x
c)
a)
cos x
cos2 x
2
b)sin x +
cos2 x
sin 2 x
d)
1–
1 + cos x
sin x
1.2 Trigonometriska formler
1222 a)Beräkna för x = 0° och x = 30°
värdet på uttrycken
sin2 x + tan x och 1 – cos x .
b)Kan sin2 x + tan x förenklas till
1 – cos x ? Motivera.
1223 Har de räknat rätt?
a)
My fick:
cos2 x
sin x +
sin x
1
och rätt svar angavs till sin x
b)
Steve fick:
cos x (sin x + tan x )
cos x +1
och rätt svar angavs till cos x.
1224 Skriv om uttrycket så det bara
innehåller cos x.
a)cos 2 x – sin2 x
b)cos x + sin x ∙ tan x
1225 Visa att
sin 2 v
1 − sin 2 v
2
b)(1 – sin A)(1 + tan2 A) = 1
a)tan2 v = 17
1226
2

1 
1 + sin x
=
Visa att  tan x +
cos x 

1 − sin x
Vi börjar med VL, som ser mest komplicerat ut:
 sin x
sin x + 1 2

1 2
1 2
(1 + sin x)2
+
=
VL = tan x +
 = 
 = 
 =
cos x
cos2 x
cos x cos x
 cos x 

=
(1 + sin x)2
(1 + sin x)2
1 + sin x
= HL V.S.V.
=
=
1 – sin x
1 – sin2 x
(1 + sin x) (1 – sin x)
Trigonometriska ettan Konjugatregeln Förkorta med (1 + sin x )
Tips!
Att lösa ”visa att”-uppgifter kan kräva olika strategier beroende
på hur uppgiften ser ut, och övning ger färdighet. Ofta är det
enklast att först förenkla det led som ser krångligast ut.
Ibland är det enklast att skriva om båda leden och sedan visa
det ”nya” sambandet. Som i all problemlösning är det viktigt
att kunna stanna upp och utvärdera om man är på rätt väg.
Visa att följande samband gäller.
1227 1 –
cos2 x
= sin x
1 + sin x
1232
sin x cos x
tan x
= cos2 x − sin 2 x
1 − tan2 x
1233
tan 2 x
1
1
= +
1 − cos x
cos x
cos2 x
1228 (3 + cos x)(3 – cos x) = 8 + sin2 x
1229
1 + tan x
1
= sin x + cos x
cos x
1234
sin x
1
1
–
= 1 + cos x
sin x
tan x
1230
cos x
cos x
–
= 2 tan x
1 − sin x
1 + sin x
1235
1
1
2
+
= 1 − sin v
1 + sin v
cos2 v
1231
1 − sin x
cos x
= cos x
1 + sin x
1236
tan x − sin x
1
= 3
cos x + cos2 x
sin x
18
1.2 Trigonometriska formler
Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus
När vi i nästa kapitel ska härleda derivator för trigonometriska funktioner
behöver vi formler för sin (u + v) och cos (u + v).
Exempel
Kan sin (u + v) vara lika med sin u + sin v?
Sätter vi u = 60° och v = 30° ser vi direkt att vi inte har likhet:
sin (u + v) = sin (60° + 30°) = sin 90° = 1
sin u + sin v = sin 60° + sin 30° = 1
3
+ ≈ 1,37
2
2
Vi behöver formler för sin (u ± v) och cos (u ± v).
Formlerna kallas additions- och subtraktionsformlerna och
vi ger ett bevis för dem på nästa sida.
sin (u + v ) =sin u · cos v+cos u ·sin v
Additions- och
subtraktions- formlerna
sin (u – v )=sin u · cos v–cos u ·sin v
cos (u + v )=cos u ·cos v–sin u · sin v
cos (u – v )= cos u ·cos v+sin u · sin v
Med additions- och subtraktionsformlerna kan vi
◗◗ bestämma exakta sinus- och cosinusvärden
◗◗ härleda nya samband.
Vi kan då använda formlerna tillsammans med följande exakta värden för
sinus och cosinus.
v
sin v
cos v
0°
0
1
1
√3
2
2
30°
45°
60°
90°
1.2 Trigonometriska formler
1
√2
=
√2
√2
2
2
√3
1
2
2
1
0
19
Härledning av
formeln för cos (u – v )
I figuren låter vi radien OP i enhetscirkeln vrida sig vinkeln v i positiv
riktning och radien OQ vinkeln u, också i positiv riktning.
y
Q (cos u, sin u)
1
u–v
P (cos v, sin v)
u
O
1
x
v
(1, 0)
Vinkeln mellan OP och OQ blir då u – v.
1 Vi kan uttrycka ( PQ )2 på två olika sätt.
Avståndsformeln:
d = √ (x2 – x1)2 + ( y2 – y1)2
ger
(PQ) = (cos u – cos v) + (sin u – sin v)
2
2
2
Cosinussatsen: a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ager
(PQ)2 = 12 + 12 – 2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ cos (u – v)
2 Uttrycken för ( PQ )2 sätts lika.
(cos u – cos v)2 + (sin u – sin v)2 = 1 + 1 – 2 · cos (u – v)
3 I vänstra ledet utvecklar vi kvadraterna.
cos2 u – 2 cos u · cos v + cos2 v + sin2 u – 2 sin u · sin v + sin2 v =
= 2 – 2 cos (u – v)
4 Vi utnyttjar ”trigonometriska ettan”.
1 – 2 cos u · cos v + 1 – 2 · sin u · sin v = 2 – 2 cos (u – v)
2 cos (u – v) = 2 cos u · cos v + 2 sin u · sin v
5 Formeln kan skrivas
cos (u – v) = cos u ∙ cos v + sin u ∙ sin v
De övriga formlerna för cos (u + v) och sin (u ± v) kan
härledas med hjälp av subtraktionsformeln för cosinus och
sambanden nedan som vi visat tidigare.
sin (– v) = – sin v sin v = cos (90° – v)
cos (– v) = cos v cos v = sin (90° – v)
Vi lämnar härledningarna för de övriga formlerna som övningar.
20
1.2 Trigonometriska formler
1237
Visa sambandet y
cos (x + 270°) = sin x
med additionsformeln för cosinus.
cos ( u + v) = cos u cos v – sin u sin v
cos ( x + 270°) = cos x cos 270° – sin x sin 270°
Enhetscirkeln ger
x
(1, 0)
270°
cos 270° = 0 och sin 270° = –1
cos (x + 270°) = cos x · 0 – sin x · (–1) = sin x
1238
P (0, –1)
Förenkla sin ( x + 45°) – sin ( x – 45°)
Svara exakt.
sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v och
sin (u – v) = sin u cos v – cos u sin v
sin (x + 45°) – sin (x – 45°) =
= sin x cos 45° + cos x sin 45° – (sin x cos 45° – cos x sin 45°) =
1
= 2 cos x sin 45° = 2 cos x ·
= √ 2 · cos x
√ 2
Tabell ger sin 45° =
Allmänt om formler
1
√ 2
(eller
√ 2
2
)
2
= √ 2 √ 2 Inom trigonometrin finns en mängd olika samband, satser och formler
som du behöver lära dig att använda och hitta. I sammanfattningen sist
i kapitlet (s. 43) finns de samlade.
Några av de vanligaste formlerna kan vara bra att kunna utantill.
Formlerna är alltid lättare att komma ihåg om man förstår varifrån de
kommer och hur de hänger ihop. Läs därför gärna igenom motiveringar
och härledningar en extra gång.
Använd också formelbladet till det nationella provet när du övar så du lär
dig hitta i det.
1239 Vad ska det stå i stället för A och B?
1245 Visa med hjälp av subtraktionssatserna
a)sin (x + 25°) = A · cos 25° + B · cos x
a)cos (270° – v) = – sin v
b)cos (35° + y) = cos 35° · A – sin y · B
b)sin (360° – x) = – sin x
1240
1246 Använd formeln för cos (u – v) för att visa
1
1
cos (–v) = cos v .
1247 Bestäm det exakta värdet av cos 315° med
hjälp av omskrivningen
cos 315° = cos (360° – 45°).
1248 Bestäm det exakta värdet av
a) sin 135°
a)Motivera med hjälp av enhetscirkeln
att sin 180° = 0.
b)Visa med additionsformeln
för sinus att sin (90°+ 90°) = 0.
b) sin 75°
1249 Beräkna cos (x – x) med hjälp av
subtraktionsformeln.
Förklara ditt resultat.
1241 Förenkla och svara med två decimaler.
a)sin x ∙ cos 12° + sin x ∙ cos 12°
1250 Bestäm det exakta värdet av b)a + cos x ∙ sin 24° – (a – cos x ∙ sin 24°)
1242 Förenkla med hjälp av additionsoch subtraktionsformlerna.
Svara med två decimaler.
sin (A + B) om
3
sin A = ,
90° < A < 180° och
5
5
sin B = –
, 180° < B < 270°
13
a)sin (x + 50°) – sin (x – 50°)
b)sin (43° + x) + sin (43° – x)
1251 Härled formeln för cos (u + v) genom att
c) cos (x + 79°) + cos (x – 79°)
1243Förenkla
a)sin (u + v) + sin (u – v)
b)sin (u + v) – sin (u – v)
c) cos (u + v) + cos (u – v)
d)cos (u + v) – cos (u – v)
1244 Visa att
22
cos (60° + x) + cos (60° – x) = cos x
byta v mot –v i formeln för cos (u – v).
1252 Visa att sin ( x + h) − sin ( x )
h
kan skrivas
sin x ·
cos h − 1
sin h
+ cos x ·
h
h
1253 a)Härled formeln för sin (u + v) genom
att i cos (u – v) ersätta u med 90° – u.
b)Hur får du sedan formeln för sin (u – v)?
1.2 Trigonometriska formler
✽ Undersök
Aktivitet
Exakta trigonometriska värden
Halv kvadrat
Halv liksidig triangel
45°
2
30°
2
1
3
60°
45°
1
halv liksidig triangel
1
halv kvadrat
Enhetscirkeln
Formler
1
cos (180° – v ) = –cos v sin (v + 180°) = – sin v
sin (180° – v ) = sin v
0,5
–0,5
0,5
1
cos (v + 180°) = – cos v
sin (–v ) = –sin v
cos v = sin (90° – v )
cos (–v ) = cos v
sin v = cos (90° – v )
sin (u + v ) =sin u ·cos v+ cos u ·sin v
sin (u – v ) =sin u ·cos v– cos u ·sin v
–0,5
cos (u + v ) =cos u ·cos v– sin u ·sin v
cos (u – v ) =cos u ·cos v+ sin u ·sin v
Arbeta i par eller grupp
Hjälpmedel: Trianglarna, enhetscirkeln och formlerna ovan.
1 Gör en tabell, lik den nedan, med
v, sin v, cos v och tan v.
Låt värdet på vinkeln öka med 15° i taget från
0° till 360°.
vinkel, v
sin v
cos v
tan v
0°
15°
1.2 Trigonometriska formler
30°
45°
2 Använd figurerna, enhetscirkeln och dess
symmetrier samt formlerna och försök fylla
i hela tabellen med exakta värden.
3 Jämför med en annan grupp. Har ni samma
värden? Diskutera och motivera.
…
315°
330°
345°
360°
23
Formler för dubbla vinkeln
Om vi i additionsformlerna låter de två vinklarna vara lika stora,
får vi några nya formler.
sin (u + u) = sin u · cos u + cos u · sin u
cos (u + u) = cos u · cos u – sin u · sin u
Efter förenkling får vi
sin 2u = 2 sin u · cos u
Formler för
”dubbla vinkeln”
cos 2u = cos 2 u – sin 2 u
”Trigonometriska ettan” sin2 u + cos2 u = 1 kan skrivas
cos2 u = 1 – sin2 u och sin2 u = 1 – cos2 u
Använder vi detta kan vi skriva formeln för cos 2u på två andra sätt:
cos 2u = cos2 u – (1 – cos2 u) = 2 cos2 u – 1
cos 2u = 1 – sin2 u – sin2 u = 1 – 2 sin2 u
1254
Bestäm det exakta värdet av sin 2v om cos v = –
och v ligger i andra kvadranten.
3
5
sin 2v = 2 sin v cos v
Vi vet cos v och kan då beräkna sin v med trigonometriska
ettan.
 3 2 16
sin2 v = 1 – cos2 v = 1 – –  =
25
 5
4
sin v = ±
5
Vi väljer det positiva värdet eftersom sin v > 0 i andra
kvadranten.
sin 2v = 2 sin v cos v = 2 ·
24
4  3
24
· –  = –
5  5
25
1.2 Trigonometriska formler
1255 För en vinkel x gäller 1262 Visa att tan x =
sin x = 0,6 och cos x = 0,8
sin 2 x
1 + cos 2 x
Bestäm följande värden utan att först
bestämma x.
genom att använda
a)sin 2 x
c)tan x
b)cos 2 x
d)tan 2 x
b)figuren nedan.
a)formler
(l.e.)
1256 a)Bestäm med trigonometriska ettan
möjliga värden på sin v om cos v = 0,5.
B
x
b)Bestäm möjliga värden på sin 2v
om cos v = 0,5.
A
1
1257 Vi vet att sin v = – och v ligger
3
i fjärde kvadranten.
1258 Bestäm cos 2x om
1265 Visa att 2
b) sin x = 3
1260 Punkten P på enhetscirkeln har
y
x-koordinaten – 20
29
v
P
Bestäm exakt
a)cos 2v
sin 4 x + 2 sin 2 x = 8 sin x cos3 x
1266 Visa att
1259 Fördubblas värdet på sinus om
vinkeln fördubblas? Motivera.
O
1264 Uttryck sin 3x i sin x, dvs skriv om sin 3x
så det bara innehåller sin x.
b) Bestäm sin 2v.
a)cos x = 0,5
1
1263 Visa att sin 2x – cos 2x = 1
sin x
cos x
cos x
a)Bestäm cos v.
x
x
a)cos 2 x = b)sin 2 x = c) tan 2 x = 1 − tan 2 x
1 + tan 2 x
2 tan x
1 + tan2 x
2 tan x
1 − tan 2 x
b)sin 2v
1261 Beskriv sambandet mellan
additionsformlerna och formlerna
för dubbla vinkeln.
1.2 Trigonometriska formler
25
1.3 Bevis och bevismetoder
Direkta bevis
bevisEtt bevis är ett logiskt resonemang som syftar till att visa att ett påstående
logik
implikation
är sant. I det här avsnittet ska vi titta närmare på några olika bevismetoder.
Matematisk argumentation bygger på logik. Logik, som är ett annat ord för
slutledningskonst, är en gren både inom filosofi och matematik.
Du har tidigare mött de två logiska symbolerna ⇒ och ⇔.
De kan användas mellan två påståenden P och Q.
P ⇒ Q P medför Q(men inte nödvändigtvis tvärtom)
t ex x = 3 ⇒ x 2 = 9
ekvivalens
P ⇔ Q
( x 2 = 9 ger även x = – 3)
P är ekvivalent med Q ( P medför Q och Q medför P )
t ex x = 3 ⇔ x + 7 = 10
direkt bevis
Exempel
Den vanligaste formen av bevis kallas direkt bevis och utgår från
ett antagande P och kommer fram till en slutsats Q via ett logiskt
resonemang i ett eller flera steg.
Vi ska bevisa att kvadraten på ett jämnt tal är delbar med 4.
Vårt antagande är påstående P : x är ett jämnt tal
Vår slutsats är påstående Q:x2 är delbart med 4
Vi ska visa att vår slutsats är sann, d v s att P ⇒ Q
Bevis
Ett jämnt tal kan skrivas x = 2ndär n är ett heltal
x2 kan då skrivas x2 = (2n)2 = 4n2 vilket är delbart med 4
x är ett jämnt tal ⇒ x 2 är delbart med 4
V.S.B.
allmänt om bevis
Inom matematiken har bevis en viktig roll.
En sats som är bevisad gäller så länge inte förutsättningarna ändras.
Till exempel så vet vi att alla möjliga trianglar i planet har
vinkelsumman 180°, eftersom den satsen är bevisad. När en
sats är bevisad kan den användas för att bevisa nya satser
och på så vis föra matematiken framåt. Det finns
fortfarande många gamla och nya påståenden
som ännu inte är bevisade och matematikernas
uppgift är bl a att finna bevis för dessa.
26
1.3 Bevis och bevismetoder
1301
Ska det vara en implikationspil (⇒) eller en ekvivalenspil (⇔)
i rutan mellan påståendena? Motivera ditt svar.
x2 = 16
a) x = 4
b)2x +3 = 9
x=3
a)
x = 4 ⇒ x = 16
Motivering:
x = 4 medför att x2 = 16 men omvändningen gäller inte
eftersom x2 = 16 medför att x = 4 och x = – 4
2
b)2x + 3 = 9 ⇔ x = 3
Motivering:
2x + 3 = 9 medför att x = 3 och
x = 3 medför att 2x + 3 = 9
1302
Sats: Ett jämnt tal och ett udda tal har en produkt som är ett
jämnt tal.
a) Undersök satsen med några exempel.
b) Bevisa satsen med ett direkt bevis.
c) Gäller satsens omvändning?
a) T ex 2 ∙ 3 = 6 eller 6 ∙ 15 = 90
b)Ett jämnt tal kan skrivas 2ndär n är ett heltal
Ett udda tal kan skrivas 2k + 1 där k är ett heltal
Produkten kan då skrivas
2n ∙ (2k + 1) = 2 ∙ n (2k + 1)vilket är ett jämnt tal
eftersom n (2k + 1) är ett
heltal.
V.S.B.
c)Satsens omvändning blir:
Om produkten av två heltal är ett jämnt tal så är faktorerna ett
jämnt tal och ett udda tal.
För att visa att satsens omvändning inte gäller räcker det med
att hitta ett motexempel, t ex 8 = 2 ∙ 4.
1.3 Bevis och bevismetoder Omvändningen gäller inte, vi har inte en ekvivalens.
27
1303 Ska det vara en implikationspil (⇒)
eller en ekvivalenspil (⇔) i rutan mellan
påståendena? Motivera ditt svar.
a)x > 0
x2 > 0
b)n är udda
n = 2k + 1, k heltal
c) y = x + 2
y ′= 1
d)lg x = 2
x = 100
1309 Pythagoras sats lyder:
Om en triangel är rätvinklig så
är summan av kateternas kvadrater
lika med hypotenusans kvadrat.
Låt A vara den räta vinkeln och
bevisa med hjälp av cosinussatsen
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
a)Pythagoras sats
b)omvändningen till Pythagoras sats.
1304 P: 3x + 7 = x + 1
Q: x = – 3
1310 Triangeltalen är 1, 3, 6, 10, 15, …
a)Bevisa att P ⇒ Q
b)Bevisa att Q ⇒ P
c) Gäller ekvivalensen P ⇔ Q ?
1
1305 Bevisa att
a)summan av ett udda tal och ett jämnt
tal är udda
3
6
10
Kvadrattalen är 1, 4, 9, 16, 25, …
b)produkten av två udda heltal är udda.
1306 Avgör om påståendet är sant och
bevisa ditt svar.
Tre på varandra följande heltal
har en summa som är delbar med
a)
3b)
6.
1307 Sant eller falskt?
1
4
9
16
a)Skriv ett uttryck för det n:te triangeltalet
och ett för det n:te kvadrattalet.
b)Undersök summan av två på varandra
följande triangeltal. Formulera en
slutsats.
c) Bevisa din slutsats.
Om P ⇒ Q och Q ⇒ R så innebär det att
P ⇒ R.
1311 Bevisa att två på varandra följande jämna
tal har en produkt som är delbar med 8.
1308 Visa att sin (A + B) = 1
1312 Nedan följer ett ”bevis” för att 4 = 3.
Kan du hitta felet?
C
Anta att a + b = c.
Detta ger:
A
B
4a – 3a + 4b – 3b = 4c – 3c
4a + 4b – 4c = 3a + 3b – 3c
4(a + b – c) = 3(a + b – c)
4=3
1313 Bevisa att n3 – n är delbart med 3
för alla positiva heltal ≥ 0.
28
1.3 Bevis och bevismetoder
Indirekta bevis
Många gånger kan ett direkt bevis vara svårt att genomföra.
Därför kan vi också behöva andra bevismetoder.
indirekt bevis
I ett indirekt bevis utgår man från att det som ska bevisas är falskt och visar
med hjälp av ett logiskt resonemang att antagandet då också måste vara
falskt.
I indirekta bevis är det ofta praktiskt att använda ”motsatsen till ett
påstående P” vilket betecknas ¬ P och utläses ”icke P”. Att P är falskt
motsvaras då av att ¬ P är sant.
Man kan med grundläggande logiska regler visa att
P ⇒ Q ⇔ ¬ Q ⇒ ¬ P
Exempel
Anta att följande är sant:
P: ”Det regnar” ⇒ Q: ”Jag är inne.”
Regeln ovan ger oss då att detta motsvarar:
¬ Q: ”Jag är ute” ⇒ ¬ P: ”Det regnar inte.”
Istället för att direkt bevisa att P medför Q kan vi visa att ¬ Q medför ¬ P .
1314
Bevisa med hjälp av ett indirekt bevis satsen:
”Om n2 är ett jämnt tal, så är n ett jämnt tal.”
Antagandet är P: n2 är jämnt.
Slutsatsen är Q: n är jämnt.
Vi bevisar P ⇒ Q genom att visa att ¬ Q ⇒ ¬ P , dvs vi ska visa
att ¬ Q: n är ett udda tal medför ¬ P: n2 är udda.
n udda ger: n = 2k + 1
(k heltal)





n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 = 2m + 1
vilket är udda då m är ett heltal.
m
V.S.B.
1.3 Bevis och bevismetoder 29
motsägelsebevis
Exempel
När man ska bevisa en ekvivalens eller ett påstående används ibland
en annan typ av bevis som liknar det indirekta beviset och kallas
motsägelsebevis. Man utgår då från att påståendet eller satsen är falsk och
visar att detta leder till en motsägelse.
Sats: Antalet primtal är oändligt många.
Bevisidé: Utgå ifrån att satsen är falsk och visa att det ger en motsägelse.
Bevis: Anta att antalet primtal är ändligt många: p1, p2, … , pn
Bilda talet N = p1 ∙ p2 ∙ . . . ∙ pn + 1.
Dividerar vi N med p1 ger det
p 1 · p 2 · p 3 · . . . · p n + 1
1
= p2 · p3 · . . . · p n + vilket inte är ett heltal!
p 1
p 1
På samma sätt kan vi se att inget av våra primtal är delare till N.
Om talet N inte är delbart med något primtal så måste N vara ett primtal.
Detta ger en motsägelse mot att p1, p2, . . . , pn är alla primtal.
Vårt antagande är felaktigt, antalet primtal är oändligt många.
V.S.B.
1315
a, b och c är tre reella tal så att abc = –10.
Visa med ett motsägelsebevis att minst ett av talen
a, b eller c måste vara negativt.
Motsatsen till att minst ett av talen är negativt är att
inget av talen är negativt.
Om vi antar att alla talen är positiva ger det
abc ≥ 0 vilket motsäger att abc = –10.
Vi får motsägelse varför vårt antagande att alla talen är
positiva är felaktigt. Minst ett av talen är negativt.
V.S.B.
Direkt bevis:Visa direkt att antagandet ger slutsatsen.
P⇒Q
Sammanfattning
Indirekt bevis:Visa att om slutsatsen är falsk så är också
­antagandet falskt.
¬ Q ⇒ ¬ P ⇔ P ⇒ Q
Motsägelsebevis:Antag att påståendet/satsen är falsk och visa att
det leder till en motsägelse.
30
1.3 Bevis och bevismetoder
1316 Vad är motsatsen, ¬P , till påståendet
a)P: n är jämnt
b)P: x + y ≥ 4
c) P: x = 2
d)P: minst ett barn är en flicka
e)P: alla kor kan flyga ?
1317 Antag att
P: Det är sommar ⇒ Q: Vi spelar fotboll.
1323 Visa med motsägelsebevis att
om x är lösning till ekvationen
x 3 + 3x2 + 7x + 2 = 0
så är x < 0.
1324 Pythagoras sats lyder:
Om en triangel är rätvinklig så är
summan av kateternas kvadrater lika med
hypotenusans kvadrat.
Låt A vara den räta vinkeln och använd
cosinussatsen
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
för att bevisa Pythagoras sats med ett
indirekt bevis.
Formulera ¬ Q ⇒ ¬ P med ord.
1318 P: 0,5 x + 2 ≤ 6 ⇒ Q: x ≤ 8
a)Formulera med matematiska
symboler ¬ Q ⇒ ¬ P .
b)Bevisa indirekt Q ⇒ P genom att bevisa
att ¬ Q ⇒ ¬ P .
1319 ”Om produkten av två positiva reella tal är
större än 100 medför det att minst en av
faktorerna är större än 10.”
Satsen ovan är skriven på formen P ⇒ Q .
a)Formulera med ord satsen ¬ Q ⇒ ¬ P
b)Formulera med matematiska symboler
¬ Q och ¬ P
c) Bevisa med ett indirekt bevis att P ⇒ Q .
1325 Bevisa att om
a 2 – 2 a + 7 är ett jämnt tal
så är a ett udda tal.
1326 √ 2 är ett irrationellt tal, dvs kan inte
a
skrivas som ett rationellt tal .
b
(a, b heltal, b ≠ 0)
Beviset är ett klassiskt motsägelsebevis.
a
a
Anta att √ 2 = där är heltal och
b
b
förkortat så långt det går.
a 2
Kvadrering av uttrycket ger: 2 = 2 , vilket
b ger 2b2 = a2 dvs a2 och a är delbara med 2.
Sätter vi a = 2k ger det 2b2 = 4k2 vilket
kan skrivas b2 = 2k2, dvs också b måste
vara delbart med 2.
1320 Bevisa med ett indirekt bevis att
om 3n +2 är udda så är n udda.
Vi får en motsägelse mot vårt antagande,
√ 2 måste vara irrationellt.
1321 Bevisa med ett motsägelsebevis att om
a)Förklara varför både a2 och a är delbart
med 2 om 2b2 = a2 (a, b heltal).
a)22 godisbitar fördelas i 7 påsar så
är det minst en påse som innehåller
4 godisbitar eller fler.
a)ab < 0 så är a eller b negativ.
b)Varför får vi en motsägelse?
1327 a och b är heltal. Bevisa att a2 – 4b ≠ 2.
1322 Beskriv skillnaden mellan ett direkt
och ett indirekt bevis.
1.3 Bevis och bevismetoder 31
Historik
Från Euklides till Gödel
Grekerna införde beviset i matematiken
Thales från Miletos (ca 600 f Kr) är en av de första
matematikerna i historien som vi vet namnet på. Han
inte bara noterade matematiska fakta, som att bas­
vinklarna i en likbent triangel är lika stora, han bevisade
det också. Thales metoder utvecklades av Euklides på
300-talet f Kr.
Euklides berömda bok, Elementa, sammanfattade
sin tids matematiska vetande. Med några självklara
grundsatser (axiom) som utgångspunkt, ger Euklides
bevis för ett stort antal satser, bl a Pythagoras sats och att
antalet primtal är oändligt.
Euklides axiom gällande parallella linjer har genom
historien varit omdiskuterat och väckt nyfikenhet.
Genom att byta ut parallellaxiomet skapade man på
1800-talet nya geometriska system med andra regler. Ett
av dessa visade sig lite oväntat bilda ramen för Einsteins
relativitetsteori i början av 1900-talet.
Logikens gränser
Euklides metod, med några få axiom och en handfull
logiska regler som alla satser kan härledas från, är
tilltalande enkel. Metoden har i årtusenden varit en
modell för matematiker inom olika områden.
Kan all matematik härledas från en samling axiom?
Svaret kom som en chock när den 25-årige österrikiske
mate­matikern Kurt Gödel 1931 visade att svaret är
nej. Han visade att varje axiomsystem är ofullständigt,
dvs innehåller påståenden vars sanningshalt inte går
att avgöra inom systemet. För det krävs en mänsklig
hjärna som kan gå utanför systemet och välja nya
utgångspunkter.
1Om vi ändrar på förutsättningarna så förändras
också satserna. Gör följande tankeexperiment:
Gå från en punkt på ekvatorn rakt norrut till
nordpolen. På nordpolen vrider du dig 90° och
32
Den första svenska översättningen av
Elementa gavs ut 1744.
Kurt Gödel (1906–1978) var en av
1900-talets stora matematiker.
går rakt ner till ekvatorn och sedan rakt tillbaka
till den punkt du startade.
a)Vilken figur beskriver din vandring?
b)Vilken vinkelsumma har din figur?
1.3 Bevis och bevismetoder
1.4 Trigonometriska ekvationer
Grundekvationer
Med hjälp av enhetscirkeln har vi tidigare visat att de trigonometriska
funktionerna kan ha samma värde för flera olika vinklar. Det måste vi ta
hänsyn till när vi löser trigonometriska ekvationer.
Exempel 1
Vi undersöker ekvationen sin x = 0,721
I enhetscirkeln finner vi i intervallet
0° ≤ x < 360° två lösningar, x1 och x2.
Med hjälp av räknare får vi x1.
x1 = sin–1 (0,721) ≈ 46,1°
P y = 0,721
Q
x2
x
x1
O
(1, 0)
Sambandet sin (180° – v) = sin v
ger oss sedan x2.
x2 ≈ 180° – 46,1° = 133,9°
För båda radierna OP och OQ gäller att de hamnar i samma läge om vi
vrider dem ett godtyckligt antal hela varv i positiv eller negativ riktning.
Har vi inga begränsningar för vinklarnas storlek får ekvationen därför ett
obegränsat antal lösningar.
Samtliga lösningar till ekvationen sin x = 0,721 kan skrivas:
x ≈ 46,1° + n ∙ 360° eller x ≈ 133,9° + n ∙ 360°, n är ett heltal.
Exempel 2
Vi undersöker ekvationen cos x = 0,659
y
Räknaren ger x1= cos (0,659) ≈ 48,8°
–1
x = 0,659
Sambandet cos (–v) = cos v ger x2 ≈ – 4 8,8°
De två lösningarna är markerade
i enhetscirkeln intill.
48,8°
x
–48,8°
(1, 0)
Lägger vi till eller drar ifrån ett godtyckligt
antal hela varv får vi alla lösningar:
x ≈ 48,8° + n ∙ 360° eller
x ≈ – 4 8,8° + n ∙ 360°
Kortare skrivsätt: x ≈ ± 4 8,8° + n ∙ 360°
1.4 Trigonometriska ekvationer
33
 
Grundekvation
för sinus
Allmänt gäller:
Exempel
sin x = k, –1 ≤ k ≤ 1
sin x = 0,721
Låt v vara en lösning.
Räknaren ger en lösning v ≈ 46,1°.
Då kan samtliga lösningar skrivas
Samtliga lösningar är
x = v + n · 360°
x ≈ 46,1° + n · 360°
eller
eller
x = 180° – v + n · 360°, n heltal
Allmänt gäller:
  cos x = k, –1 ≤ k ≤ 1
Grundekvation
för cosinus
x ≈ 133,9° + n · 360°, n heltal
Exempel
cos x = 0,659
Låt v vara en lösning.
Räknaren ger en lösning v ≈ 48,8°
Då kan samtliga lösningar skrivas
Samtliga lösningar är
x = ± v + n · 360°
x ≈ ± 48,8° + n · 360°
n heltal
n heltal
Ekvationen tan x = k behandlas i nästa kapitel.
När vi löser trigonometriska
ekvationer är det naturligt att
använda räknare och t ex sin –1 k för att hitta en vinkel.
De flesta räknare har också olika
solve-funktioner, och kraftfulla
symbolhanterande räknare kan
t o m lösa trigonometriska
ekvationer fullständigt. Använd gärna sådana funktioner för att kontrollera svaret
eller komma vidare om du kör fast, men träna på lösningsmetoderna
och försök förstå dem, så att du kan lösa ekvationerna utan hjälpmedel.
34
1.4 Trigonometriska ekvationer
1401
Ange med en decimal samtliga lösningar till följande ekvationer
a)sin x = 0,293b)
sin x = – 0,331
a)sin x = 0,293
Vi får två fall.
Fall 1:Räknaren ger x = sin –1 (0,293) = 17,037...° ≈ 17,0°
x ≈ 17,0° + n ∙ 360°
Fall 2:
x ≈ 180° – 17,0° + n ∙ 360°
x ≈ 163,0° + n ∙ 360°
Svar: x ≈ 17,0° + n ∙ 360° eller x ≈ 163,0° + n ∙ 360°
b)sin x = – 0,331
Fall 1:x = sin –1 (– 0,331) ≈ –19,3°
x ≈ –19,3° + n ∙ 360°
Fall 2:x ≈ 180° – (–19,3°) + n ∙ 360°
x ≈ 199,3° + n ∙ 360°
Svar: x ≈ –19,3° + n ∙ 360° eller x ≈ 199,3° + n ∙ 360°
Om vi i det första fallet vill svara med en positiv
vinkel så kan vi lägga till en period.
x ≈ – 19,3° + 360° = 340,7°
1402
y
199,3°
–19,3°
x
(1, 0)
340,7°
Ange med en decimal samtliga lösningar till följande ekvationer
a)cos x = 0,369b)
cos x = – 0,369
a)cos x = 0,369b)
cos x = – 0,369
x = cos –1(0,369) ≈ 68,3°
Vi får två fall.
x = ± 68,3° + n ∙ 360°x = ± 111,7° + n ∙ 360°
Svar:a)x = ± 68,3° + n ∙ 360° 1.4 Trigonometriska ekvationer
x = cos –1(– 0,369) ≈ 111,7°
b) x = ± 111,7° + n ∙ 360°
35
1403
Undersök om ekvationen sin x = 0,42 har några lösningar
i intervallet 720° < x < 900°. Arbeta med hela grader.
sin x = 0,42 ger
x ≈ 25° + n ∙ 360° eller x ≈ 155° + n ∙ 360°
För att hitta eventuella lösningar i intervallet 720° < x < 900°
kan vi välja olika värden på n bland heltalen: . . . –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . .
Här prövar vi med n = 1, 2, 3, . . .
x ≈ 25° + n ∙ 360° ger då vinklarna 385°, 745°, 1 105°, . . .
x ≈ 155° + n ∙ 360°ger då vinklarna 515°, 875°, 1 235°, . . .
Svar: Inom intervallet 720° < x < 900° finns lösningarna 745° och 875°.
1404
Lös ekvationerna och svara med en decimal.
x
a)sin = – 0,520 b) cos (3x – 41,2°) = 0,316
2
x
a)sin = – 0,520
2
Fall 1
Fall 2
x
≈ –31,33° + n · 360°
2
x
≈ 211,33° + n · 360°
2
x ≈ – 62,66° + n ∙ 720°
x ≈ 422,66° + n ∙ 720°
Använd räknarens samtliga
decimaler eller minst en extra
jämfört med noggrannheten
i svaret.
Båda leden
(även perioden)
multipliceras med 2.
Svar: x ≈ –62,7° + n ∙ 720° eller x ≈ 422,7° + n ∙ 720°
b)cos (3x – 41,2°) = 0,316 ger
3x – 41,2° ≈ ± 71,58° + n ∙ 360°
Fall 1
Fall 2
3x – 41,2° ≈ 71,58° + n ∙ 360°
3x – 41,2° ≈ –71,58° + n ∙ 360°
3x ≈ 112,78° + n ∙ 360°
3x ≈ –30,38° + n ∙ 360°
x ≈ 37,6° + n ∙ 120°
x ≈ –10,1° + n ∙ 120°
Båda leden
(även perioden)
divideras med 3.
Svar: x ≈ 37,6° + n ∙ 120° eller x ≈ –10,1° + n ∙ 120°
36
1.4 Trigonometriska ekvationer
1405
1
1414 Lös ekvationen fullständigt.
Svara med en decimal.
0,66
a)sin (x – 51,0°) = 0,700
139°
41°
–41°
1
0,75
b)cos (x + 51,0°) = 0,700
c) sin (5x – 71,3°) = – 0,370
d)cos (0,5x + 33,3°) = 0,740
Undersök om ekvationen har någon lösning i det
angivna intervallet. Arbeta med hela grader.
1415 a)cos x = 0,80
270° < x < 360°
Använd figuren och ange
två olika vinklar som ger att
0° < x < 270°
a)sin x = 0,66 b)cos x = 0,75
1416 a)sin x = 0,85
600° < x < 720°
Ange samtliga lösningar till ekvationen
– 600° < x < – 480°
c)sin x = 0,66 d)cos x = 0,75
Ange med en decimal samtliga lösningar
till ekvationen.
1406 a)sin x = 0,789
b)sin x = – 0,342
1407 a)cos x = 0,439
b)cos x = – 0,780
b)sin x = – 0,70
b)1 + cos x = 0,28
1417 Ange en ekvation som har
a)en lösning x ≈ 760°
b)samtliga lösningar x = ±30° + n ∙ 180°.
1418 Har sin 4 x = 0,5 fyra gånger så många
lösningar som sin x = 0,5 i intervallet
0° ≤ x < 360° ? Motivera.
1408 a)cos x = 0,351 c) 2 sin x = – 0,44
b)sin x = 0,351 d)0,5 cos x = – 0,32
1409 a)cos 3x = 0,40 b)sin 2x = – 0,60
x
x
1410 a)cos = – 0,28 b)sin = –1
3
2
1411 Motivera med hjälp av enhetscirkeln
varför ekvationerna sin x = 1,4 och sin x = –2 saknar lösningar.
1412 Jonna löser ekvationen cos 2 x = 0,5
1419 Bestäm ekvationens lösning i det angivna
intervallet. Svara i hela grader.
a) sin 2x = 0,61 450° ≤ x ≤ 900°
b) cos (4x + 11°) = 0,42 –90° ≤ x ≤ 90°
c) 14 – 2 cos 2x = 12,38 360° ≤ x ≤ 720°
1420 Undersök för vilka vinklar x som
a) sin 2 x = sin 70°
b)sin x = sin 3x
c) cos 2 x = cos (x – 30°)
och glömmer två saker. Vilka?
cos 2x = 0,5
2x = 60° + n ∙ 360°
x = 30° + n ∙ 360°
1413Ekvationen cos x = 1 har lösningen
x = 0° + n ∙ 360°. Ange alla lösningar
i intervallet 0° ≤ x ≤ 1 000°.
1.4 Trigonometriska ekvationer
37
Ekvationer som omformas med formler
1421
Lös ekvationerna med nollproduktmetoden, d v s genom faktorisering.
a)4x2 – x = 0b)
5 cos2 x – cos x = 0
Faktorisera!
a)4x2 – x = 0b)
5 cos2 x – cos x = 0
x (4 x – 1) = 0cos x (5 cos x – 1) = 0
Nollproduktmetoden: Om a · b = 0, så är a = 0 eller b = 0.
x = 0 eller 4 x – 1 = 0
cos x = 0 eller 5 cos x – 1 = 0
x = 1/4cos x = 1/5
x = ± 90° + n · 360° som kan skrivas
x = 90° + n · 180°
eller
x ≈ ±78,5° + n · 360°
Svar:a)x = 0 eller x = 1/4
b) x = 90° + n · 180° eller
x ≈ ± 78,5° + n · 360°
1422
Lös ekvationen 2 sin 2x = sin x.
2 sin 2x = sin x Använd formeln sin 2x = 2 sin x cos x i VL.
2 · 2 sin x cos x = sin x
4 sin x cos x – sin x = 0 Faktorisera VL.
sin x (4 cos x – 1) = 0
y
sin x = 0eller4 cos x–1=0
90°
x = 0° + n · 360°cos x=
eller
x = 180° + n · 360°
1
4
x ≈ ± 75,5° + n · 360°
0° x
180°
Lösningarna till sin x = 0 kan sammanfattas med
x = n · 180° (se figur)
Svar: x = n · 180° eller
38
270° –90°
x ≈ ± 75,5° + n · 360°.
1.4 Trigonometriska ekvationer
1423
Lös ekvationen cos2 x = 3 sin x – 3.
cos2 x = 3 sin x – 3
Använd formeln cos 2 x = 1 – sin 2 x i VL.
1 – sin2 x = 3 sin x – 3
Sätt sin x = t sin2 x + 3 sin x – 4 = 0
t 2 + 3t – 4 = 0
t=–
√
3
9
± +4
2
4
t = 1
eller
t=–4
sin x = 1sin x=–4
x = 90° + n · 360°
Saknar lösning, då –1 ≤ sin x ≤ 1.
Svar: x = 90° + n · 360°.
1424 För vilka x är
a)sin x = 0
b)cos x = 0
c)sin x ∙ cos x = 0 ?
Lös ekvationen, svara med en decimal.
1425 a)2 sin x (sin x – 0,3) = 0
b)1,5 cos x (0,5 – cos x) = 0
c) 4 cos x (2 sin x – 5) = 0
1426 a)4 sin2 x – 3 sin x = 0
Välj lösningsmetod och lös ekvationen.
1429 3 cos2 x = 2 sin x + 2
1430 5 sin 4x = 3 sin 2x
1431 5 cos 2x + 3 sin x – 4 = 0
1432 cos 2x + cos x + 1 = 0
1433 1 + 2 cos x + cos 2x = sin2 x
1434 Bestäm triangelns vinklar.
4a
b)cos2 x = 5 cos x
3a
1427 Skriv om vänsterledet i ekvationen
x
2 sin x ∙ cos x = 2
och förklara varför ekvationen
saknar lösningar.
1428 Lös ekvationen
a) sin 2 x = 2 sin x
b)sin2 x + sin x – 2 = 0
1.4 Trigonometriska ekvationer
2x
1435 I triangeln ABC är
AB = 5 cm, BC = 6 cm och AC = 4 cm.
a)Beräkna vinklarna A och B med
fyra decimaler.
b)Resultatet i a) antyder ett samband
mellan vinklarna A och B.
Formulera och bevisa detta.
39
1.5 Tillämpningar och problemlösning
När vi möter nya tillämpningar och problem är det extra viktigt med en god
problemlösningsstrategi. Vi påminner med ett exempel om en strategi med
fyra steg som du tidigare mött.
1501
En vinkels storlek kan bero av tiden,
t ex vid rotation. Radien OP med
längden 3 l.e. vrider sig moturs
med hastigheten 20° per sekund,
se figur.
y
O
a)Ställ upp en formel för hur
y-koordinaten för punkten P
varierar med tiden t sekunder.
P
(0,0)
x
(3,0)
b)Hur lång tid under ett varv är
y-koordinaten för punkten
P ≥ 2?
1. Förstå problemet
2. Gör upp en plan
y
a)När radien OP vrider sig
kommer y-koordinaten
för punkten P att variera
mellan – 3 och 3. Vi ritar
en figur för att lättare se
hur vinkeln och
y-koordinaten beror av
tiden.
P (3 · cos v, 3 · sin v )
3
O
v
x
3. Genomför planen
ör en godtycklig vinkel v
F
är koordinaterna för
punkten P: (3 ∙ cos v, 3 ∙ sin v)
4. Värdera
Efter t sekunder är vinkeln v = 20t
y-koordinaten för punkten P är då: y = 3 ∙ sin 20t
v ökar med 20°/s
Formeln ger att y varierar mellan – 3 och 3 då sin 20t varierar
mellan –1 och 1.
b) y = 2 ger ekvationen
2 = 3 ∙ sin 20t
sin 20t = 2/3 ger
(20t )° ≈ 42° + n ∙ 360°
eller (20t )° ≈ 138° + n ∙ 360°
t ≈ 2,1 + n ∙ 18eller
t ≈ 6,9 + n ∙ 18
Tolkning: Under det första varvet är y = 2 vid t = 2,1 s
och t = 6,9 s, dvs y ≥ 2 under 4,8 s.
Detta upprepas varje varv, dvs var 18:e sekund.
Svar:a)y = 3sin 20tb)
4,8 s.
40
1.5 Tillämpningar och problemlösning
1502 Ett vattenhjul med radie 3 m snurrar
10 varv per minut.
1507 Bestäm största och minsta värde för
uttrycket
a)Hur många grader/s vrider sig hjulet?
a)23 + 2sin x
100
b)
2,25 – 1,75 cos 2 x
Hur lång tid tar det för hjulet att
vrida sig så att punkten A förflyttas till
b)Bc)
C ?
1508 Finns det någon vinkel v som har samma
tangensvärde som sinusvärde?
B
1,5 m
C
A
1509 Finn alla värden på a för vilka ekvationen
2 a – 3
cos x =
5
har någon lösning.
1510 Beräkna summan utan hjälpmedel.
sin2 (10°) + sin2 (20°) + sin2 (30°) + . . . +
+ sin2 (90°)
1503 För vilka vinklar i intervallet
0° ≤ v ≤ 360° är
1511 Visa att om A är en vinkel med
a)cos v < – 0,5
0° < A < 90° så är
b)0 ≤ sin v < 0,5 ?

1 
1 
1 +
 1 +
 > 5



sin A
cos A 
1504 Ekvationen 12 = 14 sin (k + x) + 5 har en
lösning x = 2°. Vilket värde har k ?
1505 Peter påstår att n (1 – n)2 ≥ 0 för alla
heltal n ≥ 1. Har han rätt?
1512 Definition:
En vinkel A är ”snäll” om både sin A och
cos A är ett rationellt tal, dvs kan skrivas
som ett bråk.
1506 Ett pariserhjul med radien 30 meter
snurrar ett varv på 3 minuter.
En person kliver på hjulet i dess
nedersta läge vid marken.
Hjulet snurrar sedan i
5 minuter innan det
stannar. Hur högt
över marken är
personen då?
(Skolornas Matematiktävling)
Bevisa eller motbevisa påståendet:
a) ”Om A är snäll, så är supplementvinkeln
snäll.”
b) ”Om A är snäll, så är A/2
snäll.”
✽ Diskutera
Aktivitet
Sant eller falskt?
Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt?
Motivera svaret.
 1 Ekvationen cos v = 0,4 har två lösningar i
intervallet 0° ≤ v ≤ 180°.
 2Vinklarna 28°, 152° och 388° har alla samma
sinusvärde.
 8För alla värden på n < 2 så är (n + 1)2 < 9
 9I ett indirekt bevis utnyttjar vi att P ⇒ Q är
logiskt ekvivalent med ¬ P ⇒ ¬ Q.
 3 Om cos x = 0 så är sin x = 1.
10 Lösningarna till ekvationen sin 2 x = 0,5 är också lösningar till ekvationen sin x = 0,5.
 4Om cos v har värdet a så har cos (–v) också
värdet a.
11 Ekvationen a sin 4 x – 1 = 2 saknar lösning
då a < 3.
 5För alla vinklar i andra kvadranten är sin v > cos v.
 6tan (–v) kan skrivas –tan v.
 7sin (u + v) + sin (u – v) kan utvecklas och
förenklas till sin 2u.
42
12 Om cos x = 13
1
7
så är cos 2 x = 4
8
cos2 x
1
+ sin x kan förenklas till sin x
sin x
14 Ekvationen cos 3 x = cos x har lösningen x = n · 90°.
1 Trigonometri och formler
Sammanfattning 1
Enhetscirkeln
Om radien OP har vridits en vinkel v i positiv
(moturs) eller negativ riktning (medurs), så gäller
Formler för dubbla vinkeln
sin 2u = 2 sin u ∙ cos u
cos 2u = cos 2u – sin 2u = 2 cos 2u – 1 = 1 – 2 sin 2u
y
y Bevis och bevismetoder
Direkt bevis:
Visa direkt att antagandet ger slutsatsen.
v
O
x
(1, 0)
x
O
P
(cos v, sin v)
P (cos v, sin v)
Antag att påståendet/satsen är falsk
och visa att det leder till en motsägelse.
cos v = x-koordinaten för P
sin v
tan v = , v ≠ 90° + n · 180°
cos v
De trigonometriska funktionerna är periodiska.
Trigonometriska ekvationer
Grundekvationerna
sin (v + n · 360°) = sin v, n heltal, perioden 360°
cos (v + n · 360°) = cos v, n heltal, perioden 360°
tan (v + n · 180°) = tan v, n heltal, perioden 180°
sin x = k (–1 ≤ k ≤ 1)
En lösning ges av v = sin–1 (k)
Samtliga lösningar ges av
x = v + n ∙ 360°
eller
y
(cos v, sin v )
x = 180° – v + n ∙ 360°
cos x = k (–1 ≤ k ≤ 1)
180° – v
sin (90° – v) = cos v
cos (90° – v) = sin v
x
v
–v
Trigonometriska ettan
sin2 u + cos2 u = 1
Additions- och subtraktionsformlerna
sin (u+v) = sin u ∙ cos v +cos u∙ sin v
sin (u–v) = sin u ∙ cos v –cos u∙ sin v
cos (u+ v) = cos u∙ cos v –sin u ∙ sin v
cos (u– v) = cos u∙ cos v +sin u ∙ sin v
1 Trigonometri och formler
Visa att om slutsatsen är falsk så är också
­antagandet falskt.
Motsägelsebevis:
sin v = y-koordinaten för P
Trigonometriska formler
sin (180° – v) = sin v
cos (180° – v) = – cos v
sin (– v) = – sin v
cos (– v) = cos v
Indirekt
v
(1,bevis:
0)
(1, 0)
En lösning ges av v = cos–1(k)
Samtliga lösningar ges av
x = ± v + n ∙ 360°
Tillämpningar och problemlösning
Allmän problemlösningsstrategi
1 Förstå problemet
2 Gör upp en plan
3 Genomför planen
4 Värdera resultatet
43
Kan du det här? 1
Moment
Trigonometri och
trianglar
Begrepp som du ska kunna
använda och beskriva
Enhetscirkeln
sin v, cos v, tan v
sin–1 v, cos–1 v, tan–1 v
Du ska ha strategier för att kunna
•använda enhetscirkeln för vinklar
i intervallet 0° ≤ v ≤ 180°
•bestämma trigonometriska funktioners
värden, exakt och med räknare
•bestämma vinklar.
Trigonometriska
formler
Period (sin v, cos v, tan v)
Trigonometriska identiteter
Trigonometriska ettan
Additions- och
subtraktionsformler
•använda enhetscirkeln för positiva och
negativa vinklar
•visa samband med hjälp av enhetscirkeln
•beräkna trigonometriska värden och
vinklar med hjälp av formler
•använda formler för att visa likheter.
Formler för dubbla vinkeln
Bevis och
bevismetoder
Direkt bevis
•genomföra bevis med olika metoder.
Indirekt bevis
Motsägelsebevis
Trigonometriska
ekvationer
Trigonometriska ekvationer
•lösa trigonometriska ekvationer och
bestämma fullständiga lösningar
•finna lösningar i ett givet intervall
•lösa ekvationer som kan omformas med
formler.
Tillämpningar och
problemlösning
44
•lösa olika matematiska problem och
tillämpningar.
1 Trigonometri och formler
Diagnos 1
Trigonometri och trianglar
 1a)Ange två olika vinklar som har samma
sinusvärde.
b)Har vinklarna i a) samma tangensvärde?
 2Punkten P har koordinaterna (a, 2a).
y
 7Varje uttryck i kolumn A kan förenklas till ett
uttryck i kolumn B. Vilka uttryck hör ihop?
Nr
1
2
3
P
4
v
x
5
6
A
B
1 – sin2 x
1 + 2 sin x cos x
1
cos2 x (tan2 x + 1)
cos x
1
1 + tan2 x
cos x
1
1 – sin2 x
cos2 x
0
(cos x + sin x)2
tan x · cos x + sin (–x) cos2 x
(1, 0)
a)Bestäm vinkeln v.
Bevis och bevismetoder
b)Bestäm a.
 8Anta att
P: Det är soligt ⇒ Q: Vi äter glass.
Formulera med ord ”¬ Q ⇒ ¬ P ”.
Trigonometriska formler
 3Bestäm med hjälp av enhetscirkeln
a) cos 900°
b) sin (–270°)
 4I vilka kvadranter i enhetscirkeln kan två
vinklar ha samma
a)cosinusvärde b)tangensvärde?
 92 x + 3 ≥ 9
Visa med ett motsägelsebevis att x ≥ 3.
Trigonometriska ekvationer
10Lös ekvationen fullständigt
a)cos x = 0,5d)
cos 2 x=1
 5Bestäm sin v om cos v = 0,40.
b)sin x = – 0,24
e) cos (x – 30°) = – 0,12
 6I figuren har punkten P koordinaterna (a, b).
c)sin x = sin 23°
f) 2 sin 3x = 3
a)Vilka koordinater har punkten Q ?
b)Visa att sin v = – cos (270° – v).
y
P (a, b)
270°– v
v
x
11Finns det någon vinkel v så att
sin v = 0,1 och 600° < v < 700° ?
12Lös ekvationen
sin 2 x
= 1 b)3 cos2 x – cos x = 0
a)
cos x
Tillämpningar och problemlösning
13Vilket är största respektive minsta värdet för
sin v i intervallet 70° ≤ v ≤ 170° ?
14För vilka värden på v är cos v växande?
Q
Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sidan xxx.
1 Trigonometri och formler
45
Blandade övningar 1 A
Del I
 8Ordna följande tal i storleksordning:
Utan räknare
a = sin 24°, b = cos 460° och c = sin 885°
 1Bestäm sin x – cos x då
Motivera ditt svar.
a)x = 720° b)x = 540°
 9Visa hur sambandet
 2Ekvationen sin x = 0,26 har enligt
räknaren en lösning x ≈ 15°. Vilka lösningar
har ekvationen i intervallet 0° < x < 720° ?
cos 2 A = 2 cos2 A – 1
kan fås ur likheterna
cos (u + v) = cos u cos v – sin u sin v och
sin 2 u + cos 2 u = 1.
(NP)
10Formulera med ord ¬ Q ⇒ ¬ P
om P ⇒ Q motsvaras av
”Om ingen klarar provet blir ingen godkänd”.
11Bestäm cos v då sin v =
90° < v < 180°.
√ 2 och
3
12Bestäm cos 2x om cos x =
 3Lös ekvationen 1 + cos x = 2.
1
4
13Visa att
 4Vad blir sin (sin–1 0,12) ? Motivera.
 5Vad är ¬ P om P är
a)x ≥ 32 b)sin x = 0,5 ?
 6 P : x
≥
2 och Q : 2x + 3
≥
7
a)Skriv ¬ P och ¬ Q med symboler.
b)Bevisa med ett indirekt bevis att P ⇒ Q
cos x ∙ sin 2x = 2 sin x – 2 sin3 x
14Bevisa att sin v + cos v ≤ √ 2 för alla vinklar v.
15Visa att
cos2 x
cos x
cos2 x
– = 2
1 – cos x tan x
sin2 x
 7Förenkla cos (x – 90°) – cos (x + 180°).
46
1 Trigonometri och formler
Del II
Med räknare
16Lös ekvationen fullständigt. Svara med
en decimal.
25Anders påstår att det inte finns någon vinkel
som har den egenskapen att sinusvärdet
fördubblas om vinkeln fördubblas.
Har Anders rätt?
a)sin x = 0,83 b)cos 2x = – 0,12
17Ange en ekvation som har en lösning
a)x ≈ 112° b)x ≈ –98°
18Bevisa med ett direkt bevis att differensen
mellan två udda tal är ett jämnt tal.
19Vid en förenkling får Diana svaret
1
cos x
men facit säger tan x
sin x
Har Diana fått fel svar? Motivera.
20Förenkla cos (a + b) + cos (a – b) och
skriv sedan produkten 2 cos 75° ∙ cos 20°
som en summa.
21Punkten P har koordinaterna (a, b).
y
P (a, b)
v
x
(1, 0)
Uttryck med hjälp av koordinaterna för
punkten P
a) sin (v + 180°) b)cos (v + 270°)
22Har ekvationen cos (0,4 x + 10°) = 0,4
någon lösning i intervallet
800° < x < 1 000° ? Motivera.
23Har tan v något största värde? Motivera.
24Bevisa att om n3 är ett udda heltal så är n ett
udda heltal.
1 Trigonometri och formler
26Lös ekvationen
a) sin 5x = sin 4x
b)cos2 x = sin x + 1
Utredande uppgifter
Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter
följande kriterier:
•vilka matematiska kunskaper du har visat
•hur väl du har förklarat ditt arbete och motiverat
dina slutsatser
•hur väl du har redovisat ditt arbete och
genomfört dina beräkningar.
27a)Beräkna sin 85° + sin 95°
2 cos 5°
b)Beräkna värdet av uttrycket sin (90° − x ) + sin (90° + x )
2 cos x
då x = 20° och då x = 42°. Vad upptäcker du?
c) Undersök om uttrycket sin (90° − x ) + sin (90° + x )
2 cos x
har värdet 1 för alla värden på vinkeln x.
28Undersök antalet lösningar till ekvationen a sin 2x = 5 då värdet på konstanten a varierar och 0° ≤ x ≤ 360°.
47
Blandade övningar 1 B
Del I
 7Vilket av följande uttryck A – F kan förenklas
till 1?
Utan räknare
 1Ekvationen cos x = 0,64 har enligt räknaren
en lösning x ≈ 50°.
A(sin x + cos x)2
B(sin x – cos x)2
Vilka lösningar har ekvationen i intervallet
–360° < x < 360°?
C(sin x + cos x)(sin x – cos x)
Dcos x · (tan x · sin x + cos x)
 2Ange samtliga lösningar till ekvationen
sin 2 x = 0,5.
 3
5
3
v
4
a)sin v
c) sin (90° – v)
b)cos v
d)sin 2v
 4Bevisa att x ≥ 3 ger 6 ( x + 1) ≥ 24 med ett
a)
direkt bevisb)
indirekt bevis.
(NP)
 9Bestäm värdet av sin v om v är en vinkel i tredje
2
kvadranten och cos v = –
3
1
10Visa med ett motsägelsebevis att ≤1
1 + x 2
för alla värden på x.
11Visa att sin x – 2 sin3 x = sin x ∙ cos 2x
12Ge exempel på en trigonometrisk ekvation som
har lösningen x = n ∙ 120°.
13
 5Anta att du vet att cos 40° ≈ 0,77.
Bestäm då
a)
cos 320° b)
sin 50°
 6Förenkla sin (x + 90°) + cos (x – 180°).
48
sin x
cos x
+
cos x
sin x
F2(sin x + cos x)
E
 8Bestäm ett närmevärde till sin 110° om du vet
att sin 20° ≈ 0,34 och cos 20° ≈ 0,94.
(cm)
Bestäm
(cm)
1
v
2
För vinkeln v i figuren gäller att
sin v + cos v
= k · 5
sin v ⋅ cos v
Bestäm talet k.
1 Trigonometri och formler
Del II
Med räknare
14Bestäm samtliga lösningar i intervallet
0° ≤ x < 360° till ekvationen cos x = 0,8.
15För vilka v i intervallet 0° ≤ v ≤ 360° är
a)sin v = – 0,5 b)sin v ≤ – 0,5 ?
Utredande uppgifter
Den här typen av uppgifter brukar bedömas efter
följande kriterier:
•vilka matematiska kunskaper du har visat
•hur väl du har förklarat ditt arbete och motiverat
dina slutsatser
•hur väl du har redovisat ditt arbete och
genomfört dina beräkningar.
y
C
25
x
b
a
y = – 0,5
A
16Ekvationen sin Ax = 0,1 har en lösning
x = 20° . Vilket tal är A? Ge ett exempel.
17Anta att a2 + b2 = c2.
Kan a, b och c alla vara udda heltal?
18Lös ekvationen fullständigt.
sin x
=0
a)
cos x
b) 2 sin (4x – 32°) = 0,8
19Beskriv ett samband mellan enhetscirkeln och
trigonometriska ettan.
20För vilka värden på a saknar ekvationen
2 cos 3x = 3a lösningar?
c
B
a)En triangel har sidorna 6,0 cm, 7,0 cm och
8,0 cm. Bestäm triangelns minsta vinkel
med cosinussatsen
a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A
b)På en internetsajt med matematikinnehåll
finner Susanna formeln
A
a 2 = ( b – c )2 + 4 b c · sin2
2
Visa att formeln ger samma resultat som i a).
c) Bevisa formeln i uppgift b)
26Undersök lösningar till ekvationen
sin 2x = a. Vad är största möjliga differens,
i grader, mellan två intilliggande lösningar?
21Bevisa att cos2 u – sin2 u + 3 ≤ 4
22Härled en formel för sin 4x, ”kvadrupla vinkeln
för sinus”. Anta att vi vet sin x och/eller cos x.
sin2 x
= cos x
23Lös ekvationen 2
24Bevisa att om 4 är en delare till (a – 1)
så är 4 en delare också till a2 +3.
1 Trigonometri och formler
27Bilda en ”enhetscirkel” med radien 2.
a)Vilka koordinater har en punkt på denna
cirkel för en godtycklig vinkel v ?
b)Härled trigonometriska ettan med hjälp av
en godtycklig vinkel v och koordinaterna för
tillhörande punkt P.
49
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
Svaren står med svart text. Ledtrådar och lösningar med blå text.
1
1103a)sin v = 0,829, cos v = 0,559
tan v = 0,829/0,559 ≈ 1,48
b)sin v = 0,94, cos v = 0,34
tan v ≈ 2,8
1104a)x ≈ 34° och x ≈ 146°
Ledtråd:
x = sin –1(0,56) och
sin (180°– x) = sin x
b)x ≈ 83°
c) Ingen lösning i intervallet.
d)x ≈ 153°
1105h ≈ 16 m
Ledtråd:
tan 37° =
b)v = 140°
Motivering:
cos v = – cos (180° – v)
1110a)(–b, a)
b) sin (v + 90°) = cos v
cos (v + 90°) = – sin v
1111En punkt på enhetscirkeln har
för vinkeln v koordinaterna
(cos v, sin v)
y
P
1106a) Ca 40 cm2
c) 9,2 cm
Ledtråd:
Använd cosinussatsen.
1107Sant.
Motivering:
Trianglars vinklar ligger
i intervallet 0° < v < 180°.
I detta intervall finns två olika
vinklar som har samma sinus­
värde men bara en vinkel till
varje cosinusvärde.
1108a) 20 cm
Ledtråd:
sin 56,4° = h/24
b) 180 cm
2
c) 63 cm
Kommentar:
Sidan BC beräknas med
cosinussatsen.
252
1204Om perioden är 180° innebär
det att varje tangensvärde
återkommer med ett intervall
på 180°, t ex tan 10° =
= tan 190° = tan 370° = …
c) Ingen lösning i intervallet.
Motivering:
sin v > 0 i hela intervallet.
h
19 + 2,5
b) 38 cm2
Ledtråd:
Använd areasatsen två
gånger.
1203Sinusfunktionen är periodisk
med period 360° vilket ger att
sin 50° = sin (50° + 360°) =
sin 410°
1109a)v = 56° och v = 134°
Motivering:
sin v = sin (180° – v)
1
v
x
(1, 0)
För en vinkel i första kvadran­
ten ger Pythagoras sats direkt:
(sin v)2 + (cos v)2 = 1
I andra kvadranten kan vi
utnyttja att
sin v = sin (180° – v)
cos v = – cos (180° – v)
vilket ger
(sin (180° – v))2 + (cos (180° – v))2 =
= (sin v)2 + (– cos v)2 =
= (sin v) + (cos v) = 1
2
2
dvs sambandet gäller för alla
vinklar i intervallet.
Kommentar:
Vi kan även använda cirkelns
ekvation eller avståndsformeln
för att visa att sambandet gäller
för alla vinklar.
1205a)0,5
Lösning:
sin 750° =
= sin (750° – 2 · 360°) =
= sin 30°
b) 0,53
Lösning:
cos (–302°) =
= cos (–302° + 360°) =
= cos 58°
c) 0,84
Lösning:
tan 400° =
= tan (400° – 180°) =
= tan 220°
1206a)0,42
b) – 0,42
c)0,91
d)0,91
e)0,42
Ledtråd:
sin (180° – v) = sin v
f) – 0,91
Ledtråd:
cos (v + 180°) = – cos v
g)0,91
h)0,42
1202a)
1b)
–1c)
–1d)
0
Svar, ledtrådar och lösningar
1207a) Falskt.
b) Sant.
Motivering:
cos v = cos (– v) och
cos 290° = cos (290° – 360°) =
= cos ( – 70°)
c)Sant.
Motivering:
cos 270° = 0 vilket ger att
sin 270°
tan 270° =
ej är
cos 270°
definierat.
d)Sant.
Motivering:
sin 550°
= tan 550° =
cos 550°
= tan (10° + 3 · 180°) =
= tan 10°
1208a) √ 3
b)– √ 3
Lösning:
3 3
2 3
– √ – √ = – √ = – √ 3
2 2
2
c)1
d) √ 3
1209a)Q (– a, b) och S (a, – b).
b)
Lösning:
sin ( − v)
VL = tan (–v) = =
cos ( − v)
−b
b
= −
= a
a
HL = tan (180° – v) =
sin (180° − v)
b
b
= −
=
=
−a
a
cos (180° − v)
VL = HL
1214sin v = ± 3 = ± 0,6
5
Lösning:
42
sin2 v = 1 – 5
sin2 v =
9
25
9
3
sin v = ± √ = ±
5
√ 25
y
P (a, b)
270°
v
x
(1, 0)
Q (b, –a)
a)
Lösning:
sin v = b, cos (v + 270°) = b
b)
Lösning:
cos v = a, sin (v + 270°) = – a
Svar, ledtrådar och lösningar
1217Lösning:
1
VL = sin x 
– sin x =
 sin x

= 1 – sin2 x = cos2 x = HL
1218Lösning:
VL = cos2 v (tan2 v + 1) =
 sin 2 v

VL = cos2 v · 
+ 1 =
 cos2 v

1224a) 2 cos 2 x – 1
b) 1
cos x
1225a)Lösning: 2
sin v
sin2 v
HL =
=
=
2
1 – sin v cos2 v
2
= tan v = VL
b)Lösning:
VL = (1 – sin 2 v ) (1 + tan 2 v ) =
sin 2 v 
= cos 2 v  1 +
=

cos 2 v
2
2
= cos v + sin v = 1 = HL
= sin2 v+ cos2 v = 1 = HL
1219Nej, för en trubbig vinkel
(90° < v < 180°) är cos v
negativ (andra kvadranten
i enhetscirkeln).
1220sin v = √8 , tan v = – √ 8
3
1221a)cos x
c)1
1
b)
sin x
Ledtråd:
Förläng till gemensam
nämnare.
1222a)x = 0° ger
sin2 0° + tan 0° = 0
1 – cos 0° = 0
x = 30° ger
sin2 30° + tan 30° ≈ 0,83
1 – cos 30° ≈ 0,13
b)Nej.
Motivering:
Uttrycken har inte samma
värde för alla vinklar x och
är därför inte identiska.
sin x 2 + cos x 2
=
sin x
1
= sin x
= b)Nej, Steves svar kan inte
förenklas till cos x.
Motivering:
Prövning ger t ex att för
x = 0° har Steves uttryck
värdet 0 medan cos 0° = 1.
1215a)b)cos v = 4 = 0,8
5
12
40
1216a)cos v = b)cos v = 13
41
d)cos x
1210
1223a)Ja.
Motivering:
cos x 2
sin x +
=
sin x
1227Lösning:
VL = 1 –
cos2 x
=
1 + sin x
=1–
1 − sin 2 x
=
1 + sin x
=1–
(1 + sin x) (1 – sin x)
=
1 + sin x
= 1 – (1 – sin x) = sin x = HL
1228Ledtråd:
Börja med VL och konjugat­
regeln.
1229Ledtråd:
Börja med att multiplicera
båda leden med (sin x + cos x).
Förenkla sedan HL.
1230Ledtråd:
Börja t ex med VL och skriv
om på gemensamt bråkstreck.
1231Ledtråd:
Multiplicera först båda leden
med cos x och sedan med
(1 + sin x)
253
1232Lösning:
sin x cos x
cos2 x
VL = =
cos2 x
sin 2 x
−
2
2
cos x
cos x
= tan x
= HL
1 − tan 2 x
sin x
− sin x
cos x
=
= sin 3 x
1 – cos x
1
−1
cos x
cos x
=
=
=
(1 – cos 2 x)
sin 2 x
1233Lösning:
tan2 x
VL =
=
1 – cos x
2
sin x
=
=
cos2 x (1 − cos x )
=
=
1 − cos2 x
=
cos2 x (1 − cos x )
1 − cos x
=
cos x (1 − cos2 x )
=
1
=
cos x (1 + cos x )
=
1 + cos x
1
1
=
=
+
cos x cos2 x
cos2 x
=
= HL
1234Lösning:
1
1
1
cos x
VL =
–
=
–
=
sin x tan x sin x sin x
=
1 – cos x
=
sin x
=
(1 – cos x) (1 + cos x)
=
sin x (1 + cos x)
1244Lösning:
VL = cos (60° + x) + cos (60° – x) =
= cos 60° · cos x – sin 60° · sin x +
+ cos 60° · cos x + sin 60° · sin x =
1
= 2 cos 60° · cos x = 2 · · cos x =
2
= cos x = HL
1236Lösning:
tan x – sin x
VL =
=
sin3 x
b)Lösning:
VL = sin (360° – x) =
= sin 360° cos x - cos 360° sin x =
= 0 ∙ cos x – 1 ∙ sin x = – sin x =
= HL
1
= HL
cos x + cos 2 x
1246Ledtråd: Sätt u = 0°.
1247√ 2 eller 1
2
√ 2
1239a)A = sin x, B = sin 25°
b)
A = cos y, B = sin 35°
1240a)
√ 2 (√ 3 + 1)
1248a) √ 2b)
2
4
1
1249cos (x – x) = 1
Förklaring:
cos (x – x) = cos 0° = 1
P
1
1 – cos 2 x
=
=
sin x (1 + cos x)
=
sin 2 x
=
sin x (1 + cos x)
y-koordinaten för P är
sin 180° = 0.
sin x
= HL
=
1 + cos x
b)Lösning:
sin (90° + 90°) =
= sin 90° · cos 90° +
+ cos 90° · sin 90° =
=1·0+0·1=0
1235Ledtråd:
Skriv först om VL så att
­nämnarna blir lika,
(1 – sin v ) (1 + sin v ).
1241a) 1,96 sin x
Lösning:
sin x · cos 12° + sin x · cos 12° =
2 · cos 12° · sin x ≈ 1,96 sin x
b) 0,81 cos x
1242a) 2 sin 50° cos x ≈ 1,53 cos x
b) 2 sin 43° cos x ≈ 1,36 cos x
c) 2 cos 79° cos x ≈ 0,38 cos x
1243a) 2 sin u · cos v
254
1245a)Lösning:
VL = cos (270° – v) =
= cos 270° cos v + sin 270° sin v =
= 0 ∙ cos v + ( – 1) ∙ sin v =
= – sin v = HL
1250– 16
65
Ledtråd:
Beräkna cos A och cos B med
hjälp av trigonometriska ettan.
1251Lösning:
cos (u + v) = cos (u – (– v)) =
= cos u · cos (– v) + sin u · sin (– v) =
= cos u · cos v – sin u · sin v
1252—
1253a) Lösning:
Vi använder sambanden
cos (90° – x ) = sin x
sin (90° – x ) = cos x
cos ((90° – u) – v) =
= cos (90° – u) · cos v +
+ sin (90° – u) · sin v
VL = cos (90° – (u + v)) =
= sin (u + v)
HL = sin u · cos v + cos u · sin v
b) Ledtråd:
Byt ut v mot –v
b) 2 cos u · sin v
c) 2 cos u · cos v
d)–2 sin u · sin v
Svar, ledtrådar och lösningar
1255a)0,96 c)0,75
1262a) Lösning:
1266a) Lösning:
sin 2 x
HL = =
1 + cos 2 x
HL =
sin 2 x
2
x =
cos
= 2
sin x
1+
cos2 x
b)0,28 d)3,43
Ledtråd:
tan 2 x=
sin 2x
cos 2x
√
1256a)sin v = ± √ 0,75 = ± 3 = ± √ 3
4
2
3
√
b) sin 2v = ±
2
Kommentar:
Samma svar i a) och b)
­eftersom cos v = 0,5
ger ­specialfallet att
sin 2v = sin v
1257a)
8
≈ 0,94
3
b)– 2 √ 8 ≈ – 0,63
9
1258a) – 0,5
Ledtråd:
cos 2x = 2 cos 2 x – 1
b) 1
9
840
41
b)
841
841
1261Formlerna för dubbla vinkeln
kan härledas från additions­
formlerna genom att använda
sin 2 v = sin ( v + v)
och
cos 2 v = cos ( v + v)
2 sin x cos x
=
1 + 2 cos2 x − 1
sin x
= = tan x = VL
cos x
b) Lösning:
1−
=
B
cos2 x – sin2 x
cos2 x
cos2 x + sin2 x
cos2 x
x
1
A
x
2x
1
C
O
/\ BOC = 2 x (yttervinkel)
BC = sin 2x, OC = cos 2x
sin 2 x
BC
= tan x = 1 + OC
1 + cos 2 x
1263Lösning:
sin 2 x cos 2 x
–
=
VL =
sin x
cos x
1259Nej.
Motivering:
Det räcker med ett motbevis
t ex 2 · sin 30° ≠ sin 60°
1260a) −
=
= 2 sin x cos x − 2 cos x − 1 =
sin x
2
cos x
2 cos2 x − (2 cos2 x − 1)
=
=
cos x
1
= HL
=
cos x
12643sinx – 4 sin x
Ledtråd:
sin 3x = sin (2x + x)
3
1265Ledtråd:
Visa att VL kan skrivas om
till HL. Använd formlerna för
dubbla vinkeln upprepade
gånger. OBS! 4x är dubbla
vinkeln till 2x.
1 – tan2 x
=
1 + tan2 x
=
cos2 x − sin 2 x
=
cos2 x + sin 2 x
= = cos 2x = VL
b) c) Ledtråd:
Visa att HL kan skrivas om
till VL på liknande sätt som
i a).
1303a)⇒
Motivering:
x > 0 medför att x 2 > 0.
Omvändningen gäller inte
eftersom x 2 > 0 också kan
medföra att x < 0
t ex 9 = (– 3)2
b)⇔
Motivering:
n är udda ⇒ n = 2k + 1 och
n = 2k + 1 ⇒ n är udda
c) ⇒
Motivering:
y = x + 2 medför y ′ = 1.
Omvändningen gäller inte.
Det finns flera funktioner
vars derivata är 1.
T ex y = x + 1.
d)⇔
Motivering:
lg x = 2 ⇒ x = 100 och
x = 100 ⇒ lg x = 2
1304a)3x + 7 = x + 1 ⇒
2x = – 6 ⇒ x = – 3
b)x = – 3 ⇒ 2x = – 6 ⇒
3x = x – 6 ⇒ 3x + 7 = x + 1
c)Ja.
3x + 7 = x + 1 ⇔ x = – 3
Svar, ledtrådar och lösningar
255
1305a) Ett jämnt tal: 2n(n heltal)
Ett udda tal: 2k + 1(k heltal)
Summan av ett udda och ett
jämnt tal är ett udda tal
Bevis:
2 n + 2 k + 1 = 2 (n + k) + 1 =
= 2 m + 1
( m är ett heltal eftersom n
och k är heltal)
Summan är ett udda tal.
V.S.B.
b)Ledtråd:
Utveckla produkten
(2n + 1)(2k + 1)
och motivera varför
den är ett udda tal.
1306a) Påståendet är sant.
Bevis:
n + (n + 1) + (n + 2) =
= 3n + 3 = 3(n + 1)
3(n + 1) är delbart med 3.
b) Påståendet är falskt.
Motbevis:
2+3+4=9
9 är inte delbart med 6.
1307Sant.
Motivering:
Symbolerna betyder
”P medför Q som medför R”.
”P medför alltså R”.
1308A + B + C = 180° (vinkelsumma)
A + B + 90° = 180°
A + B = 90°
sin (A + B) = sin 90° = 1
1309a)Ledtråd:
Visa att cosinussatsen ger att
a2 = b2 + c2 om A = 90°.
b)Ledtråd:
Visa att om a2 = b2 + c2
medför det att 2bc cos A = 0
och att A = 90°.
1310a)Triangeltal: n ( n + 1)/2
kvadrattal: n2
b)Slutsats: Summan av två på
varandra följande triangeltal
är ett kvadrattal.
c) Ledtråd:
Förenkla t ex
(n – 1) n/2 + n ( n + 1)/2
256
1311Lösning:
n, m heltal ger produkten:
2n · 2(n + 1) = 2 · 2 · n (n + 1) =
=2·2·2·m
Den sista likheten motiveras av
att antingen n eller (n + 1) är
ett jämnt tal.
8m är delbart med 8. V.S.B.
1312I sista steget dividerar vi med
a + b – c = 0.
Division med noll är inte
­definierat.
1313Ledtråd:
Dela upp i två fall:
n jämnt:2k och
n udda: 2k + 1.
Visa att detta leder till att
uttrycket kan faktoriseras
till (2k – 1)2k(2k + 1) samt
2k(2k + 1)(2k + 2) och
­motivera varför dessa uttryck
är delbara med 3.
1316a)¬P : n är udda.
1320Lösning:
P : 3 n + 2 udda
¬ P : 3n + 2 jämnt
Q : n är udda
¬ Q: n är jämnt
Vi visar P ⇒ Q genom att visa
¬ Q ⇒ ¬ P
n = 2 k ( k heltal)
3 n + 2 = 3( 2 k ) + 2 = 2(3 k + 1)
2 (3 k + 1) är ett jämnt tal.
V.S.B.
1321a) Lösning:
Anta: Ingen påse har 4
godisbitar eller fler.
Totala antalet godisbitar är
då maximalt 3 · 7 st vilket
motsäger att det är
22 godisbitar.
b)Ledtråd:
Visa att om både a och b är
negativa eller ingen av dem
så ger det att ab ≥ 0
1322Antagande: P
b)¬P : x + y < 4
Slutsats: Q
c)¬P : x ≠ 2
I ett direkt bevis visar man att
P ⇒ Q genom att utgå från P
och visa att slutsatsen Q är sann.
d)¬P : Inget barn är en flicka.
e)¬P : M
inst en ko kan inte
flyga.
1317Vi spelar inte fotboll ⇒ Det är
inte sommar.
1318a)¬ Q : x > 8 ⇒ ¬ P: 0,5 x + 2 > 6
b)x > 8 ⇒ 0,5 x + 2 > 0,5 ∙ 8 +
+2=6
1319a)”Om inget av två positiva reella tal är större än 10 medför
det att produkten är mindre
än eller lika med 100.”
eller
”Om två positiva reella tal
båda är mindre än eller
lika med tio medför det att
produkten är mindre än eller
lika med 100.”
I ett indirekt bevis visar man
att P ⇒ Q genom att istället
visa att ¬Q ⇒ ¬P
1323Ledtråd:
Anta att x ≥ 0.
Visa att VL > 0 varför x
inte kan vara en lösning.
1324Ledtråd:
Anta att a2 ≠ b2 + c2 där a är
hypotenusan. Visa att detta
leder till att 2bc cos A ≠ 0
och att A ≠ 90°.
1325Ledtråd:
Använd ett indirekt bevis.
Anta att a är ett jämnt tal 2n.
Visa att (2n)2 – 2 ∙ 2 n + 7 är
ett udda tal.
b)x och y är positiva reella tal.
¬ Q : 0 ≤ x ≤ 10 och
0 ≤ y ≤ 10
¬ P : x y ≤ 100
c)Vi visar att ¬ Q ⇒ ¬ P.
0 ≤ x ≤ 10 och 0 ≤ y ≤ 10
⇒ x y ≤ 100
Svar, ledtrådar och lösningar
1326a)Förklaring:
2b2 är delbart med 2,
då är a2 det med.
Om a2 är jämnt så
är a det med, se 1314.
b)Om både a och b går att dela
med 2 motsäger det att a/b
är förkortat så långt det går.
1327Lösning:
Anta att a2 – 4b = 2.
Det ger a2 = 2(2b + 1),
dvs a2 och a är jämna.
Sätt a = 2c ger
4c2 – 4b = 2
2(c2 – b) = 1
VL är ett jämnt tal, HL är 1
vilket ger motsägelse.
Historik: Från Euklides till Gödel
 1a) En triangel
b)270°.
1405a)x = 41° och x = 139°
b)x = 41° och x = – 41°
c)x = 41° + n · 360° eller
x = 139° + n · 360°
d)x = ± 41° + n · 360°
1406a)x ≈ 52,1° + n · 360° eller x ≈ 127,9° + n · 360°
b)
x ≈ –20,0° + n · 360° eller x ≈ 200,0° + n · 360°
1407a)x ≈ ± 64,0° + n · 360°
b)
x ≈ ± 141,3° + n · 360°
1408a)x ≈ ± 69,5° + n · 360°
b)
x ≈ 20,5° + n · 360° eller x ≈ 159,5° + n · 360°
c)x ≈ –12,7° + n · 360° eller
x ≈ 192,7° + n · 360°
Ledtråd:
Skriv först om till
ekvationen sin x = –0,22
d)x ≈ ±129,8° + n · 360°
1409a)x ≈ ± 22,1° + n · 120°
Lösning:
cos 3x = 0,40
Svar, ledtrådar och lösningar
3x ≈ ±66,42° + n · 360°
x ≈ ± 22,1° + n · 120°
b)x ≈ – 18,4° + n ∙ 180° eller
x ≈ 108,4° + n ∙ 180°
Ledtråd:
sin 2 x = – 0,60 ger
2x ≈ – 36,87° + n · 360° eller
2x ≈ 216,87° + n · 360°
1410a)x ≈ ± 318,8° + n · 1080°
b) x = 540° + n · 720°
Kommentar:
Svaret kan även skrivas
x = – 180° + n · 720°
1411I enhetscirkeln är radien = 1.
Största möjliga sinusvärde är 1
och minsta är – 1.
1412Jonna glömmer att dela
­perioden 360° med 2. Jonna
glömmer att även
2x = –60° + n · 360° ger en
lösning.
14130°, 360°, 720°
1414a)x ≈ 95,4° + n · 360°
eller
x ≈ 186,6° + n · 360°
Ledtråd:
x – 51,0° ≈ 44,4° + n · 360°
eller
x – 51,0° ≈
≈ 180° – 44,4° + n · 360°
b)x ≈ – 5,4° + n · 360°
eller
x ≈ – 96,6° + n · 360°
Ledtråd:
x + 51,0° ≈ 45,6° + n · 360°
eller
x + 51,0° ≈
≈ – 45,6° + n · 360°
1415a)x = 323°
Ledtråd:
Lös först ekvationen
fullständigt. Pröva sedan
för olika heltalsvärden på
n vilka av lösningarna som
ligger i intervallet.
b)x = 224°
1416a) Saknar lösning i intervallet.
b)x = –584° och x = – 496°
1417a) T ex sin x = 0,64
Motivering:
sin 760° ≈ 0,64
b) T ex cos 2x = 0,5
1418Ja.
Motivering:
sin x = 0,5 har två lösningar
i intervallet
sin 4x = 0,5 har åtta lösningar
i intervallet.
1419a) 559°, 611°, 739°, 791°
b) –76°, –19°, 14°, 71°.
c) 378°, 522°, 558°, 702°
1420a)x = 35° + n · 180° eller
x = 55° + n · 180°
Ledtråd:
2x = 70° + n · 360° eller
2x = 110° + n · 360°
b)x = 0° + n · 180° eller
x = 45° + n · 90°
Ledtråd:
3x = x + n · 360° eller
3x = 180° – x + n · 360°
c)x = – 30° + n · 360° eller
x = 10° + n · 120°
c)x ≈ 9,9° + n · 72°
eller
x ≈ 54,6° + n · 72°
Ledtråd:
5x – 71,3° ≈
≈ – 21,72° + n · 360°
eller
5x – 71,3° ≈
≈ 180° – (–21,72°) + n · 360°
d)x ≈ 17,9° + n · 720°
eller
x ≈ –151,1° + n · 720°
257
1424a)x = 0° + n · 360° eller
x = 180° + n · 360°
vilket kan sammanfattas till
x = n · 180°
b)x = ± 90° + n · 360°
vilket kan sammanfattas till
x = 90° + n · 180°
Kommentar:
Pricka in lösningarna
i enhetscirkeln så blir det
enklare att se hur de kan
sammanfattas.
c)x = n · 180° eller
x = 90° + n · 180°
vilket kan sammanfattas till
x = n · 90°
Ledtråd:
Lös ekvationen
sin x = 0 och cos x = 0.
1425a)x = n · 180° eller
x ≈ 17,5° + n · 360° eller
x ≈ 162,5° + n · 360°
Ledtråd:
sin x – 0,3 = 0 ger
sin x = 0,3
b)x = 90° + n · 180° eller
x = ± 60° + n · 360°
c) x = 90° + n · 180°
Ledtråd:
2sin x – 5 = 0 saknar lösning
1426a)x = n · 180° eller
x ≈ 48,6° + n · 360° eller
x ≈ 131,4° + n · 360°
Ledtråd:
Bryt ut sin x
b)x = 90° + n · 180°
Ledtråd:
Skriv om till
cos2 x – 5cos x = 0
och bryt ut cos x
1427Lösning:
Formeln för dubbla vinkeln ger
VL = sin 2x.
sin 2x har största värde 1 varför
ekvationen saknar lösningar.
1428a)x = n · 180°
Ledtråd:
Ekvationen kan skrivas om till
2 sin x cos x – 2 sin x = 0
vilket ger
sin x = 0 och cos x = 1.
258
b)x = 90° + n · 360°
Ledtråd:
Sätt sin x = t vilket ger en
andragradsekvation.
1429x = 270° + n · 360° eller
x ≈ 19,5° + n · 360° eller
x ≈ 160,5° + n · 360°
Ledtråd:
Använd trigonometriska ettan
och sätt sedan sin x = t
1430x = n · 90° eller
x ≈ ± 36,3° + n · 180°
Ledtråd:
sin 4x = sin (2 · 2x) =
= 2 sin 2x cos 2x
1431x = 30° + n · 360° eller
x = 150° + n · 360° eller
x ≈ –11,5° + n · 360° eller
x ≈ 191,5° + n · 360°
1432x = 90° + n · 180° eller
x = ± 120° + n · 360°
1433x = 180° + n · 360° eller
x ≈ ± 70,5° + n · 360°
Ledtråd:
Ekvation kan skrivas
1 + 2 cos x + 2 cos2 x – 1 =
= 1 – cos2 x
Förenkla och sätt cos x = t
143448,2°, 96,4°, 35,4°
Ledtråd:
Triangelns vinkelsumma ger
0° < 3x < 180°. Använd detta
tillsammans med sinussatsen.
1435a)A ≈ 82,8192°
B ≈ 41,4096°
b)A = 2B
Ledtråd:
Använd cosinussatsen och
sambandet
cos 2x = 2 cos2 x – 1
1502a)60°/s
1503a) 120° < v < 240°
b)0° ≤ v < 30° och
150° < v ≤ 180°
1504 k kan ha värdet
k = 28° + n · 360° eller
k = 148° + n · 360°
1505Ja.
Motivering:
För n = 1 är (1 – n)2 = 0
För n ≥ 2 är (1 – n)2 > 0
150645 m
Ledtråd:
Rita figur. På 5 min snurrar
hjulet 5/3 varv eller 600°.
1507a)Största värde = 25
Minsta värde = 21
Ledtråd:
– 1 ≤ sin x ≤ 1 ger
– 2 ≤ 2 sin x ≤ 2
b)Största möjliga värde = 200
Minsta möjliga värde = 25
1508Ja, v = n · 180°.
Ledtråd:
sin v
sin v =
om sin v = 0
cos v
1509–1 ≤ a ≤ 4
Ledtråd:
2a – 3
≤1
–1 ≤
5
15105
Lösning:
sin2 10° + sin2 80° =
= sin2 10° + cos2 10° = 1
sin2 20° + sin2 70° =
= sin2 20° + cos2 20° = 1
sin2 30° + sin2 60° =
= sin2 30° + cos2 30° = 1
sin2 40° + sin2 50° =
= sin2 40° + cos2 40° = 1
sin2 90° = 1
b) 1,5 s
c) 0,5 s
Ledtråd:
Från A till C är vridningen
30° vilket med hjälp av a)
ger svaret. Alternativt lös
ekvationen y = 1,5
där y = 3 sin 60t
1511Lösning:

1 
1 
1+
1+
=
sin A  
cos A 

1
1
2
> 5
+
+
cos A sin A sin 2 A
 
> 1 > 1 ≥ 2
= 1+
Svar, ledtrådar och lösningar
1512a)Lösning:
Bevis:
Supplementvinkeln är
180° – A.
sin (180° – A) = sin A
cos (180° – A) = – cos A
dvs om A är snäll så är supp­
lementvinkeln det med.
b)Lösning:
Motbevis:
A = 90° ger att A är snäll då
sin 90° = 1 och cos 90° = 0.
A
= 45° är inte snäll då
2
2
sin 45° = cos 45°= √
2
är ett irrationellt tal.
Diagnos 1
 1a) T ex 40° och 140°
Ledtråd:
sin (180° – v) = sin v
b)Nej.
 2a)v ≈ 63,4°
Ledtråd:
tan v = sin v/cos v = 2
b)a ≈ 0,447
Ledtråd:
cos v
 6a) ( –b, – a)
b)Ledtråd:
Utveckla HL med subtraktions­
satsen för cosinus.
 7A1 – B6, A2 – B3, A3 – B4,
A4 – B2, A5 – B1, A6 – B5
 8”Vi äter inte glass medför att det
inte är soligt.”
eller
”Om vi inte äter glass är det inte
soligt.”
 9Lösning:
Antag att x < 3.
Detta ger att
2x + 3 < 2 ∙ 3 + 3 = 9
Vilket ger en motsägelse
eftersom 2x + 3 ≥ 9.
Antagandet att x < 3 är
felaktigt, dvs x ≥ 3.
V.S.B.
10a)x = ± 60° + n · 360°
b)x ≈ – 14° + n · 360°
x ≈ 194° + n · 360°
c) x = 23° + n · 360°
x = 157° + n · 360°
b) sin (–270°) = 1
 4a) 1:a och 4:e eller 2:a och 3:e
Ledtråd:
2:a
kvadranten
1:a
kvadranten
3:e
kvadranten
4:e
kvadranten
b) 1:a och 3:e eller 2:a och 4:e
 5sin v ≈ 0,92 eller sin v ≈ – 0,92
Ledtråd:
Använd trigonometriska ettan.
Svar, ledtrådar och lösningar
 1a) –1
b) 1
 2x ≈ 15°, x ≈ 165°,
x ≈ 375°, x ≈ 525°
 3x = n ∙ 360°
 40,12
Motivering:
sin–1 (0,12) ger vinkeln vars sinus­
värde är 0,12 och sinus för denna
vinkel är 0,12.
 5a) x < 32 b) sin x ≠ 0,5
 6a)¬ P : x < 2 ¬ Q : 2 x + 3 < 7
b)Ledtråd:
Visa att 2x + 3 < 7 ger att x < 2
 7sin x + cos x
 8b, c, a
Motivering:
Se enhetscirkeln.
cos 460° = cos 100° < 0
sin 885° = sin 165° = sin 15° < sin 24°
d)x = n · 180°
 9Ledtråd:
Sätt u = v = A
e) x ≈ 127° + n · 360°
x ≈ – 67° + n · 360°
10"Om minst en klarar provet blir
minst en godkänd."
f) Lösning saknas.
 3a) cos 900° = – 1
Ledtråd:
900° = 2 ∙ 360° + 180°
Blandade övningar 1A
11Nej.
Ledtråd:
Lös ekvationen sin v = 0,1
fullständigt och undersök
för n = 1 och 2.
12a)x = 30° + n ∙ 360°
x = 150° + n ∙ 360°
Ledtråd:
Skriv om täljaren i vänsterledet
med hjälp av formel för dubbla
vinkeln och förkorta.
b)x = ±90° + n ∙ 360°
x ≈ ± 70,5° + n ∙ 360°
Ledtråd:
Bryt ut cos x och använd
nollproduktmetoden.
13Största värdet = 1 ( v = 90°)
Minsta värdet ≈ 0,17 ( v = 170°)
14180° + n ∙ 360° ≤ v ≤ 360° + n ∙ 360°
11cos v = – √ 7
3
Ledtråd:
Använd trigonometriska ettan.
90° < v < 180° ger att cos v < 0.
12cos 2x = – 7
8
Ledtråd:
cos 2 x = 2 cos2 x – 1
13Ledtråd:
Visa t ex att höger led kan skrivas
om till vänster led. Börja med att
bryta ut sin x.
14Lösning:
Motsägelsebevis:
Antag att sin v + cos v > √ 2
vilket ger (sin v + cos v)2 > 2
Omskrivning ger vänster led
sin2 v + 2 sin v cos v + cos2 v =
= 1 + sin 2 v ≤ 2 då sin 2 v ≤ 1
vilket motsäger antagandet,
dvs sin v + cos v ≤ √ 2.
259
15Ledtråd:
Skriv om vänsterledet. Förläng
den första termen med 1 + cos x
och förenkla nämnaren till sin2 x.
cos3 x
Skriv om andra termen till sin2 x
och sätt på gemensamt bråk­
streck. Bryt ut cos2 x i täljaren och
förenkla.
16a)x ≈ 56,1° + n ∙ 360°
x ≈ 123,9° + n ∙ 360°
b)x ≈ ± 48,4° + n ∙ 180°
17a) T ex sin x = 0,927
b) T ex cos x = – 0,139
18Lösning:
Om k och n är heltal kan
­differensen skrivas
2 k + 1 – (2 n + 1) = 2 k – 2 n =
= 2(k – n) vilket är ett jämnt
tal eftersom k – n är ett heltal.
19Nej.
Motivering:
1
1
cos x
=
=
tan x  sin x  sin x
 cos x
20cos 95° + cos 55°
Ledtråd:
Uttrycket kan förenklas till
2 cos a cos b
21a) – b
b) b
22Nej.
Motivering:
x ≈ 141° + n ∙ 900°
eller
x ≈ – 191° + n ∙ 900°
23Nej.
Motivering:
sin 89°
tan 89° =
≈ 57
cos 89°
sin 89,9°
tan 89,9° =
≈ 573
cos 89,9°
När v närmar sig 90° närmar sig
cos v 0 och tan v växer ­obegränsat.
24Ledtråd:
Gör ett indirekt bevis
och visa att om n är ett
jämnt tal så är n3 ett jämnt tal.
260
25Nej, Anders har fel.
Motivering:
En fördubbling av noll är
noll vilket ger att vinklarna
v = n ∙ 180° motsäger påståendet.
Ledtråd:
Lös ekvationen 2 sin x = sin 2 x.
26a)x = n ∙ 360° och
x = 20° + n ∙ 40°
Ledtråd:
5x = 4x +n ∙ 360° och
5x = (180° – 4x)+ n ∙ 360°
b)x = n · 180° och
x = 270° + n · 360°
27a)1
b) Värdet av uttrycket blir 1.
c) Uttryckets värde är 1 för
alla x ≠ 90° + n ∙ 180°.
28Ekvationen har
• 4 lösningar då a > 5 och
då a < –5.
• 2 lösningar då a = 5 och
då a = –5
• 0 lösningar då –5 < a < 5
 4a)x ≥ 3 ger att
6(x + 1) ≥ 6 · (3+ 1) = 24
b)Ledtråd:
Visa att 6( x + 1) < 24
ger x < 3.
 5a)0,77
Ledtråd:
cos 320° = cos (–40°)
b)0,77
Ledtråd:
cos (90° – v) = sin v
 60
Ledtråd:
Använd additions- och
subtraktionssatserna.
 7D
  8 0,94
Ledtråd:
Använd additionsformeln för sinus
och att sin (110°) = sin (90° + 20°)
 9sin v = – √ 5
3
Ledtråd:
I tredje kvadranten är sin v < 0.
10Ledtråd:
Antag att Blandade övningar 1B
 1x ≈ – 310°, x ≈ – 50°, x ≈ 50°,
x ≈ 310°
Ledtråd:
x ≈ ± 50° + n ∙ 360°.
Pröva med n = –1, 0 och 1
 2x = 15° + n ∙ 180°
x = 75° + n ∙ 180°
Ledtråd:
2x = 30° + n ∙ 360°
2x = (180° – 30°) + n ∙ 360°
 3a)sin v = 3/5
b)cos v = 4/5
c) sin (90° – v) = 4/5
d) sin 2 v = 24/25
Ledtråd:
Använd formeln för sin 2 v.
1
>1
1 + x 2
och visa att det ger
x 2 < 0 vilket är omöjligt.
11Ledtråd:
Skriv t ex om VL genom att först
bryta ut sinx och sedan använda
formel för dubbla vinkeln.
12T ex cos 3x = 1
13k = 1,5
14x ≈ 37° och x ≈ 323°
Ledtråd:
cos (37°) = cos (–37°) =
= cos (–37° + 360°)
15a)v = 210° och v = 330°
b) 210° ≤ v ≤ 330°
16T ex A ≈ 0,287
Ledtråd:
sin–1 0,1 ≈ 5,379°
A · 20° ≈ 5,379°
Kommentar:
Löser vi ekvationen
sin 20 A = 0,1 får vi samtliga
värden på A.
Svar, ledtrådar och lösningar
17Nej.
Motivering:
Kvadraten av ett udda tal är udda.
Summan av två udda tal är jämn,
dvs om vi bara har udda tal så är
VL jämn medan HL är udda, vilket
ger motsägelse.
18a)x = n ∙ 180°
b)x ≈ 13,9° + n ∙ 90°
x ≈ 47,1° + n ∙ 90°
19Enhetscirkelns ekvation är
x 2 + y2 = 1 vilket med
x = cos v och y = sin v ger
trigonometriska ettan.
20a > 2/3 eller a < – 2/3
Ledtråd:
Lösning saknas om cos 3 x > 1
eller cos 3 x < – 1 , dvs 3 a /2 > 1
eller 3 a /2 < – 1
21Ledtråd:
Gör ett motsägelsebevis.
Antag att VL > 4 och visa
med hjälp av formel för dubbla
vinkeln att det ger en motsägelse.
22T ex sin 4x =
= 4 sin x cos x (1 – 2 sin2 x)
Ledtråd:
Formeln för dubbla vinkeln ger
sin 4x = 2 sin 2x cos 2x
23x ≈ ± 65,5° + n ∙ 360°
Ledtråd:
Skriv om VL till (1 – cos2 x)/2 och
sätt cos x = t
24Ledtråd:
a2 + 3 = (a – 1)(a + 1) + 4
Motivera varför HL är delbar
med 4.
25a)46,6°
b) Formeln ger
√
sin A = 5
2
32
med lösning A = 46,6°
c) Ledtråd:
Formel för dubbla vinkeln
A
cos A = 1 – 2 sin 2
2
Kombinera detta med
cosinussatsen.
26180° om a = –1 eller a = 1.
Svar, ledtrådar och lösningar
27a) (2 cos v, 2 sin v)
2108a)b)
b)Ledtråd:
Sätt in koordinaterna från a)
i cirkelns ekvation x 2 + y2 = 22
2
y
y = 2 sin 4x
x
90°
180°
2
2102a) Perioden är 360°/10 = 36°
Kommentar:
När x går från 0° till 36° så
går 10x från 0° till 360°.
b)Perioden är
b) 45° < x < 225°
2110a)
360° = 3 600°
0,1
y
1
2103Ja, båda har perioden 360°/3 =
120°.
2104a)90°
b)480°
y = –sin x
x
90°
360°
b)Största värde = 2
Minsta värde = –2
2111Ja, ekvationen har
en lösning x = 90° + n ∙ 180°.
Motivering:
VL = HL = 0 om sin x = 0
c)180°
d)1 080°
Ledtråd:
1
k=
3
2105a) y
2112–1,2 < A < 1,2
y = 2 sin x
1
2109a)Kurvorna är identiska men
förskjutna 90° i förhållande
till varandra.
x
90°
360°
b)Största värde = 2
Minsta värde = –2
c) Amplituden = 2
2106a)A mplitud = 4
Period = 360°
b)A mplitud = 100
Period = 144°
c)A mplitud = 50
Period = 72°
Kommentar:
Amplituden är alltid ett po­
sitivt värde, (största värdet
– minsta värdet)/2.
d)A mplitud = 10
Period = 80°
2107T ex y = 2,5 sin 1,8x
Ledtråd:
360°
= 200°
k
2113720°
Ledtråd:
x 1 + x 2 = 180°
x 3 = 360° – x 2
x4 = 360° – x 1
21143,3
Ledtråd:
11 ∙ 0,3 = 3,3
21150
Ledtråd:
sin 359° = sin (–1°) = – sin 1°
sin 358° = –sin 2°, o.s.v.
Addera par som blir 0.
2117x ≈ 91,1°
2118Två; graferna skär varandra på
två ställen.
2119Avläs t ex avståndet mel­
lan två på varandra följande
­maxpunkter.
2120a) 0 < a < 1
Ledtråd:
Linjen y = a ska skära
y = sin x på två ställen.
b)a = 1
c) a > 1
261