Tentamen 1.11 inom Envariabelanalys II för byggnadsingenjörer

PeterHolgersson,ITN
LinköpingsUniversitet
Tel.0705-199992
[email protected]
Tentamen1.11inomEnvariabelanalysII
förbyggnadsingenjörerochkandidater
Examination:TEN1inomkursTNIU23
Max:
21p
betyg5:≥16p
betyg4:≥12p
betyg3:≥8p
Bonus:
0-2pgrundadpåKTR1
Lösningar: Fullständigamedtydligaförklaringar/beräkningarochtydligtangivna
svar.
Hjälpmedel: Skrivdon,passare,kurvmallochlinjal
Skrivtid:
2017-06-08,kl.14:00–19:00
Jour:
PeterHolgersson,0705-199992
1. Bestämdenallmännalösningentilldifferentialekvationen
𝑦 "" + 4𝑦 " + 13𝑦 = 40 cos 𝑥
Lösningstips:
Motsvarandehomogenaekvation(mednollihögerledet)lösesochmedansatsen
𝑦 = 𝐶𝑒 /0 fårmantillhörandekaraktäristiskekvation
𝑟 2 + 4𝑟 + 13 = 0
somefterlösningochinsättningger”nolltillägget”
𝑦3 = 𝐶4 𝑒
52678 0
+ 𝐶2 𝑒
52578 0
= 𝐶4 𝑒 520 𝑒 780 + 𝐶2 𝑒 520 𝑒 5780 = 𝐶4 𝑒 520 cos 3𝑥 + 𝑖 sin 3𝑥 + 𝐶2 𝑒 520 cos −3𝑥 + 𝑖 sin −3𝑥 = 𝑒 520 𝐶4 cos 3𝑥 + 𝑖 sin 3𝑥 + 𝐶2 cos 3𝑥 − 𝑖 sin 3𝑥
= 𝑒 520
𝐶4 + 𝐶2 cos 3𝑥 + 𝑖 𝐶4 − 𝐶2
=
sin 3𝑥 >
= 𝑒 520 𝐴 cos 3𝑥 + 𝐵 sin 3𝑥 Föratthittaenfungerandelösningtillekvationenväljermanexempelvisansatsen
𝑦A = 𝐶 cos 𝑥 + 𝐷 sin 𝑥
medtillhörandederivator
Insättningav𝑦A ,𝑦′A och𝑦′′A iekvationengerefterförenkling
12𝐶 + 4𝐷 cos 𝑥 + 12𝐷 − 4𝐶 sin 𝑥 = 40 cos 𝑥
Lösningavmotsvarandeekvationssystem
12𝐶 + 4𝐷 = 40
𝐶=3
⟺ ⋯ ⟺ 12𝐷 − 4𝐶 = 0
𝐷=1
gerpartikulärlösningen
𝑦A = 3 cos 𝑥 + sin 𝑥
Denallmännalösningenblirdärmed
𝑦 = 𝑦3 + 𝑦A = 𝑒 520 𝐴 cos 3𝑥 + 𝐵 sin 3𝑥 + 3 cos 𝑥 + sin 𝑥
(3p)
2. Lösdifferentialekvationennedanmedhjälpavtreolika
lösningsmetoder:
I)
Genomseparationavvariabler
II)
Medhjälpavintegrerandefaktor
III)
Genomattfinnadenhomogenaekvationenslösning+
ekvationenspartikulärlösningar
𝑦 " + 𝑦 = 5
Lösningstips:
MetodI)
Variablernaseparerasenligt
𝑑𝑦
𝑑𝑦
+ 𝑦 = 5 ⟹ = 𝑑𝑥
𝑑𝑥
5−𝑦
ochintegralerledvisger
− ln 5 − 𝑦 = 𝑥 + 𝐷
somsedangerdenallmännalösningengenomattmanlöserut𝑦
𝑦 = 5 + 𝐶𝑒 50 MetodII)
Termernamultiplicerasmedintegrerandefaktor𝑒 0 såatt
𝑒 0 𝑦 " + 𝑒 0 𝑦 = 5𝑒 0 kanskrivassomderivatanavproduktenligt
𝑑 0
𝑒 𝑦 = 5𝑒 0 𝑑𝑥
ochintegralger
𝑒 0 𝑦 = 5𝑒 0 + 𝐶
somsedangerdenallmännalösningen
𝑦 = 5 + 𝐶𝑒 50 MetodIII)
Dåekvationenärlinjärmedkonstantakoefficienterkanmanfinna
denallmännalösningenenligt
𝑦 = 𝑦3 + 𝑦A Motsvarandehomogenekvation
𝑦 " + 𝑦 = 0
gerefteransats𝑦3 = 𝐶𝑒 /0 enkaraktäristiskekvation
𝑟 + 1 = 0
somsedangerdenhomogenaekvationenslösning
𝑦3 = 𝐶𝑒 50 Dåhögerledetäravgradnollär𝑦A = 𝐴enlämpligansatsföratthitta
enlösning𝑦A förekvationen.Insättningav𝑦A = 𝐴och𝑦A ′ = 0ger
𝑦A = 5somtillsammansmed𝑦3 = 𝐶𝑒 50 gerdenallmännalösningen
𝑦 = 𝑦3 + 𝑦A = 5 + 𝐶𝑒 50 (3p)
3. a) Beräknagränsvärdet:
lim
0→N
𝑒 0 − 1 sin 𝑥 7
𝑥 2 1 − cos 𝑥
Lösningstips:
Maclaurinutvecklingger
𝑥2
1+𝑥+
+ 𝑂 𝑥7 − 1 𝑥7 − 𝑂 𝑥P
𝑒 0 − 1 sin 𝑥 7
2
lim
= lim
0→N 𝑥 2 1 − cos 𝑥
0→N
2
𝑥
𝑥2 1 − 1 −
+ 𝑂 𝑥7
2
𝑥Q + 𝑂 𝑥R
1+𝑂 𝑥
= lim
= 2
Q
0→N 𝑥
0→N 1
+𝑂 𝑥
+ 𝑂 𝑥R
2
2
= lim
Ävenstandardgränsvärdegerensmidiglösning…
a) Beräknagränsvärdet:
S6Q
lim
S→T S
3+
cos 𝑥
𝑑𝑥 𝑥
Lösningstips:
S6Q
lim
S→T S
3+
Medelvärdessatsen
cos 𝑥
𝑑𝑥 = förintegralermed = 𝑓 𝜉
𝑥
𝑎 <𝜉 <𝑎+5
cos 𝑥
→ 0då𝑥 → ∞
𝑥
= vilketmedföratt = 3 ∙ 4 = 12
𝑓 𝜉 → 3då𝑥 → ∞
𝑎+4 −𝑎
(3p)
4. Funktionen
0,𝑥 < 4
𝑥
𝑓h 𝑥 = 1 − ,4 ≤ 𝑥 ≤ 8
8
0,𝑥 > 8
ärentäthetsfunktionfördenstokastiskavariabeln𝑋.
a) Beräkna𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 5 Lösningstips:
R
𝛼=
7
R
𝑓h 𝑥 𝑑𝑥 =
1−
Q
𝑥
7
𝑑𝑥 = ⋯ = 8
16
b) Beräknaskillnadenmellanmedianenochväntevärdet.
Lösningstips:
Medianen𝑥N,R = 𝑏fåsur:
s
1−
4
𝑥
𝑑𝑥 = ⋯ = 0.5
8
Dettagerenandragradsekvationmedenintressantrot
𝑏 = 𝑥N,R = 8 − 8 ≈ 5.17
Väntevärde:
T
𝜇=
5T
w
𝑥 ∙ 𝑓h 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥−
Q
𝑥2
16
𝑑𝑥 = ⋯ =
≈ 5.33
8
3
Differensen:
𝑥N,R − 𝜇 = 8 − 8 −
16
≈ −0.16
3
(3p)
5. Beräknavolymenavdenkroppsomuppstårdådetbegränsadeområdeti
1:akvadrantenmellan(I)enhetscirkeln,(II)𝑦 = 0och(III)𝑦 = 3𝑥roterar
ettvarvrunt𝑥-axeln.
Lösningstips:
Iförstakvadrantenbeskrivsenhetscirkelnavfunktionen𝑦 = 1 − 𝑥 2 somfåsur
cirkelnsekvation𝑥 2 + 𝑦 2 = 1.
Skärningspunkternasombildar”hörnen”avområdetberäknas:
4
Skärningspunktmellan𝑦 = 1 − 𝑥 2 och𝑦 = 3𝑥beräknasochär𝑥 = 2
Skärningspunktmellan𝑦 = 1 − 𝑥 2 och𝑦 = 0beräknasochär𝑥 = 1
Skärningspunktmellan𝑦 = 3𝑥och𝑦 = 0är𝑥 = 0
Rotationskroppensvolymfåsgenom
4
2
𝑉=𝜋
4
2
3𝑥 𝑑𝑥 + 𝜋
N
4
2
1 − 𝑥2
2
𝑑𝑥 = ⋯ =
𝜋
volymenheter
3
(3p)
6. a) Antagatt𝑓 𝑥 ärkontinuerligpå𝐼samtatt𝑥och𝑎 ∈ 𝐼.
Bevisamedhjälpavbl.a.derivatansdefinitionoch
medelvärdessatsenförintegraleratt
𝑑
𝑑𝑥
0
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑥 S
Lösningstips:
BevisetavAnalysenshuvudsatsfinnsunderSats6.7påsid286i
lärobokensamtiföreläsningsanteckningarna.
b) Förklaramedenskissochegnaordvaduttrycketovanipraktiken
berättar.
Lösningstips:
SekommentareromAnalysensHuvudsatsfrånföreläsningen.Satsen
sägerattmarginalökningenavintegralen
0
𝑓
S
𝑡 𝑑𝑡medavseendepå
denhögraintegrationsgränsen𝑥ärlikastorsomfunktionsvärdet𝑓 𝑥 .
(3p)
7. VisamedhjälpavenRiemann-summaatt
7
81
𝑥 7 𝑑𝑥 = 4
N
7
7
7
Ledning:1 + 2 + ⋯ + 𝑛 =
€• €64 •
Q
Lösningstips:
Övertrappamedndelintervallför𝑓 𝑥 = 𝑥 7 gerenöversummamedn
styckendelareor(smalaremsor).
7
7
€
€
VarjeremsaharbreddenΔ𝑥 = ochenhögerkantipunkten𝑥8 = 𝑖 ∙ medindex𝑖 = 1, 2, 3 … 𝑛.
Varjeremsahardåarean𝑓 𝑥8 ∙ Δ𝑥 = 𝑥82 ∙ Δ𝑥 = 𝑖 ∙
7 7
€
3ö„…
7
∙ €
Översummanblirdå
1∙
3
𝑛
7
∙
3
3
+ 2∙
𝑛
𝑛
†‡ˆ†4
7
∙
3
3
+⋯+ 𝑛 ∙
𝑛
𝑛
†‡ˆ†2
=
7
3
∙ 𝑛
†‡ˆ†€
81 7
1 + 27 + ⋯ + 𝑛 7 𝑛Q
=
=
81 𝑛2 𝑛 + 1 2
∙
𝑛Q
4
81 𝑛Q + 2𝑛7 + 𝑛2
∙
4
𝑛Q
→4‰å€→T
81 𝑛
=
∙
4
Q
1+
2 1
+
𝑛 𝑛2
𝑛Q
→
81
då𝑛 → ∞
4
(3p)