Den didaktiska triaden
Matematikbienetten 2009 - Malmö
Hur lär vi oss matematik?
Ingemar Holgersson
Högskolan Kristianstad
• Innehållet tas ofta för
givet
• Innehållet
– Färdigheter, förståelse, kompetens?
• Uppnåendemål – betonar färdigheter
• Strävansmål – betonar kompetenser
Elever
• Lärandet
– Färdigheter
– Förståelse
– Kompetens
Vad ska vi lära oss i matematik? Kursplanen
• Vad är det vi ska lära oss?
Lärare
– Vad
– Aktiviteter
– Hur
Matematik
Vad är matematik i skolan?
• Visa före – göra efter
• Stort fokus på färdigheter
– Procedurer och tekniker
– Rutinuppgifter
– Undervisningen ska ”utveckla förtroende till egen
förmåga”
– Att utveckla elevernas matematiska tänkande
– Utveckla förmåga att kommunicera matematik
Visa före – Göra efter
• Typexempel ger introduktion av standardmetod
– så här gör man.
• Därefter prova själv på liknande uppgifter
• Så något svårare, ev blandade uppgifter
• Problemlösning används som tillämpning av
inlärda tekniker eller formler
• Övning ger färdighet – likadana uppgifter för
mästring
• Om en elev har svårt att klara en färdighet, dela
upp den i mindre bitar och öva dem var för sig.
Exempel på rutinuppgifter
• Vinkelsumman i en
triangel är 180°.
• Hur stor är vinkel C?
A
• Emma tjänar 80 kr i
timmen. Vad tjänar
hon sammanlagt om
hon arbetar i 5
timmar?
67 °
38 °
B
C
1
Implicit lärande (Lambert, 1990)
• Arbeta med Ma innebär
– Följa de regler läraren eller boken visar
• Kunna Ma innebär
– Komma ihåg och kunna använda rätt regel
– Rätt/fel avgörs av auktoritet, läraren eller facit
– Hjälpmedel viktiga – formelsamling
Problem med traditionen
• Fokus nästan enbart färdigheter
• Ca 15 % ma-svårigheter
• Bristande lust
– obegripligt ---- brist på utmaning
• Ma lär man sig genom att
– Lyssna noga och öva flitigt
• Ma inget för mig –- Ma är lätt, behöver inte jobba
Hur gör matematiker?
• Ny matematik formuleras ständigt
• Problem i centrum
• Formulerar själv, undersöker, ser vad som
händer
• Upptäckter – induktiv karaktär (Polya)
• Redovisning – deduktiv, stora krav på entydighet
• Öppenhet kvarstår i förhållande till premisser
(Lakatos)
Vad utmärker kunnande i aritmetik?
(Ann Dowker, England)
• Bygger på studier inom såväl utvecklings-, kognitionsoch neuropsykologi samt pedagogisk psykologi
• Det finns inte en aritmetisk förmåga – aritmetik är
beroende av många olika sorters processer
• Dessa kan grupperas i t ex
– Procedurala (ex olika former av beräkningsprocedurer)
– Minnesberoende ( ex tabeller, terminologi)
– Begreppsliga (ex samband mellan olika sorters problem,
principer, estimering)
• Individer kan ha väldigt olika profiler i förhållande till
dessa förmågor
• Prestationer påverkas av både sociala förhållanden,
kultur och undervisning
• Emotionella faktorer påverkar också i hög grad
prestationerna
1-1-korrespondens, Mix (2002)
• Social kontext spelar stor roll för vad som
händer
• Traditionellt
– För att lära komplex kompetens behöver vi öva en del
i taget, för att sedan sätta samman dem
• Denna undersökning
– Först full kompetens i mycket begränsad kontext.
Därefter kan den erövras i andra situationer
• Dela ut är en mer dynamisk aktivitet än
traditionell parbildning
Forskning om addition och subtraktion
(Camilla Gilmore, England)
• Individuella skillnader
– 5-9 år: stor variation i förståelse trots liknande
resultat på färdighetstest (Dowker, 1998)
– 6-8 år: ≈ 15 % stor skillnad förståelse –
färdighet (Canobi, 2004)
– 8 år: Tre grupper mönster på
• Inversionsuppgift
+ 12 – 12 = 18 och
• Kontrolluppgift
+ 12 – 8 = 22
• En grupp mycket sämre på kontrolluppgifterna
(Gilmore & Bryant, 2006)
2
Meta-analys av inversionsuppgifter
(Gilmore, 2006)
•
•
•
•
Förståelse add och sub, Canobi (2005)
• Förståelse av add och sub 7-9-åringar
• Hälften av uppgifterna med konkret stöd
Camilla Gilmore
PROFILES OF
UNDERSTANDIN
G AND PROFILES
OF
DEVELOPMENT
IN EARLY
ARITHMETIC
In Hewitt, D. (2006)
Proceedings of the
British Society for
Research into
Learning
Mathematics 26(3)
November 2006
– Kommutation
• 39 + 45
visat efter
– Subtraktivt komplement
• 61 – 38
visat efter
– Additiv invers
• 23 + 38
visat efter
– Subtraktiv invers
• 84 – 45
visat efter
Förståelse add och sub, Canobi (2005)
45 + 39 = 84
61 – 23 = 38
61 – 23 = 38
45 + 39 = 84
Förståelse add och sub, Canobi (2005)
• Experiment 1 (7-9 år)
Gruppering
7-åringar
8-åringar
9-åringar
Begrepp
3
10
7
Tal
1
1
2
Konkret
2
2
3
Kommutativ
15
11
11
Svaga begrepp
3
0
1
Antal
24
24
24
–
–
–
–
Skillnader i hur man uppfattar relationen mellan del och helhet
Skillnader i hur barn svarar på konkret stöd
Inte alla har lika lätt uttrycka språkligt det man förstår i handling
Att förstå principer som kopplar add och sub är ett viktigt steg i
utvecklingen
• Experiment 2 (5-7 år)
– I båda experimenten, en stark och en svag grupp
– De som använder inversion löser problemen snabbare och kan fler
kombinationer
– Barn tar olika vägar mot förståelse
– Konkret materiel hjälpte barn förklara begrepp, men inte att se dem
– Mödosamma procedurer för beräkningar kan skymma mönster
Dela ut ettor och tvåor, Bryant & Nunes (2002)
Dela ut ettor och tvåor, Bryant & Nunes (2002)
• Ge ettor till A och tvåor till B, men se till att
de får lika många.
• Ge ettor till A och tvåor till B, men se till att
de får lika många.
3
Dela ut ettor och tvåor, Bryant & Nunes (2002)
• Enfärgade klarar de flesta 5-åringar, men nästan
ingen 4-åring
• Tvåfärgade klarar nästan alla 4-åringarna
• 4-åringarna klarar den enfärgade bättre efter att
ha gjort den tvåfärgade
• De förstår mycket om 1-1-korrespondens, men
behöver hjälp med att få syn på strukturer
Strategier - empiri
Andragradsekvationer, Olteanu (2007)
• Två klasser, B-kursen, Na-programmet
– En systematiska framställning av variation
– En mer lämnade åt lärobokens framställning
• Ex variation koefficienter i x2 + px + q = 0
– x2 + 5x - 6 = 0
• Bättre resultat på prov
• Systematisk skillnad på typer av fel
Hur barn lär färdigheter – enligt ny
forskning (Robert Siegler, USA)
• Stor variation av strategi även för liknande
uppgifter
• Det finns ingen bästa strategi
• U-kurva?
• Matematiker jämfört andra
• Ju bättre uppskattare desto fler strategier
• Slutsats: mångfald bör stimuleras
• Översikt över s k mikrogenetiska studier
• Senaste ca 15 åren
• Olika former av ”problemlösning” där vi naturligt
utvecklar färdigheter, mest matematik och
naturvetenskap, t ex
Hur barn lär färdigheter – enligt ny
forskning (Robert Siegler, USA)
Hur barn lär färdigheter – enligt ny
forskning (Robert Siegler, USA)
• Variation hos ett barn förekommer i alla typer
och på alla nivåer av lärande
– Tenderar vara störst i perioder av mycket
lärande
– Tenderar att vara cyklisk, ibland är lärandet
mer intensivt ibland mindre
– Är stor i alla åldrar från spädbarn till åldring
– Kan förutsäga framgång i lärande
–
–
–
–
–
Ta sig ner från en ramp
Avgöra vad som väger mest
Konserveringsuppgifter
Del-helhet
Aritmetiska uppgifter
• Att förstå orsakssamband spelar en avgörande
roll i lärande
• Att förklara det man observerar ger ofta mer
utbyte än vad feedback och övning ger
• Lärande försiggår oftast utan trial and error – det
drivs oftast av begreppslig förståelse
4
Hur färdigheter erövras
• Utveckling av strategier behöver
mångsidig och varierad erfarenhet
• Sker via undersökningar
• Upptäcka strategi, härma strategi
• Konsolidera
– Bli säkrare
– Nya situationer
• Upptäcka samband
– Erövra, minnas
Mathematical proficiency (Adding It Up, 2001)
• Matematisk kompetens
– Förmåga att resonera logiskt
– Problemlösningskompetens
– Begreppsförståelse
Hur vi lär oss matematik
(Mason & Watson, England)
• Kultivering av naturliga förmågor
– Att se, upptäcka och föreställa sig olika mönster
ex tal,figurer, …
– Att kunna uttrycka dessa mönster i ord, bild, handling,
symboler …
– Att arbeta med specialfall för att se mer generella
mönster
– Att formulera hypoteser om generella samband eller
ej
– Att modifiera hypoteser för att försöka övertyga sig
själv och andra
Vad skulle matematik i skolan kunna
vara?
• Utgå från barns grundläggande
matematiska förmågor
• Problemlösning – grundläggande aktivitet
– Utgå från konkret situation
– Lösningar spektrum konkret – abstrakt
– Nya erfarenheter – fördjupning av begrepp
– Förtrogenhet
– Goda färdigheter
Vad är bra frågor? – Peter Sullivan
• De kräver mer än att komma ihåg fakta
eller reproducera en färdighet
• Elever kan lära genom att arbeta med
frågan, och läraren lär mer om varje elev
genom att se hur de arbetar med frågan
• Det kan finnas fler än ett acceptabelt svar
Öppen uppgift
• Starta i kontext som engagerar
• Formulera ett problem med flera möjliga
lösningar
• Ger eleverna tillfälle utveckla systematik
• Ger upphov till nya frågor och möjligheter
att reflektera över mönster i de olika
lösningarna
5
Exempel på undersökande uppgift
• Vinkelsumman i en
triangel är 180°.
• Hur stor är vinkel C?
A
67 °
38 °
• Gör en triangel och
mät dess vinklar. Kan
du göra en triangel
som har så stor
vinkelsumma som
möjligt?
Hitta olika föremål
• Area = 72 dm2 och
omkrets = 3,60 m
• Omkrets = 212 cm
• Längd = 80 cm och
volym = 23 ml
B
C
Emma tjänar 80 kr i timmen. Vad tjänar hon sammanlagt
om hon arbetar i 5 timmar?
Emma tjänade 400 kr. Hur många timmar arbetade hon,
och vad tjänade hon per timme?
•
•
•
•
•
•
80 kr
100 kr
25 kr
12,50
6,25
≈3,20
5 timmar
4 timmar
16 timmar
32 timmar
64 timmar
128 timmar
•
•
•
•
•
•
•
15 min
400*4=1600
7½ min
8=3200
3¾ min
16=6400
1 7/8 min
32=12800
0≈95/100
64=25600
0≈42½/100 128=51200
0≈21¼/100 256=102400
Hur vi lär oss matematik
(Mason & Watson, England)
• Det blir mer lärande (och självtillit) om elever får
använda dessa förmågor, än när de ska göra precis
likadant som läraren eller läroboken visat
• Ju mer tillrättalagd en uppgift blir, desto mindre
behållning för eleven
• När elever har möjlighet att välja hur de ska göra,
uppstår kreativitet och det matematiska tänkandet blir
levande
Gömu-projektet
(Gränsöverskridande matematikundervisning)
• Svedala kommun 2006 – 2008
• Syfte: att stimulera lärare utveckla sin maundervisning
• Tre grupper F, K och Ä
• 27 deltagande lärare, 6 ”konsulter”
–
–
–
–
–
–
Ingemar Holgersson, HKr (projektledare)
Annika Palmgren, Svedala
Pesak Laksman, Mah
Birgitta Lansheim, Malmö
Jonas Månsson, LTH
Ulla Öberg, f.d. Mah
6
Målsättning
• Lärare ska få möjlighet arbeta med att
utveckla sin matematikundervisning
• Detta innebär att
– stärka lärarnas förmåga att ta utgångspunkt i egen
undervisning och erfarenhet
– utveckla egen förmåga att ta fram och prova egna
aktiviteter i undervisningen.
– utveckla (m.hj.a. noteringar) vad man som lärare
noterar eller lägger märke till i egen undervisning.
Hur?
• Basaktivitet:
– träff var tredje vecka i en grupp med liknande
undervisningsvillkor
– en förskolegrupp,
F
– en klasslärargrupp, K
– en ämneslärargrupp, Ä
Förväntade vinster
• Direkta
– Kvalificerad handledning i arbetet mot mer
användning av öppna frågeställningar
– Mer kunskaper om hur modern forskning ser på vad
matematik är och hur lärande i matematik går till
– Ökad medvetenhet om vad som sker i klassrummet
• Indirekta
– Läraren får mer kunskap om vad eleverna kan
– Elever med större lust till matematiken
– Bättre måluppfyllelse speciellt i förhållande till
strävansmålen
Två spår i basaktiviteterna
• Stimulans för att
utveckla maundervisningen
• Noteringar för att
– Utveckla medvetenhet
som lärare
– Grund för diskussioner
• Röd tråd
– Träff två gånger per termin i stor grupp
– Tillfälle dela erfarenheter från arbetet
– Tillfälle bidra med exempel för att utveckla diskussion
och tänkande om matematik och lärande.
Aktiviteter
Noteringarna
• Utgångspunkt där man är osäker eller där
man ser nya saker
• Beskrivning istället för omdöme
• Grund för diskussioner
• Öppenhet viktig
– Kräver mod och tolerans
• F-gruppen
– Introduktion av forskningsrön
– Provat nya teman
• Rumsuppfattning
• Storheter
• Taluppfattning
kartor, trianglar av olika form
längd, volym, vikt, pengar
öppna situationer
• K-gruppen
– Formulerat och provat egna öppna uppgifter (Openended)
• Ä-gruppen
– Ex på olika former av öppna frågor och andra
uppgifter som stimulerar ma-tänkande
– Samarbetslärande
7
Promenaden, 3-5 år
Promenaden, 3-5 år
F-gruppen bygglek
F-gruppen - taluppfattning
K-gruppen multiplikationer
• Problemlösning kopplat till sagor
• Kiosk till mellanmålet
– Kapsyler som pengar
– Frukterna kostar 1 eller 2 kapsyler
– Får handla för 5 kapsyler
• Affär i F-klassen
8
K-gruppen funktionsmaskiner
• Jag har fått en maskin i
julklapp. Man stoppar in ett
tal i ena sidan och
maskinen omvandlar talet
till ett nytt tal.
• Hur fungerar maskinen?
Exempel
• Bygg egna maskiner.
• Parvis. En matar in och ska
gissa. Den andre agerar
maskin.
• ”det HÄR var kul”
Utvärderingen - OEQ
• plötsligt försvann problemet med åldersblandat och
integrerad särskola. Det blev aldrig genomgångar som
bara passade en liten del av gruppen. …Det känns som
att barnen söker kunskap nu istället för att förvänta sig
att jag ska stoppa in det via genomgång. … ingen
brådska, eftersom det inte finns något längst. (K 5)
• Att det finns flera lösningar gör att även en ”slow starter”
kan komma med idéer och det är inte lika lätt att sitta
passiv som när det är endast ett svar. (K 2)
• de ”svaga” eleverna … plötsligt en utveckling hos i stort
sett alla dessa elever. De kommer ikapp de andra med
stormsteg. (K 7)
• Jag upptäckte ganska så snart att små barn gillar när vi
ställer frågor till dem (F 2)
Utvärderingen – Egen utveckling
• har blivit säkrare som mattelärare, den röda tråden har blivit tydligare
och jag tror att eleverna har fått mycket roligare matematiklektioner.
Det som mest har förändrats är innehållet i lektionerna (K 6)
• Idag … lika säker i min yrkesroll på matematikutveckling som … vad
gäller språkutveckling ... Det har också blivit en naturlig del i arbetet
med barnen… (F 8)
• mitt synsätt på ma-undervisningen har förändrats. Jag lyssnar mera
på elevernas frågor och funderingar. Jag ställer själv andra frågor nu
(K 4)
• Jag lyssnar mycket mer på vad elever tänker, hur de tar sig an
problemen. Mer tid läggs på att eleverna får utveckla sina tankar för
såväl andra elever som för mig. (Ä 5)
• Med tiden insåg jag att de aktiva lektionerna gav mig och eleverna
mer än vad matteboken gjorde. (K 7)
• att jag slutat titta på vad eleverna gjort … och har ändå en bättre bild
av vad eleverna kan. (K 5)
• Jag lever ständigt med mina ”matteglasögon” på mig numera (F 1)
• Använder mer konkretion
– Laborativa material
• Bråkplattor
• Kapsyler, påskspelet
– Illustrationer
• Ex huvudräkning 7,5 * 7,5 är inte 7*7 + 0,5*0,5
• Stannar längre vid varje uppgift
• Bearbetar prov på nytt sätt
– Elever rättar varandras prov
– Jobbar igenom provet tillsammans istället för att
läraren har genomgång
Utvärderingen - Verksamheten
• Förskolepedagogerna beskriver olika situationer där lärande uppstått.
Det handlar om lustfyllt och laborativt arbete i konkreta situationer och
om att utmana barnens tankar.
• En del av dokumentationerna har jag tagit med mig till
avdelningsplaneringen, … tror bestämt att en smittspridning har
påbörjats. (F 4)
• Små korta anteckningar om varje elev utgör en bra utgångspunkt inför
utvecklingssamtalen. Dessutom vet jag säkert vad varje elev förstår
och kan (K 2)
• Tidigare började jag alltid ett nytt område med en genomgång. Numera
letar jag efter öppna uppgifter som utgår ifrån elevernas kunskaper och
som leder in dem i det nya området. (K 2)
• Det ständiga malandet av färdighetsträning har fått ge vika … . Mina
elever jobbar mer praktiskt med matematik och framförallt mer
problemlösande. (Ä 4)
• Färdighetsträningen (som givetvis måste finnas kvar) får ge vika för
andra typer av uppgifter exempelvis aktiviteter, kluringar och öppna
uppgifter. (Ä 5)
Sammanfattning
• Lärande i matematik bygger inte på enskilda färdigheter
som sätts ihop till komplex kompetens
• Kompetens utvecklas i komplexa situationer, först i
begränsad kontext
– Begränsning kan vara antal, tydlig struktur etc
– Trådarna utvecklas genom flätning
• Stor individuell variation
• Utveckling av matematiskt tänkande är ingen självklarhet
– Läraren och verksamheten är viktig
– Fokus på struktur hjälper barn utveckla sitt tänkande
– Lärande av begreppslig förståelse tar tid – ingen pollett som
trillar ner
9
