Stockholms Tekniska Gymnasium 2013-03-20 Övningsuppgifter omkrets, area och volym Uppgift 1: Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur. [cm] 4 7 Uppgift 2: Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur. [cm] S=5 h=3 b=8 Uppgift 3: Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur. 4 2 [cm] 5 6 Uppgift 4: Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur. [cm] 5 Uppgift 5: Beräkna arean av nedanstående figur. [cm] 4 3 Stockholms Tekniska Gymnasium 2013-03-20 Uppgift 6: Beräkna arean av nedanstående figur. 1 [cm] 2 9 Uppgift 7: Beräkna arean av nedanstående figur. [cm] 4 3 1,5 1 0,5 3 Uppgift 8: Byt till enheten som står inom parentes 4 km (cm) 60000 cm (km) 9 km2 (m2) 120000 m2 (km2) 2 km2 (mm2) 2,5 km3 (m3) 4 m3 (dm3) 7 m3 (cm3) 14000 m3 (km3) 4 ⋅ 10 9 cm 3 (km3) Uppgift 9: Beräkna volymen av följande kropp [cm] 9 5 Stockholms Tekniska Gymnasium 2013-03-20 Uppgift 10: Beräkna volymen av följande kropp [cm] 3 2,5 7,5 Uppgift 11: Beräkna volymen av ett halvklot med radien 10 cm. Uppgift 12: Kheopspyramiden är 139 meter hög och dess bas är kvadratisk med sidan 230 meter. Hur stor volym har Kheopspyramiden? Uppgift 13: Beräkna förhållandet mellan volymen av en sfär och volymen av en kub där sfären är inskriven i kuben (se fig). . Uppgift 14: Beräkna längden av sidan x i figuren nedan (triangeln är rätvinklig) [cm] x 6 2 Uppgift 15: Om f ( x) = 3x + 2 beräkna då f (−2) , f (2) och f (2) − f (−2) Uppgift 16: Om f ( x) = x 2 − 1 beräkna då f (3) och f (−3) Uppgift 17: Ett klot har volymen 30 liter. Hur stor är dess radie? Uppgift 18: En triangel har tre vinklar. Den ena vinkeln är 24° den andra 67°. Hur stor är den tredje vinkeln? Stockholms Tekniska Gymnasium 2013-03-20 Uppgift 19: Beräkna längden av sidan x i figuren nedan (triangeln är rätvinklig) [cm] 9 7 x Uppgift 20: Hur stor är ^C om vinkeln ^B är 32° och yttervinkeln vid A är 67°? C B A Uppgift 21: Nedan finns ett parallellogram. Bestäm ^A och ^C om ^B=^D=62°. A D B C Uppgift 22: Värdet av en bil kan beräknas med formeln där x = antalet år efter inköpstillfället. kronor, a) Beräkna och förklara med ord vad betyder. b) Beräkna och förklara med ord vad betyder. c) Hur lång tid tar det innan bilens värde är 75000 kronor? Uppgift 23: Rita grafen till funktionen y = 2 x − 4 och bestäm var grafen skär x- respektive y-axeln. Stockholms Tekniska Gymnasium 2013-03-20 Uppgift 24: Grafen nedan visar hur temperaturen i en ugn varierar med tiden efter det att ugnen slogs på. a) Bestäm rumstemperaturen utanför ugnen. b) Hur lång tid tar det innan temperaturen är 100°C? c) Hur mycket stiger temperaturen per minut? Uppgift 25: Kännäth sätter in 20000 kronor i en aktiefond. Fonden ökar i värde med 20% per år. a) Rita graf över hur värdet på sparpengarna ändras de första 5 åren b) Hitta en funktion som beskriver värdet på Kännäths sparpengar. c) Beräkna med hjälp av denna funktion hur mycket pengar Kännäth har på kontot efter 15 år. d) Försök att ta reda på ungefär hur lång tid det tar innan Kännäth har 40000 SEK på kontot Stockholms Tekniska Gymnasium 2013-03-20 Facit Uppgift 1: A = b ⋅ h = 7 ⋅ 4 = 28 cm 2 O = 2b + 2h = 2 ⋅ 7 + 2 ⋅ 4 = 14 + 8 = 22 cm Uppgift 2: A = b ⋅ h = 8 ⋅ 3 = 24 cm 2 O = 2b + 2s = 2 ⋅ 8 + 2 ⋅ 5 = 16 + 10 = 26 cm Uppgift 3: b⋅h 6⋅5 A= = = 15 cm 2 2 2 Omkretsen: Vi måste räkna ut de två okända sidornas längd. 2 4 x 5 y 5 Använd Pythagoras sats. a2 + b2 = c2 52 + 2 2 = x 2 25 + 4 = x 2 29 = x 2 a2 + b2 = c2 52 + 42 = y 2 25 + 16 = y 2 41 = y 2 x = ± 29 ≈ ±5,4 (slopa negativ lösning) y = ± 41 ≈ ±6,4 (slopa negativ lösning) O = b + x + y ≈ 6 + 5,4 + 6,4 = 17,8 cm Uppgift 4: O = π ⋅ d = π ⋅ 5 ≈ 15,7 cm d 5 A = π ⋅ r 2 = [r = = = 2,5] = π ⋅ 2,5 2 = 19,6 cm 2 2 2 Uppgift 5: A = b ⋅ h 3 ⋅ 4 12 = = = 6 cm 2 2 2 2 Stockholms Tekniska Gymnasium 2013-03-20 Uppgift 6: a+b 9 +1 10 A= h= 2 = ⋅ 2 = 10 cm 2 2 2 2 b=1 [cm] 2 a=9 Uppgift 7: Jag ser figuren som en triangel + stor rektangel – liten rektangel 4 1,5 1 A= 0,5 3 = + - 3 b⋅h 0,5 ⋅ 4 +b⋅h −b⋅h = + 4,5 ⋅ 3 − 0,5 ⋅ 1,5 = 1 + 13,5 − 0,75 = 13,75 cm 2 2 2 Uppgift 8: Byt till enheten som står inom parentes 4 km = 4000 m = 400000 cm 60000 cm = 600 m = 0,6 km 9 km 2 = 9 ⋅ 1 km 2 = 9 ⋅ 1 km ⋅ 1 km = 9 ⋅ 1000 m ⋅ 1000 m = 9000000 m 2 = 9 ⋅ 10 6 m 2 120000 m 2 = 120000 ⋅ 1 m 2 = 120000 ⋅ 1 m ⋅ 1 m = 120000 ⋅ 0,001 km ⋅ 0,001 km = 0,12 km 2 2 km 2 = 2 ⋅ 1 km 2 = 2 ⋅ 1 km ⋅ 1 km = 2 ⋅ 1000 m ⋅ 1000 m = 2 ⋅ 1000000 mm ⋅ 1000000 mm = 2 ⋅ 1012 mm 2 2,5 km 3 = 2,5 ⋅ 1 km 3 = 2,5 ⋅ 1 km ⋅ 1 km ⋅ 1 km = 2,5 ⋅ 1000 m ⋅ 1000 m ⋅ 1000 m = 2,5 ⋅ 10 9 m 3 4 m 3 = 4 ⋅ 1 m 3 = 4 ⋅ 1 m ⋅ 1 m ⋅ 1 m = 4 ⋅ 10 dm ⋅ 10 dm ⋅ 10 dm = 4 ⋅ 10 3 dm 3 7 m 3 = 7 ⋅ 1 m 3 = 7 ⋅ 1 m ⋅ 1 m ⋅ 1 m = 7 ⋅ 100 cm ⋅ 100 cm ⋅ 100 cm = 7 ⋅ 10 6 cm 3 14000 m 3 = 14000 ⋅ 1 m 3 = 14000 ⋅ 1 m ⋅ 1 m ⋅ 1 m = 14000 ⋅ 0,001 km ⋅ 0,001 km ⋅ 0,001 km = 14 ⋅ 10 −6 km 3 4 ⋅ 10 9 cm 3 = 4 ⋅ 10 9 ⋅ 1c m 3 = 4 ⋅ 10 9 ⋅ 1 cm ⋅ 1 cm ⋅ 1 cm = 4 ⋅ 10 9 ⋅ 0,01 m ⋅ 0,01 m ⋅ 0,01 m = 4 ⋅ 10 3 m 3 = = 4 ⋅ 10 3 ⋅ 1 m 3 = 4 ⋅ 10 3 ⋅ 1 m ⋅ 1 m ⋅ 1 m = 4 ⋅ 10 3 ⋅ 0,001 km ⋅ 0,001 km ⋅ 0,001 km = 4 ⋅ 10 −6 km 3 Uppgift 9: V = πr 2 h = [r = d = 2,5] = π ⋅ 2,5 2 ⋅ 9 ≈ 177 cm 3 2 Stockholms Tekniska Gymnasium 2013-03-20 Uppgift 10: V = b ⋅ h ⋅ d = 3 ⋅ 7,5 ⋅ 2,5 = 56,25 cm 3 Uppgift 11: 4 ⋅π ⋅ r3 4 ⋅ π ⋅ r 3 2 ⋅ π ⋅ 10 3 3 V= = = ≈ 2094 cm 3 2 6 3 Uppgift 12: Bas ytan: BA = b ⋅ h = 230 ⋅ 230 = 52900 m 2 BA ⋅ h 52900 ⋅ 139 V= = ≈ 2,45 ⋅ 10 6 m 3 3 3 Uppgift 13: Sfärens radie: r = r meter Sfärens diameter d = 2r meter Kubens sida = Sfärens diameter = 2r 4πr 3 3 Kubens volym: Vk = (kubens sida ) 3 = (2r ) 3 = 8r 3 Sfärens volym: Vs = Förhållandet mellan volymerna: Vk 8r 3 8r 3 ⋅ 3 2 ⋅ 3 6 = = = = Vs 4πr 3 π π 4πr 3 3 Uppgift 14: a2 + b2 = c2 22 + 62 = x 2 x 2 = 4 + 36 x 2 = 40 x = ± 40 (skippa den negativa lösningen) x ≈ 6,3 cm Uppgift 15: f (−2) = 3(−2) + 2 = −6 + 2 = −4 f (2) = 3 ⋅ 2 + 2 = 6 + 2 = 8 f (2) − f (−2) = 8 − (−4) = 8 + 4 = 12 Uppgift 16: f (3) = 32 − 1 = 9 − 1 = 8 f (−3) = (−3) 2 − 1 = 9 − 1 = 8 Stockholms Tekniska Gymnasium Uppgift 17: 30 liter = 30 dm3 4πr 3 V= 3 4πr 3 30 = 3 4πr 3 30 = 3 30 ⋅ 3 = r3 4π 1 30 ⋅ 3 3 r=( ) ≈ 1,93 dm 4π Uppgift 18: ^ A+ ^ B + ^ C = 180° 24° + 67°+ ^ C = 180° ^ C = 180° − 24° − 67° ^ C = 89° Uppgift 19: a2 + b2 = c2 72 + x 2 = 92 x 2 = 92 − 72 x 2 = 81 − 49 x 2 = 32 x = ± 32 (skippa den negativa lösningen) x ≈ 5,7 cm Uppgift 20: ^ Aytter + ^ Ainner = 180 ° 67°+^ Ainner = 180° ^ Ainner = 180° − 67° ^ Ainner = 113° ^ A+ ^ B + ^ C = 180° 113° + 32°+ ^ C = 180° ^ C = 180° − 113° − 32° ^ C = 35° 2013-03-20 Stockholms Tekniska Gymnasium 2013-03-20 Uppgift 21: I parallellogram gäller att ^ A =^ C För alla fyrhörningar gäller att ^ A+ ^ B + ^ C + ^ D = 360 Sätt ^ A =^ C = x ^ A+ ^ B + ^ C + ^ D = 360 x + 62 + x + 62 = 360 2 x + 124 = 360 2 x = 360 − 124 236 x= 2 x = 118° Uppgift 22: a) V (0) = 240000 − 15000 ⋅ 0 = 240000 SEK ; Nypriset på bilen är 240000 SEK b) V (5) = 240000 − 15000 ⋅ 5 = 160000 SEK ; Efter 5 år är bilen värd 160000 SEK c) 75000 = 240000 − 15000 x 15000 x = 240000 − 75000 15000 x = 165000 165000 x= 15000 x = 11 år Uppgift 23: 2 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -4 -6 -8 -10 OBS: x-axelns högra ände och y-axeln övre ände skall vara försedda med pil! Grafen skär x-axeln i x = 2 Grafen skär y-axeln i y = -4 Stockholms Tekniska Gymnasium 2013-03-20 Uppgift 24: Grafen nedan visar hur temperaturen i en ugn varierar med tiden efter det att ugnen slogs på. a) Svar 20°C (ty när ugnen slås på är dess temperatur samma som rummets) b) Svar: ca 8 min c) På 10 minuter stiger temperaturen från 20°C till 120°C, dvs 100°C. Om temperaturen stiger 100°C på 10 minuter så stiger den 10°C på en minut. Uppgift 25: 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 0 1 2 3 4 5 a) b) y = 20000 ⋅ 1,2 x där y är värdet på aktiefonden och x är tiden i år. c) y(15 år ) = 20000 ⋅ 1,215 ≈ 308000 SEK d) Grafen skär y = 40000 vid x ≈ 3,8 ; Svar: Efter ca 3,8 år eller ca 3 år och 10 månader