Matte 5 - Matteboken

1(8)
Formler till nationellt prov i matematik, kurs 5
Algebra
Regler
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2
(a  b)3  a 3  3a 2b  3ab2  b3
(a  b)2  a 2  2ab  b2
(a  b)3  a 3  3a 2b  3ab2  b3
(a  b)(a  b)  a 2  b2
a 3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )
a 3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )
Andragradsekvationer
x 2  px  q  0
ax 2  bx  c  0
2
p
 p
x     q
2
2
( a  b) n 
Binomialsatsen
n
n
x
b
b 2  4ac

2a
2a
n
 n
n
n
 
 
 
 
  k a n  k b k   0 a n  1 a n 1b   2 a n  2b 2  ...   n b n
k  0

Aritmetik
Prefix
T
G
M
k
tera
giga
mega
kilo
12
9
10
Potenser
10
a a a
x y
Logaritmer
Absolutbelopp
15-10-19
10
x y
a b  (ab)
x x
6
10
ax
ay
x
ax
h
3
hekto
10
 a x y
a
 
x
b
b
x
2
d
c
m

n
p
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
-1
-2
-3
-9
10-12
10
10
10
10
-6
10
(a x ) y  a xy
a x 
1
an
a0  1
na
y  10 x  x  lg y
y  e x  x  ln y
lg x  lg y  lg xy
lg x  lg y  lg
x
y
1
ax
lg x p  p  lg x
om a  0
a
a 
 a om a  0
© Skolverket
2(8)
Funktioner
Räta linjen
y  kx  m
Andragradsfunktioner
k
y  ax 2  bx  c
y2  y1
x2  x1
a0
ax  by  c  0 , där inte både a och b är noll
Potensfunktioner
Exponentialfunktioner
y  C  ax
y  C  xa
a  0 och a  1
Statistik och sannolikhet
Standardavvikelse
för ett stickprov
s
( x1  x ) 2  ( x2  x ) 2  ...  ( xn  x ) 2
n 1
Lådagram
Normalfördelning
Täthetsfunktion
för normalfördelning
15-10-19
1  x 

 
 
1
f ( x) 
e 2
 2
2
© Skolverket
3(8)
Differential- och integralkalkyl
Derivatans definition
f (a)  lim
h 0
Derivator
Kedjeregeln
15-10-19
f ( a  h)  f ( a )
f ( x)  f ( a )
 lim
x a
h
xa
Funktion
Derivata
x n där n är ett reellt tal
nx n 1
ax ( a > 0)
a x ln a
ln x ( x  0 )
1
x
ex
ex
e kx
k  ekx
1
x

sin x
cos x
cos x
 sin x
tan x
1  tan 2 x 
k  f (x)
k  f (x)
f (x)  g (x)
f  (x)  g  (x)
f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
f ( x)
g ( x)
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
( g ( x )  0)
1
x2
1
cos 2 x
( g ( x))2
Om y  f ( z) och z  g ( x) är två deriverbara funktioner
så gäller för y  f ( g ( x)) att
dy dy dz
 
y   f ( g ( x))  g ( x) eller
dx dz dx
© Skolverket
4(8)
Primitiva
funktioner
Funktion
Primitiva funktioner
k
kx  C
x n (n  1)
x n 1
C
n 1
1
x
ln x  C
ex
ex  C
e kx
e kx
C
k
a x (a  0, a  1)
ax
C
ln a
sin x
 cos x  C
cos x
sin x  C
( x  0)
Komplexa tal
Representation
z  x  iy  reiv  r (cos v  i sin v) där i 2  1
Argument
arg z  v
Absolutbelopp
z  r  x2  y 2
tan v 
y
x
Konjugat
Om z  x  iy så z  x  iy
Räknelagar
z1z2  r1r2 (cos(v1  v2 )  i sin(v1  v2 ))
z1 r1
 (cos(v1  v2 )  i sin(v1  v2 ))
z2 r2
de Moivres formel
15-10-19
z n  (r (cos v  i sin v))n  r n (cos nv  i sin nv)
© Skolverket
5(8)
Geometri
Triangel
bh
2
A
Parallelltrapets
h( a  b)
2
A
Parallellogram
A  bh
Cirkel
A  πr 2 
πd 2
4
O  2πr  πd
Cirkelsektor
b
v
 2πr
360
A
v
br
 πr 2 
360
2
Prisma
V  Bh
Cylinder
Pyramid
V  πr 2h
Mantelarea
V
Bh
3
A  2πrh
Kon
πr 2 h
3
Mantelarea
V
A  πrs
Klot
V
4πr 3
3
A  4πr 2
Likformighet
Skala
Trianglarna ABC
och DEF är
likformiga.
Areaskalan = (Längdskalan)2
Volymskalan = (Längdskalan)3
a b c
 
d e f
15-10-19
© Skolverket
6(8)
Topptriangel- och
transversalsatsen
Om DE är parallell
med AB gäller
Bisektrissatsen
AD AC

BD BC
DE CD CE
och


AB AC BC
CD CE

AD BE
Vinklar
u  v  180
Sidovinklar
wv
Vertikalvinklar
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
vw
Likbelägna vinklar
uw
Alternatvinklar
Kordasatsen
Randvinkelsatsen
ab  cd
u  2v
Pythagoras sats
a 2  b2  c 2
Avståndsformeln
Mittpunktsformeln
d  ( x2  x1)2  ( y2  y1)2
xm 
15-10-19
x1  x2
y y
och ym  1 2
2
2
© Skolverket
7(8)
Trigonometri
Definitioner
a
c
b
cos v 
c
a
tan v 
b
sin v 
Enhetscirkeln
sin v  y
cos v  x
tan v 
y
x
Sinussatsen
sin A sin B sin C


a
b
c
Cosinussatsen
a 2  b2  c 2  2bc cos A
Areasatsen
T
Trigonometriska
formler
ab sin C
2
sin 2 v  cos 2 v  1
sin(u  v)  sin u cos v  cos u sin v
sin(u  v)  sin u cos v  cos u sin v
cos(u  v)  cos u cos v  sin u sin v
cos(u  v)  cos u cos v  sin u sin v
sin 2v  2 sin v cos v
cos 2 v  sin 2 v (1)

cos 2v   2 cos 2 v  1
(2)

2
(3)
1  2 sin v
a sin x  b cos x  c sin( x  v) där c  a 2  b 2 och tan v 
Cirkelns
ekvation
15-10-19
b
a
( x  a)2  ( y  b)2  r 2
© Skolverket
8(8)
Exakta
värden
Vinkel v
(grader)
0
(radianer)
0
sin v
0
cos v
1
0
tan v
30
π
6
1
2
3
2
1
3
45
π
4
1
2
1
2
1
60
π
3
3
2
1
2
90
π
2
120
2π
3
3
2
1

2
2
1

2
3 Ej def.  3
1
1
0
135
3π
4
1
150
5π
6
1
2


3
2
1
3
180
π
0
1
0
Mängdlära
A  B  x x  A och x  B
A  B  x x  A eller x  B
A \ B  x x  A och x  B
AC  x x  G och x  A
Talteori
a  b(mod c) om differensen a  b är delbar med c
Kongruens
Om a1  b1 (mod c) och a2  b2 (mod c) gäller att
1.
a1  a2  b1  b2 (mod c)
2.
a1  a2  b1  b2 (mod c)
Om a  b (mod c) gäller att
3.
m  a  m  b (mod c) för alla heltal m
4.
a n  b n (mod c) för alla heltal n  0
Aritmetisk
summa
sn  n 
a1  an
där an  a1  (n  1)  d
2
Geometrisk
summa
sn  a1
k n 1
där an  a1  k n 1
k 1
Kombinatorik
n!
där 0  k  n
(n  k ) !
Permutationer
P(n, k )  n  (n  1)  (n  2)  ...  (n  k  1) 
Kombinationer
 n  P(n, k )
n!
C (n, k )    

där 0  k  n
k!
k!(n  k )!
k 
15-10-19
© Skolverket