Kompletteringar till appendix om Komplex Analys 1

Ht-2011
Umeå Universitet
Institutionen för matematik
och matematisk statistik
PAB
Kompletteringar till appendix om Komplex Analys
1
Bakgrund
Tidigare kurser har nästan uteslutande handlat om reell analys, d.v.s. om reella tal och funktioner som
avbildat reella tal på reella tal. Någon enstaka gång har funktioner varit komplexvärda, t.ex. f (t) = eit .
Nu skall vi studera komplex analys, d.v.s. komplexa talen C och funktioner från komplexa tal till komplexa tal. De komplexa talen z = x + iy, är sammansatta av en realdel, <z = x och en imaginärdel, =z = y
samt den imaginära enheten
i. Det√konjugerade komplexa talet till z är z = x − iy och absolutbeloppet
p
av z ges genom |z| = x2 + y 2 = zz. Utgångspunkten är nu att vi kan räkna med komplexa tal, t.ex.
addition:
subtraktion:
multiplikation:
division:
(3 + 4i) + (1 + 3i) = 4 + 7i
(3 + 4i) − (1 + 3i) = 2 + i
(3 + 4i) · (1 + 3i) = 3 · 1 + (3i) · (4i) + 3 · (3i) + (4i) · 1 = 3 − 12 + 9i + 4i = −9 + 13i
3 + 4i
(3 + 4i)(1 − 3i)
3 − (4i) · (3i) + 4i − 9i
15 − 5i
3 1
=
=
=
= − i
1 + 3i
(1 + 3i)1 − 3i)
12 + 3 2
10
2 2
I appendixet studeras hur de vanliga funktionerna , f (x), definierade för reella tal x kan utvidgas till
funktioner f (z) definierade för komplexa tal z, t.ex. hur sin z definieras för z ∈ C så att sin z stämmer
överens med den sinusfunktion vi känner om z är ett reellt tal, d.v.s. om imaginärdelen =z = 0.
Det är inga svårigheter att utvidga polynom och rationella funktioner, t.ex. p(x) = 3x3 −5x2 +x+10 till
2z 4 − z 3 + 7
2x4 − x3 + 7
till
en
rationell
funktion
r(z)
=
.
ett polynom p(z) = 3z 3 −5z 2 +z+10 och r(x) =
x2 + 4
z2 + 4
Lägg märke till att r(x) är väldefinierad för alla x ∈ R men att r(z) inte är definierad i punkterna 2i och
−2i i komplexa planet, r(z) är alltså definierad enbart i C \ {2i, −2i}.
2
Elementära funktioner
För att klara av utvidgningen av de elementära funktionerna utnyttjar man att dessa kan skrivas som
Taylorserier. Vi definierar:
ez =
cos z =
sin z =
∞
X
zn
z2
z3
z4
z5
z6
z7
=1+z+
+
+
+
+
+
+ ......,
n!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
n=0
∞
X
n=0
∞
X
n=0
n
(−1)
n
(−1)
z∈C
(1)
z 2n
z2
z4
z6
=1−
+
−
+ ......,
(2n)!
2!
4!
6!
z∈C
(2)
z3
z5
z7
z 2n+1
=z−
+
−
+ ......,
(2n + 1)!
3!
5!
7!
z∈C
(3)
1
2.1
Några egenskaper som följer av dessa defiitioner
Man ser att cos(−z) = cos z och sin(−z) = − sin z så cosinus är en jämn och sinus en udda funktion.
I avsnitt 3 nedan definieras vad som menas med derivatan med avseende på en komplex variabel
z men vi kan redan nu nämna följande, inte så förvånande, resultat (4)-(6). Potensserierna (1)-(3) har
konvergensradien = ∞ så det är tillåtet att derivera funktionerna genom att derivera termvis i respektive
potensserie. Man får då att för alla z ∈ C gäller
d z
2z
3z 2
4z 3
z4
6z 5
z2
z3
z4
z5
e =0+1+
+
+
+
+
+ ··· = 1 + z +
+
+
+
+ ...
dz
2!
3!
4!
5!
6!
2!
3!
5!
5!
d
2z
4z 3
6z 5
8z 7
z3
z5
z7
cos z = 0 −
+
−
+
− · · · = −z +
−
+
− ......
dz
2!
4!
6!
8!
3!
5!
7!
2
4
6
2
4
6
3z
5z
7z
z
z
z
d
sin z = 1 −
+
−
+ ··· = 1 −
+
−
+ ......
dz
3!
5!
7!
2!
4!
6!
Definitionen av ez leder till att eiz =
eiz =
=
= ez (4)
= − sin z (5)
= cos z (6)
∞
X
(iz)n
, som vi delar upp i termer av jämn - och udda ordning.
n!
n=0
∞
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
(iz)2n X (iz)2n+1
z 2n
z 2n+1
(iz)n
=
+
=
i2n
+
i · i2n
=
n!
(2n)!
(2n + 1)! n=0
(2n)! n=0
(2n + 1)!
n=0
n=0
n=0
∞
X
n
(−1)
n=0
∞
2n+1
X
z 2n
n z
(−1)
+i
= cos z + i sin z
(2n)!
(2n + 1)!
n=0
Om vi använder att cos z är jämn och sin z udda så får vi av detta att e−iz = cos z − i sin z. Addition och
subtraktion av eiz = cos z + i sin z och e−iz = cos z − i sin z ger oss Eulers formler
cos z =
eiz + e−iz
2
och
sin z =
eiz − e−iz
.
2i
(7)
Vi skall nu visa att formeln ez ew = ez+w gäller för alla z, w ∈ C. Vi gör det genom att multiplicera ihop
potensserierna för ez och ew och ordna termerna efter stigande gradtal. Att man får göra så beror på att
potensserierna är absolutkonvergenta innanför sin konvergensradie (vilken här är = ∞), se t.ex. avsnitt
9.4-9.5 i Adams, Calculus. Allmänt gäller vid multiplikation av två potensserier
!
!
∞
∞
X
X
n
n
an z
·
bn w
= a0 + a1 z + a2 z 2 + . . . · b0 + b1 w + b2 w2 + . . . =
n=0
n=0
= a0 b0 + (a0 b1 w + a1 b0 z) + a0 b2 w2 + a1 b1 zw + a2 b0 z 2 + · · · =
=
∞
n
X
X
n=0
!
k
ak bn−k z w
n−k
, där den inre summan består av alla termer med grad n = k + (n − k).
k=0
Nu använder vi detta för att beräkna ez ew .
! ∞
!
!
!
∞
∞
n
∞
n
X
X wn
X
X
X
zn
1
1
1 X
n!
z w
k n−k
k n−k
e e =
=
·
z w
=
z w
=
n!
n!
k! (n − k)!
n!
k!(n − k)!
n=0
n=0
n=0 k=0
n=0
k=0
!
∞
n ∞
X
X
1 X n k n−k
1
n
=
z w
= [enligt binomialsatsen] =
(z + w) = ez+w .
n!
k
n!
n=0
n=0
k=0
Vi har alltså visat att följande formel gäller för alla komplexa tal z, w
ez ew = ez+w
(8)
1
Enligt definition (1) av ez har vi e0 = 1. Formeln ez ew = ez+w ger då ez e−z = e0 = 1 d.v.s. e−z = z . Av
e
det sista följer att det inte finns något z så att ez = 0, d.v.s. för alla komplexa tal z gäller ez 6= 0.
Vi ser också att 1 = ez e−z = (cos z + i sin z)(cos z − i sin z) = (cos z)2 − (i sin z)2 = cos2 z + sin2 z. Alltså
cos2 z + sin2 z = 1,
gäller för alla z ∈ C.
2
(9)
Man kan också härleda additionsformlerna för sinus och cosinus.
ei(z+w) = eiz eiw = (cos z + i sin z)(cos w + i sin w) = (cos z cos w − sin z sin w) + i (sin z cos w + cos z sin w)
e−i(z+w) = e−iz e−iw = (cos z − i sin z)(cos w − i sin w) = (cos z cos w − sin z sin w) − i (sin z cos w + cos z sin w)
Om vi använder Eulers formler och adderar respektive subtraherar ovanstående så får vi
1 i(z+w)
e
+ e−i(z+w) = cos z cos w − sin z sin w,
cos(z + w) =
2
1 i(z+w)
sin(z + w) =
e
− e−i(z+w) = sin z cos w + cos z sin w.
2i
(10)
(11)
Byter vi sedan w mot −w och använder att cos är en jämn funktion och sin udda så får vi
cos(z − w) = cos z cos(−w) − sin z sin(−w) = cos z cos w + sin z sin w,
(12)
sin(z − w) = sin z cos(−w) + cos z sin(−w) = sin z cos w − cos z sin w.
(13)
Observera att alla formler vi härlett ovan gäller oinskränkt för alla komplexa tal z, w
2.2
Några andra trigonometriska funktioner
På vanligt sätt definierar vi funktionerna
tan z =
sin z
,
cos z
cot z =
cos z
,
sin z
sec z =
1
,
cos z
csc z =
1
,
sin z
cosh z =
ez + e−z
,
2
sinh z =
ez − e−z
.
2
(14)
Eulers formler ger omedelbart att
cosh(iz) = cos z,
sinh(iz) = i sin z,
cos(iz) = cosh z,
sin(iz) = i sinh z
(15)
1
π, n ∈ Z
2
och funktionerna cot x och csc x har diskontinuiteter i punkter där sin x = 0, d.v.s. i x = nπ, n ∈ Z.
Vi undersöker nu om de komplexa funktionerna har fått några nya diskontinuitetspunkter genom att
lösa sin z = 0 och cos z = 0.
De reella funktionerna tan x och sec x har diskontinuiteter i punkter där cos x = 0, d.v.s. i x =
2.3
n+
cos z = 0, sin z = 0
Vi sätter z = x + iy där x och y är real- respektive imaginärdelen av z. Vi får då med användning av (10)
och (11) och det faktum att ett komplext tal bara ka vara = 0 om både realdelen och imaginärdelen av z
är = 0
0 = sin z = sin(x + iy) = sin x cos iy + cos x sin iy = sin x cosh y + i cos x sinh y ⇐⇒
sin x cosh y = 0
⇐⇒
cos x sinh y = 0
Första ekvationen ger sin x = 0, eftersom cosh y ≥ 1 > 0 för alla y ∈ R. Därmed får vi att x = nπ, n ∈ Z.
Den andra ekvationen blir då cos nπ sinh y = 0 eller (−1)n sinh y = 0 vilket ger sinh y = 0, alltså y = 0. Vi
utnyttjar att sinh y bara har ett nollställe nämligen y = 0. Se graferna för de hyperboliska funktionerna,
t.ex. i Adams; Calculus, avsnitt 3.6.
Vi gör på samma sätt med ekvationen cos z = 0.
0 = cos z = cos(x + iy) = cos x cos iy − sin x sin iy = cos x cosh y − i sin x sinh y ⇐⇒
cos x cosh y = 0
⇐⇒
sin x sinh y = 0
1
Första ekvationen ger cos x = 0, eftersom cosh y > 0. Alltsså x = n +
π, n ∈ Z. Den andra ekvatio2
nen blir då sin n + 12 π sinh y = 0 eller (−1)n sinh y = 0 vilket ger sinh y = 0, alltså y = 0.
3
Slutsatsen är alltså att varken sin z eller cos z har några andra nollställen än de redan kända reella
nollställena.
π
sin z = 0 ⇐⇒ z = nπ, n ∈ Z,
cos z = 0 ⇐⇒ z = (2n + 1) , n ∈ Z.
(16)
2
2.4
Logaritmfunktionen
Utgångspunkten när vi definierar logaritmen är att den skall vara invers till exponentialfunktionen. Vi
vill alltså att log z skall vara ett komplext tal som uppfyller elog z = z. Vi kommer ihåg att komplexa tal
p
y
kan skrivas på polär form. z = reiθ . Här är r = |z| = x2 + y 2 och tan θ = om z = x + iy, x, y ∈ R.
x
Vinkeln θ kallas argumentet för z och är inte entydigt bestämd. Även θ + 2nπ där n är något heltal duger
som argument i den polära formen av z. Man brukar skriva arg(z) för vilket som helst av värdena på
argumentet av z.
Vi använder beteckningarna ln för den naturliga logaritmen definierad på R+ och log för den logaritm
i C \ {0} som vi nu skall definiera.
Vi kan skriva den polära formen som z = reiθ = eln r+iθ = eln |z|+i arg(z) och det skulle vara naturligt
att definiera log z = ln |z| + i arg(z) men som funktion måste log z vara entydigt definierad så vi måste se
till att arg(z) ersätts av en av z entydigt bestämd vinkel θ för varje komplext tal z 6= 0. Låt θ0 vara en
fix vinkel. Vi bestämmer att θ skall vara det värde på arg(z) som uppfyller
θ0 < θ ≤ θ0 + 2π.
Man brukar säga att vi har valt en gren av ”funktionen” arg(z) och därigenom också definierat en gren
av logaritmen, log z. I många sammanhang är det naturligaste valet av gren att välja θ0 = −π. Då väljs
alltså θ så att −π < θ ≤ π. Denna gren brukar kallas principalgrenen.
OBS! När man använder log z så måste man också tala om vilken gren av logaritmen man valt för.
Exempel.
1. Använd principalgrenen av logaritmen och beräkna:
a) log i b) log(−i) c) log e d) log(−e) e) log(−1 + i) f) log(−1 − i)
Lösningar:
a) log i = ln |i| + i π2 = ln(1) + i π2 = i π2 .
b) log(−i) = ln | − i| − i π2 = ln(1) − i π2 = −i π2 .
c) log e = ln(e) + i · 0 = 1.
d) log(−e) = ln | − e| + iπ = ln(e) + iπ =√1 + iπ.
3π
1
3π
e) log(−1 + i) = ln | − 1 + i| + i 3π
4 = ln(√ 2) + i 4 = 2 ln(2) + i 4 .
1
3π
3π
3π
f) log(−1 − i) = ln | − 1 − i| − i 4 = ln( 2) − i 4 = 2 ln(2) − i 4 .
2. Använd den gren av logaritmen som fås genom att välja θ0 = 0, d.v.s. 0 < θ ≤ 2π, vid beräkningen av:
a) log i b) log(−i) c) log e d) log(−e) e) log(−1 + i) f) log(−1 − i)
Lösningar:
a) log i = ln |i| + i π2 = ln(1) + i π2 = i π2 .
3π
3π
b) log(−i) = ln | − i| + i 3π
2 = ln(1) + i 2 = i 2 .
c) log e = ln(e) + i · 2π = 1 + 2πi.
d) log(−e) = ln | − e| + iπ = ln(e) + iπ =√1 + iπ.
3π
1
3π
e) log(−1 + i) = ln | − 1 + i| + i 3π
4 = ln(√ 2) + i 4 = 2 ln(2) + i 4 .
5π
5π
1
5π
f) log(−1 − i) = ln | − 1 − i| + i 4 = ln( 2) + i 4 = 2 ln(2) + i 4 .
En sak att notera
Om vi använder principalgrenen för logaritmen och de beräknade värdena i exempel 1 ovan får vi att
1
3π
π 1
3π
1
5π
ln(2) − i
6= log(i) + log(−1 + i) = i + ln(2) + i
= ln(2) + i .
2
4
2 2
4
2
4
Om vi räknar med den gren som valts i exempel 2 får vi
π
1
5π
5π
2
log (−1 − i) = log(2i) = ln 2 + i 6= 2 log(−1 − i) = 2
ln(2) + i
= ln(2) + i .
2
2
4
2
log(i · (−1 + i)) = log(−1 − i) =
4
Vi ser alltså att räknereglerna log(z · w) = log(z) + log(w) och log z k = k log(z), k ∈ N inte behöver gälla
för en vald gren av den komplexa logaritmfunktionen.
Däremot gäller att det alltid finns heltal n och m, som beror av z och w respektive av k och z, så att
log(z · w) = log(z) + log(w) + 2nπi
2.5
respektive
log z k = k log(z) + 2mπi
(17)
Potenser och exponentialfunktioner
Låt a vara ett komplext tal. Då definierar vi z a = ea log z för alla z 6= 0, där log z betecknar en vald gren
av logaritmen. Vi får på detta sätt en motsvarande gren av potensfunktionen.
Vi definierar en allmän exponentialfunktion az , där a 6= 0 är ett komplext tal, genom az = ez log a ,
där vi även här har valt en gren av logaritmen. På grund av att båda definitionerna utnyttjar logaritmen
så beror både z a och az på vilken gren man valt och därigenom upphör några kända räkneregler att gälla
även för dessa funktioner, t.ex. gäller ibland att
(z · w)a 6= z a · wa , speciellt, om a =
√
√ √
1
, att z · w 6= z · w.
2
b
Även att z ab 6= (z a ) kan inträffa.
På grund av (17) gäller emellertid, för godtyckliga heltal k och l, att (z · w)k = z k · wk samt (z k )l = z kl .
Exempel.
3. Använd principalgrenen
och beräkna:
p
(2+2i)
a) ii , b) (−1)i , c) (2 − 2i) d) (2 − 2i)
Lösningar:
π
π
π
a) ii = ei log(i) = ei(ln |i|+i 2 ) = ei(ln1+i 2 ) = e− 2
i
b) (−1) = ei log(−1) = ei(ln |−1|+iπ) = e−π
√
p
√
1
π
1
1
π
π
π
4
=
c) (2 − 2i) = (2 − 2i) 2 = e 2 (ln |2−2i|−i 4 ) = e 2 ln 8−i 8 = 8 cos − i sin
8
8
2v
2v
( OBS! följande fortsatta uträkning är bara kuriosa. Man använder cos2 v = 1+cos
och sin2 v = 1−cos
.)
2
2
q
q
q
q
q
q
√
√
√
√
√
√
3
1
1
1
1
2+ 2− i 2− 2 = √
2+ 2− √
2+1−i
2−1
i 2− 2=
= 24
4
4
2
2
2
2
d) (2 − 2i)
π
= eln 8+ 2
3
(2+2i)(ln |2−2i|−i 4 )
(2+2i)( 2 ln(8)−i 4 )
= e(1+i)(ln 8−i 2 ) = e(ln 8+ 2 )+i(ln 8− 2 ) =
= e
= e π π
π
cos ln 8 −
+ i sin ln 8 −
= 8 e 2 (sin (3 ln (2)) − i cos (3 ln (2)))
2
2
(2+2i)
π
1
π
π
π
π
Topologi
De definitioner och begrepp som vi här introducerar i det komplexa planet C kan lika gärna gälla t.ex.
n − dimensionella rummet Rn men även andra slags mängder, vi behöver bara ha definierat hur avståndet
mellan två godtyckliga element skall mätas. T.ex. ges avståndet mellan två komplexa tal z och w som
2
|z
p − w| och avståndet mellan två punkter x = (x, y) och x0 = (x0 , y0 ) i planet R av kx − x0 k =
(x − x0 )2 − (y − y0 )2 . Just nu väljer vi att arbeta i det komplexa planet.
Med den öppna disken eller cirkelskivan D(z0 , r) menar vi {z ∈ C : |z − z0 | < r }, d.v.s. alla punkter
z som har ett avstånd till z0 , (diskens centrum), som är mindre än r, (diskens radie).
Låt M vara en mängd i C. En punkt w ∈ C, som inte behöver tillhöra M , kallas randpunkt till M
om varje öppen disk D(w, r) med centrum i w, oberoende av hur litet r väljs, alltid kommer att innehålla
dels punkter som tillhör M , dels punkter som tillhör komplementet M c till M , d.v.s. ligger utanför M .
En mängd U i C sägs vara öppen om den inte innehåller några av sina randpunkter. Punkterna z
som ligger i U har då egenskapen att, om bara radien r väljs tillräckligt liten så ligger disken D(z, r) helt
i mängden U , d.v.s. alla punkter w med avståndet |w − z| < r ligger, precis som z, också i U .
En punkt z0 ∈ M , där M är en delmängd till C kallas inre punkt till M om det finns ett r > 0 så
att D(z0 , r) ⊂ M . En mängd är alltså öppen om alla dess punkter är inre punkter.
5
En mängd F kallas sluten om den innehåller alla sina randpunkter. Begreppen öppen mängd och
sluten mängd är komplementära till varandra enligt följande:
U är öppen ⇐⇒ U c är sluten
respektive
F är sluten ⇐⇒ F c är öppen.
Hela mängden C och den tomma mängden ∅ är både öppna och slutna.
En mängd M sägs vara begränsad om det finns ett tal R så att M ⊂ D(0, R), d.v.s. så att alla z ∈ M
uppfyller |z| < R. Mängden M går alltså inte ut mot oändligheten i någon riktning utan stannar inom ett
begränsat område.
En mängd K kallas kompakt om den är sluten och begränsad. Kompakta mängder har följande
egenskap: Antag att K är kompakt och att {zn }∞
n=1 är en följd av punkter som alla tillhör K, då finns
det alltid en delföljd zn1 , zn2 , zn3 , . . . till den ursprungliga följden z1 , z2 , z3 , . . . som konvergerar mot
en punkt w som också tillhör K.
Vi behöver kunna skilja på mängder som består av en enda del och sådana som består av flera separerade bitar. Vi säger att en mängd M är icke-sammanhängande om det finns öppna mängder U
och V så att U ∩ V = ∅ och M = (U ∩ M ) ∪ (V ∩ M ) där U ∩ M 6= ∅ och V ∩ M 6= ∅. Mängden M
kallas sammanhängande om det inte finns sådana mängder U och V . Man kan visa att för varje öppen
sammanhängande mängd U i C eller Rn gäller att det till två godtyckliga punkter P och Q i U alltid finns
en kontinuerlig kurva som går från P till Q och ligger helt i mängden U . En mängd med denna egenskap
brukar kallas bågvis sammanhängande.
En mängd S som är bågvis sammanhängande och har egenskapen att för varje punkt P ∈ S och varje
sluten kontinuerlig kurva C som startar och slutar i punkten P och som ligger helt i mängden S gäller
att den kan kontinuerligt ”dras ihop” till punkten P utan att någon gång lämna mängden S men hela
tiden starta och sluta i P kallas enkelt sammanhängande. Den här definitionen kan man göra mycket
mera precis men det skulle kräva en längre utläggning. Det räcker för oss att ha en bild av att en enkelt
sammanhängande mängd är en mängd som ”saknar hål” eller, i högre dimension, ”saknar genomgående
hål”.
4
Analytiska funktioner
En komplexvärd funktion f definierad på en öppen mängd U i komplexa planet, kort skrivet: f : U → C,
sägs vara analytisk i U om
f (z + ∆z) − f (z)
f 0 (z) = lim
∆z→0
∆z
existerar för alla z ∈ U . Observera att detta betyder att det finns ett tal, som betecknas f 0 (z), så att det
till varje > 0 finns ett δ > 0 så att
f (z + ∆z) − f (z)
0
|∆z| < δ =⇒ − f (z) < ,
∆z
vilket i sin tur innebär att ∆z, som är en punkt i komplexa planet, tillåts närma sig 0 på vilket sätt som
helst. Detta påminner alltså om begreppet differentierbarhet i fallet med funktioner av flera variabler. I det
här fallet rör det sig ändå om en funktion av enbart en variabel z. Det visar sig att kravet på deriverbarhet
i den här meningen är så starkt att den analytiska funktionen f (z) inte bara har en derivata av första
ordningen utan att alla högre derivator också existerar. Lägg märke till att kravet för analyticitet gör att
det är naturligt att definitionsmängden U måste vara en öppen mängd, annars kan man inte garantera
att det går att närma sig varje punkt z ∈ U från godtyckligt håll. När man säger att funktionen f (z) är
analytisk i en punkt z0 så menar man att det finns en öppen disk D(z0 , ρ), med radie ρ > 0 i vilken
f (z) är analytisk. Man kan då visa att f (z) ges av en konvergent Taylorserie kring punkten z0 och att
dess konvergensradie R uppfyller R ≥ ρ, d.v.s. för alla z med |z − z0 | < R gäller
f (z) = f (z0 ) + f 0 (z0 )(z − z0 ) +
∞
X
f 00 (z0 )
f 000 (z0 )
f (n) (z0 )
(z − z0 )2 +
(z − z0 )3 + · · · =
(z − z0 )n , (18)
2!
3!
n!
n=0
6
4.1
Nollställen
Om f (z0 ) = 0 så har f (z) ett nollställe i z0 . Om dessutom f 0 (z0 ) 6= 0 så blir Taylorutvecklingen runt z0
f (z) = 0 + f 0 (z0 )(z − z0 ) +
00
f 00 (z0 )
f 000 (z0 )
(z − z0 )2 +
(z − z0 )3 + · · · = (z − z0 )g(z)
2!
3!
000
(z0 )
där g(z) = f 0 (z0 ) + f 2!
(z − z0 ) + f 3!(z0 ) (z − z0 )2 + . . . och g(z0 ) = f 0 (z0 ) 6= 0. Eftersom g(z) är
kontinuerlig följer då att g(z) 6= 0 för alla z som ligger tillräckligt nära z0 eller mera precist: Det finns ett
r0 > 0 så att g(z) 6= 0 i hela disken D(z0 , r0 ). Slutsatsen blir att f (z) = (z − z0 )g(z) har ett och endast
ett nollställe i disken D(z0 , r0 ). I detta fall sägs z0 vara ett enkelt nollställe till f (z).
Om f (z0 ) = 0 och flera derivator i z0 är noll, f 0 (z0 ) = f 00 (z0 ) = · · · = f (N −1) (z0 ) = 0 men f (N ) (z0 ) 6= 0,
där N > 1, så får vi
f (z) = 0+0+· · ·+
f (N +1) (z0 )
f (N +2) (z0 )
f (N ) (z0 )
(z−z0 )N +
(z−z0 )N +1 +
(z−z0 )N +2 +· · · = (z−z0 )N g(z)
N!
(N + 1)!
(N + 2)!
där
g(z) =
f (N +2) (z0 )
f (N ) (z0 ) f (N +1) (z0 )
+
(z − z0 ) +
(z − z0 )2 + . . .
N!
(N + 1)!
(N + 2)!
och g(z0 ) =
f (N ) (z0 )
6= 0.
N!
I detta fall säger man att f (z) har ett multipelt nollställe, eller mera exakt ett nollställe av ordning N
i z0 . Även här så följer av att g(z) är kontinuerlig att det finns ett r0 så att g(z) 6= 0 i disken D(z0 , r0 )
d.v.s. att z0 är det enda nollstället till f (z) i D(z0 , r0 ). I både fallet med enkelt nollställe och fallet
med multipelt nollställe har vi att nollstället ligger isolerat d.v.s. det finns ett avstånd> 0 till alla andra
nollställen. Nollställena till en analytisk funktion kan alltså inte utgöras av t.ex. ett intervall. Till exempel
kan vi dra slutsatsen att en analytisk funktion, definierad på en sammanhängande öppen mängd U , som
är noll på ett intervall som ligger i U måste vara identiskt noll i hela U , vilket man skriver f ≡ 0 eller
ibland f (z) ≡ 0.
4.2
Singulära punkter och residyer
Om funktionen f (z) är analytisk i en s.k. punkterad disk D̃(z0 , r) som ges av
D̃(z0 , r) = { z ∈ C : 0 < |z − z0 | < r }
så kan man visa att f (z) kan utvecklas i en s.k. Laurentserie
f (z) = · · ·+a−3 (z−z0 )−3 +a−2 (z−z0 )−2 +a−1 (z−z0 )−1 +a0 +a1 (z−z0 )+a2 (z−z0 )2 +a3 (z−z0 )3 +. . . (19)
eller
f (z) =
+∞
X
an (z − z0 )n .
(20)
n=−∞
Om alla koefficienter med negativt index är noll, d.v.s. a−1 = a−2 = a−3 = · · · = 0 så är funktionen
egentligen analytisk och Laurentserien egentligen en Taylorserie. Man säger då att f (z) har en hävbar
singularitet i z0 .
Om a−N −1 = a−N −2 = a−N −3 = · · · = 0, men a−N 6= 0, där N ≥ 1 så säger man att f (z) har en pol
av ordning N i z0 . I detta fall gäller alltså
f (z) =a−N (z − z0 )−N + a−N +1 (z − z0 )−N +1 + · · · + a−1 (z − z0 )−1 + a0 + a1 (z − z0 )+
∞
X
+a2 (z − z0 )2 + a3 (z − z0 )3 + · · · =
an (z − z0 )n
(21)
n=−N
Om det finns oändligt många koefficienter an 6= 0 med negativa index n så säger man att f (z) har en
väsentlig singularitet i z0 .
7
Koefficienten a−1 kallas residyn av f (z) i z0 och vi skriver a−1 = Resz0 f . Residyn är viktig att kunna
beräkna när man integrerar analytiska funktioner längs kurvor som går runt en singulär punkt. För att
beräkna residyn multiplicerar vi (21) med z − z0 )N och får
(z − z0 )N f (z) =a−N + a−N +1 (z − z0 ) + · · · + a−1 (z − z0 )N −1 + a0 (z − z0 )N + a1 (z − z0 )N +1 +
∞
X
+a2 (z − z0 )N +2 + a3 (z − z0 )N +3 + · · · =
an (z − z0 )N +n
(22)
n=−N
För att ”rensa bort” a−N , . . . , a−2 deriverar vi N − 1 gånger och får
o
dN −1 n
N
(z
−
z
)
f
(z)
=(N − 1)! a−1 + N (N − 1) · · · 2 a0 (z − z0 ) + (N + 1) · N · · · 3 a3 (z − z0 )2 +
0
dz N −1
+(N + 2) · (N + 1) · · · 3 a3 (z − z0 )2 + . . .
(23)
Av (23) får vi en formel för att beräkna residyn i en pol z0 av ordning N ,
o
dN −1 n
1
N
(z
−
z
)
f
(z)
.
(24)
Resz0 f = lim
0
z→z0 (N − 1)! dz N −1
Två specialfall kan nämnas
1) Om z0 är en pol av ordning 1 så gäller
Resz0 f = lim (z − z0 )f (z).
z→z0
2) Om f (z) =
(25)
g(z)
, där g(z) och h(z) båda är analytiska i z0 och h(z) har ett enkelt nollställe i z0 så får
h(z)
man att
Resz0 f = lim (z − z0 )f (z) = lim (z − z0 )
z→z0
4.3
z→z0
g(z)
g(z)
g(z)
g(z0 )
= lim (z − z0 )
= lim
= 0
h(z) z→z0
h(z) − h(z0 ) z→z0 h(z) − h(z0 )
h (z0 )
z − z0
(26)
Realdel och imaginärdel av f (z)
Vi sätter nu z = x + iy där x = <z och y = =z och får funktionen f (x + iy) som är en funktion av två
variabler (x, y). Funktionens värde delar vi också upp i realdel u(x, y) och imaginärdel v(x, y) så att vi
har
f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)
Om vi utnyttjar att f 0 (z) kan beränas genom att dels välja ∆z = ∆x och låta ∆x → 0, dels välja ∆z = ∆y
och låta ∆y → 0 får vi
∂f (x + iy)
df (z) ∂z
=
= f 0 (z) · 1 = f 0 (z)
∂x
dz ∂x
resp.
∂f (x + iy)
df (z) ∂z
=
= f 0 (z) · i = if 0 (z)
∂y
dz ∂y
Vi får alltså
∂f
∂f
=i
(27)
∂y
∂x
Om man delar upp f i real- och imaginärdel så får vi också Cauchy-Riemanns ekvationer (C-R) för
real- och imaginärdelarna u(x, y) och v(x, y)
∂f
∂u
∂v
∂f
∂u
∂v
∂v ∂u
∂u
∂v
∂u
∂v
=
+i
=i
=i
+i
=−
+
eller (C-R):
=
och
=−
(28)
∂y
∂y
∂y
∂x
∂x
∂x
∂x ∂x
∂x
∂y
∂y
∂x
Cauchy-Riemanns ekvation
Av C-R ekvationerna följer att uxx = (vy )x = (vx )y = (−uy )y = −uyy och vxx = (−uy )x = −(ux )y = −vyy
Real- och imaginärdelarna u(x, y) resp. v(x, y) satisfierar alltså Laplace ekvation
∇2 u = uxx + uyy = 0
och
∇2 v = vxx + vyy = 0
vilket också brukar uttryckas med att de är harmoniska funktioner.
8
(29)
4.4
Linjeintegraler i C
Låt f (z) vara en anaytisk funktion i den öppna sammanhängande mängden Ω och låt γ(t), a ≤ t ≤ b vara
en styckvis kontinuerligt deriverbar kurva i Ω. Då definieras linjeintegralen, eller kurvintegralen av f (z)
längs kurvan γ genom
Z
Z b
f (z) dz =
f (γ(t))γ 0 (t) dt
γ
a
Om vi delar upp f och γ i sina real- och imaginärdelar d.v.s. f (z) = f (x+iy) = u(x, y)+iv(x, y) respektive
γ(t) = x(t) + iy(t) samt utnyttjar differentialerna dx = x0 (t) dt och dy = y 0 (t) dt så får vi
Z
Z
b
[u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))] · (x0 (t) + iy 0 (t)) dt =
f (z) dz =
γ
a
Z
b
([u(x(t), y(t))x0 (t) − v(x(t), y(t))y 0 (t)] + i [v(x(t), y(t))x0 (t) + u(x(t), y(t))y 0 (t)]) dt =
Za
Z
=
u(x, y) dx − v(x, y) dy + i v(x, y) dx + u(x, y) dy
=
γ
γ
(30)
Om kurvan γ utgör randen till en mängd U ⊂ Ω och randen består av en yttre rand kurva γ0 genomlöpt i
positiv riktning samt ett antal randkurvor γ1 , γ2 , . . . , γk till ”hål” inuti U , orienterade i negativ riktning
d.v.s. medsols, så kan vi tillämpa Greens sats (se Adams; Calculus, kap 16.3, sats 6 samt fig. A2.1, sid.
397 i Follands bok). Man får då, eftersom u och v uppfyller C-R-ekvationerna, se (28)
ZZ I
I
I
ZZ ∂u
∂u ∂v
∂v
−
−
dxdy + i
dxdy = 0
f (z) dz =
u dx − v dy + i v dx + u dy =
−
∂x ∂y
∂x ∂y
U
γ
γ
γ
U
Detta resultat leder till följande två viktiga satser:
Cauchys sats. Antag att f (z) är analytisk i den öppna mängden Ω och att U ⊂ Ω är ett område med
randen γ bestående av randkurvorna γ0 , γ1 , . . . , γk enligt ovan. Då gäller att
I
I
f (z) dz −
f (z) dz =
γ
γ0
k I
X
j=1
f (z) dz = 0.
(31)
γj
Residysatsen. Antag att den enkla slutna kurvan γ begränsar en öppen sammanhängande mängd U .
Antag också att f (z) är analytisk i U utom i punkterna z1 , z2 , . . . , zk som är singulära punkter till f (z).
Då gäller följande formel
I
k
X
f (z) dz = 2πi
Reszj f.
(32)
γ
Z
j=1
2π
dθ
, a > 1.
a + cos θ
0
iθ
Lösning: Vi sätter
får vi att z genomlöper enhetscirkeln |z| = 1 när 0 ≤ θ ≤ 2π och
z = e . Då
1
1
cos θ = 2 z + z samt dz = ieiθ dθ eller dθ = dz
iz . Vi låter γ beteckna enhetscirkeln genomlöpt i positiv
riktning och får då
I
I
dz
2
dz
=
I=
1
1
2
i γ z + 2az + 1
γ iz a + 2 z + z
√
√
Vi löser ekvationen z 2 + 2az +√1 = 0 och får lösningarna z1 = −a + a2 − 1 och z2 = −a − a2 − 1, Vi ser
att z1 · z2 = 1 och |z2 | = a + a2 − 1 > 1 så vi måste ha |z1 | < 1 d.v.s. z1 är den enda singulära punkten
inuti enhetscirkeln. Residysatsen ger då
I
2
dz
2
1
1
2π
I=
= 2πi · · Resz1 2
= 4π ·
=√
.
2
i γ z + 2az + 1
i
z + 2az + 1
2z1 + 2a
a2 − 1
Exempel. Beräkna integralen I =
9