Komplex algebra

Komplex algebra
1 Polynom med komplexa lösningar……………………………………..2
Modell ▪ Grafer till rationella funktioner……………………………...9
2 Komplexa tal i polär form och potensform…………………….....12
3 Teori - Komplex analys…………………………………………………...22
3 Historien om hyperkomplexa tal……………………………………...23
Facit………………………………………………………………………………..29
Bilder
s.5 Das Gauß-Weber-Denkmal in Göttingen från omkring 1900.
s.23 Studenter som lyssnar på Johannes av Legano i Bologna
© Författarna och Bokförlaget Borken, 2011
Komplex algebra - 1
1 Polynom med komplexa nollställen
Modell ▪ Polynomdivision
På samma sätt som du kan dividera två heltal där täljaren är större än
nämnaren, kan du dividera två algebraiska uttryck där täljarens gradtal är
större än nämnarens. Vi visar divisionen ”4378/21 med liggande stolen”.
208
4378 21
–42
178
–168
10
(43 delat med 21 är 2 (hela), som
skrivs ovanför linjen.)
(2 gånger 21 är 42 som subtraheras
från 43, vilket ger 1.)
(7 flyttas ner. 17 delat med 21 är lika
med 0 hela, som skrivs ovanför
l(8 flyttas
) ner. 178 delat med 21är lika
med 8 hela.)
Detta innebär att
4378
10
= 208 +
21
21
eller
4378=21⋅208 + 10.
2
x + 3x + 2
x3 + 2 x 2 − x + 3
Vi visar divisionen
x −1
x 3 + 2 x2 – x + 3 x – 1
med ”liggande stolen”. Hur många
3
2
gånger går x i högstagradstermen x3 ? –( x – x )
Skriv svaret x2 på raden ovanför. Beräk3x2 – x + 3
na produkten x2(x – 1) och subtrahera.
–(3x2 – 3x)
2
Gör om samma sak med termen 3x
2x + 3
som är termen med näst högsta grad.
–(2x – 2)
Motsvarande produkt är 3x(x – 1).
Subtrahera denna produkt från förra
5
resultatet. Gör sedan om samma sak
med konstanttermen 2. Produkten
som ska subtraheras är nu 2(x – 1).
Rest vid denna division blir 5.
Resultat: (x3 + 2x2 – x + 3) = (x – 1) ⋅ ( x2 + 3x+ 2) + 5.
Komplex algebra - 2
Modell ▪ Ekvationslösning med faktorisering
Vi har tidigare skrivit om en produkt som en summa på följande sätt:
x⋅(5 + x) = 5x + x2
↑ ↑
↑ ↑
faktorer
termer
↓
↓
↓ ↓ ↓
(x – 3)(x + 2) = x2 – x – 6
Dessa beräkningar kan vi också utföra baklänges, från en summa till en
produkt:
5x + x2 = x⋅(5 + x)
↑ ↑
↑ ↑
termer
faktorer
↓ ↓ ↓ ↓
↓
2
x – x – 6 = (x – 3)⋅(x + 2)
Detta kallas att faktorisera polynomen 5x + x2 respektive x2 – x – 6.
Att göra faktoriseringen 5x + x2 = x(5 + x) kallas ofta att ”bryta ut x”.
En ekvation kan lösas med faktorisering genom att (i tur och ordning)
• bryta ut lämpliga faktorer ur alla termer
• använda konjugat- eller kvadreringsregeln
• tillämpa faktorsatsen
Faktorsatsen
Vi har tidigare visat att om andragradsuttrycket ax2+ bx + c har rötterna
x 1 och x 2 , med faktoruppdelningen: ax2 + bx + c = a ( x - x 1 )(x - x 2 ).
Generellt gäller enligt den s k faktorsatsen:
Om en algebraisk ekvation f(z ) = 0 har en lösning z = z 1 så är
f(z ) = (z – z 1)⋅g(z ).
Ty om vi dividerar f(z) med (z – z 1 ) får vi f(z)= (z - z 1 )⋅g(z) + A
(=resten).
Eftersom f(z 1 ) = 0 får vi 0 = (z 1 – z 1 )⋅g(z 1 ) + A. Detta innebär att A = 0.
(Om man inte får resten noll så är inte z = z 1 en lösning.)
Vi kan alltså dra slutsatsen att f(z ) = (z – z 1)⋅g(z ).
Komplex algebra - 3
Ekvationen g(z )= 0 kan nu kanske lösas eftersom den har en
enhet lägre gradtal än ekvationen f(x) = 0.
Exempel Lös ekvationerna
a) x3 + x2 – 2x = 0 c) x3 – 7x + 6 = 0 med en lösning x 1 = 1
b) x4 – x2 = 0
d) x4 + x3 – 7x2 – x + 6 = 0 med lösningarna x1,2= ±1
Lösning
a) x3 + x2 – 2x = x(x2 + x – 2), ty vi kan bryta ut faktorn x.
Eftersom andragradsekvationen x2 + x – 2 = 0 har lösningarna
x1 = –2 eller x2 = 1. så har ekvationen = x(x2 + x – 2) = 0
lösningarna x1 = -2 eller x2 = 1 eller x3 = 0.
b) x4 – x2 = x2(x2 – 1) = x2(x + 1)(x – 1). Vi har först brutit ut x2 och
sedan tillämpat konjugatregeln.
Lösningarna är x1,2 = 0, x3 = –1 eller x4 = 1.
c) Eftersom ekvationen har en lösning x 1 = 1 så är uttrycket delbart med
(x – 1). Om vi utför divisionen (x3 – 7x + 6)/(x – 1) får vi:
(x3 – 7x + 6) = (x – 1)( x2 + x – 6). Eftersom andragradsekvationen
x2 + x – 6 = 0 har rötterna x1 = –3 eller x2 = 2, kan vi dra slutsatsen:
Ekvationens lösningar x1 = -3 eller x2 = 2 eller x3 = 1 .
d) Eftersom ekvationens vänsterled är delbart med (x – 1) och (x + 1), så
är det delbart med (x – 1)⋅(x + 1) eller (x2 – 1).
Vi får (x4 + x3– 7x2 – x + 6) = (x – 1)(x + 1)(x2 + x – 6).
Lösningarna är x1 = 1 eller x2 = –1 eller x3 = –3 eller x4 = 2.
Normalt kan man inte lösa algebraiska ekvationer av femte graden
och högre med hjälp av rotutdragningar, men med vissa går det. I detta
fall flyttar vi över alla termer till det ena ledet och får x7 - x5 – 2x3 = 0.
Vi ser att vi kan (i) bryta ut faktorn x3. Vi får x3(x4 – x2 –2) = 0.
Det betyder att x3(x4 - x2 – 2) = 0 ⇔ x = 0 eller x4 - x2 – 2 = 0. Den
senare ekvationen är en fjärdegradsekvation, och till sådana finns det en
allmän lösningsmetod. Denna är dock omständlig. Här finns inga udda
potenser med och då kan vi göra substitutionen t = x2
t2 - t – 2 = 0
t = 0,5 ±
0, 25 + 2 ⇔ t = 0,5 ± 1,5
Eftersom t = x2 måste t ≥ 0 Alltså är x 1 =
t 1 = -1 eller t 2 = 2
2 eller x 2 = - 2
Komplex algebra - 4
Teori ▪ Hur många komplexa lösningar har en
ekvation?
•
Carl Friedrich Gauss formulerade år 1800 algebrans
fundamentalsats:
Varje ekvation a 0 x n + a 1 x n -1 + a 2 x n -2 + … + a n = 0, där koefficienterna a 0 , a 1 …a n är komplexa tal och a 0 ≠0, har minst en komplex
rot.
Detta innebär att ekvationen x3 + 5x2 – x – 5 = 0 har minst en lösning.
Visa att x =1 är en lösning. Enligt faktorsatsen är uttrycket (x3 + 5x2 – x – 5)
delbart med (x – 1). Om vi utför divisionen så blir kvoten ett uttryck av
andra graden. Alltså har denna ekvation två lösningar och tredjegradsekvationen ovan tre lösningar. Rent generellt gäller: Ekvationen a 0 xn +
+a 1 xn-1 + a 2 xn-2 + … + a n = 0, där koefficienterna a 0 , a 1 , a 2 … …a n är
komplexa tal och a 0 ≠ 0, har exakt n rötter.
I sin doktorsavhandling från
år 1796 lade Gauss fram
flera bevis för algebrans
fundamentalsats. Gauss
arbetade även med matematikens tillämpning i
astronomin. År 1801
lyckades han till exempel
beräkna planeten Ceres
bana, som en astronom
under en kort tid observerat
och sedan tappat ur sikte.
Under sina 50 sista år var
han föreståndare för det
astronomiska observatoriet i
Göttingen. Gauss formulerade även en matematisk
teori om rummets krökning,
vilket hade sin betydelse för
Albert Einsteins allmänna
relativitetsteori.
Vi ser - Gauss sittande och Weber stående - samtalande.
De talar om den elektromagnetiska telegrafen, som de
hade lyckats uppfinna 1833.
Komplex algebra - 5
G1.1
Utför följande divisioner med papper och penna. Vad blir
kvot och rest?
2317
x 3 − 3x 2 + x
a)
22
x +3
d)
435
b)
29
2002
c)
37
G1.2 Visa att x4 + 3x3 – 7x2 – 15x + 10 = (x2 + 3x – 2)(x2 – 5) är en
korrekt faktorisering.
G1.3
a)
b)
c)
G1.4
Bryt ut största möjliga faktor ur polynomen
x2 + 8x
d)
8x – 40x2 + 80x4
5x2 – 15x
e)
xy2 – 3xy
x3 + x2 + 8x
f)
5x2y – 10xy2
Lös följande ekvationer genom faktorisering.
a)
2x – 16x2 = 0
h)
4y2 – 144 = 0
b)
x + x3 = 0
i)
2x2 – 32 = 0
c)
x3 + 6x2 + 9x = 0
j)
12x3 – 60x2 + 75x = 0
d)
72 – 120x + 50x2 = 0
k)
9x4 – 6x3 + x2 = 0
e)
2x2 – 20x = 0
l)
4x4 – 9x2 + 2 = 0
f)
4x2 + 20x + 25 = 0
m)
5x4 – 12x2 + 100 = 0
g)
2x – 3x2 + x3 = 0
G1.5
Lös följande ekvationer genom att först faktorisera ekvationens
vänstra led.
a)
2z + 8z2 = 0
e)
z3 – 6z2 + 18z = 0
b)
z2 – iz = 0
f)
4z4 – 20z3 + 25z2 = 0
c)
z3 + z = 0
g)
z4 – z3 + z2 = 0
d)
z4 – 1 = 0
h)
4z4 + 9z2 + 2 = 0
Komplex algebra - 6
G1.6
Lös följande ekvationer. Vi vet att de har en lösning z = 3.
a)
z3 – 2z2 – 14z + 33 = 0
b)
z3 – 7z2 + 17z – 15 = 0
G1.7
Lös ekvationen f(z)=0 om f(z) = z3 – 2z2 – 14z – 12 och f(–2)=0
G1.8
Dividera f(z) med g(z) och lös sedan ekvationen f(z) = 0.
a)
f(z) = z3 + 2z2 – z – 2, g(z) = z – 1
b)
f(z) = z3 – 3z – 2, g(z) = z – 2
c)
f(z) = z3 – 9z2 + 28z – 30, g(z) = z – 3
d)
f(z) = z3 – z2 + z – 21, g(z) = z – 3
V1.9
Lös ekvationen (z2 + 5)(z2 + z + 3) = 0.
V1.10 Bestäm de tre rötterna till ekvationen (z3 – z2) + 4(z – 1) = 0.
V1.11 Lös ekvationen z(z2 – 9) + (z2 – 9)(z2 + 8) = 0 genom
faktorisering.
V1.12 Lös följande ekvationer genom att gissa en av heltalsrötterna.
a)
z3 + z2 + 3z – 5 = 0
b)
z3 – 2z2 – 4z + 8 = 0
V1.13 Skriv en andragradsekvation med heltalskoefficienter vars
a)
rötter är
x1 = –5 och x2 = –5/2
b)
x1 = –5 + 2i och x2 = –5 – 2i
c)
x 1 = –3 +
3 i och x 2 = –3 –
3i
V1.14 Förenkla följande rationella uttryck
z 3 + 5z 2 + 5z − 3
z +3
4
z − 4 z 3 + 9 z 2 − 10 z + 8
b)
z 2 − 3z + 4
V1.15 När lösningarna till ekvationen z 3 − 4z 2 + 5z =
0 anges som
punkter i det komplexa talplanet, kan en cirkel ritas som går
genom alla punkterna. Lös ekvationen samt bestäm cirkelns
radie. (NpE ht98)
a)
Komplex algebra - 7
V1.16 For which values of a does the polynomial z3 + 4z + a have two
complex conjugate roots?
V1.17 Every quadratic polynomial has either 2 distinct real roots, one
real root of multiplicity 2, or 2 complex roots. What cases can
occur for a polynomial of degree 3? Give an example for each of
these cases.
V1.18 Hur många lösningar har ekvationen
iz7 + (7 + i)z5 - 8z + 6i = 0?
V1.19 Tredjegradsekvationen x3 – 3x2 + 2x – 6 = 0 har de två
lösningarna x 1 = 3 och x2 = 2 i. Vilken är den tredje roten?
V1.20 Ge exempel på ett femtegradspolynom vars enda reella rötter
är x = 2 med multipliciteten 2, dvs polynomet har faktorn
(x – 2)2 och x = 1 med multipliciteten 1.
Komplex algebra - 8
Modell ▪ Grafer till rationella funktioner
Exempel Rita grafen till funktionen f(x)=
4x 2 + 1
; x ≠ 0. Om vi utför
x
en division med metoden enligt sid.2 får vi resultatet f ( x=
) 4x +
Alltså:=
y
1
x
f ( x)
i ( x)
där h(x) är ett
= (efter division)
= h( x ) +
g( x)
g( x)
polynom och gradtalet för i(x) är mindre än g(x).
Lösning Derivatan tecknas: f ′(x) = 4 –
Derivatans nollställen bestäms:
1
4x 2 − 1
=
x2
x2
4x 2 − 1
= 0 för x 1 = −1/2 och x 2 = 1/2
x2
Derivatans tecken i de olika delintervallen bestäms. Vi måste även ta
med de värden på x då nämnaren är lika med noll. Eftersom f ′(−1) = 3,
1
1
f ′(− ) = -12, f ′( ) = −12 och f ′(1) = 3 får vi:
4
4
x
x < −1/2 −1/2
f′ (x)
+
f(x)

0
−1/2 < x < 0
0
–

0 < x < 1/2
–
ej
def
Komplex algebra - 9

1/2 x > 1/2
0
+

x
f(x)
-2
-8,5
-1
-5
-1/2
-4
-1/16
1
Låt oss använda limessymbolen: lim ( 4 x + ) =
4x
+1/16
x →±∞
x
ty 1/x kan bli hur litet som helst bara x är tillräckligt
1/2
stort. Detta innebär att avståndet till kurvan y = 4x
1
1
från f ( x=
) 4 x + kan bli hur litet som helst bara x
x
2
1
görs tillräckligt stort. lim− ( 4 x + ) = −∞ och
x →0
x
1
lim+ ( 4 x + ) =
∞
x →0
x
-80
Vad händer när absolutbeloppet av x blir mycket stort
eller mycket nära de värden för vilken nämnaren är
noll (i vårt fall x = 0)? För mycket stora värden på x
liknar den rationella funktion en polynomfunktion
(i vårt fall y = 4x). I det andra fallet närmar sig kurvan
lodräta linjer obegränsat (i vårt fall x = 0).
+80
4
5
8,5
De linjer (kurvor) som framkommer i limesprocessen
kallas asymptoter. I vårt fall linjerna y = 4x och x = 0
Grafen nedan finns på gratisdisketten som: En rationell kurvas asymptoter
Komplex algebra 10
V1.21 Rita grafen till funktionen f(x) = x2 –
1
; x ≠ 0. Vilka grafer
2x
liknar f(x) när absolutbeloppet av x är stort respektive litet?
V1.22 Rita grafen till
funktionen
x 2 +1
y= 2
x + 4 x − 12
samt bestäm
kurvans
asymptoter.
V1.23 Rita grafen till
funktionen
2x 3 − 1
y=
.
2x
Bestäm kurvans
asymptoter.
Att fundera på
Vilka två
asymptoter har
kurvan här bredvid? Ge förslag
på ett funktion
för denna kurva
med hjälp av
dessa två
asymptoter.
Komplex algebra 11
2 Komplexa tal i polär form och
potensform
Modell ▪ Polär form
Vi har tidigare representerat komplexa tal, z = a + bi, med vektorer
som är definierade till längd och riktning. Riktningen bestämmer
vi med hjälp av vinkeln, ϕ (även kallat argumentet för z), mellan
vektorn och den positiva reella axeln. Längden av vektorn
(absolutbeloppet av z) är |z| =
a2 + b2 .
Vi låter vinkeln variera enligt –π < ϕ ≤ π, dvs -180° < ϕ ≤ 180°.
Exempel 1 med lösning
Vi beräknar argumentet för
z = 2 – 2i. Vi ser att vinkeln
mellan den reella axeln
och vektorn är 45° (=
π
).
4
Alltså är ϕ1 = arg(2 – 2i) = –
π
.
4
Komplex algebra 12
Exempel 2 med lösning
Vinkeln mellan vektorn z = –2 + 4i
och den negativa reella axeln, a, ger
ekvationen tan a = 4/2 vilket ger a =
= 63,4°.
Alltså är arg z =180° – 63,4°=
=117°.
Om vektorns argument är ϕ och dess längd är r (som vi tidigare skrivit
|z| ), så blir koordinaterna för vektorns spets (rcosϕ, r sinϕ), vilket
innebär att vi kan skriva det komplexa talet som z = rcosϕ + i⋅r sinϕ
Om vi nu bryter ut r får vi s k polär form, vilket innebär att längd och
vinkel ingår i formen. Alltså z = r(cosϕ + i ⋅sinϕ) .
Exempel 3 Skriv talen i och –i på polär form. Använd radianer.
Eftersom vektorn i har längden 1 och argumentet
π
är
2
π
π
π
π
+ i sin ). Varför är –i = (cos (− ) + i sin(− ) )?
2
2
2
2
π
Jo, det komplexa talet –i har längden 1 och argumentet (− ) .
2
i = 1⋅(cos
Exempel 4
Skriv talet: z = –1 + i 3 på polär form.
Lösning: r = |z|= 12 + ( 3)2 =2.
Talet ligger i andra kvadranten och vinkeln
mellan den negativa x-axeln och vektorn ges
π
3
av ekvationen tan a =
vilket ger a = .
3
1
π 2π
Alltså är arg z = π − = .
3
3
2π
2π
Talets polära form är 2(cos
+ i sin
)
3
3
Komplex algebra 13
G2.1
a)
b)
c)
d)
G2.2
a)
b)
c)
d)
Rita följande komplexa tal samt ange deras argument.
Ange svaren i radianer.
3i
e)
1 + 3i
–1 – i
3 +i
f)
6
g)
- 3 +i
2 + 2i
Skriv följande komplexa tal på polär form och ange
argumentet i grader.
2 + 2i
e)
3 + 7i
1 – 2i
f)
5 – 2i
– 3 – 3i
g)
–3 + 2i
h)
–4 – i
– 3 +i
G2.3 (Tips: Skriv först talen på formen a + bi.)
4
på polär form. Ange argumentet i grader.
i
1
b) Skriv talet z =
på polär form. Svara exakt med
(1 − i)2
radianer.
a) Skriv talet z =
Vad kan man använda komplexa tal till? Låt oss ge ett exempel!
En strömkrets har en resistor på 4Ω och en reaktans över en spole på
7Ω samt en reaktans över en kondensator på 12Ω . Uttryck kretsens
impedans som ett komplext tal i polär form. Om vi låter resistorns
impedans (resistans) ges av det komplexa talet R = 4 + 0i så har spolens
impedans X L ett argument på
ett argument på −
π
π
2
samt kondensatorns impedans X C
. Alltså är X L =7i och X C = –12i.
2
Alltså R + X L + X C = 4 + 8i – 12i = 4 – 4i. Skriv nu detta tal i polär
form!
Komplex algebra 14
Teori ▪ Multiplikation och division av komplexa tal
skrivna i polär form
Antag att vi har två tal skrivna i polär form:
z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1) och z2 = r2 (cos ϕ2 + i⋅sin ϕ2).
Detta ger z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ r2 (cos ϕ1 + i⋅sin ϕ1)⋅(cos ϕ2+ i⋅sin ϕ2) =
= r1 ⋅ r2 (cos ϕ1cosϕ2 – sin ϕ1⋅sin ϕ2 + i⋅cos ϕ1sin ϕ2 + i⋅sin ϕ1cos
ϕ2) = r1 ⋅ r2 [(cos ϕ1cos ϕ2 – sin ϕ1⋅sin ϕ2) + i(sin ϕ1cos ϕ2 + cos
ϕ1sin ϕ2)] = (enligt de trigonometriska additionsformlerna) =
= z 1⋅ z 2 = r 1⋅r2 [cos (ϕ1 + ϕ2) + i(sin(ϕ1+ ϕ2)].

z1
r (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )
r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )(cos ϕ2 − i sin ϕ2 )
=
=
= 1
z2 r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )(cos ϕ2 − i sin ϕ2 )
r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )(cos ϕ2 − i sin ϕ2 )
=
r2 (cos 2ϕ2 + sin 2ϕ2 )
=
r1[cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 − i cos ϕ1 sin ϕ2 + i sin ϕ1 cos ϕ2 ]
=
r1[(cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 ) + i(sin ϕ1 cos ϕ2 − cos ϕ1 sin ϕ2 )]
r2 (cos 2ϕ2 + sin 2ϕ2 )
r2 (cos 2ϕ2 + sin 2ϕ2 )
z1 r1
= [cos (ϕ1 – ϕ2) + i⋅ sin (ϕ1 – ϕ2)]
z2 r2
Vid division av komplexa tal divideras de komplexa talens
absolutbelopp och argumenten subtraheras.
Komplex algebra 15
=
Modell ▪ Multiplikation och division av komplexa tal
skrivna i polär form
Exempel Låt z1 = 2(cos π/3 + i⋅sin π/3) och z 2 = 3(cos π/12 + i⋅sin π/12).
z1
?
z2
Lösning z 1 ⋅ z 2 = 2(cos π/3 + i⋅sin π/3)⋅3(cos π/12 + i⋅sin π/12) =
= 6(cos(π/3 + π/12) + i⋅sin(π/3 + π/12) = 6(cos 5π/12 + i⋅sin 5π/12)
π
π
2(cos + i sin )
z1
π π
π π
3
3
=
=
1,5(cos( − ) + i sin( − =
))
z2 3(cos π + i sin π )
3 12
3 12
12
12
3π
3π
= 1,5(cos
+ i sin )
12
12
Vad är z1⋅ z2 och
G2.4
Om z har argumentet 35° vilket är då argumentet för i⋅z?
(Tips: arg (i ⋅z)=arg i + arg z)
G2.5
Antag att z = 3(cos 45° + i⋅sin 45°). Bestäm arg iz.
Svara i grader.
G2.6
Förenkla kvoten
48(cos82° + i sin 82°)
så långt som
3(cos 2° + i sin 2°)
möjligt.
G2.7
a)
b)
G2.8
Förenkla kvoten
15(cos 60° + i sin 60°)
så långt som möjligt.
5(cos 30° + i sin 30°)
Svara på polär form.
Ge svaret exakt på formen a + bi.
Antag att z = 4(cos 30° + i⋅sin 30°). Bestäm talet
1
. Svara på
z
polär form.
G2.9
11π
11π 
z1

Bestäm kvoten =
om z1 6  cos
+ i sin
 och
12
12 
z2

π
π

z2=4  cos + i sin  . Svara i både polär och (a + bi)-form
6
6

Komplex algebra 16
G2.10 Antag att z1 = 1 + i och z 2 = –i
a)
Skriv de båda talen i polär form.
b)
Bestäm argumentet för
z12
z2
Teori ▪ Potensform
Låt oss laborera med uttrycket eiϕ (som vi ännu inte definierat, men en
definition bör vara sådan att alla räkneregler, som du tidigare lärt dig,
fortfarande är korrekta).
Om ’vi skulle lita på potenslagarna’ [ e a eb = e a +b samt
skulle vi få:
iϕ1 iϕ2
iϕ1 +iϕ2
(1) e=
e
e=
ei (ϕ1 +ϕ2 )
ea
= e a −b ], så
b
e
eiϕ1
e 2
iϕ1 −iϕ2
(2)=
e=
ei (ϕ1 −ϕ2 )
iϕ
Vi har redan upptäckt att
(3) (cos ϕ1 + isin ϕ 1 )(cos ϕ2 + isin ϕ2) = cos (ϕ1 + ϕ2) + isin (ϕ1+ ϕ2)
(4)
cos ϕ1 + i sin ϕ1
= cos (ϕ1 – ϕ2) + isin (ϕ1 – ϕ2)
cos ϕ2 + i sin ϕ2
Om vi skulle definiera e
iϕ1
med uttrycket e iϕ1 = cosϕ1 + i⋅sinϕ1,
så skulle raderna (3) och (4) få utseendena:
iϕ1 iϕ2
(3) e e
=e
i(ϕ1 +ϕ2 )
eiϕ1 i(ϕ1 −ϕ2 )
(4) iϕ = e
e 2
Eftersom rad 1 och 2 överensstämmer med rad 3 och 4 så verkar det
finnas en överensstämmelse mellan potenslagarna och de trigonometriska additionsformlerna för de komplexa talen. Om vi skulle fortsätta
att söka överensstämmelser mellan olika typer av lagar för de komplexa
talen, så skulle vi aldrig misslyckas. Detta är ett gott skäl för att identifieringen e
iϕ1
= cosϕ1 + i⋅sinϕ1 bör gälla.
Komplex algebra 17
Modell ▪ Tal i potensform skrivna på formen a + bi
Exempel Skriv e
Lösning e
2+i
π
4
2 +i
π
4 på formen a + bi
= e2(cos π/4 + isin π/4) = e2(
2
2
2
+i
2
) = e2
V2.11 Skriv följande tal på formen a + bi
a)
b)
c)
d)
e)
eiπ
e
e
e
e
f)
iπ
2
g)
iπ
−
2
h)
iπ
-3ei2π
−i 2π
e 3
e
−1+i 4π
3
3−i π
4
6e −iπ /3
=−1 − i 3 (NpE vt 98)
V2.12 Visa att
3e iπ /3
Komplex algebra 18
3
2
2
(1 + i)
Modell ▪ Tal på formen a+bi skrivna på potensform
Exempel Skriv talet: z = –1 + i 3 i potensform (polär form).
Lösning
r = |z|= ( −1) 2 + ( 3) 2 =
2 Det
komplexa talet ligger i andra
kvadranten och vinkeln mellan den
negativa x-axeln och vektorn, a, ges
3
vilket ger
1
π
π 2π
a = . Alltså arg z = π − =
av ekvationen tan a=
3
3
2π
i
2e 3
3
Talets potensform är
. Talets
2π
2π
polärform är 2(cos
+ i⋅sin
).
3
3
V2.13 Skriv följande tal z på potensform:
a)
b)
c)
d)
e)
z=3
z = 3i
z = 2 + 2i
z = -i
− 2 +i 2
z=
2
V2.14 Skriv följande tal z på potensform med argumentet i radianer
och två värdesiffror:
a)
z = 3 – 2i
b) z = 3 + 5i
c) z = -13 – 2i d) z = –20
Komplex algebra 19
Teori ▪ de Moivres formel
(=
e iϕ ) n
iϕ
eiϕ eiϕ ⋅=
⋅⋅e
eniϕ
n st faktorer
Vi skriver (eiϕ ) n = e niϕ i polär form
och får de Moivres formel:
(cos ϕ+ i⋅sin ϕ)n = cos nϕ + i⋅sin nϕ
Detta innebär t ex att:
(cosϕ + i⋅sinϕ) 2 = cos 2ϕ + i⋅sin 2ϕ
(cosϕ + i⋅sinϕ)3 = cos 3ϕ + i⋅sin 3ϕ
(cosϕ + i⋅sinϕ) 4 = cos 4 ϕ + i⋅sin 4ϕ
Modell ▪ de Moivres formel
4
π
π
Exempel Skriv  cos + i sin  på formen a + bi.
4
4

Lösning
 π
π 4 
π
π
( cos π i sin π ) =
−1
 cos + i sin  =
 cos 4 + i sin 4  =+
4
4 
4
4

V2.15 Bestäm z5 på formen a + bi om z = 3(cos 25° + i sin 25°) .
V2.16 Skriv på formen a + bi uttrycken
9
π
π 18
2π
2π 


+ i sin
a)  cos + i sin 
b)  cos

6
6
3
3 


V2.17 Förenkla uttrycket i ⋅ (cos 30° + i sin 30°)7 så långt som
möjligt.
6
V2.18 Beräkna ( 2 3 + 2i ) . För vilka heltal n gäller att Rez = 0 då
=
z
(2
3 + 2i ) ? (NpE vt 97)
n
Komplex algebra 20
Modell ▪ Lös ekvationer av typen z3 = 4i
Lösning Vi skriver z i polär form z = r (cos ϕ + i⋅sin ϕ).
Vi skriver z3 i polär form z3 = r3 (cos 3ϕ + i⋅sin 3ϕ).
Vi skriver 4i på polär form 4i= 4(cos π /2 + i⋅sin π /2 ).
Eftersom z3 = 4i får vi r3 (cos 3ϕ + i⋅sin 3ϕ) = 4(cos π /2 + i⋅sin π /2 ).
Identifiering av de bägge leden ger:
r = 3 4 = 1,59 och 3ϕ = π / 2 + k ⋅ 2π vilket ger ϕ = π / 6 + k ⋅ 2π / 3 .
Eftersom det är en tredjegradsekvation skall vi få tre lösningar.
ϕ 0 = π / 6=( 30°) för k = 0; ϕ1= π / 6 + 2π / 3=( 150°) för k = 1;
ϕ2= π / 6 + 4π / 3 =
9π / 6=( 270°) för k = 2;
Lösningarna är
z1 =
z3=
3
3
4 (cos 30° + i⋅sin 30° )
z2=
3
4 (cos 150° + i⋅sin 150° )
4 (cos 270° + i⋅sin 270° )
Den svarta ringen eller den
gröna vektorn är det
komplexa talet c. De fem
röda ringarna representerar
de komplexa talen z 1 z 2 z 3
z 4 och z 5 som är lösningar
till ekvationen z n = c
V2.19 Skriv lösningarna till ekvationerna nedan på formen a + bi.
a)
z3 – i = 0
b)
z3 – 8 = 0
c)
z3 + 64 = 0
d)
z3 + i = 0
Komplex algebra 21
Teori ▪ Komplex analys
V2.19 Ett område i matematiken kallas komplex analys. Där studerar
man funktioner w = f ( z ) som avbildar en talmängd i det
komplexa talplanet (z-planet ) på ett annat komplext talplan
(w-planet). (NpE vt96)
Im z
Im w
w =f(z)
Re z
z-plan
Re w
w-plan
De tre komplexa talen 0, 2 och 2 + 2i utgör hörn i en rätvinklig
triangel i z-planet. Triangeln avbildas på w-planet med hjälp av
funktionen w f=
=
( z ), där f ( z ) z 2 .
•
Markera i w-planet bilderna av triangelns hörn.
•
Undersök hur triangelns hypotenusa avbildas på w-planet.
•
Bestäm bilderna av triangelns övriga sidor.
Nedan visas avbildningen av ett rektangulärt nät i z-planet och dess bild under
avbildningen ez till w-planet.
Komplex algebra 22
Historien om hyperkomplexa tal
Lösningen till tredjegradsekvationen x3+ mx = n formulerades av
Gerolamo Cardano från Milano i Ars Magna, 1545. Cardano använde
n
n2 m3 3 n
n2 m3
3
+
+
−
−
+
+
formeln
. Detta var emellertid
2
4 27
2
4 27
inte Cardanos upptäckt. Lösningarna hade i olika varianter formulerats
av bl a Tartaglia (1535), från staden Bologna. Cardano var en typisk
renässansmänniska – matematiker, läkare, magiker och kättare. Han var
både gillad och ogillad av kyrkan, en spelare som följdriktigt gjorde
upptäckter i sannolikhetsläran.
Han kunde dock inte godta de komplexa lösningarna som korrekta
sådana.
Gravstensrelief av
Johannes från
Legnano, juridikprofessor i Bologna
(död 1383).
Reliefen visar
studenter som
lyssnar på en
föreläsning av
Johannes vid
universitetet i
Bologna.
Väst får kontakt med det grekiska vetandet
Under 1100- och 1200-talen sker en våldsam expansion av det filosofiska, teologiska och naturvetenskapliga vetandet i Västeuropa. Ett stort
antal grekiska och arabiska skrifter översätts till latin. Den lärda världen
kan nu stifta bekantskap med skrifter av Aristoteles, Euklides geometri
och optik, Ptolemaios astronomi och optik, medicinska verk av Hippokrates och Galenos.
Det blir nu naturligt att finna institutioner för den grekisk-arabiska
vetenskapen. De första universiteten inrättas i Västeuropa till exempel i
Paris, Oxford, Bologna och Padua. Universitetet i Bologna räknas som
Europas äldsta (möjligen grundat 1088) och är under högmedeltiden
Komplex algebra 23
ett av de mest betydande. I Bologna sluter sig ursprungligen studenterna samman i ett skrå och anställer sina lärare. Den främsta specialiteten
är juridiken. Universiteten fungerar genom sina så kallade fakulteter:
medicinska, juridiska, teologiska och filosofiska. Det blir den filosofiska
fakulteten som får ansvaret för hela det nya vetande som kommer fram
genom översättningarna till latin.
V3.1
Den generella tredjegradsekvationen kan skrivas
V3.2
Bestäm en lösning till ekvationen x3 + 5x = 18.
y3+ by2+ cy + d = 0. Visa att denna kan överföras till x3 + px = q
(som har visat sig lösbar) genom att byta ut varje förekomst av y
mot (x – b/3).
Cardano gav en av sina studerande, Lodovico Ferrari, i uppgift att lösa
fjärdegradsekvationen, vilket denne gjorde med glans genom att överöra fjärdegradsekvationen till en tredjegradsekvation som alltså kunde
lösas.
Rafaello Bombelli publicerade 1572 de tre första böckerna i algebra i
en planerad serie om fem. De två sista har bara hittats som manuskript i
ett bibliotek i Bologna på 1900-talet. Bombelli är den förste som skriver ned regler för hur man adderar, subtraherar, multiplicerar och dividerar komplexa tal, inte helt i överensstämmelse med de regler som
gäller idag. Han kunde visa att om man använder de komplexa talen så
kan man, med Cardanos formel, finna alla tre reella lösningarna till en
tredjegradsekvation. Det gäller även om formeln kommer att innehålla
roten ur ett negativt tal.
Albert Girard ger 1629 ut verket Invention nouvelle en l´algebra där
han visar på relationen mellan rötter och koefficienter, vilket var
möjligt genom att han godtog negativa och imaginära rötter. Girard var
dessutom den förste som formulerade algebrans fundamentalsats även
om han inte lyckades bevisa den.
V3.3
Antag att vi har en tredjegradsekvation x3 + a 1 x2 + a 2 x + a 3 = 0,
som har rötterna x 1 , x 2 och x 3 . Visa nu det som matematikern
Albert Girard bevisade om sambandet mellan rötter och koefficienter: x 1 + x 2 + x 3 =– a 1 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 x 1 x 2 x 3 = –a 3 .
Komplex algebra 24
V3.4 Vilket värde har uttrycket
1 1 1
+
+
om x 1 , x 2 och x 3 är
x1 x2 x3
rötterna till ekvationen: x3 – 7x2 + 8x + 2 = 0 ?
René Descartes (1596-1650) föddes i Frankrike. Efter studier i matematik, filosofi, teologi, juridik, medicin med mera vid en jesuitskola i
La Flèche begav sig Descartes ut på resor. Studierna hade fått honom
att tvivla på värdet av den antika naturfilosofin. Han kritiserade även
Galilei för att denne inte försökt förklara det biologiska livet med hjälp
av mekanikens lagar. Descartes filosofi sågs av många som den moderna
tidens filosofi och som ett heltäckande alternativ till antikt tänkande.
Descartes tänkte 1632 ge ut sin skrift Världen eller traktat om ljuset, då
han fick höra talas om domen mot Galilei på grund av dennes utgivna
skrift Dialog över de två världssystemen. Descartes bestämde sig då för att
inte publicera sin framlagda version av en mekanistisk världsbild, då
hans teori till och med var radikalare än Galileis.
Descartes trodde, som en
av de första, att vårt universum har en historia. Vår
mångfasetterade värld har
uppstått genom att Gud en
gång gav det oändligt utsträckta universum en
knuff. Genom att materien
följer de mekaniska naturlagarna, uppstod virvlar i
universum. I varje virvel
uppstod en sol och däromkring kretsande planeter.
Planeterna hålls kvar i sina
elliptiska banor tack vare
virvelns materia. De stjärnor vi ser är dessa oändligt
många solar.
Komplex algebra 25
Algebran och aritmetiken var före Descartes ett kaos av osammanhängande metoder för olika typer av problem. Descartes beskrev olika
metoder för att överföra algebraiska problem till geometriska problem.
Han uppfann till exempel en metod att geometriskt multiplicera två
längder så att svaret blev en längd i samma plan. Metoden bygger på
likformighet. Även de andra aritmetiska räknesätten t ex division och
rotutdragningar kunde han utföra geometriskt. På detta sätt kunde han
återföra algebraiska algoritmer till den säkra geometriska grunden.
V3.5
Konstruera sträckan ab med hjälp av de givna sträckorna a och
b samt passare och ograderad linjal. (Ledning: Använd dig av
figuren nedan och likformiga trianglar.)
Han utnyttjade också att man kunde göra det motsatta och löste geometriska problem genom att föra in bokstäver och ställa upp och lösa
ekvationer.
Denna metod kallas analytisk geometri. Han löste alltså matematikens
från dess begränsning att betrakta tal som x, x2 och x3 som geometriska
figurer: sträckor, kvadrater och kuber. Vi tänker alltså inte längre på
uttryck som t ex x3 som något annat än ett tal som fås genom att
multiplicera talet x med sig självt två gånger.
Leonhard Euler framlade 1748 de oändliga serierna för ex, sin x och
cos x samt härleder formeln e iϕ = cos ϕ + i⋅sin ϕ. Han visade också att
logaritmen av ett negativa tal är imaginär. Han införde också symbolen
i för −1.
Komplex algebra 26
V3.6
Visa att ln (–1) = iπ.
V3.7
iϕ
cos ϕ + i sin ϕ och e −iϕ =
cos ϕ − i sin ϕ . Bevisa
Vi vet att e =
med hjälp av dessa samband följande formler av Euler:
a)
e iϕ + e −iϕ
= cos ϕ
2
b)
e iϕ − e −iϕ
= sin ϕ .
2i
V3.8
Visa att cos i är ett reellt tal.
Jean Robert Argand skriver 1806 om hur de komplexa talen kan representeras i planet med en reell axel och en imaginär axel, ett så kallat
Argandplan. Det blir Carl Friedrich Gauss och William Rowan
Hamilton som framlägger den teori om komplexa tal som vi har idag.
Den irländske matematikern Hamilton
framlägger även de
första idéerna om
kvaternioner , vektorer
bi + cj + d k som svarar
mot punkter i en tredimensionell rymd.
Kvaternioner används
t ex för att beskriva
spin hos elementarpartiklar, vänster- eller
högerrotation. En
typisk kvaternion har
formen a + bi + cj + d k,
dvs den består av en
skalärdel, a, och en
vektordel, bi + cj + d k.
Komplex algebra 27
V3.9
a)
b)
c)
d)
Förenkla följande kvaternioner (Reglerna för kvaternioner
finns på frimärket ovan.)
(3 + 6i)(4 – 8j)
(4 – 8j)(3 + 6i)
(5 + i + j)(3 + 2j – 6k)
(3 + i )
(2 + j )
V3.10 Visa att om konjugatet q till q = a + bi + cj + d k definieras
2
2
2
2
som q = a – bi – cj – d k, så gäller q⋅ q = a + b + c + d .
Filosofen och matematikern Charles S Peirce visar 1870 att av algebror
som har färre än sju dimensioner så är det bara tre där division kan utföras, nämligen den vanliga reella skolalgebran, den komplexa algebran
och kvaternionalgebran.
Komplex algebra 28
Facit
G1.1
a)
kvot = 105 rest = 7
b)
kvot = 15 rest = 0
kvot = 54 rest = 4
kvot = x2 – 6x +19 rest = –57
Multiplikation av faktorerna (x2 + 3x – 2)(x2 – 5) visar
påståendet.
.
.
c)
d)
G1.2
G1.3
G1.4
G1.5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2z + 8z2 = 2z(1 + 4z) = 0 vilket ger z 1 = 0 eller z 2 = –1/4
z2 – iz = z(z – i)= 0 vilket ger z 1 = 0 eller z 2 = i
z3 + z = z(z2 + 1) = 0 vilket ger z 1 = 0 eller z 2 = i eller z 3 = –i
z4 – 1 = (z2 + 1)(z2 – 1) = (z2 + 1)(z + 1)(z – 1)= 0 vilket ger
z 1 = 1 eller z 2 = –1 eller z 3 = i eller z 4 = –i
z3 – 6z2 + 18z = z(z2 – 6z + 18) = 0 vilket ger z 1 = 0 eller
z 2,3 = 3 ± 3i
4z4 – 20z3 + 25z2 = z2(4z2 – 20z + 25) = z2(2z – 5)2 = 0 ger
z 1,2 = 0 eller z 3,4 = 2,5
z4 – z3 + z2 = z2(z2 – z + 1) = 0 vilket ger z 1,2 = 0 eller
z 3,4 = 1/2 ± 3 i/2
4z4 + 9z2 + 2 = 0 Sätt z2 = w och lös ekvationen 4w 2 + 9w + 2
= 0 vilket ger vilket ger w 1 = –1/4 eller w 2 = –2 vilket ger
z 1,2 = ±i/2 eller z 3,4 = ± 2 i
G1.6
a)
b)
G1.7
G1.8
z 1 = 3 eller z 2,3 = –1/2 ±
z 1 = 3 eller z 2,3 = 2 ± i
45 / 2
z 1 = –2 eller z 2,3 = 2 ± 10
c)
z 1 = – 2 eller z 2 = – 1 eller z 3 = 1
z 1,2 = –1 eller z 3 = 2
z 1,2 = 3 ± i eller z 3 = 3
d)
z 1,2 = –1 ± i 6 eller z 3 = 3
a)
b)
Komplex algebra 29
V1.9
V1.10
V1.11
V1.12
a)
11
eller z 3,4 = ± i 5
2
z 1 = ± 2i eller z 3 = 1
−1
31
±
i
z 1,2 = ±3 eller z 3,4 =
2
2
z 1,2 = –1/2 ± i
z 1,2 = –1 ± 2i eller z 3 = 1
b)
z 1, 2 = 2 eller z 2 = –2
2x2 + 15x + 25 = 0
x2 + 10x + 29 = 0
c)
x2 + 6x + 12 = 0
V1.13
a)
b)
V1.14
V1.18
z2 + 2z – 1
b)
z2 – z + 2
Ekvationen har lösningarna z 1,2 = 2 ± i eller z 3 = 0. Alltså
ligger cirkelns medelpunkt på x-axeln med avståndet x från
origo. Pythagoras sats ger x2 = (2 – x)2 + 1 vilket ger x = 1,25.
a>4
Every quadratic polynomial has either 3 distinct real roots,
one real root of multiplicity 2 and another real root, or one
real root and 2 complex roots.
7
V1.19 x 3 = – 2 i.
V1.20
T ex y =−
( x 2)2 ( x − 1)( x 2 + 1)
G2.1
a)
b)
c)
d)
G2.2
π/2
–3π/4
0
π/4
a)
V1.15
V1.16
V1.17
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
e)
f)
g)
2,8(cos 45˚+ isin45˚)
2,2(cos (-63˚)+ isin(-63˚))
4,2(cos(-135˚)+ isin(-135˚))
2(cos150˚+ isin150˚)
7,6(cos 67˚+ isin 67˚)
5,4(cos (–22˚)+ isin (–22˚))
3,6(cos 146˚+ isin 146˚)
4,1(cos (–166˚)+ isin (–166˚))
Komplex algebra 30
π/3
π/6
5π/6
G2.3
a)
b)
G2.4
G2.5
G2.6
z = 4(cos (–90˚) + sin (–90˚))
z = 0,5(cos π/2+ sin π/2)
Argumentet för i⋅z är 125˚
Arg iz är 3(cos 135˚ + i sin 135˚)
4(cos 80˚ + i sin 80˚)
3 3 3
+ i z = 0,25(cos (–30°) + i sin (–30°))
2
2
G2.8
0,25((cos(-30°) + i sin(-30°))
G2.9
.
z1
3π
3π 
1,5  cos
=
+ i sin
a)

z2
4
4 

G2.7ab)
b)
G2.10
−3 2 3 2
+
i
4
4
a)
z1 =
b)
0˚
2 (cos
π
4
+ i sin
π
4
) och z 2 = cos
−π
−π
+ i sin
2
2
V2.11
a)
b)
c)
d)
e)
V2.12
V2.13
–1
i
–i
1
3
+i
2
2
2
2
−i
e(
)
2
2
–3
g)
1
3
− −i
2
2
h)
1
3
e−1 (− − i
)
2
2
3
6e −iπ / 3 = 2e −iπ=
/ 3 − iπ / 3
e −i2π / 3
2=
iπ / 3
3e
= 2(cos( −2π / 3) + i sin( −2π / 3) = 2( −1/2 − i 3 / 2) = −1 − i 3
a)
z = 3ei0
b)
z = 3e 2
c)
f)
d)
π
i
i
π
e)
z = 2 2e 4
Komplex algebra 31
−i
π
z= e 2
3π
i
z= e 4
V2.14
a)
b)
V2.15
V2.16
a)
b)
c)
z = 5,8e1,0i
z = 1,32e0,7i
d)
z = 13e-3,0i
z = 3,6e-0,59i
z5 = 243 (cos125° + i sin125°) = –139 + 199i
 cos 18π + i sin 18π  =+
−1

 ( cos3π i sin 3π ) =
6
6 

1
( cos 6π + i sin 6π ) =
V2.17
i ⋅ (cos 30° + i sin 30°)7 =
= (cos 90° + i sin 90°)(cos 210° + i sin 210
=
°)
= (cos 300° + i sin 300°)=
V2.18
1
3
−i
2
2
6
3 i 6
6
=
°)6
3 +=
2i ) 46 ( 2 +=
2 ) 4 (cos 30° + i sin 30
=4096( −1 + 0i) =−4096
(2
Re z = 0 om 30˚n = 90˚ + 360˚m vilket ger n = 3 + 12m dvs
för n = 3, 15, …
V2.19
a)
b)
c)
d)
3 i
+ eller z 3 = –i
2 2
z 1,2 = –1 ± 3 i eller z 3 = 2
z 1,2 = ±
z 1,2 = 2 ± 2 3 i eller z 3 = –4
3 i
− eller z 3 = i
z 1,2 = ±
2 2
Komplex algebra 32