LMA033/LMA515
Fredrik Lindgren
Matematiska vetenskaper
Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet
4 september 2013
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
1 / 25
Outline
1
Föreläsning 2/9
2
Föreläsning 4/9
3
Logik och ekvationslösning
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
2 / 25
Lite notation (mängder)
Med klamrar {} betecknas mängder. Innanför klamrarna beskrivs
mängden. Ex: M1 = {1, 2, 3}, M2 = {2, 3, 4},
M3 = {reella tal x sådana att x 2 är mindre
√än eller√lika med2}
= {Reella tal mellan och inkluderande − 2 och 2}.
Unionen av två mängder A och B är alla tal som finns i någon av
mängderna A och B och bildar en ny mängd, C säg. Vi skriver
C = A ∪ B. Ex: M1 ∪ M2 = {1, 2, 3, 4}.
Snittet, C , av två mängder A och B är mängden av alla tal som finns i
båda mängderna samtidigt. Ex: M1 ∩ M2 = {2, 3}.
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
3 / 25
Lite notation (mängder)
Om alla tal i en mängd A även finns i en annan mängd B så säger vi
att A är en delmängd av B och skriver A ⊂ B. Annorlunda uttryckt så
gäller att A ⊂ B om A ∩ B = A. Ex: Om M1 = {1, 2, 3, 4} och
M2 = {2, 3} så är M2 ⊂ M1 men M1 6⊂ M2 .
OM A ⊂ B och B ⊂ A så gäller att A = B.
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
4 / 25
Våra viktigaste mängder(?)
De positiva heltalen
De naturliga talen
Heltalen
De rationella talen
De reella talen
Z+
N
Z
Q
R
. . . där
∅
F. Lindgren (Chalmers&GU)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6 . . .}.
= Z+ ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . .}.
= {. . . , −3, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
= {(p, q) eller pq där p och q är heltal. }.
består av de rationella talen Q och
de irrationella talen I d.v.s. R = Q ∪ I.
Det gäller dessutom att Q ∩ I = ∅...
betecknar den tomma mängden,
en mängd som inte innehåller några element.
Notera alltså att ∅ =
6 {0} och ∅ =
6 0.
Matematik
4 september 2013
5 / 25
Mer mängdlära
Om ett tal x finns i en mängd A så säger vi att ”x tillhör A” och
skriver x ∈ A. Ex: 1 ∈ N, 12 ∈ Q, 1 ∈ {1, 2, 3}.
Om ett tal x inte tillhör en mängd A så skriver vi x 6∈ A. Ex: 0 6∈ Z+ ,
5 6∈ {1, 2, 3}.
Notera att ∈, 6∈ används för att säga något om tal/elements relation
till mängder, medan ⊂, 6⊂ används för att säga något om en mängds
relation till en annan mängd.
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
6 / 25
Peanos axiom för de positiva heltalen
Med positiva heltal (Z+ ) menar vi en mängd som uppfyller följande axiom.
1
2
3
4
5
Mängden Z+ innehåller ett tal som vi betecknar med 1 (ett).
Till varje tal x ∈ Z+ existerar ett ”efterföljande tal” x ′ .
För alla tal x i Z+ gäller att x ′ 6= 1.
Om x ′ = y ′ så är x = y . (x, y ∈ Z+ .)
Induktionsaxiomet
Antag att en mängd M av positiva heltal uppfyller följande två
påståenden.
I Talet 1 ∈ M.
II Om x ∈ M ⊂ Z+ så är x ′ ∈ M
Då gäller att M = Z+ .
Uttryck som ”för varje tal/för alla tal x existerar något” är så vanligt att vi
inför kvantifikatorerna ∀ (för alla, för varje), ∃ (existerar,finns). Det andra
axiomet kan skrivas kortare som ”∀x ∈ Z+ ∃ ett efterföljande tal x ′ ” .
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
7 / 25
Satser om egenskaper hos Z+
Theorem
Om x 6= y så gäller att x ′ 6= y ′ .
∀x ∈ Z+ gäller att x ′ 6= x.
Om x 6= 1 så ∃u ∈ Z+ så att u ′ = x.
Dessa satser måste (och kan) alltså bevisas. Vi genomför dock inte bevisen.
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
8 / 25
Outline
1
Föreläsning 2/9
2
Föreläsning 4/9
3
Logik och ekvationslösning
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
9 / 25
Addition av positiva heltal
Definition
Summan av två tal x, y ∈ Z+ är ett nytt tal z ∈ Z+ som vi betecknar
x + y (z = x + y ) och som uppfyller följande två villkor.
x + 1 = x′
x + y ′ = (x + y )′
Man måste bevisa att definitions två villkor ger ett entydigt z och att de
inte strider mot varandra eller Peanos axiom, se Landau...
Man kan bevisa följande egenskaper för addition av heltal. Om x, y , z ∈ Z+
så gäller att
(x + y ) + z = x + (y + z)
x +y =y +x
x +z =y +z ⇒x =y
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
(associativa lagen),
(1)
(kommutativa lagen),
(2)
(stykningslagen).
(3)
4 september 2013
10 / 25
Multiplikation av positiva heltal
Definition
Produkten av två heltal x, y ∈ Z+ är ett nytt tal z = x · y = xy sådant att
x · 1 = x,
(4)
(5)
′
x · y = x · y + x.
Även detta måste visas vara konsistent med sig självt och det föregående.
Man kan så visa följande räknelagar för multiplikation av heltal.
(xy )z = x(yz)
xy = yx,
xz = yz ⇒ x = y
(associativa lagen),
(6)
(kommutativa lagen)
(7)
(stykningslagen).
(8)
För multiplikation och produkt gäller den distributiva lagen
x(y + z) = xy + xz,
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
(x, y , z ∈ Z+ ).
4 september 2013
11 / 25
Ordningsrelation hos de positiva heltalen
Theorem
För två positiva heltal x och y gäller ett och endast ett av följande
påståenden.
x = y,
säger x är lika med y
∃u ∈ Z+ så att y = x + u, skriver x < y , y > x,säger x är mindre än y ,
y är större än x.
∃u ∈ Z+ så att x = y + u,
F. Lindgren (Chalmers&GU)
(y < x, x > y ).
Matematik
4 september 2013
12 / 25
Mer om ordningsrelationen
Theorem
Låt x, y , z vara positiva heltal.
Om x < y och y < z så är x < z,
(transitiva lagen).
Om x < y så är x + z < y + z.
Om x < y så är xz < yz.
Det existerar ett n ∈ Z+ sådant att y < nx,
egenskapen).
(den archimediska
Om x = y eller x > y (x < y ) skriver vi x ≥ y (x ≤ y ) och säger x är större
(mindre) eller lika med y .
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
13 / 25
Positiva rationella tal
Nästa steg blir att definiera de positiva rationella talen.
Definition
Vi låter det ordnade paret (p, q) där p och q är positiva heltal vara ett
rationellt tal och säger att två rationella tal (p1 , q1 ) och (p2 , q2 ) vara
”samma” om p1 q2 = p2 q1 .
Vi säger att (p1 , q1 ) är större än (p2 , q2 ) om p1 q2 > p2 q1 och mindre om
den omvända relationen gäller. Vi skriver vanligen pq istället för (p, q),
något som är vettigt när vi infört division.
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
14 / 25
Addition och multiplikation
Vi definierar summan mellan två rationella tal som
p1 p2
p1 q2 + p2 q1
+
=
,
q1 q2
q1 q2
(p1 , q1 ) + (p2 , q2 ) = (p1 q2 + p2 q1 , q1 q2 ) . . .
. . . och produkten som
p1 p2
p1 p2
·
=
,
q1 q2
q1 q2
(p1 , q1 ) · (p2 , q2 ) = (p1 p2 , q1 q2 ) .
Samtliga räkne- och ordningslagar från heltalsfallet gäller även för de
positiva rationella talen.
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
15 / 25
o.s.v.
Sedan kan man med hjälp av de positiva rationella talen definiera de
positiva reella talen samt additon och multiplikation för dessa.
Slutligen kan man definiera alla reella tal, R.
Räknelagarna fortsätter gälla. Dessa måste du kunna i detalj,
inlusive tecken- och prioriteringsregler. Se boken!
Notera att strykningslagarna gäller med ekvivalens för x, y , z ∈ Renligt
x +z =y +z ⇔x =y
xz = yz ⇔ x = y , om z 6= 0.
Detta är fundamentalt i räkningar!
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
16 / 25
Subtraktion och division
Definition
Differensen mellan två reella tal x och y är det unika reella tal z sådant att
z + y = x. Vi skriver z = x − y .
Definition
Vi definerar kvoten mellan de reella talen x och y 6= 0 som det unika reella
tal z som ger att yz = x. Vi skriver z = yx .
Räknelagar för subtraktion och multiplikation blir naturligtvis en logisk följd
av dessa definitioner. Se boken!
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
17 / 25
Division
Notera att addition och multiplikation av godtyckliga bråk ges av samma
uttryck som för rationella tal! Låt x = a/b, y = c/d , b, d 6= 0. Då har vi
bx = a
dy = c.
Om vi multiplicerar den första likhetens båda sidor med d och den andras
med b så ändras inte de båda lösningsmängderna.
dbx = da
bdy = bc
Nu kan vi addera de båda ekvationerna till varandra och får
dbx + dby = db(x + y ) = da + bc
så x + y =
da+bc
db ,
dvs
F. Lindgren (Chalmers&GU)
a
b
+
c
d
=
da+bc
db .
Matematik
4 september 2013
18 / 25
Heltalsdivison och primtalsfaktorisering
Definition
Ett positivt heltal q säges vara en delare till ett heltal p om det finns ett
annat heltal n så att p = nq. Vi säger då att p är (jämnt) delbart med q.
Definition
Ett positivt heltal p är ett primtal om det enbart är delbart med sig själv
och med talet 1.
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
19 / 25
Heltalsdivison och primtalsfaktorisering
Theorem
P1 Ett positivt heltal är delbart med 2 om och endast om det är jämnt.
P2 Ett positivt heltal är delbart med 3 omm dess siffersumma är delbar
med tre.
P3 Ett positivt heltal är delbart med 5 omm det slutar på 0 eller 5.
Bevis av P2: Varje positivt heltal n kan skrivas som
n = n0 100 + n1 101 + n2 102 + . . . + nj 10j
= n0 + n1 (1 + 9) + n2 (1 + 99) + . . . + nj (1 + |99 {z
. . . 9})
j st 9:or
= (n0 + n1 + n2 + . . . + nj ) + (9n1 + 99n2 + . . . + 99
. . . 9} nj ).
| {z
j st 9:or
Termerna i den andra parentesen är alltid delbart med tre (varför?) och
utrycket i den första parentesen är inget annat än siffersumman varvid
satsen följer.
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
20 / 25
Definition
Ett heltalsbråk är fullständigt förenklat om täljare och nämnare inte
innehåller några gemensamma primtalsfaktorer.
För att förenkla additionen av två heltalsbråk så bör man först förenkla
dem fullständigt var för sig och sedan addera dem. Därefter bör man
förenkla den erhållna kvoten fullständigt.
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
21 / 25
Outline
1
Föreläsning 2/9
2
Föreläsning 4/9
3
Logik och ekvationslösning
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
22 / 25
Logiska satser
Definition
En logisk sats/utsaga är ett uttryck som kan karakteriseras som antingen
falskt eller sant. En sats vars sanningshalt beror av värdet på någon
variabel kallar vi öppen.
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
23 / 25
Implikation och ekvivalens
Definition
Om en logisk sats Q är sann så fort en annan sats P är sann så säger vi att
P implicerar/medför/är ett tillräckligt villkor för Q och vi skriver
P ⇒ Q.
Definition
Om P och Q är två logiska satser och det gäller att P ⇒ Q och Q ⇒ P så
säger vi att P och Q är ekvivalenta och skriver
P ⇔ Q.
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
24 / 25
Och, eller, icke
Låt Q1 och Q2 vara två logiska påståenden.
och Påståendet P1 : Q1 ∧ Q2 utläses Q1 och Q2 och är sant omm både Q1
och Q2 är sanna.
eller Påståendet P2 : Q1 ∨ Q2 utläses Q1 eller Q2 och är sann om något av
påståendena Q1 och Q2 är sanna, annars är det falskt.
icke Påståendet P3 : ¬Q1 utläses icke Q1 är sant om Q1 är falskt, annars
falskt.
F. Lindgren (Chalmers&GU)
Matematik
4 september 2013
25 / 25
