Institutionen för Fysik och Astronomi
Tentamen i Matematik D
2010-08-16
för T ekniskt/Naturv et enskapligt Basår
lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström
Skrivtid: 8.00-12.00
• Hjälpmedel: Miniräknare och formelsamling
• Fullständiga och utförliga lösningar skall lämnas till alla 16 uppgifter.
• Glöm inte att skriva namn och personnummer på varje sida.
• Total poängsumma är 40p. För godkänt krävs normalt 20 poäng. Har 4 bonuspoäng
uppnåtts krävs således 16 tentapoäng för godkänt.
1. Vilket alternativ är rätt?
Hypotenusan c i figuren har längden
5
a) 5 sin 31° cm
b)
cm
sin 31°
5
d)
cm
e) 5 tan 31° cm
cos 31°
c) 5 cos 31° cm
(1p)
Lösning:
b) är rätt.
2. I triangeln ABC är A=37,0°, AC=15,0 cm och BC=10,0 cm. Beräkna vinklarna B och C samt
längden av sidan AB.
(2p)
Lösning:
sin A sin B sinC
sin 37° sin B
och AC=b och BC=a ger
.
=
=
=
a
b
c
10
15
15 " sin 37°
, vilket ger B=64,5° eller B=180°-64,5°=115,5°
sin B =
10
Fall 1: B=64,5°
!
A+B+C=180°
C=180°-A-B C= 180°-37°-64,5°! C=78,5°
Sidan AB=c kan vi då beräkna med sinussatsen:
Sinussatsen
!
c
10
=
vilket ger c=16,3 cm
sin 78,5° sin 37°
!
Fall 2: B=115,5°
C=180°-37°-115,5° C=27,5°
Sinussatsen ger c=7,7 cm.
Svar: Det finns två trianglar:
Triangel 1: C=78,5°, B=64,5°, AB=16,3 cm.
Triangel 2: C= 27,5°, B=115,5°, AB= 7,7 cm.
3. Beräkna den största vinkeln i en triangel med sidorna 24 cm, 18 cm, och 15 cm.
(2p)
Lösning:
Vi använder oss av cosinussatsen och vet att den största vinkeln står mot den största sidan.
24 2 = 15 2 + 18 2 " 2 #15 #18 # cos A
540cos A + 24 2 = 15 2 + 18 2
!
15 2 + 18 2 " 24 2
540
cos A = "0.05
cos A =
A = cos"1 ("0.05)
A = 92,9°
Svar: Den största vinkeln är lika med 92,9°.
!
4. Bestäm värdet av sinv om v är en vinkel i tredje kvadranten och cosv = "
Lösning: Vi använder oss av den trigonometriska ettan.
sin 2 v + cos 2 v = 1
!
!
sin 2 v = 1" cos 2 v
24
sin 2 v = 1" (" ) 2
25
576
sin 2 v = 1"
625
625 576
sin 2 v =
"
625 625
49
sin 2 v =
625
49
sinv = ±
625
7
sinv = ±
25
!
!
24
.
25
(3p)
Eftersom vinkeln skall vara i tredje kvadranten, måste både x (cosv) och y (sinv) koordinaterna
7
vara negativa, dvs följande svar: sinv = "
25
5. Visa att (sin x + cos x) 2 " (sin x " cos x) 2 = 2sin2x .
Lösning:
!
sin 2 x + 2sin x cos x + cos2 x " (sin 2 x " 2sin x cos x + cos2 x) =
2sin
! x cos x + 2sin x cos x =
4 sin x cos x =
Additions/subtraktionssatserna ger oss att sin2u=2sinu cosu.
Därav följer att 4 sin x cos x = 2sin2x , v.s.v.
(3p)
!
!
6. Lös följande ekvation: cos x(3cos2x " 7) = 0 .
Lösning:
Vi använder oss av nollproduktmetoden.
Antigen är cosx=0 eller (3cos2x-7)=0.
Därav följer att x!= ±90° + n " 360° eller
7
cos2x =
3
7
2x = ±!cos"1 ( )
3
Det finns ingen lösning till denna ekvation, eftersom cos(x) aldrig blir större än 1.
Svar: x = ±90° + n " 360°
!
(3p)
7. I figuren har man ritat funktionen y = 2 sin x . På kurvan har man markerat två punkter P och
Q som har y-koordinaten 1. Beräkna avståndet i grader mellan punkterna P och Q.
!
(3p)
Lösning: För att kunna beräkna avståndet melan punkterna P och Q behöver jag punkternas xkoordinat. Jag vet att för både P och Q gäller: 1 = 2sin x eftersom y=1 för både P och Q.
Då löser jag ekvationen och få både P och Q x-koordinat:
!
1 = 2sin x
sin x = 0.5
x = sin"1 (0.5)
x = 30°;x = 180° " 30° = 150°
Svar: Avståndet i grader mellan punkterna P och Q är således 120°.
!
8. Kurvan i figuren nedan är av typen y = B + Asin kx eller y = B + Acos kx . Anger vilken typ
av funktion som är ritad och bestäm konstanterna A,B och k .
!
!
!
!
(3p)
Lösning: y=B+Asinkx med A=3; B=2; Perioden är 180° vilket ger k=2.
9.
Beräkna (utan derivering) det största värdet för y , där y = 33sin x + 56cos x .
(2p)
Vi vet att y = asin x + bcos x = a + b " sin(x + v) .
Amplituden av vår funktion bli då lika med 65.
Svar: Det största värdet vår funktion anta!
är lika !
med 65.
2
!
!
!
2
! Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = 2sin x + 3cos x då x = " .
10.
Lösning:
y " = 2cos x # 3sin x
y "($ ) = 2cos $ # 3sin $
!
!
y "($ ) = #2
Rätt linjes ekvation: y=kx+m
k = y "(# )
För att bestämma m behöver vi veta y för x=π: y = "3
Vi använder oss av följande samband:
y " y1 = k(x " x1 )
y " ("3)!= "2(x " #)
!
y = "2x + 2# " 3
Det sista uttrycket är tangentens ekvation och därmed svaret.
1
11. Bestäm f "(x) då f (x) = 2 " ln x
x
Lösning:
Vi använder oss av produktregeln.
!
!
(3p)
(2p)
1 1 2
# $ # ln x
x2 x x3
1 2ln x
f "(x) = 3 $ 3
x
x
1$ 2ln x
f "(x) =
x3
f "(x) =
12. Temperaturen i en sjö uppmättes under ett molnigt sommardygn. Temperaturen visade sig
följa funktionen y (t ) = 15 + 2 sin 0,26t där t är antalet timmar efter kl. 12.00.
a) Bestäm y "(t) .
(1p)
b) Bestäm y "(10) .
(1p)
c) Tolka vad y "(10) betyder för vattnets temperatur.
(2p)
!
!
!
!
Lösning:
!
a) y "(t) = 0.26 # 2cos(0.26t)
!
b)
y "(10) = 0.52cos(2.6)
y "(10) = #0.45
c) Efter 10 timmar, dvs kl.22.00, sjönk sjöns vattentemperatur med 0.45° per timme.
13. Bestäm samtliga primitiva funktioner F ( x ) till f ( x ) = !
8
x3
.
(2p)
Lösning:
f (x) = "8x "3
F(x) = "8
F(x) =
x "2
("2)
4
x2
Svar: Samtliga primitiva funktioner till f (x) =
!
14. Vilket år dog Gustav Vasa? Genom att beräkna integralens värde får du svaret. Beräkningen
skall göras med hjälp av primitiv funktion.
!
!
10
2
Årtalet = ! (3 x + 10 x + 6) dx
(2p)
0
Lösning:
10
[ x 3 + 5x 2 + 6x ] =
0
3
2
(10 + 5 "10 + 6 "10) # 0 =
1560
Svar: Gustav Vasa dog år1560.
!
"8
4
är F(x) = 2 + C .
3
x
x
2
15. Bestäm f !!(1) då f (x ) = e x . Svara exakt.
Lösning:
Vi använder oss av kedjeregeln och produktregeln.
2
f "(x) = e x # 2x
2
(2p)
2
f ""(x) = (e x # 2x) # 2x + e x # 2
f ""(1) = 4e + 2e
f ""(1) = 6e
Svar: f ""(1) = 6e
16. I figuren har kurvan y = x 2 och linjen y = 9 ritats. Beräkna arean av det streckade
! området. Integrationsgränserna får tas direkt ur figuren.
!
(3p)
Lösning:
3
A=
# (9 " x
2
)dx
0
3
$
x3'
A = &9x " )
3 (0
%
A = 27 " 9
A = 18ae
!
Lycka till!
(Tentamensresultatet anslås på Ångströmlab och på Studentportalen inom en vecka.)
